S E R IA V : D Y D A K T Y K A M A T E M A T Y K I 28 (2005)
Zbigniew Semadeni
Uniwersytet WarszawskiKoncepcja sieci wzajemnych powiązań idei
głębokich i powiązań ich modeli formalnych
1. W stęp. Punktem wyjścia tej pracy1 jest koncepcja idei głębokich two rów matematycznych i ich modeli formalnych przedstawiona w (Semadeni, 2002). Poniżej zarysowana koncepcja więzów, pomyślana jako kolejny przy czynek do analizy idei głębokich, oparta jest na obserwacji, że podstawowe pojęcia tworzą różnorodne, specyficzne konfiguracje, których obraz bywa znie kształcony przez tradycyjny, euklidesowy wywód dedukcyjny.
1.1. Matematykę można prezentować w rozmaity sposób. Skontrastujemy następujące dwa ujęcia.
(0 ) Matematyka jako kolekcja t e o r i i d e d u k c y j n y c h . Istotą dedukcji (globalnej) jest to, że — po dobraniu odpowiednich pojęć pierwotnych i aksjo matów — ustala się jakieś u p o r z ą d k o w a n i e2 pojęć i twierdzeń, przy czym podstawowym założeniem metodologicznym jest to, że (w danej teorii) pojęcia późniejsze wolno definiować jedynie za pom ocą wcześniejszych, a twierdzenia późniejsze mają być wydedukowane ze wcześniejszych.
(A ) Matematyka jako s i e ć różnorodnych powiązań między rozpatrywa nymi pojęciami. W sieci tej nie ma jakiejś ustalonej kolejności pojęć, nie ma potrzeby deklarowania, co się przyjmuje za pojęcia pierwotne i za aksjomaty. W tym ujęciu pojęcia i twierdzenia nie muszą być dedukcyjnie uporządko wane. Daje to inny obraz zależności między pojęciami niż tradycyjny układ dedukcyjny. W szczególności dopuszcza się tu zapętlenia definicyjne i pewne układy zależności, które w (0) są zakazane jako circulus vitiosus lub petitio
1 Praca naukowa wykonana w ramach projektu badawczego finansowanego ze środków Komitetu Badań Naukowych w latach 2003-2006.
p r in c ip i . Ujęcie ( 0 ) jest dziś dominujące w świadomości matematyków (choć
niekoniecznie w ich codziennej pracy). Istotą ujęcia (A ) jest to, że ukazuje matematykę jako s i e ć p o j ę ć p o w i ą z a n y c h n a j p r z e r ó ż n i e j s z y m i w i ę z a m i3.
Więzów jest oczywiście wiele, tak wiele, że można powątpiewać w realność programu ich systematycznej analizy. Część z nich to związki takie jak 3+4 = 7, wszelkie twierdzenia, izomorfizmy itd. Jednakże takimi więzami nie będziemy się tu zajmować; przedmiotem rozważań będą powiązania innych rodzajów, wymienione w 2.1 poniżej.
Ogólnie biorąc, więzy mają dwie podstawowe cechy: 1) są w jakimś sen sie (zależącym od pojęć, których dotyczą) naturalne, k a n o n i c z n e ; 2) mają charakter sądów k o n i e c z n y c h , niezależnie od ich statusu w teoriach de dukcyjnych4.
Każde z ujęć ( 0 ) i (A ) daje j e d n o s t r o n n y obraz matematyki, nato miast u j m o w a n e ł ą c z n i e , jako dwa oblicza tej samej dziedziny wiedzy, pozwalają na pełniejsze ogarnięcie całości. Ujęcie (A ) oddaje pewną immanen- tną cechę matematyki jako takiej, podczas gdy poszczególne realizacje ujęcia (0) zależą od doboru aksjomatów oraz od kolejności prezentacji pojęć i twier dzeń teorii, co do pewnego stopnia zależy od decyzji twórców teorii, od trendów danego okresu czy też od koncepcji autora monografii.
Jednym z celów tej pracy jest z w r ó c e n i e u w a g i n a n ie b e z p i e c z e ń s t w o z ł u d n e g o id e n t y f i k o w a n i a k o l e j n o ś c i w y b r a n e j w j a k i m ś to k u d e d u k c y j n y m j a k o j e d y n e j p o p r a w n e j, prowadzi to bowiem do usztywnienia myślenia.
Świadomość możliwości wyboru różnych dróg określania pojęć, różnych dróg dedukcji, a w konsekwencji różnych możliwości ustalenia kolejności ma teriału nauczania, jest ważna dla n a u c z a n i a matematyki, zwłaszcza na po ziomie l i c e a l n y m i u n i w e r s y t e c k i m . Brak tej świadomości i związany z tym brak elastyczności ujawnił się szczególnie wyraźnie w czasie reform pod hasłami „nowej matematyki” , gdy prezentowanie modeli formalnych (nieraz bardzo sztucznych, jak np. w przypadku pary uporządkowanej) zastępowało kształtowanie pojęć.
Również i dzisiaj na wykładach uniwersyteckich nieraz przedstawia się przyszłym nauczycielom daną dziedzinę (np. początki racłiunku różniczkowego lub rachunek prawdopodobieństwa) wyłącznie w ujęciu (0), co rzutuje na póź niejsze nauczanie w liceum.
3 Litera 0 nawiązuje do greckiego słowa © E f i P f A (theoria), a litera A do greckiego słowa A E Q (znaczącego: wiążę, pętam , krępuję, przywiązuję) oraz do A E E M O I (znaczącego: wię zy, również w sensie abstrakcyjnym ).
4 Taką konieczną własnością jest np. przemienność dodawania liczb rzeczywistych. W uję ciu (A ) nie trzeba jednak deklarować, czy jest to część d e f i n i c j i (np. ciała liczb rzeczy wistych) czy też t w i e r d z e n i e jakiejś teorii.
Niejednokrotnie zwracano uwagę na to, że r o z w a ż a n ia d o t y c z ą c e n a tu r y m a t e m a t y k i n ie są j e d y n i e k w e s ti ą fi lo z o fic z n ą . Wiele osób (m. in. Krygowska, Freudenthal, Thorn — cytowani w Semadeni, 2002, s. 42) wyrażało przekona nie, że o b r a z m a t e m a t y k i p r z e k a z y w a n y n a u c z y c i e l o m m a i s t o t n y (często nie
stety negatywny) w p ł y w n a n a u c z a n ie s z k o ln e . Nie pomogą najlepsze progra
my i materiały metodyczne, jeśli nauczyciele, eksperci i rodzice niewłaściwie, jednostronnie pojmują, czym jest matematyka. P o g lą d n a to , c z y m j e s t m a
te m a ty k a , m a w p ł y w n a p og lą d , j a k p o w i n n a b y ć p r e z e n t o w a n a (Hersh, 1979,
s. 33).
Dobry przykład związku między dedukcyjnym obrazem matematyki a rze czywistością szkolną widoczny był w 1976 r., gdy część osób odpowiedzialnych za matematykę w programie tzw. dziesięciolatki argumentowało w sposób sta nowczy, że skoro zadecydowano, by wprowadzić do klasy V twierdzenie Pi tagorasa, to powinny być też jego zastosowania m. in. do obliczania długości przekątnej kwadratu; zatem powinno się wprowadzić \/2, a skoro tak, to w pro gramie powinno być też pojęcie liczby rzeczywistej i liczby niewymiernej (jeden z profesorów domagał się nawet dowodu niewymierności \/2). Gdy ukazał się podręcznik do V klasy próbujący dostosować się do zaleceń nowowprowadza- nego programu, krytykowano autora za zbyt małą ścisłość.
Decyzję o skróceniu nauczania szkolnego z 12 lat do 10 i skomasowaniu materiału podjęły wprawdzie ówczesne władze partyjne, ale ów dedukcyjny wątek był wyrazem przekonania matematyków, że treści matematyczne muszą być „logicznie uporządkowane” . Z hasła „logiczności” wyciągano wniosek, że aby można było mówić o \/2, trzeba koniecznie wcześniej wprowadzić uczniom liczby niewymierne5.
Innym skutkiem monopolu (0 ) jako obrazu matematyki było to, że częs to autorzy podręczników, nauczyciele i ci, co kształcą nauczycieli, za jedyne prawidłowe podejście uznają to, którego sami się kiedyś nauczyli, uważając inne określenia za niewłaściwe lub wręcz błędne (bądź tak to odbierają uczone przez nich osoby).
Co gorsza, zdarzało się, że w imię tak rozumianego ujęcia matematyki nie akceptowano poprawnego rozumowania ucznia lub studenta, jeśli nie mieściło się w sztywnym, wyuczonym schemacie. W publikacjach z dydaktyki matema tyki opisanych jest wiele przykładów takich sytuacji. O jednym z charakterys tycznych nieporozumień pojęciowych wspominamy w przykładzie 5 w 3.1.
Tak więc tradycyjne ujmowanie matematyki wyłącznie w kategoriach (0 )
prowadziło do rozmaitych niekorzystnych zjawisk, które ogólnie określa się jako n a d m i e r n y f o r m a l i z m6 w nauczaniu.
1.2. A by jednak ujęcie (A ) nie spowodowało zaniedbania należytego przed stawiania materiału nauczania, potrzebna jest świadomość jego możliwości i ograniczeń. Przyczynkiem do badania takich zagadnień jest niniejsza praca. Zajmiemy się następującymi kwestiami.
— Wstępne zarysowanie koncepcji k a t e g o r y z a c j i więzów kilku typów. Szczególnie ważne są dla nas te powiązania, w których pojęcia pojawiają się nie pojedynczo, lecz w pewnych specyficznych k o n fig u r a c ja c h . Jeśli dwa człony takiej konfiguracji wyznaczają się kanonicznie, mówimy o w ię z a c h d e t e r m i n u j ą c y c h d w u s t r o n n y c h . Taką konfiguracją jest para relacji < i < w zbiorze
uporządkowanym (przykład 5). Mogą to być bądź p o w i ą z a n i a m i ę d z y id e a m i g ł ę b o k i m i (w lokalnym lub globalnym ujęciu matematyki), bądź p o w ią z a n ia m i ę d z y ic h m o d e l a m i f o r m a l n y m i (por. 2.5).
— Analizowanie innych typów więzów, mających charakter s z e r o k o r o z u m i a n e j r ó w n o w a ż n o ś c i (w różnorodnych sytuacjach) z perspektywy ujęcia (A).
Chodzi nam o próbę pokazania tego, co może kryć się za często spotykanymi zwrotami typu: „to właściwie znaczy to samo” , „różnice między tymi defini cjami są czysto formalne, nieistotne” , „jest to w zasadzie to samo pojęcie” , „m ożna je utożsamić” .
P o d s t a w o w y m c e l e m e d u k a c ji m a t e m a t y c z n e j p o w i n n o b y ć u t w o r z e n i e w u m y ś l e u c z n ia tr w a le j, z r o z u m i a ł e j dla n ie g o s i e c i w z a j e m n y c h p o w i ą z a ń n a j w a ż n i e j s z y c h p o j ę ć . Nie chodzi jednak bynajmniej o to, aby na zajęciach z dy
daktyki używać wprowadzonej w tej pracy terminologii. Nazwy typów l ° -6° wymienione w 2.1 mają jedynie służyć jako n a r z ę d z i a , ułatwiające zrozu mienie różnej natury więzów poszczególnych typów, co z kolei może pom óc w analizowaniu niezmiernie skomplikowanej sieci zależności matematycznych w ujęciu (A).
6 Termin „form alizm ” m oże oznaczać, zależnie od kontekstu: (I) formalizm filozoficzny, będący jednym z głównych prądów filozofii matematyki w X X wieku oraz (II) formalizm
dydaktyczny, będący opisem pewnych tendencji w nauczaniu; w tym drugim sensie używa ła go Krygowska. Te negatywne tendencje były (i są) pewnym odbiciem owego stanowiska filozoficznego, na co zwrócili uwagę m. in. Browder i M ac Lane (1983, s. 371). W nauczaniu szkolnym do wyjątków należało jednak głoszenie tak radykalnych postulatów (np. potrzeby całkowitego odrywania symboli od znaczenia) jak w formalizmie filozoficznym (por. Freu- denthal, 1973, s. 149). W nieco innym znaczeniu słowa „form alizm ” używa Hejny (1997, s. 19): formalizm pojawia się wtedy, gdy fragmenty wiedzy przenikają do pamięci ucznia bezpośrednio z głowy nauczyciela. Hejny podaje cechy wiedzy form alnej ucznia (zwanej również wiedzą bezmyślną, werbalną, okaleczoną).
Przymiotnik „form alistyczny” odnosi się do formalizmu w sensie (I) lub (II); nie należy go odnosić do formalizacji teorii.
Parafrazując powiedzenie Thoma (1974, s. 134), można stwierdzić, że roz patrywane tu więzy to jedynie „grube wiązania” . Bardzo ważne są też subtel niejsze wiązania między pojęciami, wynikające z ich sensu, znaczenia; wymy kają się one jednak wyraźniejszym opisom.
1.3. W rozumowaniach matematycznych stale wykorzystuje się sieć idei głębokich i ich wzajemnych powiązań. W umyśle człowieka sieć ta tworzy się stopniowo, w wyniku wieloletniego procesu rozwoju pojęć matematycznych, który był przedmiotem badań Piageta i wielu innych osób. Najistotniejszą rolę w powstawaniu tej sieci odgrywają: świadome aktywności matematyczne i refleksja nad wykonywanymi czynnościami i otrzymanymi wynikami, rozwią zywanie zadań, proces matematyzowania, wykorzystywanie analogii, dedukcja lokalna, a później fragmenty dedukcji globalnej.
Ujęcie (A ) odpowiada pewnej dojrzałej postaci takiej sieci. Jest ono nie tylko znacznie bliższe — w porównaniu z (©) — temu, co kształtuje się w umyśle ucznia, ale też jest bliskie temu, czym w praktyce posługuje się ma tematyk. Na przykład, niewielu współczesnych matematyków przeszło całą drogę dedukcyjną od aksjomatów geometrii euklidesowej do tych twierdzeń, którymi posługują się na codzień, a jeśli nawet przeszli tę drogę jako studenci, w praktyce nigdy z tego nie korzystają; podobne uwagi dotyczą arytmetyki i algebry na poziomie szkolnym, całki Lebesgue’a względem dowolnej miary itp.
Z drugiej strony ujęcie ( 0 ) — oprócz tego, że jest jednym z najważniejszych rysów charakterystycznych matematyki — odgrywa istotną, bardzo ważną rolę w jej unifikacji. Przyczynia się do tego, że matematyka stanowi dziś jedną całość i nie rozpada się na jakieś niepowiązane strukturalnie dziedziny.
1.4. Z uwagi na przedstawione powyżej założenie badawcze, nie rozpatru jemy tu wielu innych aspektów matematyki, w szczególności tego, co Freu- denthal (1973, s. 114; 1991, s. 14) określał mianem matematyki jako pewnego typu aktywności, chociaż jest to niewątpliwie bardzo ważny punkt widzenia. Z drugiej jednak strony, prowadzone tu rozważania mogą przyczynić się do lepszego zrozumienia zarówno potencjału tkwiącego w takich aktywnościach, jak i ich ograniczeń.
to, co jest wyrażalne w takim języku. Podobne zastrzeżenie czynił Lubomir ski (1983) w odniesieniu do szeroko stosowanego terminu „uogólnienie” . Nie wiadomo, jaka definicja (nawet jeśli dopuści się opisy wieloczłonowe) mogłaby być wystarczająco precyzyjna i zarazem objąć wszystkie przypadki, w których mówi się o uogólnianiu (pojęcia, twierdzenia itp.), tak bardzo różnorodne są te,przypadki, choć każdy z osobna jest dobrze rozumiany przez matematyków.
1.5. W dydaktyce matematyki pierwszej połow y X X wieku (zwłaszcza od czasu reform z kręgu Felixa Kleina) dominowało dążenie do ustrukturyzo- wania wiedzy szkolnej zgodnie z układem dedukcyjnym odpowiednich teorii aksjomatycznych (na wzór wcześniejszego ustrukturyzowania szkolnego kursu geometrii w duchu Euklidesa). Prowadziło to często do swoistych i n w e r s j i d y d a k t y c z n y c h (w terminologii Freudenthala), a mianowicie do prezentowania
materiału w kolejności odwrotnej do tej, do której doszli twórcy danej dziedzi ny, a co najważniejsze — odwrotnej do kolejności optymalnej dla nauczania, niezgodnej z naturalnym rozwojem pojęć matematycznych u uczniów.
W latach sześćdziesiątych, w czasach reform w duchu „nowej matematyki” nastąpiła wprawdzie (zwłaszcza we Francji) istotna zmiana teorii dedukcyj nych, według których zamierzano ustrukturyzować nauczanie (usunięto Eukli desa, wprowadzono elementy teorii mnogości), ale istota inwersji dydaktycznej pozostała w zasadzie niezmieniona.
2. Pojęcie więzów. Rozpatrywane w tej pracy powiązania między poję ciami matematycznymi nazywamy w i ę z a m i 7. Ich sens jest wyjaśniany w dal
szych częściach pracy w kontekście odpowiednio dobranych przykładów. Nie dajemy definicji więzów; można nawet wątpić, czy jakaś w miarę precyzyjna definicja, dobrze pasująca do intuicji tych więzów w różnych dziedzinach ma tematyki, jest w ogóle możliwa.
2.1. Pomimo powyższych zastrzeżeń wyróżnimy kilka typów więzów i wska żemy, na czym polegają różnice między nimi. Nie wyczerpują one wszystkich ważnych typów więzów, bowiem o g r a n i c z a m y s i ę ty lk o d o ta k ic h s y t u a c j i , k tó r e r z u c a ją ś w i a t ł o n a k o n c e p c j ę id e i g łę b o k ic h i n a t r u d n o ś c i z t y m z w ią z a n e .
1° W i ę z y d e t e r m i n u j ą c e d w u s tr o n n e . Chodzi o takie sytuacje, w której
pewne obiekty wyznaczają się wzajemnie: obiekt jednego typu k a n o n i c z n i e w y z n a c z a obiekt drugiego typu i na odwrót (przykłady 1-8 i 10). Chodzi zarówno o pojęcia, które bywają równoważne lub w jakimś sensie bliskie, jak i o takie, które — wręcz przeciwnie - są kontrastujące.
7 W wielu przypadkach więzy te są pewnymi relacjami n-członowyini między rozpatrywa nymi obiektami. Jednakże słowo „relacja” jest w m atem atyce terminem zdefiniowanym i z tego powodu nie byłoby ono stosowne w przypadku więzów, dla których nie ma takiej jednej definicji i które nie zawsze dają się sprowadzić do jakiejś relacji.
Terminu „kanoniczny” nie definiujemy ogólnie. Jest on określany każdo razowo w sposób specyficzny dla rozpatrywanej klasy zagadnień, z zastrzeże niem, że takie kanoniczne przyporządkowanie musi być określone w sposób
n a tu r a ln y i j e d n o l i t y dla c a łe j k la s y r o z w a ż a n y c h z a g a d n ie ń .
2° W i ę z y d e t e r m i n u j ą c e j e d n o s t r o n n e, w których obiekt jednego typu kano
nicznie determinuje obiekt drugiego typu, ale obiekty te nie wyznaczają się wzajemnie, zależność jest jednostronna (przykłady 9-1 1).
Następne trzy typy więzów dotyczą pojęć, które można uznać za równo ważne w jakimś wyróżnionym sensie.
3° W i ę z y s y n o n i m i c z n o ś c i e k s t e n s j o n a l n e j, w których dwa określenia A i B
mają identyczny zbiór desygnatów, tę samą ekstensję (Bocheński, 1992, s. 61; Quine, 2000, s. 50-51 i 161-163), tzn. każdy przedmiot, o którym można praw dziwie orzec, że ma własność A , ma też własność B i na odwrót (przykła
dy 12-13).
4° W i ę z y u t o ż s a m i a n i a p o j ę ć, które formalnie są różne, ale w pewnych sy
tuacjach mogą być używane zamiennie, jedne zamiast drugich, toteż mówimy o możliwości ich utożsamienia (przykłady 15-18).
5° W i ę z y o d p o w i e d n i o ś c i m i ę d z y m o d e l o w e j (gdy pojęcia z jednej teorii
mają swoje odpowiedniki w drugiej, przykłady 19-20).
6° W i ę z y p r z y p o r z ą d k o w a n ia h i e r a r c h i c z n e g o; są to rozmaite zależności
u o g ó l n i e n i a , będące przedmiotem wnikliwej analizy w (Lubomirski, 1983). Nie omawiamy ich w tej pracy; sygnalizujemy je jedynie dla pełniejszego za rysowania zakresu problematyki więzów.
Trzeba wyraźnie podkreślić, że granice pomiędzy typami l° -5 ° są nieostre. Zdarzają się sytuacje, w których dana jest dobrze znana para obiektów P i Q
oraz więzy między nimi, a mimo to rozstrzynięcie, czy zaliczyć je do typu 1°, do 3° czy do 5° zależy od naszej i n t e r p r e t a c j i tej sytuacji. Istotną rolę odgrywa tu język: przejawiamy naturalną tendencję, aby pojęcia, które opisuje się za pom ocą identycznych lub podobnych słów, traktować jako semantycz nie bliższe. Warto w tym kontekście porównać przykład 21 (trójkąty) z przy kładem 1 (okręgi). Z drugiej strony, nie zauważa się czasem bardzo bliskich związków między pojęciami o kontrastujących nazwach.
2.2. Dla uniknięcia nieporozumień warto też podkreślić, że ani związku idei głębokiej obiektu X z jej modelem formalnym, ani odwrotnego związku
modelu z ideą głęboką nie zaliczamy do więzów.
Często natomiast w i ę z y m i ę d z y id e a m i g łę b o k im i m a ją s w o j e o c z y w i s t e o d p o w ie d n ik i n a p o z i o m i e ic h m o d e l i f o r m a l n y c h i n a o d w r ó t (co widać w przy
potrzebne ani staranne odróżnianie terminologiczne tych dwóch poziomów wię zów ani stosowanie odmiennej notacji.
3. W ięzy determinujące dwustronne. Więzy te dotyczą wszelkich sy tuacji, w których w naturalny sposób mamy do czynienia z parami obiektów
A, B wyznaczających się wzajemnie: obiekt A k a n o n i c z n i e w y z n a c z a
obiekt B i na odwrót. Stawiamy przy tym warunek, że oba o b i e k t y s ą o p i s a n e w j ę z y k u t e j s a m e j te o r ii.
3.1. Typowym i przykładami więzów determinujących dwustronnych są: okrąg i odpowiadające mu koło (przykład 1); relacja < i odpowiadająca jej relacja < (przykład 5). Pokażemy też inne przykłady, w których wyróżnione pojęcia zawsze w s p ó ł i s t n i e j ą w pewnych typowych k o n fi g u r a c ja c h: pa rach, trójkach, czwórkach itp.
Przykład 1. Dowolny okrąg (na płaszczyźnie) wyznacza cztery inne figu
ry: odpowiadające mu koło domknięte, odpowiadające mu koło otwarte, po nadto otwarte zewnętrze koła i domknięcie tego zewnętrza. Jeśli zapiszemy definicję każdej z tych pięciu figur geometrycznych w postaci warunku, jaki ma spełniać odległość punktów figury od jej środka, to pojawią się tam re lacje: = r, < r , < r , > r , > r . Jest to przykład konfiguracji pięciu figur i (2) więzów determinujących dwustronnych, kanonicznych, jednakże każde dwie z tych pięciu figur uważamy za istotnie różne. Podobną konfigurację można podać w przypadku elipsy i — ogólniej — w przypadku dowolnej krzywej zamkniętej bez punktów podwójnych (krzywej Jordana).
Przykład2. Średnice sprzężone elipsy — to para średnic (cięciw prze
chodzących przez środek), z których każda przechodzi przez środki cięciw równoległych do drugiej. Powyższy warunek można interpretować jako więzy dwustronne między średnicami: każda średnica wyznacza jednoznacznie swą średnicę sprzężoną.
Przykład3. Niech n będzie liczbą naturalną, n >0. Liczbie tej możemy
przyporządkować pewne obiekty arytmetyczne:
(a) ciąg (0, n), (1, n —1) , . . . , ( n—1,1), (n, 0) wszystkich rozkładów liczby n na
sumę m + k dwóch składników naturalnych,
(b) rozkład liczby n na czynniki pierwsze: n = 2mi 3m2 5ma . . . ( m ,j > 0),
(cq) przedstawienie liczby n w systemie pozycyjnym o podstawie q ( ę >2), tj. w postaci n = co + c^q + . . . + c^qk (0 < Cj < q).
Każdy z wymienionych powyżej obiektów: ciąg (0, n ) , . . . (n, 0), rozkład 2mi3m25m3 ..., przedstawienie pozycyjne przy podstawie q = 2, przedstawienie pozycyjne przy podstawie q — 3 itd. wyznacza liczbę n w sposób wzajemnie jednoznaczny. Mamy tu liczne więzy dwustronne, kanoniczne.
PRZYKŁAD 4. Niech n , m będą liczbami naturalnymi (n > 0, m > 0).
Mówimy, że liczba n jest podzielna przez m, gdy iloraz n : m jest liczbą na
turalną. Liczba n nazywa się wielokrotnością liczby ra, gdy istnieje licz ba naturalna q taka, że n = m q . Między r e l a c j ą podzielności a r e l a c j ą
wielokrotności zachodzą więzy dwustronne: n jest podzielne przez m wtedy i
tylko wtedy, gdy n jest wielokrotnością m. W zasadzie chodzi więc o to samo
zagadnienie, widziane z dwóch różnych stron: w jednej wychodzi się od n i od
próby dzielenia n przez ra, w drugiej wychodzi się od m, po czym sprawdza
się, czy wśród liczb m, 2ra, 3m, ... znajduje się liczba n . W ten sposób dwie
idee głębokie: „podzielność” , „wielokrotność” tworzą razem jedną ideę, obej mującą te dwie i ich wzajemny związek. Jednakże dla wielu uczniów klasy III są to dwa niepowiązane zagadnienia.
Podobny charakter mają więzy między działaniem arytmetycznym a dzia łaniem do niego odwrotnym (lub dwoma działaniami odwrotnymi, jak w przy padku ab, \ /b i loga b). Celem nauczania powinno być docelowe ukształtowanie
idei głębokich nie tylko pojedynczych działań (np. + i —), ale r ó w n i e ż par działań, takich jak para ( + , —). Z tego postulatu bynajmniej jednak nie wy nika — wbrew temu, co głoszono w latach siedemdziesiątych — że należy już na początku „wprowadzać odejmowanie jako działanie odwrotne do dodawa nia” (typowe sformułowanie z programów nauczania). Analogiczne uwagi do tyczą więzów między przekształceniami geometrycznymi (np. przesunięciami) a przekształceniami do nich odwrotnymi.
PRZYKŁAD 5. Idea głęboka ogólnego pojęcia relacji porządku (czyli, w nieco innej terminologii, p o r z ą d k u c z ę ś c i o w e g o) na zbiorze X kształtuje się (w wyniku różnorodnych, świadomych aktywności matematycznych, od przed szkola po uniwersytet) jako s y n t e z a s z c z e g ó l n y c h p r z y p a d k ó w i u o g ó ln ia ją c e j d e fin ic ji a k s jo r n a ty c z n e j. W teorii zbiorów uporządkowanych definiuje się m. in.
sup(a,ó) jako element c spełniający warunki: 1° c > a i c ^ b oraz 2° c jest
najmniejszym elementem spełniającym obie nierówności w 1° (taki element c
nie musi istnieć); dualnie definiuje się inf(a, 6).
Do najważniejszych szczególnych przypadków ogólnego pojęcia relacji po rządku należą:
(a) relacja < (a także relacja > ) dla liczb (np. na zbiorze liczb naturalnych lub zbiorze liczb wymiernych czy rzeczywistych);
(d) relacja zawierania się A d B podzbiorów ustalonego zbioru X , wówczas
sup( A , B ) zbiorów A , B to A U B, a in f( A , B ) to A d \ B .
Do modelu formalnego idei głębokiej „relacja porządku” można dojść dwie ma drogami.
Droga I. Określa się n a j p i e r w relację < , która ma spełniać następujące warunki:
(1) dla dowolnego x E X zachodzi x < x ,
(2) dla dowolnych x € X , y d X , jeśli x < y i y < x , to x = y ,
(3) dla dowolnych x d X , y d X , z d X , jeśli x < y i y < z , to x < z. Następnie definiuje się, w t ó r n i e , relację < (zwaną nierównością o s tr ą lub s i l n ą) warunkiem
(4) x < y wtedy i tylko wtedy, gdy x < y i x ^ y .
Wówczas tak zdefiniowana relacja < na X spełnia warunki
(5) dla dowolnego x d X nie zachodzi x < x ,
(6) dla dowolnych x € X , y d X , jeśli x < y , to nie zachodzi y < x ,
(7) dla dowolnych x d X , y d X , z d X , jeśli x < y i y < z , to x < z .
Droga II. Określa się n a j p i e r w ogólne pojęcie relacji < warunkami (5)—(7), a następnie, w t y m u j ę c i u w t ó r n i e , relację < warunkiem (8) x < y wtedy i tylko wtedy, gdy x < y lub x — y .
Wówczas tak zdefiniowana relacja < na X spełnia warunki (l)-(3 ).
Warunki (4) i (8) wiążące parę relacji < i < na zbiorze X stanowią przykład
w i ę z ó w d e t e r m i n u j ą c y c h d w u s t r o n n y c h . Każda z tych relacji wyznacza drugą
w sposób jednoznaczny i ponadto k a n o n i c z n y dla teorii relacji porządku. Obie te relacje < i < , traktowane jako nieodłączna para, stanowią s tr u k tu rę pewnego porządku na X . T o , k tó r ą z t y c h r e la c ji p r z y j m i e m y za w y j ś c i o w ą , a k tó r ą za w t ó r n ą , j e s t m a t e m a t y c z n i e n i e i s t o t n e . Autor podręcznika może wybrać bądź drogę I, bądź drogę II. Innymi słowy, może zdefiniować ogólne pojęcie relacji porządku, wybierając za punkt wyjścia którąkolwiek z relacji < i < , byleby był w tym konsekwentny i nie powodował zbędnych konfliktów z terminologią innych autorów.
Wprowadzając dodatkowy warunek
(9) dla dowolnych x , y 6 X zachodzi albo x < y , albo y < z , albo x = y ,
określamy strukturę p o r z ą d k u c a łk o w i te g o (zwanego również l i n i o w y m ) 8 .Tutaj również nie jest istotne, od której relacji rozpoczniemy: od < czy od < .
8 Słowo „całkow ity” , pozostające w naturalnej opozycji do słowa „częściowy” , jest trafniej sze od słowa „liniowy”, które wchodzi w kolizję z terminem struktura częściowego porządku
przestrzeni liniowej (np. przestrzeni funkcji ciągłych na przedziale [0,1]).
W dalszym ciągu tych rozważań przyjmujemy, że termin „porządek” bez dodatkowego określenia odnosi się zarówno do porządku częściowego jak i cał kowitego.
W pewnych podręcznikach podawano informację, że w matematyce wyróż nia się t r z y typy relacji porządkujących: relację porządku < , relację porząd ku < i relację częściowego porządku < (z podaniem odpowiednich warunków; kwestia użytych nazw jest tu nieistotna). Niestety, ta k ie u j ę c i e j e s t n ie tr a fn e , m y lą c e , p o w i e r z c h o w n e; jego źródłem jest zapewne to, że w popularnych opra
cowaniach i monografiach dotyczących relacji częściowego porządku operuje się zazwyczaj relacją < , tj. wybiera się drogę I (na poziomie uniwersyteckim znak < bywa używany częściej niż znak < ), natomiast w nauczaniu szkolnym wcześniej pojawiają się znaki < i > , a dopiero znacznie później znaki < i > .
W rzeczywistości mamy dwa podstawowe typy struktur matematycznych: porządku częściowego i porządku całkowitego, a każdy z tych dwóch typów określony jest przez parę relacji: < i < . Świadomość tych więzów determi nujących dwustronnych jest istotna dla właściwego rozumienia podstawowych pojęć teorii zbiorów uporządkowanych.
Powinno się więc mówić bądź o c z t e r e c h typach relacji i o związanych z nimi czterema ideami głębokimi, bądź o d w ó c h istotnie różnych pojęciach (i ideach głębokich): strukturze porządku częściowego i strukturze porządku całkowitego. Każda z tych dwóch struktur może być wprowadzona zarówno poprzez relację < jak i poprzez < . W ybór między nimi jest kwestią drugo rzędną. Natomiast mówienie o trzech typach relacji zniekształca obraz całości. Pouczające jest to, że oprócz powyżej rozważanej pary < i < można też rozważać zupełnie inne pary wywodzące się z danej relacji porządku < , przy czym również mamy do czynienia z więzami determinującymi dwustronnymi i kanonicznymi. Jedną z nich jest para: porządek < wraz z p o r z ą d k i e m o d w r o t n y m <*, określonym zależnością: x ^ * y wtedy i tylko wtedy, gdy y K x .
Innymi słowy, bierzemy wykres relacji, tj. zbiór par { ( x , y ) : x < y } i zamienia my wszystkie pary ( x , y ) na ( y , x ) (por. Mostowski, 1948, s. 119). Na przykład,
jeśli < jest relacją jednego z dwóch naturalnych porządków punktów prostej na płaszczyźnie euklidesowej, to <* jest porządkiem przeciwnym.
Inny charakter ma n e g a c ja relacji < , a mianowicie relacja W przypad ku porządku całkowitego negacja relacji < daje relację > , jednakże w ogól nym przypadku ^ jest relacją różną od pozostałych tu omawianych (np. jeśli zdefiniujemy relację porządku na zbiorze {1 ,2 , . . . } jako relację podzielności, fo jej negacja będzie relacją „niepodzielności” ).
nimi liczne więzy determinujące, dwustronne, kanoniczne9.
Pr z y k ł a d 6. Niech U będzie dowolnym ustalonym u n i w e r s u m (zależnym
od rozpatrywanej teorii). Uniwersum tym może być np. zbiór IR wszystkich liczb rzeczywistych, a w geometrii — zbiór wszystkich punktów płaszczyzny (lub przestrzeni). Operacja dopełniania dowolnemu podzbiorowi A tego uni
wersum przyporządkowuje zbiór A ! określony jako U \ A .
Związek między A i A 'jest przykładem więzów determinujących dwustron nych, z którego wywodzi się wiele innych więzów, np. koło i jego zewnętrze (przykład 1), relacja < i jej negacja fĆ (przykład 5) oraz sieć kwadratowa i jej dopełnienie (przykład 22).
Pr z y k ł a d 7 . Rozpatrujemy ustaloną przestrzeń X i jej podzbiór A C X . Funkcja charakterystyczna zbioru A jest określona wzorem x a(%) — 1 dla
x G A i Xa (x) = 0 dla x A . Między podzbiorami przestrzeni X a ich funk cjami charakterystycznymi mamy kanoniczną odpowiedniość wzajemnie jed noznaczną A —>x a' są to więzy determinujące dwustronne. Z uwagi na związi
ki takie jak x a h b(x) = Xa(x)x b(x) oraz XAf(x) = 1 - Xa(x), wiele kwestii
dotyczących zbiorów da się przełożyć na język ich funkcji charakterystycznych. Więzy między A i x a mają szczególne znaczenie w przypadku, gdy X jest
zbiorem skończonym. Wówczas x a można interpretować jako z a k o d o w a n ie w
postaci ciągu zer i jedynek dowolnego podzbioru A zbioru X . Tego typu kody
mają podstawowe znaczenie w informatyce. Są częścią ogólniejszej metody kodowania, którą w poszczególnych przypadkach można interpretować jako tworzenie f o r m a l n y c h m o d e li id e i g łę b o k ic h w s y s t e m a c h z e r i j e d y n e k .
3.2. W każdym z rozpatrywanych powyżej przykładów indywidualną ideę głęboką może być z jednej strony każdy o s o b n y c z ł o n rozpatrywanej konfi guracji jak i c a ł a k o n f i g u r a c j a z więzami determinującymi dwustronnymi i kanonicznymi. W przykładzie 1 można więc mówić zarówno o pięciu ideach głębokich figur: okrąg, koło domknięte, koło otwarte, otwarte zewnętrze koła, domknięcie tego zewnętrza, ale także o idei głębokiej konfiguracji tych pięciu figur i więzów między nimi. Należy przy tym podkreślić, że te idee głębokie, ukształtowane zapewne u każdego matematyka i u wielu licealistów, nie wy
9 Nawiązując do programu erlangeńskiego Kleina, warto postawić kwestię niezmienniczoś- ci tych więzów względem odpowiednich grup przekształceń. Rozpatrując dowolną bijekcję X —> Y (wzajemnie jednoznaczne przyporządkowanie z X na Y ) , z łatwością stwierdzamy, że więzy między < i ^ w X transformują się na odpowiadające więzy między relacjami < i ^ w Y . Również więzy między < i ^ w X indukują odpowiadające więzy w dowolnym podzbiorze X o zbioru A'. M ożna także kanonicznie rozszerzyć te więzy z A' do dowolnego nadzbioru Z zbioru A', przyjmując, że jeśli z i € Z \ X lub Z2 G Z \ X , to relacja z\ < Z2 nie zachodzi. Jednakże taki w y m ó g n i e z m i e n n i c z o ś c i (jakkolwiek niezbędny) j e s t za s l a b y ; dla kanoniczności więzów konieczne są silniejsze warunki.
magają ani wyróżnienia explicite tej konfiguracji, ani wyróżnienia wszystkich więzów, ani tym bardziej jakichkolwiek nazw. Tkwi to głęboko w myśleniu takiej osoby i ujawnia się, gdy jest to do czegoś potrzebne.
Idea głęboką konfiguracji obiektów powiązanych więzami determinującymi dwustronnymi jest nadrzędna w stosunku do idei głębokich poszczególnych członów konfiguracji, zawiera je wszystkie.
Przykład 8. Idea głęboka prawdopodobieństwa kształtuje się jako syn
teza aspektu aleatorycznego (częstościowego) z poczuciem symetrii i równości szans oraz z doświadczeniami związanymi z sytuacjami losowymi i oblicze niami. Rozpatrzymy szczególny przypadek modelu formalnego tego pojęcia, zakładając, że zbiór Q = { u ą , ^ , • • • } jest skończony lub przeliczalny. Praw dopodobieństwo na Q można określić bądź przez podanie P ( A ) dla każdego A c f l tak, by spełnione były zwykłe aksjomaty, bądź przez podanie ciągu liczb (!0) (p i,P2,..*)> Pj > o, E P j = U
gdzie pj oznacza prawdopodobieństwo zdarzenia elementarnego ujj. Mamy tu więzy dwustronne, bowiem funkcja P i ciąg (pj) wyznaczają się kanonicznie: Pi = A Ł A ) , P ( A ) = Ew. ,(=aPj• Genetycznie wcześniejsze jest ujęcie (10). Oba są nieodzownymi składnikami idei głębokiej prawdopodobieństwa w przy padku O skończonego lub przeliczalnego. Jednakże takiego związku nie ma w przypadku, gdy Q jest zbiorem nieprzeliczalnym (np. dla prawdopodobieństw geometrycznych zachodzi P (oj) = 0 dla każdego uieQ). Z tego powodu warunki, które ma spełniać P , nazywane są „aksjomatami” , a warunki (10) dotyczące Pj zwane są „założeniami” .
4. W ięzy determinujące jednostronne. Są to więzy między pojęciami takie, że P wyznacza kanonicznie Q , ale Q nie wyznacza P; zapisujemy to jako P ^ Q .
Przykład 9. Dowolny łuk okręgu wyznacza jednoznacznie cały okrąg,
w którym się zawiera. Okrąg ten nie wyznacza jednak luku. Jest to przykład więzów determinujących jednostronnych.
Przykład 10. Wielomian f ( z ) = ao + •.. + anz n o współczynnikach ze
spolonych (an ^ 0) wyznacza jednoznacznie parę { an, [ z i , . . . , zn]}, w której symbol [z\_,. . . , zn] oznacza układ pierwiastków z \,. . . , z n tego wielomianu
1 jest zarazem wyznaczony przez tę parę wzorem
f ( z ) = a0 + . . . + anzn = an(z - z \) . . . (z - zn).
324 Zb i g n i e w Se m a d e n i
Przyjmijmy dla uproszczenia, że an = 1. Wówczas odpowiedniość między wielomianem / a układem [z\,... , z n] daje więzy dwustronne, kanoniczne. Gdyby zamiast [z\,. . . , zn] wziąć zbiór { z \, . . . , zn} lub ciąg (z\, . . . , zn), więzy byłyby jednostronne: (zu . . . , z n) ^ / oraz / ^ {21, . . . , zn}.
Myśląc o wzajemnie jednoznacznym związku między wielomianem / a pier wiastkami z \, . . . , z n, używamy — na ogól nieświadomie — idei głębokiej
„układ” (Semadeni, 2002, s. 78). Co więcej, można wprawdzie łatwo skon struować jakieś modele formalne tej idei (np. jako klasy abstrakcji ciągów względem relacji równoważności ciągów spermutowanych lub jako funkcję, któ ra każdemu pierwiastkowi przyporządkowuje jego krotność), ale w praktyce z żadnego z nich się nie korzysta, bowiem zaciemniłoby to raczej kwestię zamiast ją wyjaśniać.
P R Z Y K Ł A D 11. Oczywiste więzy determinujące dwustronne łączą trzy figu ry: o d c in e k otwarty o końcach A, B\ odcinek domknięty AB\ nieuporządkowa na para punktów {A, B } , gdzie A ^ B. Natomiast więzy między parą uporząd kowaną (A , B ) (identyfikowaną z wektorem umiejscowionym A B ) a odcin kiem A B są jednostronne.
Innymi przykładami więzów jednostronnych są:
— odcinek na płaszczyźnie wyznacza jednoznacznie prostą; — okrąg w przestrzeni wyznacza płaszczyznę, w której leży;
— wartości funkcji analitycznej w dowolnie małym otoczeniu jakiejkolwiek liczby zespolonej zq wyznaczają całą funkcję (Leja, 1957, V I.§3);
— podzbiór A przestrzeni metrycznej wyznacza swoje domknięcie A.
Więzy determinujące jednostronne mają zupełnie inny charakter niż więzy determinujące dwustronne. Wymieniamy je tu dla ich skontrastowania.
W charakterze dygresji zwróćmy uwagę na to, że wyżej wspomniane więzy dotyczące funkcji analitycznych mają swoje odbicie w innego rodzaju związ kach, a mianowicie w schemacie hylemorficznym10 matematyki, który propa gował Rene Thom (1997). Na schematycznym diagramie rozmieścił on główne dziedziny matematyki nie tylko wzdłuż często rozważanej osi: dyskretne - ciąg łe, lecz również wzdłuż prostopadłej osi dotyczącej typu generatywności, prze suwając się od generatywności wolnej, poprzez związaną do wymuszonej.
10 Termin „hylernorficzny” odwołuje się do tradycji arystotelesowskiej. Greckie hyle to
materia, a morphe to form a, razem stanowiące pierwsze składniki bytu (Hartm an, 2004, s. 159). Materia nieokreślona (h yle), przyjmując formę, staje się substancją. Nieco inną pi sownię „hylomorficzny” m ożna znaleźć w (Blackburn, 2004), a sama koncepcja przypisana jest św. Tomaszowi z Akwinu, komentującemu Arystotelesa.
W tym ujęciu funkcje analityczne lokują się po stronie zagadnień c ią g ły c h
i generatywności w y m u s z o n y c h11. Thom (1997, s. 106) porównał wymuszoną generatywność funkcji analitycznych do tego, że szkielet zwierzęcia może być zrekonstruowany z pojedynczej kości, a to z kolei wskazuje na bliski związek tego z rozważaniami dotyczącymi pojęcia struktury (van Hiele, 2003, s. 198).
Zdaniem Thoma, to hylemorficzne podejście jest trafne również w przy padku matematyki (choć wiele osób głosiło odmienną opinię, argumentując, że matematyka to w y ł ą c z n i e odpowiednik arystotelesowskiej f o r m y ) . Na przykład, w ujęciu hylemorhcznym Thoma zbioru N liczb naturalnych za „materię” uważa się liczby naturalne, „formą” zaś jest operacja następnika
n i ► n +1; z kolei przejście od liczb rzeczywistych do zespolonych wymaga
z a a n g a ż o w a n ia o n t o l o g i c z n e g o, „stworzenia nowej materii” , a mianowicie liczb i oraz — i. Idąc dalej tropem Thoma, można by rozwijać koncepcję, że m a te r i ą m a t e m a t y k i są id e e g łę b o k ie p o j ę ć , a formą — w i ę z y m i ę d z y n im i.
5. W ięzy synonimiczności ekstensjonalnej. Są to dobrze znane więzy łączące pojęcia, które określone są wprawdzie przez różne warunki p , q, ale jeśli jakiś obiekt spełnia warunek p , to spełnia też q, i na odwrót. Innymi słowy,
chodzi o r ó w n o w a ż n e d e fi n i c je te g o s a m e g o p o ję c ia . Terminu „więzy” używamy tu w celu skontrastowania ich z innymi typami więzów i zwrócenia uwagi na pewne aspekty powiązań sieci pojęciowej matematyki.
Pr z y k ł a d 12. Rozpatrzmy dowolny odcinek A B na płaszczyźnie euklide- sowej. Symetralna tego odcinka może być zdefiniowana na dwa sposoby:
(a) symetralna to zbiór S wszystkich punktów równoodległych od A i od B; (b) symetralna to prosta T prostopadła do A B , przechodząca przez środek tego odcinka.
Wiadomo, że są to równoważne definicje tego samego obiektu. W takim przypadku mówimy o w ię z a c h s y n o n i m i c z n o ś c i e k s t e n s j o n a l n e j: określenia (a)
i (b) mają ten sam z a k r e s, czyli tę samą d e n o t a c j ę , to samo e x t e n s i o , tzn. zbiór S jest równy zbiorowi T (dla dowolnego odcinka A B ), a także funkcja { A , B ) ^ > S jest identyczna z funkcją ( A , B ) —*T, chociaż S i T są określone przez różne warunki, a więc, zgodnie z tradycyjnym podejściem logiki klas, mają różną tr e ś ć , różne i n t e n s i o (Bocheński, 1992, s. 61-62). Pamiętać należy
— w omawianym tu kontekście — o potrzebie odróżniania e x t e n s i o od i n t e n s i o
(lub, w innej terminologii, odróżniania d e n o t a c j i od k o n o t a c j i, Quine, 2000, 11
s. 51) oraz odróżniania oznaczania od znaczenia (Quine, 2000, s. 161; Bocheń ski, 1992, s. 61). Współcześni matematycy mają jednak wyraźną skłonność do sklejania pojęć „zbiór” i „klasa” oraz identyfikowania treści z zakresem (por. Mostowski, 1948, s. 83).
W przykładzie 4 więzy między podzielnością a wielokrotnością zostały za liczone do typu 1° (więzów determinujących dwustronnych). Gdyby jednak wziąć pod uwagę zbiór par (n, m) liczb naturalnych (n > 0, m > 0) takich, że n jest podzielne przez m, i analogiczny zbiór par (n, m) takich, że n jest wie lokrotnością liczby m, to zbiory te są równe, pojęcia te mają ten sam zakres. Można by więc mówić tu też o więzach synonimiczności ekstensjonalnej.
P R Z Y K Ł A D 13. Twierdzenie Talesa można interpretować jako ekstensjo- nalną synonimiczność obiektów postaci „para prostych równoległych (£1,^2)” (gdzie £ 1 7^ £2), określonych na dwa sposoby: (a) za pom ocą standardowego warunku £\ Pi ^2 = 0; (b) przez odpowiednie proporcje między odcinkami po wstającymi przy przecinaniu £\ i £ 2 ramionami dowolnego kąta. Interpretacji (b) jako alternatywnej definicji równoległości nie podważa fakt, że w praktyce nie podaje się takiej definicji (uważa się to za twierdzenie).
Pr z y k ł a d 14. Rozpatrujemy trzy klasy funkcji: 1° funkcje ax (a > 0), określone w zwykły sposób, tj. przez kolejne rozszerzenia definicji od an po przez a~n, a ń , a^~, aw {w wymierne) do ax (x rzeczywiste); 2° ciągłe rozwiąza nia równania funkcyjnego f { x + y ) = f ( x ) f ( y ) \ 3° rozwiązania równania róż niczkowego y' — cy (c 0) z warunkiem początkowym / ( 0 ) = 1. Wiadomo, że te trzy definicje wyznaczają tę samą klasę: funkcji wykładniczych. Są to więzy synonimiczności ekstensjonalnej.
Można zawęzić tę klasę, przyjmując w 1°, że a = lim (l + -£)n. Wówczas w 2° trzeba dołożyć np. warunek, że wykres funkcji / przecina oś y pod ką tem 45°, a w 3° trzeba dodać warunek c = 1. Definiowana klasa redukuje się do jednej funkcji ex. Można też przyjąć określenie: 4° f ( x ) = n P
Więzy te mają znaczenie dydaktyczne, pokazują bowiem, że tradycyjna droga definiowania ax i ex nie jest jedyna. Atrakcyjne jest np. określanie ex jako jedynej funkcji wykładniczej przecinającej oś y pod kątem 45°, co intuicyjnie daje się motywować tym, że kąt ten jest większy od 45° dla a = 2 i mniejszy od 45° dla a = 3, a ponadto, gdy a rośnie od 2 do 3, wykres staje się coraz bardziej strom y12. Pozwala to uniknąć wikłania się w trudną definicję liczby e
12 Zwolennik formalizmu w nauczaniu może zakwestionować to podejście jako nieścisłe. W kwestiach dydaktycznych nie to jest jednak najważniejsze, by wykładowca (lub podręcz nik) przedstawił ścisłe rozumowanie, lecz to, ile zrozumie student. Przecież klasyczną drogę definiowania funkcji wykładniczej (wymienioną w 1°) i tak z reguły objaśnia się (w pod ręcznikach i na wykładach) jedynie szkicowo, bowiem precyzyjne udowodnienie wszystkich lematów wym agałoby zbyt wiele miejsca bądź czasu.
jako lim (l + ^ )n i uwypukla ważną własność funkcji ex , która wyróżnia ją wśród funkcji wykładniczych.
Takie wielostronne ujęcie jest też dydaktycznie istotne na studiach wyż szych: pokazuje, że do pojęcia funkcji ex wiodą różne drogi (zresztą w dziedzi nie zespolonej porzucenie drogi 1° na rzecz 4° i tak jest nieodzowne).
Analizowany tu przykład pozwala na jeszcze jedną, bardzo interesującą obserwację. Otóż gdy mówiliśmy powyżej o wszystkich rozwiązaniach cią głych równania funkcyjnego f ( x + y ) = f ( x ) f ( y ) , narzucała się interpretacja: „otrzymujemy k l a s ę tych rozwiązań” , gdy zaś do tego równania funkcyjnego dołożyliśmy jeszcze warunek / (1) = e , to spontanicznie narzucała się interpre tacja: „otrzymujemy jedną z możliwych definicji p o j e d y n c z e j funkcji ex . Gdyby chcieć ująć f o r m a l n i e oba te stwierdzenia, należałoby uznać, że w tym drugim przypadku interpretacja jest niewłaściwa. Jedne i drugie warunki należy przecież traktować jednakowo, a zatem te drugie warunki nie określają jednej funkcji / , lecz k l a s ę jednoelementową { / } .
Tę niezgodność między zwykłym rozumowaniem matematyka a ujęciem formalnym można wyjaśnić następująco: gdy w rozumowaniu opieramy się na ideach głębokich, nie analizujemy precyzyjnie logicznej struktury zdania, lecz nadajemy mu jakąś, najbardziej w danej sytuacji sensowną treść matema tyczną^ . W omawianym przykładzie sens był wyraźny: jedyną funkcją ciągłą spełniającą warunki f { x + y ) = f ( x ) f ( y ) i / ( l) = e jest funkcja f { x ) = ex ; w takiej sytuacji nie zwraca się uwagi na to, czy chodzi o pojedynczą funk cję / czy o zbiór jednoelementowy { / } . Różnica ta staje się istotna dopiero wtedy, gdy przechodzi się do modeli formalnych w teorii mnogości.
Istotne jest to, że wyboru jednego z możliwych sensów wypowiedzi umysł na ogól dokonuje spontanicznie. W omawianym przykładzie górę bierze spon taniczna interpretacja, że chodzi o pojedynczą funkcję ex .
W tym kontekście należy rozróżnić dwa znaczenia słowa „logiczny” . Jeśli sens wypowiedzi (usłyszanej lub przeczytanej, zawierającej słowa i/lu b sym bole) nie jest od razu jasny, umysł dokonuje ś w i a d o m e g o poszukiwania matematycznego sensu wypowiedzi, ale bez formalnego analizowania sposobu, w jaki wypowiedź ta została skonstruowana. Tak więc, jeśli zdanie nie zostanie od razu zrozumiane lub sprawia kłopoty interpretacyjne, umysł zaczyna jego logiczne analizowanie. Słowo „logiczne” należy rozumieć tu w sensie p o t o c z ny m, a także w sensie z w y k ł e j p r a k t y k i rozumującego matematyka; nie oznacza to na tym etapie stosowania aparatu logiki matematycznej. Jeśli taka 13
zwykła analiza okaże się nieskuteczna, matematyk może próbować podejść do wypowiedzi w sposób bardziej formalny, analizując jej reprezentację po wierzchniową lub np. używając tautologii logicznych.
6. W ięzy utożsamiania pojęć. O więzach tych zakładamy, że (a) doty czą pojęć X , X ' z tej samej teorii, (b) pojęcia X , X ' mogą być utożsamione w jakimś wyróżnionym sensie, w odpowiednim kontekście.
Pr z y k ł a d 15. Izometrię figur F ,G na płaszczyźnie można interpre tować dwojako: a) jako izometrię p o : F ^ G figury F na figurę G; b) jako izometrię p : E 2 —>• E 2 całej płaszczyzny na siebie taką, że p ( F ) — G. Załóżmy, że figura F zawiera trzy punkty nie leżące na jednej prostej. Wówczas prze kształcenie p o wyznacza kanonicznie ip i na odwrót. Jakkolwiek formalnie po i ip są dwoma różnymi obiektami (po to obcięcie przekształcenia <p do podzbio ru F) , każde z tych przekształceń może być zastąpione przez drugie i w takim zakresie są równoważne; można nawet w ogóle nie zastanawiać się, którego z nich używamy.
Należy przy tym mieć na uwadze, że dla uczniów izometria p jest pojęciowo znacznie trudniejsza od p o , bowiem w przypadku np. obrotu figury ograniczo nej F wystarczy myśleć tylko o punktach figury, podczas gdy p to zarazem obrót całej płaszczyzny, wszystkich jej punktów, w tym również bardzo odleg łych od rozważanych figur.
Jakkolwiek mamy tu parę po, p z więzami dwustronnymi i zasadne byłoby zaliczenie tego do typu 1°, jednakże pojęcia po i p są tak bliskie w prakty ce matematycznej, że mogą być traktowane zamiennie i dlatego omawiamy je wśród przykładów typu 4°.
Pr z y k ł a d 16. Ciąg (an) liczb rzeczywistych (n = 0 , 1 , 2 , . . . ) może być reprezentowany przez swój wykres w prostokątnym układzie współrzędnych, a mianowicie przez zbiór punktów a = {(n, an) : n = 0 , 1 , 2 , . . . }. Możemy też ciągowi temu przyporządkować funkcję a : [0, oo) —> ( —00,00), której wykres powstaje przez dołączenie poziomego odcinka { ( x , a n) : n < x < n-\-1} do każ dego punktu (n , an) zbioru a. Otrzymujemy w ten sposób wykres funkcji a prawostronnie ciągłej, przedziałami stałej, dającej dobrą reprezentację wi zualną ciągu (an), nieraz lepszą niż zbiór a, choć na ogół czyni się z tego niewielki użytek. Dobrze znany jest tylko jeden szczególny przypadek: jeśli tę konstrukcję zastosujemy do ciągu an = n, otrzymamy wykres funkcji E ( x) ( entier, czyli cecha, część całkowita liczby x).
Wykresy a i d są dwoma modelami formalnymi idei głębokiej ciągu (an). Więzy między nimi są determinujące, dwustronne, kanoniczne; co więcej, a i a są bardzo bliskie dzięki możliwości zastąpienia ci przez a w rozmaitych konteks tach, w szczególności 0a,j = /Qn+1 a(x) dx. Właśnie ta równość sprawia, że
funkcja a bywa bardzo użyteczna, m. in. odgrywa naturalną rolę w dowodzie kryterium całkowego zbieżności szeregu14.
P R Z Y K Ł A D 17. Pokażemy teraz sytuację utożsamiania lokalnego, które nie jest globalne: wektor swobodny często utożsamia się z p r z e s u n i ę c i e m o ten wektor, a z drugiej strony każdy wektor można w naturalny sposób utoż samić z p u n k t e m mającym te same współrzędne (standardowa praktyka w geometrii analitycznej i w mechanice)15. Jednakże trudne do zaakceptowania byłoby utożsamienie punktów z przesunięciami. Wynika stąd, że to u t o ż s a m i e n ie n ie j e s t p r z e c h o d n ie i musi mieć więc charakter l o k a l n y , m u s i o g r a n ic z a ć s ię d o p e w n e g o ty lk o z a k r e s u z a g a d n i e ń, do pewnych określonych sytuacji.
Przykład 18. Rozpatrzmy pojęcie funkcji zmiennej rzeczywistej. Dla
ustalenia uwagi przyjmijmy, że jest to funkcja sinus, określona na przedziale (—00,00). W wielu zagadnieniach można z id e n t y f i k o w a ć (czyli, w innej ter
minologii, u t o ż s a m i ć) funkcję z jej wykresem. W bardziej radykalnym ujęciu
d e f i n i u j e s i ę pojęcie funkcji j a k o b ę d ą c e t y m s a m y m co zbiór par spełniających znane warunki; problem ten był dyskutowany w wielu publika cjach. Innymi słowy, deklaruje się przejście od typu 4° do typu 3°. W szcze gólności funkcję sinus można utożsamić z sinusoidą
(1 1) { ( x, s i nx) : x 6 R }.
W innych rozważaniach sinusoida (1 1) bywa traktowana jako figura geome tryczna. Zestawiając te dwa fakty, należy stwierdzić, że utożsamienie funkcji z jej wykresem musi być stosowane l o k a l n i e , w ramach jakiegoś ujęcia teorii. W przeciwnym bowiem razie musielibyśmy zaakceptować równoważność po jęć „funkcja” i „figura geometryczna” . Słynne zdanie Poincarego (1911, s. 20)
„ M a t e m a t y k a j e s t s z tu k ą n a d a w a n ia t e j s a m e j n a z w y r ó ż n y m r z e c z o m” nie zna
czy, że można dowolnie używać tej samej nazwy w różnych sytuacjach. U t o ż s a m ie n ia fu n k c j i z ic h w y k r e s a m i n ie m o ż n a tr a k to w a ć g lo b a ln ie (tzn. obejmując
tym całą matematykę). Nie są to pojęcia w pełni wymienne, bowiem „przy porządkowanie” i „figura geometryczna” mają istotnie różny s ens .
7. W ięzy odpowiedniości między modelowej. Są to więzy między róż nymi modelami formalnymi tej samej idei głębokiej.
Przykład 19. Jeśli x oznacza dowolną liczbę rzeczywistą, niech x c
oznacza jej model formalny w teorii Cantora (odpowiedni zbiór ciągów Cau- chy’ego liczb wymiernych) i niech x p oznacza jej przekrój Dedekinda (zbioru
14 Kryterium to brzmi: jeśli funkcja / jest dodatnia i malejąca na przedziale [l,o o ) oraz
an = f ( n ) , to szereg an jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy całka f f ° f ( x ) d x jest zbieżna, np. z tego, że f f ^ = ln x i lim Ina: = oo, wynika rozbieżność szeregu
^ 1,1 1 X — ► OO
Zbigniew Semadeni
330
liczb wymiernych). Przyporządkowania x c •—> x d i x o x c między x c a xd
są przykładem więzów odpowiedniości międzymodelowej.
Różnica między obu tymi teoriami liczb rzeczywistych staje się bardziej wyrazista, gdy uwzględnimy więzy przyporządkowania hierarchicznego każdej z nich: teoria Cantora ma ważne uogólnienie metryczne (uzupełnianie prze strzeni metrycznych), a teoria Dedekinda ma mniej znane uogólnienie: uzu pełnianie zbioru uporządkowanego, tj. zanurzanie go w zbiór uporządkowany zupełny w sensie porządkowym, tzn. taki, że każdy zbiór ograniczony w sensie porządkowym ma supremum i infimum (Birkhoff, 1948, Chapter IV, §7).
Gdy rozpatrujemy więzy (któregokolwiek z rozpatrywanych tu typów) mię dzy obiektem P i obiektem Q, nasuwa się naturalne pytanie: Czy mamy tu do czynienia z dwiema ideami głębokimi epistemicznymi obiektów P i Q, czy też z jedną ideą głęboką obejmującą zarówno P jak i Q ? Otóż w przypadku wielu matematycznie ważnych pojęć powinniśmy rozpatrywać zarówno dwie o d d z i e l n e idee głębokie P i Q jak i pojedynczą ideę głęboką ich syntezy, odpowiadającą obu obiektom P i Q ujmowanym ł ą c z n i e (por. 3.2).
Szczególnie wyraźnie widać to na przykładzie więzów między x c a x p . Z jednej strony mamy jedną ideę głęboką liczby rzeczywistej x , której mode lami formalnymi są xq i X]j. Z drugiej strony, więzy hierarchiczne wiążące x c z teorią przestrzeni metrycznych i więzy x p z teorią przestrzeni uporządkowa nych ukazują nową sieć związków nie tylko owych modeli z odpowiadającymi im teoriami, ale też idei głębokiej liczby rzeczywistej z ideami głębokimi: prze strzeni metrycznej i zbioru uporządkowanego. Model formalny x c idei głę bokiej pojęcia liczby rzeczywistej x może sam ukształtować się jako indy widualna idea głęboka, jeśli dana osoba dostatecznie długo będzie się nim zajmować w perspektywie uzupełniania przestrzeni metrycznych; analogiczna uwaga dotyczy xę> i przestrzeni uporządkowanych.
Przykład 20. Ciało zbiorów to dowolna rodzina A podzbiorów przestrze
ni X , spełniająca następujące warunki16: (a) suma i część wspólna zbiorów należących do A należy do A ; (b) zbiór pusty i przestrzeń X należą do A ; (c) jeśli jakiś zbiór E należy do A , to jego dopełnienie X \ E też należy do A . W takim przypadku również różnica E \F i różnica symetryczna E —F zbio rów z A należą do A ; przypominamy, że różnicę symetryczną zbiorów E i F określa się wzorem E —F = (E \ F ) U (F \ E ) = (E U F )\ (E fi F ).
Różnica symetryczna — jest oczywiście działaniem przemiennym. Okazuje się, że jest też działaniem łącznym, co najłatwiej można sprawdzić, rozpatrując działanie n-argumentowe różnicy sym etrycznej n zbiorów E \ , . . . , E n. Otóż
zbiór E \ — — E n może być określony jest jako zbiór tych elementów, któ
re należą do n i e p a r z y s t e j liczby zbiorów E \, . . . , E n. W szczególności dla
n = 3 zbiór E — F — G składa się z tych elementów, które należą do dokład
nie jednego ze zbiorów E , F , G lub do wszystkich trzech. To, że trzy zbio
ry: E — F — G, ( E — F ) — G , E — ( F — G ) są identyczne, najłatwiej sprawdzić, używając koniczynki trójlistnej (której uogólnienie analizował Nowicki, 1975).
Ciało zbiorów A z działaniem różnicy symetrycznej — stanowi g r u p ę a b e l o w ą ; elementem neutralnym jest zbiór pusty, a elementem przeciwnym do E jest też E , bowiem E — E = 0. Okazuje się również, że rodzina A z dzia
łaniami — i O tw orzy p i e r ś c i e ń p r z e m i e n n y z jednością, idempotentny, tzn. E O E = E dla dowolnego E 6 A.
Idea głęboka algebra Boole’a powstaje jako w s p ó ln e a k s j o m a t y c z n e u o g ó l n i e n ie d w ó c h p o d s t a w o w y c h p r z y k ł a d ó w ta k ich a lg eb r. Tymi nieodzownymi
przykładami są: 1° ciała zbiorów oraz 2° pewne a lg e b r y z w ią z a n e z r a c h u n k ie m z d a ń i r a c h u n k ie m k w a n ty fik a to r ó w , w których działaniami są: koniunkcja A,
alternatywa V i negacja -i. Ważnym przykładem algebry Boole’a, który jednak może n ie b y ć składnikiem omawianej idei głębokiej, jest klasa wszystkich wyrażeń p dowolnej teorii sformalizowanej T (opartej na logice dwuwartościo-
wej); wyrażenia p i q uważa się za równoważne, jeśli formuła „p wtedy i tylko
wtedy gdy q ” jest twierdzeniem tej teorii (działaniami są A, V i -n w algebrze ilorazowej). Bardziej zaawansowane przykłady podaje (Birkhoff, 1948, Chap ter X §2). Innym przykładem jest algebra ilorazowa podzbiorów borelowskich (np. odcinka [0,1]), gdy utożsamimy zbiory miary Lebesgue’a zero. W po czątkowym okresie produkowania komputerów głośnym przykładem była al gebra K sieci elektrycznych E złożonych z przewodów i wyłączników, z dwoma
otwartymi końcami, z działaniami: operacją połączenia szeregowego i operacją połączenia równoległego17. Jest ona opisana w (Mostowski, 1948, s. 104).
Modele formalne algebr Boole’a można definiować w ramach różnych teo rii. W każdym ujęciu przez abstrakcyjną a lg eb rę B o o l e ’a (która nie musi być
rodziną podzbiorów jakiejś przestrzeni) rozumiemy dowolny zbiór A z dodat kową strukturą, zdefiniowaną aksjornatycznie. Otóż — i to jest celem tego przykładu — ową strukturę można wyrazić w językach trzech różnych teorii.
W pierwszym z możliwych ujęć (Rasiowa, 1968, s. 278; Białynicki-Birula, 1987, s. 19) algebra Boole’a to zbiór A ze strukturą Si dwóch działań
