Oscylator harmoniczny

(1)

Karol Kołodziej Instytut Fizyki Uniwersytet Śląski, Katowice

http://kk.us.edu.pl 29 kwietnia 2020

(2)

Najprostszy przykład jednowymiarowego oscylatora harmonicznego stanowi siało o masie m, które ślizga się bez tarcia po podłożu pod wpływem sprężyny przyczepionej do ściany. Sprężyna spełnia prawo Hooke’a F = −Kx, gdzie współczynnik sprężystości K jest zadany.

m

x

Z II zasady dynamiki Newtona otrzymujemy równanie ruchu mx¨= −Kx

(3)

m

x

Z II zasady dynamiki Newtona otrzymujemy równanie ruchu mx¨= −Kx ⇒ x¨= −K

mx

(4)

m

x

mx ⇒ x¨= −ω²x ,

(5)

m

x

mx ⇒ x¨= −ω²x , gdzie oznaczyliśmyω² ≡ ^K_m.

(6)

m

x

Innymi przykładami jednowymiarowego oscylatora są wahadło matematyczne, albo obwód elektryczny LC , gdzie rolę wychylenia z

(7)

m

x

Innymi przykładami jednowymiarowego oscylatora są wahadło matematyczne, albo obwód elektryczny LC , gdzie rolę wychylenia z

(8)

Każdy klasyczny jednowymiarowy oscylator harmoniczny jest opisywany równaniem

¨

x = −ω²x ,

z odpowiednim wzorem na częstość kołową ω, która dla wahadła matematycznego dana jest wzoremω=^q^g_l, a dla obwodu LC wzoremω=^q_LC¹ .

Rozwiązanie ogólne tego równania zwykle przedstawiamy w jednej z następujących postaci:

x(t) = A sin(ωt + α),

(9)

¨

x = −ω²x ,

x(t) = A sin(ωt + α), x(t) = B cos(ωt + β)

(10)

¨

x = −ω²x ,

x(t) = A sin(ωt + α), x(t) = B cos(ωt + β) lub wykorzystując liczby zespolone

x(t) = Ce^{i ωt} + De^{−i ωt},

(11)

¨

x = −ω²x ,

x(t) = Ce^{i ωt} + De^{−i ωt}, gdzie A, α, B, β, C i D są dowolnymi stałymi.

(12)

¨

x = −ω²x ,

Pokazać, że każda z powyższych funkcji jest

(13)

¨

x = −ω²x ,

Pokazać, że każda z powyższych funkcji jest

(14)

Rozważmy klasyczny jednowymiarowy oscylator harmoniczny o częstości kołowej ω opisywany funkcją Hamiltona, która w tym przypadku równa jest całkowitej energii mechanicznejE

H= E = p² 2m +1

2mω²x².

Zauważmy, że jeśli nie ma ruchu, tzn.x = 0 ip = 0, to całkowita energia mechanicznaE = 0.

Jego odpowiednik kwantowy otrzymamy narzucając warunki kwantyzacji

[x, p] = i~, [x, x] = [p, p] = 0.

(15)

H= E = p² 2m +1

2mω²x².

[x, p] = i~, [x, x] = [p, p] = 0.

Zauważmy, że warunki [x, x] = xx − xx = 0 i [p, p] = pp − pp = 0 są trywialne w przypadku jednowymiarowym.

(16)

H= E = p² 2m +1

2mω²x².

[x, p] = i~, [x, x] = [p, p] = 0.

Zauważmy, że warunki [x, x] = xx − xx = 0 i [p, p] = pp − pp = 0 są trywialne w przypadku jednowymiarowym.

(17)

Będziemy pracowaćw reprezentacji energetycznej, tzn.w bazie wektorów własnych operatora Hamiltona

H |ni = Eⁿ|ni .

Stany własne | ni odpowiadające różnym wartościom En są ortogonalne.

(18)

H |ni = Eⁿ|ni .

Stany własne | ni odpowiadające różnym wartościom En są ortogonalne.Załóżmy przy tym, że są one unormowane

hk|ni = δ^kn.

(19)

H |ni = Eⁿ|ni .

Stany własne | ni odpowiadające różnym wartościom En są ortogonalne. Załóżmy przy tym, że są one unormowane

hk|ni = δ^kn.

Na razie wiemy tylko, żewartości własne E_n muszą być rzeczywiste, gdyż H jest operatorem hermitowskim.

(20)

H |ni = Eⁿ|ni .

hk|ni = δ^kn.

O liczbach k, n wiemy tylko, że są rzeczywiste, tak jak odpowiednie wartości własne.

(21)

H |ni = Eⁿ|ni .

hk|ni = δ^kn.

O liczbach k, n wiemy tylko, że są rzeczywiste, tak jak odpowiednie wartości własne.

(22)

Obliczmy element macierzowy operatora H w reprezentacji energetycznej

hk|H|ni = hk|Eⁿ|ni =

(23)

hk|H|ni = hk|Eⁿ|ni =E_nhk|ni

(24)

hk|H|ni = hk|Eⁿ|ni = Eⁿhk|ni

=

(25)

= hk | p² 2m +1

2mω²x²

!

| ni

(26)

= hk | p² 2m +1

2mω²x²

!

| ni

=

(27)

= hk | p² 2m +1

2mω²x²

!

| ni

= 1

2m

Dk|p²|n^E+1

2mω²^Dk|x²|n^E.

(28)

= hk | p² 2m +1

2mω²x²

!

| ni

= 1

2m

Dk|p²|n^E+1

2mω²^Dk|x²|n^E.

(29)

Wektory własne operatora hermitowskiego tworzą bazę, a więc zupełny układ wektorów w przestrzeni Hilberta H.Dlatego

X

n

| ni hn | + Z

| ni hn |dn ≡| ni hn | = I, gdzie I oznacza operator jednostkowy.

(30)

Wektory własne operatora hermitowskiego tworzą bazę, a więc zupełny układ wektorów w przestrzeni Hilberta H. Dlatego

X

n

| ni hn | + Z

W równaniu tym wprowadziliśmykonwencję sumacyjnąpolegającą na pominięciu symbolu sumowania po dyskretnym i całkowania po ciągłym obszarze widma operatora H w przypadku, gdy wektor ket styka się z wektorem bra o tej samej liczbie kwantowej.

(31)

Wektory własne operatora hermitowskiego tworzą bazę, a więc zupełny układ wektorów w przestrzeni Hilberta H. Dlatego

X

n

| ni hn | + Z

W równaniu tym wprowadziliśmykonwencję sumacyjnąpolegającą na pominięciu symbolu sumowania po dyskretnym i całkowania po ciągłym obszarze widma operatora H w przypadku, gdy wektor ket styka się z wektorem bra o tej samej liczbie kwantowej.

(32)

Rozważmy pierwszy element macierzowy po prawej stronie równania

hk|H|ni = 1 2m

Dk|p²|n^E+1

2mω²^Dk|x²|n^E.

D

k|p²|n^E=

(33)

hk|H|ni = 1 2m

Dk|p²|n^E+1

2mω²^Dk|x²|n^E.

D

k|p²|n^E= hk|p|li hl|p|ni ,

(34)

hk|H|ni = 1 2m

Dk|p²|n^E+1

2mω²^Dk|x²|n^E.

D

k|p²|n^E= hk|p|li hl|p|ni , bo |li hl| = I

(35)

hk|H|ni = 1 2m

Dk|p²|n^E+1

2mω²^Dk|x²|n^E.

D

k|p²|n^E= hk|p|li hl|p|ni , bo |li hl| = I ale pęd jest operatorem hermitowskim,p^†=p,

(36)

hk|H|ni = 1 2m

Dk|p²|n^E+1

2mω²^Dk|x²|n^E.

D

k|p²|n^E= hk|p|li hl|p|ni , bo |li hl| = I ale pęd jest operatorem hermitowskim,p^†=p, więc

hl|p|ni =

(37)

hk|H|ni = 1 2m

Dk|p²|n^E+1

2mω²^Dk|x²|n^E.

D

hl|p|ni = hn |p^†| li^∗=

(38)

hk|H|ni = 1 2m

Dk|p²|n^E+1

2mω²^Dk|x²|n^E.

D

hl|p|ni = hn |p^†| li^∗= hn|p|li^∗.

(39)

hk|H|ni = 1 2m

Dk|p²|n^E+1

2mω²^Dk|x²|n^E.

D

hl|p|ni = hn |p^†| li^∗= hn|p|li^∗. Zatem

D

k|p²|n^E=^Xhk|p|li hn|p|li^∗.

(40)

hk|H|ni = 1 2m

Dk|p²|n^E+1

2mω²^Dk|x²|n^E.

D

hl|p|ni = hn |p^†| li^∗= hn|p|li^∗. Zatem

D

k|p²|n^E=^Xhk|p|li hn|p|li^∗.

(41)

Podobnie, drugi element macierzowy po prawej stronie równania hk|H|ni = 1

2m

Dk|p²|n^E+1

2mω²^Dk|x²|n^E możemy zapisać

Dk|x²|n^E=

(42)

2m

Dk|p²|n^E+1

Dk|x²|n^E= hk|x|li hl|x|ni =

(43)

2m

Dk|p²|n^E+1

Dk|x²|n^E= hk|x|li hl|x|ni = ^X

l

hk|x|li hn|x|li^∗.

(44)

2m

Dk|p²|n^E+1

l

gdzie z kolei skorzystaliśmy z hermitowskości operatora położenia x.

(45)

2m

Dk|p²|n^E+1

l

gdzie z kolei skorzystaliśmy z hermitowskości operatora położenia x.

(46)

Podsumujmy hk|H|ni = 1

2m X

l

hk|p|li hn|p|li^∗+1

2mω²^X

l

hk|x|li hn|x|li^∗. Dla k = n otrzymamy

hn|H|ni =

(47)

2m X

l

2mω²^X

l

hn|H|ni = Enhn|ni =

(48)

2m X

l

2mω²^X

l

hn|H|ni = Eⁿhn|ni =En

(49)

2m X

l

2mω²^X

l

Dla k = n otrzymamy

hn|H|ni = Eⁿhn|ni = Eⁿ

=

(50)

2m X

l

2mω²^X

l

Dla k = n otrzymamy

= 1

2m X

l

|hn|p|li|²+1

2mω²^X

l

|hn|x|li|²

(51)

2m X

l

2mω²^X

l

Dla k = n otrzymamy

= 1

2m X

l

|hn|p|li|²+1

2mω²^X

l

|hn|x|li|²  0.

(52)

2m X

l

2mω²^X

l

Dla k = n otrzymamy

= 1

2m X

l

|hn|p|li|²+1

2mω²^X

l

|hn|x|li|²  0.

Widzimy, że wartości własne operatora energii oscylatora harmonicznego muszą byćnieujemne, E_n 0.

(53)

2m X

l

2mω²^X

l

Dla k = n otrzymamy

= 1

2m X

l

|hn|p|li|²+1

2mω²^X

l

|hn|x|li|²  0.

Widzimy, że wartości własne operatora energii oscylatora harmonicznego muszą byćnieujemne, E_n 0.

(54)

Rozważmy jeszcze raz element macierzowy hn|H|ni = 1

2m hn|p|li hl|p|ni + 1

2mω²hn|x|li hl|x|ni =

(55)

2mω²hn|x|li hl|x|ni =Enδnn =

(56)

2mω²hn|x|li hl|x|ni = Eⁿδnn =En.

(57)

2mω²hn|x|li hl|x|ni = Eⁿδnn = En. Zauważmy, że E_n może się zerować tylko wtedy, gdy wszystkie elementy macierzowe operatorów pędu i położenia znikają

hl|p|ni = 0

(58)

hl|p|ni = 0 i hl|x|ni = 0

(59)

hl|p|ni = 0 i hl|x|ni = 0 dla wszystkich l , n.

(60)

Byłoby to jednak sprzeczne z warunkiem kwantyzacji[x, p] = i~.

(61)

hn|[x, p]|ni =

(62)

hn|[x, p]|ni = hn|x|li hl|p|ni − hn|p|li hl|x|ni

| {z }

0

=

(63)

hn|[x, p]|ni = hn|x|li hl|p|ni − hn|p|li hl|x|ni

| {z }

0

=i ~hn|ni =

(64)

| {z }

0

= i~ hn|ni =i ~.

(65)

| {z }

0

= i~ hn|ni = i~.

Wszystkie elementy macierzowe znikają, a prawa strona nie jest zerem.

(66)

| {z }

0

= i~ hn|ni = i~.

Wszystkie elementy macierzowe znikają, a prawa strona nie jest zerem.

(67)

Stąd wnioskujemy, że

En>0.

Zdeﬁniujmy operator bezwymiarowy a

a= i

√2m~ω(p − imωx)

(68)

En>0.

a= i

√2m~ω(p − imωx) i znajdźmy operator sprzężony hermitowsko a^†

a^†=

(69)

En>0.

a= i

i znajdźmy operator sprzężony hermitowsko a^† a^†= −i

√2m~ω (p + imωx) ,

(70)

En>0.

a= i

√2m~ω (p + imωx) ,

gdzie skorzystaliśmy z udowodnionych wcześniej własności (A + B)^†= A^†+ B^†

(71)

En>0.

a= i

√2m~ω (p + imωx) ,

gdzie skorzystaliśmy z udowodnionych wcześniej własności (A + B)^†= A^†+ B^†i(αA)^†= α^∗A^†, α ∈ C,

(72)

En>0.

a= i

√2m~ω (p + imωx) ,

gdzie skorzystaliśmy z udowodnionych wcześniej własności

(A + B)^†= A^†+ B^†i(αA)^†= α^∗A^†, α ∈ C,oraz z hermitowskości operatorów pędu i położenia.

(73)

En>0.

a= i

√2m~ω (p + imωx) ,

gdzie skorzystaliśmy z udowodnionych wcześniej własności

(A + B)^†= A^†+ B^†i(αA)^†= α^∗A^†, α ∈ C,oraz z hermitowskości operatorów pędu i położenia.

(74)

Obliczmy iloczyn a^†a =

−i

√2m~ω(p + imωx)

i

√2m~ω (p − imωx)

(75)

−i

i

√2m~ω (p − imωx)

=

(76)

−i

i

√2m~ω (p − imωx)

= 1

2m~ω(p + imωx) (p − imωx)

(77)

−i

i

√2m~ω (p − imωx)

= 1

=

(78)

−i

i

√2m~ω (p − imωx)

= 1

2m~ω

p²− imωpx + imωxp + m²ω²x²

(79)

−i

i

√2m~ω (p − imωx)

= 1

2m~ω

=

(80)

−i

i

√2m~ω (p − imωx)

= 1

2m~ω

= 1

2m~ω



p²+ imω[x, p]

| {z }

i ~

+m²ω²x²





(81)

−i

i

√2m~ω (p − imωx)

= 1

2m~ω

= 1

2m~ω



p²+ imω[x, p]

| {z }

i ~

+m²ω²x²





=

(82)

−i

i

√2m~ω (p − imωx)

= 1

2m~ω

= 1

2m~ω



p²+ imω[x, p]

| {z }

i ~

+m²ω²x²





= 1

~ω





 p² 2m+ 1

2mω²x²

| {z }

H

+ 1 2mimωi ~





=

(83)

−i

i

√2m~ω (p − imωx)

= 1

2m~ω

= 1

2m~ω



p²+ imω[x, p]

| {z }

i ~

+m²ω²x²





= 1

~ω





 p² 2m+ 1

2mω²x²

| {z }

H

+ 1 2mimωi ~





= 1

~ω

H−1

2~ω

.

(84)

−i

i

√2m~ω (p − imωx)

= 1

2m~ω

= 1

2m~ω



p²+ imω[x, p]

| {z }

i ~

+m²ω²x²





= 1

~ω





 p² 2m+ 1

2mω²x²

| {z }

H

+ 1 2mimωi ~





= 1

~ω

H−1

2~ω

.

(85)

Otrzymaliśmy związek a^†a= 1

~ω

H−1

2~ω

⇒ H =

a^†a+1 2

~ω.

(86)

~ω

H−1

2~ω

⇒ H =

a^†a+1 2

~ω.

Obliczmy teraz komutator operatorów a i a^†. ha, a^†ⁱ =

(87)

~ω

H−1

2~ω

⇒ H =

a^†a+1 2

~ω.

Obliczmy teraz komutator operatorów a i a^†. ha, a^†ⁱ = 1

2m~ω [p − imωx, p + imωx]

(88)

~ω

H−1

2~ω

⇒ H =

a^†a+1 2

~ω.

=

(89)

~ω

H−1

2~ω

⇒ H =

a^†a+1 2

~ω.

= 1

2m~ω



[p, p]

| {z }

0

+imω [p, x]

| {z }

−i ~

−imω [x, p]

| {z }

i ~

+m²ω²[x, x]

| {z }

0





(90)

~ω

H−1

2~ω

⇒ H =

a^†a+1 2

~ω.

= 1

2m~ω



[p, p]

| {z }

0

+imω [p, x]

| {z }

−i ~

−imω [x, p]

| {z }

i ~

+m²ω²[x, x]

| {z }

0





=

(91)

~ω

H−1

2~ω

⇒ H =

a^†a+1 2

~ω.

= 1

2m~ω



[p, p]

| {z }

0

+imω [p, x]

| {z }

−i ~

−imω [x, p]

| {z }

i ~

+m²ω²[x, x]

| {z }

0





= 1

2m~ω2m~ω =

(92)

~ω

H−1

2~ω

⇒ H =

a^†a+1 2

~ω.

= 1

2m~ω



[p, p]

| {z }

0

+imω [p, x]

| {z }

−i ~

−imω [x, p]

| {z }

i ~

+m²ω²[x, x]

| {z }

0





= 1

2m~ω2m~ω =1.

(93)

~ω

H−1

2~ω

⇒ H =

a^†a+1 2

~ω.

= 1

2m~ω



[p, p]

| {z }

0

+imω [p, x]

| {z }

−i ~

−imω [x, p]

| {z }

i ~

+m²ω²[x, x]

| {z }

0





= 1

2m~ω2m~ω =1.

(94)

Otrzymaliśmy prosty związek komutacyjny ha, a^†ⁱ= 1,

który, jak się później przekonamy, odgrywa niezmiernie ważną rolę nie tylko w teoretycznym opisie oscylatora harmonicznego.

(95)

Wygodnie jest zdeﬁniować jeszcze jeden operator N ≡ a^†a,

(96)

przy użyciu którego Hamiltonian H wyraża się wzorem H=

a^†a+1 2

~ω =

N+ 1

2

~ω.

(97)

przy użyciu którego Hamiltonian H wyraża się wzorem H=

a^†a+1 2

~ω =

N+ 1

2

~ω.

(98)

Znajdźmy relacje komutacji operatora N z operatorami a i a^†. [N, a] =

(99)

Znajdźmy relacje komutacji operatora N z operatorami a i a^†. [N, a] = ^ha^†a, aⁱ=

(100)

Znajdźmy relacje komutacji operatora N z operatorami a i a^†. [N, a] = ^ha^†a, aⁱ=a^†[a, a] +^ha^†, aⁱa=

(101)

Znajdźmy relacje komutacji operatora N z operatorami a i a^†. [N, a] = ^ha^†a, aⁱ= a^†[a, a] +^ha^†, aⁱa=−a,

(102)

Znajdźmy relacje komutacji operatora N z operatorami a i a^†. [N, a] = ^ha^†a, aⁱ= a^†[a, a] +^ha^†, aⁱa=−a, h

N, a^†ⁱ

(103)

N, a^†ⁱ =

(104)

N, a^†ⁱ = ^ha^†a, a^†ⁱ=

(105)

N, a^†ⁱ = ^ha^†a, a^†ⁱ=a^†^ha, a^†ⁱ+^ha^†, a^†ⁱa=

(106)

N, a^†ⁱ = ^ha^†a, a^†ⁱ= a^†^ha, a^†ⁱ+^ha^†, a^†ⁱa=a^†,

(107)

N, a^†ⁱ = ^ha^†a, a^†ⁱ= a^†^ha, a^†ⁱ+^ha^†, a^†ⁱa=a^†, gdzie skorzystaliśmy z własności komutatora

[AB, C ] = A [B, C ] + [A, C ] B

(108)

[AB, C ] = A [B, C ] + [A, C ] B i z relacji

h

a, a^†ⁱ= −^ha^†, aⁱ= 1, [a, a] = [a^†, a^†] = 0.

(109)

[AB, C ] = A [B, C ] + [A, C ] B i z relacji

h

a, a^†ⁱ= −^ha^†, aⁱ= 1, [a, a] = [a^†, a^†] = 0.

(110)

Obliczmy jeszcze komutatory [H, a] =

(111)

N+1 2

~ω, a

=

(112)

N+1 2

~ω, a

=~ω[N, a] =

(113)

N+1 2

~ω, a

= ~ω [N, a] =−~ω a