0. ELEMENTY LOGIKI. ALGEBRA BOOLE’A

WYKŁAD 15(0)

0. ELEMENTY LOGIKI. ALGEBRA BOOLE’A

0.1. Logika – podstawowe pojęcia: zdania i funktory,reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek zdań.

Matematyka zbudowana jest z pierwotnych twierdzeń (nazywamy je aksjomatami), definicji i twierdzeń, które wynikają z innych, już otrzymywanych przy użyciu wnioskowania logicznego. Logika leży zatem u podstaw matematyki.

0A1 (Definicja: zdania). Przez zdanie (w sensie logicznym) rozumiemy wyłącznie zdanie orzekające, które jest prawdziwe albo fałszywe. O zdaniu prawdziwym mówimy, że ma ono wartość logiczną 1, natomiast o zdaniu fałszywym mówimy, że ma ono wartość logiczną 0.

0A2 (Przykłady). Zdanie

„ jest liczbą niewymierną”

jest prawdziwe to jest ma wartość logiczną 1;

natomiast zdanie

„ jest liczbą naturalną”

jest fałszywe, czyli ma wartość logiczną 0.

Zdanie gramatyczne (pytania): „Jaka jest liczba  ?” nie będziemy uważali za zdanie w sensie logicznym . Ono nie jest prawdziwe ani fałszywe.

0A+B3 (Ćwiczenie). Zbadać, czy następujące wypowiedzi są zdaniami:

1) „1000 jest dużą liczbą”,

2) „ile pierwiastków stopnia n ma liczba zespolona 1?”, 3) „x 2”,

4) „x  5 12”,

5) „nieprawda, że  jest liczbą naturalną”.

Zdania będziemy oznaczali małymi literami alfabetu. Jeżeli zdanie p jest prawdziwe, to piszemy p  ; jeżeli zdanie q jest fałszywe, to piszemy 1 q 0. 0A+B4 (Funktory). Niech p i q będą dwoma zdaniami. Z tych zdań można utworzyć zdanie złożone, korzystając ze spójników, zwanych w logice funktorami.

Funktory te przedstawiamy w tabeli:

Funktor Zdania złożone Wartość logiczna Symbol Nazwa Czytamy Symbol Nazwa Czytamy p q zdanie

złożone

~ czyli

┐, ^-

Negacja

(zaprzeczenie) nie ~ p negacja zdania p

nie p (nieprawda,

że p)

0 1

- -

1 0

 Koniunkcja

(iloczyn logiczny) i pq Koniunkcja

zdań p i q p i q

0 0 1 1

0 1 0 1

0 0 0 1

 Alternatywa

(suma logiczna) lub pq alternatywa

zdań p i q p lub q 0 0 1 1

0 1 0 1

0 1 1 1

 Implikacja

(wynikanie)

jeżeli...,

to... p  q

implikacja o poprzedniku

p i następniku

q

jeżeli p, to q

0 0 1 1

0 1 0 1

1 1 0 1

 Równoważność

...wtedy i tylko wtedy, gdy

pq

równoważ- ność zdań p

i q

p wtedy i tylko wtedy, gdy

q

0 0 1 1

0 1 0 1

1 0 0 1

 Nierównoważność (alternatywa wykluczająca)

albo pq

Nierówno- ważność zdań p i q

p albo q 0 0 1 1

0 1 0 1

0 1 1 0

0A+B5 (Uwaga: przykłady do „hamowania”).

5.1. Jeśli p jest zdaniem prawdziwym, to ~p jest zdaniem fałszywym i na odwrót. Na przykład zaprzeczeniem zdania „każda liczba naturalna jest liczbą parzystą” nie jest zdanie „każda liczba naturalna jest liczbą nieparzystą” dlatego, że oba zdania są fałszywe. Zaprzeczeniem będzie zdanie „nieprawda, że każda liczba naturalna jest liczbą parzystą” lub „istnieje liczba naturalna, która jest liczbą nieparzystą”.

5.2. Implikacja jest prawie zawsze prawdziwa, w szczególności jest prawdziwa, jeśli następnik implikacji jest prawdziwy. Zdanie „Jeżeli 2 jest

liczbą nieparzystą, to 2 jest liczbą parzystą” jest prawdziwe z definicji ( w sensie logicznym).

5.3. Jeżeli pq jest zdaniem prawdziwym, to zdanie pq jest także

prawdziwe, ale nie na odwrót. Na przykład zdanie „ sin 1 lub cos 0 1 2

 _{  ” jest}

prawdziwe, ale zdanie „sin 1 albo cos 0 1 2

   ” jest fałszywe.

0B+C6 (Ćwiczenie). Podać interpretację geometryczną i fizyczną funktorów.

Wskazówka: zdania p i q będziemy interpretowali jako przekaźniki w układzie elektrycznym: zamknięty odpowiada zdaniu prawdziwemu, natomiast otwarty odpowiada zdaniu fałszywemu.

0B7 (Reguły wnioskowania). Każda reguła wnioskowania, czyli reguła otrzymania wniosków z przesłanek musi być taka, żeby od zdania prawdziwego prowadziła zawsze do zdania prawdziwego, np.:

7.1. Reguła dołączania koniunkcji. Jeżeli uznajemy za prawdziwe zdanie p i uznajemy za prawdziwe zdanie q, to należy uznać za prawdziwe zdanie p q.

7.2. Reguła opuszczania koniunkcji. Jeżeli uznajemy za prawdziwe zdanie pq, to należy uznać za prawdziwe zdanie p i należy uznać za prawdziwe zdanie q.

7.3. Reguła dołączania alternatywy. Jeżeli uznajemy za prawdziwe zdanie p, to należy uznać za prawdziwe zdanie p q, gdzie q jest dowolnym zdaniem.

7.4. Reguła opuszczania alternatywy. Jeżeli uznajemy za prawdziwe zdanie ~p i uznajemy za prawdziwe zdanie p q, to należy uznać za prawdziwe zdanie q.

7.5. Reguła odrywania. Jeżeli uznajemy za prawdziwe zdanie p i uznajemy za prawdziwe zdanie p  q, to należy uznać za prawdziwe zdanie q.

7.6. Reguła przechodniości implikacji. Jeżeli uznajemy za prawdziwe zdanie p q i zdanie q  r, to należy uznać za prawdziwe zdanie p  r.

0A+B8 (Schematy zdań). Mając do dyspozycji funktory logiczne możemy tworzyć zdania składające się z wielu zdań podrzędnych. Abstrakcyjne wersje takich zdań złożonych, zbudowane z funktorów logicznych i zmiennych zdaniowych nazywamy schematami zdaniowymi lub wyrażeniami (formułami) rachunku zdań.

Zwracamy uwagę, że zmienne zdaniowe nie mają jednak ustalonej wartości logicznej. Oznaczamy je podobnie jak zdania, na przykład p, q, r itd.

Zdania i funktory są elementami rachunku zdań. Funktory odgrywają w tym rachunku rolę działań, zdania są obiektami, do których się te działania odnoszą.

0A9 (Przykłady). Schematy ~p, pq, p q p  q są to wszystkie wyrażenia rachunku zdań, natomiast p~q nie jest wyrażeniem rachunku zdań, ponieważ negacja jest funktorem jednoargumentowym (odnoszącym się do jednego tylko zdania). Każde wyrażenie rachunku zdań jest funkcją zdaniową zmiennych zdaniowych, która każdemu układowi wartości logicznych tych zmiennych przyporządkowuje wartość logiczną całego zdania.

0A10 (Definicja: tautologia). Prawo rachunku zdań lub tautologia jest to takie wyrażenie tego rachunku, które niezależnie od wartości logicznych podstawianych zdań zawsze dają zdanie złożone prawdziwe.

0A+B11 (Przykłady: niektóre tautologii).

Nazwa tautologii Zapis

Prawo wyłączonego środka (~p)  p

Prawo podwójnego zaprzeczenia ~(~p) p

Prawo rozdzielności p (q r)  (pq)  (p  r) p (q r)  (p q)  (p r) Prawa

de Morgana

zaprze- czenie

alternatywy koniunkcji

[~(p q)]  [(~p)  (~q)]

[~(pq)]  [(~p)  (~q)]

Prawo zaprzeczania implikacji ~(pq)  [p(~q)] ~(~p q) 

~(~p)(~q)

Prawo sprzeczności ~[p(~p)]

Uwaga. Gdy brak jest nawiasów, operacje wykonujemy w następującej kolejności:

~, ,  , ,  (prz.: pq  ~p q).

0A+C12 (Uwaga-ćwiczenie). Do sprawdzania tautologii może służyć metoda zero-jedynkowa, która polega na rozważeniu wszystkich układów wartości logicznych zmiennych zdaniowych, które występują w badanym wyrażeniu.

Zrobić to dla 4A+B11.

0A13 (Definicja). Funkcja (forma) zdaniowa (jednej lub większej liczby zmiennych) jest to wyrażenie zawierające zmienną, które staje się zdaniem, gdy za zmienną podstawiamy element, należący do dziedziny (zakresu) funkcji zdaniowej.

0A14 (Przykład). Wyrażenie “x jest większy od 2” (4A+B3) jest funkcją zdaniowa; jej dziedzina jest zbiorem liczb rzeczywistych. Dla pewnych liczb x otrzymane zdanie będzie prawdziwe, dla innych fałszywe, ale zawsze będzie miało wartość logiczną.

0A15 (Kwantyfikatory). Kwantyfikator ogólny, oznaczamy przez  i czytamy

“dla każdego”, oznacza, że w funkcji zdaniowej podstawiamy wszystkie dopuszczalne wartości zmiennej. Kwantyfikator szczegółowy, oznaczamy przez

 i czytamy “istnieje”, oznacza, że wybieramy z zakresu zmiennej tylko jeden element.

Niech A x będzie formą zdaniową z dziedziną ( ) X . Wtedy zdanie : ( )

x X A x

  jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ustalonego x zdanie ( )X A x jest prawdziwe. Zdanie  x X A x: ( ) jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje element x , dla którego utworzone zdanie ( )X A x jest prawdziwe.

0A16 (Przykłady). Zdanie  x : ( )A x , gdzie ( )A x oznacza “x  5 12”, jest fałszywe, ale zdanie  x : ( )A x jest prawdziwe (mamy:

: ( ) " 7"

x A x x

    ).

0A17 (Prawo de Morgana dla kwantyfikatorów). Mamy:

17.1) (x A x: ( )) ( x: (~ ( )))A x ; 17.2) (x A x: ( )) ( x: (~ ( )))A x .

0A18 (Reguły rozdzielania dla zdań z kwantyfikatorami).

18.1) x P x: ( )Q x( ) ( x P x: ( )) ( x Q x: ( ))^;

18.2) x P x: ( )Q x( ) ( x P x: ( )) ( x Q x: ( ))^.

0B19 (Ćwiczenie). Sprawdzić, że zdanie x P x: ( )Q x( ) może nie być równoważne zdaniu (x P x: ( )) ( x Q x: ( )).

0A20 (Uwaga). Zamiast  czasami pisze się , natomiast zamiast  pisze się

.

0A+B21 (Definicja: algebra Boole’a). Struktura algebraiczna ( , , ,';0,1)B   o dwóch działaniach dwuargumentowych, nazywanych odpowiednio dodawaniem

“” i mnożeniem “” oraz jednym działaniu jednoargumentowym “ ' ” (uzupełnianie) i o wyróżnionych elementach 0 i 1 nazywamy algebrą Boole’a jeśli spełnione są następujące warunki:

1) oba działania  i  są przemienne i łączne:

, , , , ;

a b c B a b b a a b b a

       

( ) ( ) , ( ) ( ) ;

def def

a       b c a b c a b c a       b c a b c a b c 2) mnożenie jest rozdzielne względem dodawania i odwrotnie:

( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( )

a  b c a  b a c a  b c a   ; b a c 3) wyróżnione elementy 0 (zero) i 1 (jedynka) spełniają warunki:

, 0 , 1 ;

a B a a a a

     

4) uzupełnianie “ ' “ spełnia warunki: a a' 1,a  a' 0.

0A22 (Przykład: dwuelementowa algebra Boole’a). Algebra ta jest złożona z zera “0” i jedynki “1” (to jest B={0,1}) i ma następujące tabelki działań:

 0 1 0 0 1 1 1 1

 0 1 0 0 0 1 0 1

Ponad to: 1'=0, 0'=1.

0A23 (Przykład). Rachunek zdań, zwany tez algebrą zdań, jest klasycznym przykładem dwuelementowej algebry Boole’a. Tutaj 0 jest modułem (elementem neutralnym) dodawania, 1 jest modułem (elementem neutralnym) mnożenia, suma każdego elementu i jego negacji jest modułem mnożenia, iloczyn każdego elementu i jego negacji jest modułem dodawania.

0A+B24 (Optymalizacja (minimalizacja) form rachunku zdań). Forma rachunku zdań jest minimalna, jeżeli jest ona złożona z najmniejszego zbioru działań.

Przykład: [(p~q) (q ~p)] p q.

0A+B25 (Interpretacja fizyczna działań dwuelementowej algebry Boole’a).

Ciekawym przykładem algebry Boole’a jest algebra sieci elektrycznych (algebra rachunku zdań), budowanych z dwubiegunowych elementów (dwójników) poprzez szeregowe i równolegle ich łączenie. Przypuśćmy, ze każdy z elementów sieci znajduje się w jednym z dwóch wykluczających sie stanów:

przewodzi prąd (1) albo nie przewodzi (0) prądu.

Ćwiczenie (B). Zrobić interpretację fizyczną działań 1)-4) w 4A+B21.

=

=

=

x

0

x y

x

x 1

x

x

y

x

z x

y z

0B26 (Przykład algebry Boole’a). Niech X będzie dowolnym zbiorem. Zbiór wszystkich podzbiorów tego zbioru oznaczamy przez 2^X. Wtedy zespół ( 2 , , , ; ,^X   C  X ) jest algebrą Boole’a. Dodawaniem tutaj jest wzięcie sumy zbiorów, mnożeniem – wzięcie części wspólnej, rolę zera pełni zbiór pusty, a jedynki – cały zbiór X, uzupełnianiem jest wzięcie dopełniania do pełnego zbioru X.

5. GRAFY

5.1. Grafy – podstawowe pojęcia: macierz incydencji, drogi i ich długości, cykle Eulera.

Grafy (wykresy), którymi się zajmujemy, są jak mapy drogowe, rysunki obwodów, schematy blokowe itd. W tym sensie, że przedstawiają one połączenia lub relacje zachodzące między rożnymi fragmentami wykresu.

5A1 (Definicja). Graf skierowany (digraf) G składa się z dwóch zbiorów, niepustego zbioru V(G) wierzchołków grafu G i zbioru E(G) krawędzi grafu G

oraz z funkcji  ze zbioru E(G) w zbiór

( ) ( ) {( , ) : ( ), ( )}

def

V G V G  p q p V G q V G  uporządkowanych par wierzchołków. Jeśli e jest krawędzią grafu G i ( ) ( , ) e  p q , to p nazywamy początkiem krawędzi e, a q końcem krawędzi e i mówimy, że e biegnie od p do q.

Rysunkiem grafu skierowanego G jest wykres składający się z punktów, odpowiadających elementom zbioru V(G) oraz strzałek, odpowiadających elementom zbioru E(G).

Różne krawędzie o danym początku i końcu nazywamy krawędziami wielokrotnymi.

Drogą w grafie skierowanym G nazywamy ciąg krawędzi taki, że koniec jednej krawędzi jest początkiem następnej. Jeśli e₁,...,e_n należą do zbioru E(G), to

1,..., _n

e e jest drogą, o ile istnieją wierzchołki x x₁, ₂,...,x x_n, _n1 takie, że ( )e_i ( ,x x_{i i} 1) dla i 1,...,n

  _  . Mówimy, że e₁,...,e_n jest drogą (ścieżką) długości n od wierzchołka x₁ do wierzchołka x_n1. Droga jest zamknięta, jeśli

1 n 1

x  x _ . Jeśli każda krawędź e_i jest jedyną krawędzią od x_i do x_i1, to ten ciąg wierzchołków jednoznacznie określa drogę i możemy opisać tę drogę wypisując po kolei te wierzchołki.

Drogę zamkniętą długości co najmniej 1 z ciągiem wierzchołków x x_{1 2} ...x x_{n 1} nazywamy cyklem, jeśli wszystkie wierzchołki x₁,..., x_n są różne (niektórzy

autorzy cyklem nazywają drogę zamkniętą). Graf skierowany (droga) nie mający cykli nazywamy grafem (drogą) acyklicznym.

Jeśli opuścimy strzałki (tzn. kierunki) na krawędziach, to zamiast uporządkowanych par wierzchołków będziemy używać nieuporządkowany zbiór wierzchołków, wtedy mamy

5A2 (Definicja). Graf nieskierowany składa się z dwóch zbiorów, zbioru V(G) wierzchołków grafu G i zbioru E(G) krawędzi grafu G oraz z funkcji  ze zbioru E(G) w zbiór {{ , }: ,u w u w V G ( )} wszystkich podzbiorów jedno lub dwuelementowych zbioru V(G). Dla danej krawędzi e ze zbioru E(G) elementy

( ) { , }e u w

  nazywamy wierzchołkami krawędzi e lub końcami e. Wtedy mówimy, że krawędź e łączy swoje końce.

Pętla jest krawędzią tylko z jednym końcem. Różne krawędzie e i f takie, że ( )e ( )f

  nazywamy krawędziami wielokrotnymi.

Rysunkiem grafu nieskierowanego G jest wykres składający się z punktów, odpowiadających wierzchołkom zbioru G, łuków czy odcinków odpowiadających krawędziom.

Ciąg krawędzi, które łączą się ze sobą, nazywamy drogą. Długością drogi jest liczba krawędzi w tej drodze. Drogą długości n od wierzchołka u do wierzchołka w nazywamy ciąg e₁,...,e_n wraz z ciągiem x₁...x_n1 wierzchołków, taki, że ( ) { ,e_i  x x_{i i1}} dla i1,...,n oraz x₁ u x, _n1w. Wtedy e_n...e₁ jest drogą od w do u. Obie te drogi możemy nazywać drogami między wierzchołkami u i w. Jeśli u=w, to drogę nazywamy zamkniętą. Drogę nazywamy drogą prostą, jeśli jej wszystkie krawędzie są różne. Mówimy, że wierzchołek w jest sąsiedni w stosunku do wierzchołka u, jeśli istnieje krawędź w E(G) z końcami w i u. W podobny sposób definiujemy relacje sąsiedztwa dla krawędzi.

5A+B3 (Uwaga). To, co opisaliśmy, niektórzy autorzy nazywają multigrafem, a termin “graf” lub “graf prosty” rezerwują dla takich grafów, które nie mają pętli czy krawędzi wielokrotnych.

Jeśli nie ma krawędzi wielokrotnych, to funkcja  jest różnowartościowa i zbiór ( )e

 jednoznacznie określa krawędź e . Wtedy po prostu wypisujemy krawędzie jako zbiory { , },{ , } { }u w u u  u lub jako ciągi wierzchołków: uw, uu.

5A+B4 (Definicja). Niech graf G nie ma pętli i jest skończony, tzn. zbiory

1 1

( ) { ,..., _m} i ( ) { ,..., }_n

V G  x x E G  e e są skończone. Wtedy macierzą incydencji grafu G nazywamy macierz [a_{ij mxn}] , której elementy są określone wzorem:

a) a   jeśli wierzchołek _ij 1 x_i jest początkiem krawędzi e i _j a  jeśli _ij 1 x_i jest końcem e , _j a  jeśli _ij 0 x_i nie należy do e dla grafu skierowanego i _j

b) a  jeśli wierzchołek _ij 1 x_i jest końcem krawędzi e i _j a  w przeciwnym _ij 0 przypadku dla grafu nieskierowanego.

5B5 (Definicja). Macierzą sąsiedztwa nazywamy macierz [ ]b_{ij mxn}, której każdy wyraz b jest liczbą krawędzi od wierzchołka _ij x_i do wierzchołka x . Zatem _j

ij 0

b  jeśli nie istnieje krawędź od x_i do x . _j

5B6 (Fakt). Macierz sąsiedztwa grafu nieskierowanego jest macierzą symetryczną.

5A+B7 (Definicja). Graf H jest podgrafem grafu G, jeśli

) ( ) ( ), ( )

(H V G E H E G

V   oraz funkcje  grafu G i  grafu H są równe na E(H). Jeśli droga jest acykliczna, wtedy podgraf składający się z wierzchołków i krawędzi tej drogi jest również acykliczny.

5A+B8 (Fakt). Każda droga zamknięta e₁,...,e_n długości co najmniej 3, o różnych wierzchołkach x₁,...,x_n jest cyklem.

5A+B9 (Fakt). Droga ma wszystkie wierzchołki różne wtedy i tylko wtedy, gdy jest prosta i acykliczna.

5A+B10 (Fakt). Jeśli u i w są różnymi wierzchołkami grafu G i jeśli istnieje w grafie G droga z u do w, to istnieje prosta droga acykliczna z u do w.

5A+B11 (Fakt). Jeśli e jest krawędzią w zamkniętej drodze prostej w grafie G, to e należy do jakiegoś cyklu.

5A12 (Definicja). Stopień wierzchołka v oznaczamy symbolem deg(v) i definiujemy jako liczbę dwuwierzchołkowych krawędzi z v jako jednym z wierzchołków, plus podwójna liczba pętli o wierzchołku v.

5B+C13 (Fakt). Liczba D_k(G) wierzchołków stopnia k w grafie G jest niezmiennikiem izomorfizmu.

5B14 (Fakt). Suma stopni wierzchołków grafu jest dwa razy większa od liczby krawędzi:

( )

deg( ) 2 ( )

v V G

v E G





5B16 (Fakt). Graf, który ma cykl Eulera, musi mieć wszystkie wierzchołki stopnia parzystego.

5A17 (Definicja). Graf jest spójny, jeśli każda para różnych wierzchołków jest połączona drogą w tym grafie.

5B18 (Fakt). Skończony graf spójny, w którym każdy wierzchołek ma stopień parzysty, ma cykl Eulera.

5B19 (Definicja). Drogę zamkniętą, która przechodzi przez każdy wierzchołek grafu dokładnie jeden raz, z wyjątkiem ostatniego wierzchołka, którym ponownie jest pierwszy wierzchołek, nazywamy cyklem Hamiltona.

5.2. Przykłady.

5A+B+C20 (Przykład). Problem mostów królewieckich: czy można przejść się po mieście, pokazanym na Rysunku (a), przechodząc przez każdy most dokładnie jeden raz i wrócić do domu?

rzeka wyspa wyspa

x2 x2

l2 l1

l3

x3 x1 x3 x1

l7

l5 _l6 l4

x4 x4 Graf (b) Graf (c)

Znaleźć graf mostów królewieckich. Rozważyć wszystkie pojęcia 5A1-5B19 dla grafow (b) i (c).