Egzamin z logiki, 9 czerwca 2005 1. Skonstruowa´c w rachunku sekwent´ow dowody formu l (a) (¬p → ¬q) → ((¬p → q) → p); (b) ¬(p → q) ∧ ¬(q → r) → (p → r). 2. Kt´ora z nast

Egzamin z logiki, 9 czerwca 2005

1. Skonstruowa´c w rachunku sekwent´ow dowody formu l (a) (¬p → ¬q) → ((¬p → q) → p);

(b) ¬(p → q) ∧ ¬(q → r) → (p → r).

2. Kt´ora z nastepuj_, acych implikacji jest tautologi_, a:_,

(a) [∀x∃yR(x, y) → ∃x∀yR(y, x)] → ∃x∀y(R(x, y) → R(y, x))?

(b) ∃x∀y(R(x, y) → R(y, x)) → [∀x∃yR(x, y) → ∃x∀yR(y, x)]?

3. Poda´c definicje nastepuj_, acych poj_, e´_,c:

(a) Warto´s´c formu ly ϕ w strukturze A przy warto´sciowaniu ρ.

(b) Algebra wolna w klasie K o zbiorze wolnych generator´ow X.

4. Symbol funkcyjny f jest dwuargumentowy. Termy t_n, dla n > 0, sa zdefiniowane tak: t_{, 1} = f (x₁, x₀), t_n+1 = f (x_n+1, t_n). Oczywi´scie F V (t_n) = {x₀, . . . , x_n}. Przez Γ_m oznaczymy zbi´or wszystkich r´owna´n postaci

”t_n = x₀” dla n ≥ m. M´owimy, ˙ze algebra A sygnatury Σ jest fajna, je´sli A |= t_n = x₀ dla pewnego n > 0. Natomiast algebra A jest lepsza, gdy A |= Γ_m dla pewnego m > 0.

(a) Kt´ore z r´owno´sci f (x, y) = f (z, y), f (x, y) = f (z, u), f (x, y) = y sa prawdziwe w ka˙zdej fajnej algebrze? A kt´_, ore w ka˙zdej lepszej?

(b) Czy klasa algebr fajnych jest definiowalna r´owno´sciowo? A klasa algebr lepszych?

Rozwiazania_,

Zadanie 1a:

p ` p

` ¬p, p

¬p → ¬q ` ¬p, p

p ` p

` ¬p, p q ` ¬p, p

q ` q q, ¬q ` q, ¬q ` p

¬p → ¬q, q ` p

¬p → ¬q, ¬p → q ` p

¬p → ¬q ` (¬p → q) → p

` (¬p → ¬q) → ((¬p → q) → p) Zadanie 1b:

q ` q q ` p → r, q q ` q, p → r q ` r, q, p → r

` q → r, q, p → r p ` q → r, q, p → r p ` q, q → r, p → r

` p → q, q → r, p → r

¬(p → q) ` q → r, p → r

¬(p → q), ¬(q → r) ` p → r

¬(p → q), ¬(p → q) ∧ ¬(q → r) ` p → r

¬(p → q) ∧ ¬(q → r), ¬(p → q) ` p → r

¬(p → q) ∧ ¬(q → r), ¬(p → q) ∧ ¬(q → r) ` p → r

¬(p → q) ∧ ¬(q → r) ` p → r

¬(p → q) ∧ ¬(q → r) → (p → r)

2

Zadanie 2a: Lewa strona implikacji jest r´ownowa˙zna formu lom:

• ¬∀x∃yR(x, y) ∨ ∃x∀yR(y, x);

• ∃x∀y¬R(x, y) ∨ ∃x∀yR(y, x);

• ∃x(∀y¬R(x, y) ∨ ∀yR(y, x));

• ∃x(∀y¬R(x, y) ∨ ∀zR(z, x));

• ∃x∀y(¬R(x, y) ∨ ∀zR(z, x));

• ∃x∀y∀z(¬R(x, y) ∨ R(z, x)).

Prawa strona jest r´ownowa˙zna formule ∃x∀y(¬R(x, y) ∨ R(y, x)). Pozostaje wiec zauwa˙zy´_, c, ˙ze:

• Ka˙zda formu la postaci ∀y∀z ϕ(y, z) → ∀y ϕ(y, y) jest tautologia;_,

• Je´sli ϕ → ψ jest tautologia, to tak˙ze ∃x ϕ → ∃x ψ jest tautologi_, a._,

Zadanie 2b: Rozwiazanie zadania u latwi przekszta lcenie formu ly do r´_, owno- wa˙znej postaci ∃x∀y(¬R(x, y) ∨ R(y, x)) → ∃x∀y¬R(x, y) ∨ ∃x∀yR(y, x).

Teraz latwo sprawdzi´c, ˙ze ta formu la nie jest prawdziwa w modelu hR, =i.

Mamy bowiem na przyk lad R, {0/x} |= ∀y(¬R(x, y)∨R(y, x)), bo dla dowol- nej liczby y albo 0 6= y albo y = 0. A wiec R |= ∃x∀y(¬R(x, y) ∨ R(y, x))._, Ale nie ma ani liczby r´ownej wszystkim, ani liczby r´o˙znej od wszystkich liczb rzeczywistych, wiec R 6|= ∃x∀y¬R(x, y) ∨ ∃x∀yR(y, x)._,

Zadanie 3: Patrz materia ly do wyk ladu.

Zadanie 4a: Warto´s´c termu t_n przy warto´sciowaniu {a_n/x_n, . . . , a₀/x₀} be-_, dziemy dla uproszczenia zapisywa´c po prostu jako tn(an, . . . , a0).

Poka˙zemy najpierw, ˙ze w algebrach fajnych prawdziwe jest r´ownanie f (x, y) = f (z, y), tj. ˙ze operacja f zale˙zy tylko od drugiego argumentu. Za l´o˙zmy, ˙ze w algebrze A prawdziwe jest r´ownanie tn = x0. Wtedy a0 = tn(an, . . . , a0) = t_n−1(a_n, . . . , f (a₁, a₀)) = f (a_n, t_n−1(a_n−1, . . . , a₀)), dla dowolnych a₀, . . . , a_n.

3

Zatem f (a⁰₁, a₀) = f (a⁰₁, t_n(a_n, . . . , a₁, a₀)) = t_n(a⁰₁, a_n, . . . , a₂, f (a₁, a₀)) = f (a₁, a₀), dla dowolnych a₁, a⁰₁.

Pozosta le dwa r´ownania nie sa prawdziwe na przyk lad w algebrze o elemen-_, tach 0, 1 i 2, w kt´orej f (a, b) = (b + 1) mod 3.

Natomiast w algebrach lepszych prawdziwe jest r´ownanie f (x, y) = y, bo dla dostatecznie du˙zego n mamy a₀ = t_n+1(a_n, . . . , a₀) = t_n(a_n, . . . , f (a₁, a₀)) = f (a₁, a₀). Oznacza to, ˙ze algebry lepsze to dok ladnie te algebry, w kt´orych f jest rzutowaniem na druga wsp´_, o lrzedn_, a. (Rzutowanie spe lnia definicj_, e_, dla m = 1.) Ale rzutowanie na og´o l nie jest funkcja sta l_, a, wi_, ec r´_, ownanie f (x, y) = f (z, u) nie jest prawdziwe w algebrach lepszych.

Zadanie 4b: Z powy˙zszego wynika, ˙ze klasa algebr lepszych jest definiowalna r´ownaniem f (x, y) = y. Natomiast klasa algebr fajnych nie jest definiowalna r´owno´sciowo, bo nie jest zamknieta ze wzgl_, edu na produkty. Rozpatrzmy_, algebry A_n= hA_n, f_ni, gdzie A_n = {0, . . . , n} oraz f_n(a, b) = (b + 1) mod n.

Wtedy produkt Π_n∈NA_n nie jest fajny.

4