Przyczynek do obliczania płaskich indukcyjnych układów grzejnych wsad-wzbudnik

ZE SZY TY NAUKOWE POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ 1980

Seria: HUTNICTWO z. 21 Nr kol. 654

Czesław SAJDAK

Instytut Inżynierii Materiałowej

Politechnika ślęska l

PRZYCZYNEK DO OBLICZANIA PŁASKICH INDUKCYJNYCH UKŁADÓW GRZEJNYCH WSAD-WZBUDNIK

Streszczenie. W pracy przedstawiono sposób przybliżonego obli- czania indukcji nagnetycznej, gęstości prędów Indukowanych oraz no­

cy czynnej i biernej w indukcyjnym układzie grzejnym, zawlerajęcyn niemagnetyczny waad w postaci rozległej płyty oraz wzbudnik pętlowy bez rdzenia magnetycznego. Wzory pozwalajęce na wyznaczenie ww.

wielkości uzyskano poprzez uproszczenie zwlęzków z pracy [9],

Przeprowadzono ocenę dokładności metody. Wykazano., że Jest ona tym większa, im większa Jest pulsacja względna 3 , czyli dla du­

żych wartości stosunku grubości płyty c do głębokości wnikania po­

la elektromagnetycznego £ .

Podstawowym problemem przy obliczaniu termoindukcyjnych układów wsad- wzbudnlk, stosowanych w procesach obróbki cieplnej i plastycznej metali.

Jest rozwięzanie zagadnienia elektromagnetycznego, czyli określenie szcze­

gólnego rozwięzania równań Maxwells przy zadanym rozkładzie prędu wzbud­

nika. Dla wyznaczenia wartości indukcji magnetycznej, natężenia pola ma­

gnetycznego, gęstości prędów indukowanych i mocy wydzielonej we wsadzie korzysta się najczęściej ze wzorów dla układów nieskończenie rozlegiych[l3, [2 3, a skończone wymiary wzbudnika 1 wsadu uwzględnia się poprzez wprowa­

dzenie odpowiednich współczynników korekcyjnych [3j.

Wyniki obliczeń obarczone sę zwykle dużym błędem, co utrudnia optyma­

lizację parametrów urzędzenle grzejnego. Znane sę dokładne metody obli­

czeniowe: analityczne, np. szeregu [4], [53 i całki [63, [7] Fouriera oraz numeryczne [8], Stosowanie ich przy projektowaniu Jest jednak ograniczone ze -względu na skomplikowsnę postać wzorów oraz konieczność korzystania z maszyn cyfrowych.

W pracy [93 przedstawiono między Innymi rozwięzanie równań Maxwells w indukcyjnym układzie grzejnym płyta - wzbudnik bez rdzenia magnetycznego 1 z uzwojeniem pętlowym (rys. i). Otrzymane tam zwlęzki, określajęce roz­

kład wielkości pola elektromagnetycznego, maję postać całek niewłaściwych i rozwięzanie ich Jest możliwe Jedynie za pomocę maszyny cyfrowej.

1. Ws t ęp

ń i Ł

Rys. 1. I n d u k c y j n y układ g r z e j n y w s a d - w z b u d n i k 1 - u zw oj e n i e pętlowe, 2 - płyta m e t al o wa (wsad)

W arty ku l e p r z e a n a l i z o w a n o m o ż l i w o ś ć u p ro sz c z e n i a w z o r ó w z pr ac y [9]

dla prz y pa dk u sz cz e g ó l n e g o n a g rz ew an i a n i e m a g n e t y c z n y c h w s a d ó w płaskich w z b u d n i k i e m bez rdzenia m a g n e ty cz ne g o, z a s i l a n y m prąde m o podwyższonej czę­

stotliwości.

2. P o te nc ja ł w e k t o r o w y

Z g o d n i e z [9^ p o t e nc ja ł w e k t o r o w y we w s a d z i e n i e m a g n e t y c z n y m

dla m o de l u o b l i c z e n i o w e g o jak na rys. 2, o d p o w i a d a j ą c e g o ukł ad o wi g r z e j ­ nemu z rys. 1, ma postać:

2 " > o ( 8 i n fch-6lnk(h4-h^) p.cosh p(y-d)-k. sinh p(y-d) e~kb

■hh J k / 2 i 2\ j u o i u

- (p +k J.sinh p c + 2 p k . c o s h pc

gdzie :

P = ^ k 2 + j c ^ ' = | k 2 + jjł2 ;

N - liczba z w o j ó w u z w o je ni a wzbud ni ka , I - n a t ę ż e ni e prędu,

k - z m i e n n a c a łkowania, ul - pulsac ja ,

S - k o n d u k t y w n o ś ć , J - J e d n o st ka urojona.

sinkz d k ,

(

1

)

(.2)

Przyczy ne k do ob li cz ani a płaskich indukcyjnych. 149

6*0

CNI

-c:

CN|

M o

©

z

Rys. 2. M od el o b l i c z e n i o ­ w y układu z rys. 1, z a ­ st o so wa ny w pracy [9] do r oz wiązania zaga dn i en ia

e le kt ro m ag n e t y c z n e g o 1 - ni es ko ń c z e n i e cien ki e u zw oj en i e wzbudn i ka , n i e ­ s ko ńc z en ie rozległe wzdłuż

osi x, 2 - wsad, n i e s k o ń ­ czenie r ozległy w z d ł u ż o- si x i z o stałych p a r a ­

metrach = jjl i G

W dals zy m ciągu przedys k ut uj e się m o ż l i ­ wo ś ć up ro szczenia w zo r u (l) i sprowadzenia go do takiej postaci, by obliczenia można było w y k on ać bez użycia m a s zy n y cyfrowej. Na­

stępnie, ze znan yc h z a le żn oś c i [ l O j < wiążą- cych p ot encjał w e k t o r o w y z pozostałymi w i e l ­ kościami pola elek tr o ma gn et y cz ne go , wyznaczy się indukcję magnetycznę, gęs t oś ć prędów in­

d u k o w a n y c h i moc czynnę wy d zi e l o n ę we w s a ­ dzie.

Przepr ow ad z on e między innymi w pracach ^7^

[

9

] o b li cz en i a wykazały, że przedział c a ł k o ­ w an ia całki hiewłaściwej (i) można o gr an i­

czyć w w i ę k s z o ś c i p rzypadków do 0«k«(l-f3) . . 102 [li]. Przy d u ż yc h częstotliwościach prędu zasi l aj ąc eg o część urojona w s p ó łc zy n­

nika p (

2

⁾ Jest o wiele większa od jego c zęści rzeczywistej, np. dla f=lO

4

Hz, ¡ l Q =

= 4 3T. 10-7 Vs/Am, S = 5; . 107 ąńa (wsad m i e ­ dziany) - (b f i 4 1 0 Zakładając, ż e :

(

3

⁾

o tr zymuje się:

} j k 2 * j f ' * | & y t = M 1 * ! ) ■ - i ■ ( 4 )

g d z i e :

$ - gł ęb ok o ść w n i k an i a pola el ektromagnetycznego.

Podobne za ło żenie p rzyjęto w pracy [

12

] w celu uzyskania pr zybliżonych z al eż n oś ci dla c y l i n dr yc z ne go układu gr zejnego w s a d - w z b u d n i k .

Po w p r o w a d z e n i u związku (3) do w z o r u (i) i dodatkowym przyjęciu Rey=ł»k oraz że przy d u ży c h w a r t o ś c i a c h ar gumentu funkcje sinhflć i cosh^fc są w przy bl i że ni u r ó w n e x ^ , p o t e nc j ał w e k t o r o w y przyjmie postać:

2NIii 7 sin kh

T FT

i sinhflc 0

sin k(h + hj^)

— E---

x ^Funkcje sinhjj'c i cosh^c p r aktycznie już dla Re(^fc) = R e ^ ( l + j )J

= są sobie równe (błąd mn ie js z y od 0,5%).

[ycosh£(y-d) - k slnh^(y-d)] . e ~ kb sin kz dk

' ♦.<*> - «= 5C*= ilM 4

gdzie :

^(z) - j

£ e -kb . sin kh . sin k(h + hj) . sin kz dk.

co

$2(z) ° j e~kb . Sin

kh .

sin

k(h

+

hj) .

sin

kz dk.

P odobnie Jak w p ra cy [

9

], w y m i a r y i p a r a me t ry a n a li zo wa n eg o g r z e j n e g o (rys. l) można p r z e d s t a w i ć w postaci wz g lę dn ej :

B . £, ć - a . {f. B 1 - ,ji, 9 . s .

\ 2

¿3=iojioG c 2 = 2(|) . (fbc)2 .

W ó w c z a s :

A gr , f - .

2 ( 1

+ R . ) i

A " ' ^ )C° 8 h ? ( 9 "3 ) --- f ---- £ 2 ^ ) 8 i n h y ( y - 3 ) J . V

g d z i e :

—i NI

J " 2K-

i -

przy czy m całki (6) i (

7

) zgod n ie ze w z o r a m i 3.94 9 .1

[133

i B61.14 maję n as tę p u j ę c e r o z w l ę z a n l a :

T 2 + R łi 2+fi -ż R +S z-R

9 1 (z) - -arc tg — ---- + arc tg---- ł— + arg tg — + arc tg i.

(5)

(

6

)

(7)

układu

(

⁸

)

(9)

(

10

)

(

¹¹

)

[14]

(12)

Pr zy czy nek do oblicz an ia płaskich Indukcyjnych. 151

Ł ( ź )

B2 +

( i+ F1 )2 - (l-z)2

[Bz + (R1+i ) 2 ] [ B 2 + ( 2 +R1- i ) z ] ' [ B 2 + (R1- i ) 2] [ B 2+ ( 2 +fi1+i 2 ] ' B2 ♦ ( l + R j ) 2 - ( i +i ) 2

(13)

3. Indukcja magnetyczna, gęstość p r ąd ów indukowanych i moc w y d z i e l o n a we wsad zi e

K or z ys ta ją c z p odanego w cz eśniej p o te nc ja ł u wektorowego można w y z n a ­ czyć w s z y s t k i e po zo s ta łe wi e lk o ś c i pola elektromagnetycznego, a w s z c z e ­ g ó l n oś ci :

- Indukcję magne ty cz nę

♦ r ^ Aw( y . z ) 3 a ( y , z ) "I , r ^ 1

K ■ L-tt- tv - - V - ■ IV *v * V T. J • <■->

- gęsto ść p r ę dó w indukowanych

-w -> ®Ai« -w

\ ” s r w * - S “ -JM f f A w 1x' (l5)

- moc czynnę w yd z i e l o n ę we wsad zi e

pw ‘

J

^{?vdv -}

k

J l°w • ° w l d v " “ 2(i i |A w • A i | d v -

g d z i e :

V - ob ję t oś ć wsadu,

p v - gęs to ść objętościowa mocy czynnej.

M o c c zynna w y d z i e l o n a w jednostce szerokości w s a d u (wymiar w k ierunku osi x) wynosi:

P = wx

, + = dr

<3 f J | AW . A* j d y d z , ( 1 7 )

A U

gdzie :

A * - p o t e n c j a ł w e k t or ow y sp rzężony z A^.

- gęs to ść st ru mi e ni a mocy (wektor Poyntinga)

* - ¿f-[* x t * ] (18)

p o

Oe go skł ad ow y po pr z e c z n y , w n i k a j ę c ę do wsadu przez p o wi er z c h n i ę y = b, w y z n a c z a się z zależn oś c i:

S = 1 “ - A . B*

y 2 j x 0 zw (19)

y= b

C z ę ś ć r z ec zy w is ta w y r a ż e ń (20) i (2l) jest gę s to śc ię mo cy czynnej , n a ­ tomiast c zę ść u r o jo na - gęs t oś ci ę mocy biernej.

Po p o d s t a w i e n i u p o t e n c j a ł u w e k t o r o w e g o (9) do z a l e ż n o ś c i (l4) i (l5) o t r z y m u j e się:

B

.

[2

( l + F L ) _ _ _ _

-1

zw " O u T " -- ^ ----0 2 (ż).ccshy(y-3} - $ (i)sinhft(y-3) , (20)

6*0

sinh-jfcL T J

3JJF - r - , 2(i+R ) _ -1

3w = " j f = 's'lnh-ę L*i c ° s h y ( y - 3 ) i>2 (5)sinhj'(9-3)J. (

2 1

)

Z w y k l e o b l ic za się rozkład indukcji* magn et y cz ne j lub g ę s t o ś c i pręd ów i n d u k o w a n y c h jedy ni e na p ow ie r z c h n i wsadu. Dla y = E w z o r y (9), (20) i (21) p r z y jm u ję na s tę p u j ę c e postaci:

S w (V =B) = = | [ ^ 1 (5)cth*5 + — -y - 1- ^ ( 5 ) J , (22)

B z w (y=B ) ■ g p ^ “ ^ ! ^ ) + ---^ 2 (i)cth^ć, (23)

3W 3F - 2 ( l + fi.) *

J(#(y=B) = - = ^ ( z i c t h f l c + = _ 1 _ * „ ( E ) . (24)

G ę s t o ś ć p o w i e r z c h n i o w ę st r um ie ni a m o c y w n i k a j ę c e g o do wsadu przez p o w i e r z ­ chnię y = 5 obli c za się ze w z o r ó w ( l 9 ) , (22) i (23):

Prz yc zyn ek do o bl icz an ia płaskich indukcyjnych. 153

przy c z y m :

c

II 'x) Dla d u ż y c h w a r t o ś c i a rg u mentu

f ć = Y j S ’ = ^ ( l + J) (27)

nie pope ł ni się w i ę k s z e g o błędu, jeżeli pr zyjmie się, że cthyć « 1 + JO.

W ó w c z a s w z o r y (22) -j (24) można Jes z cz e bardziej u p r o ś c i ć do postaci:

* w (y =B) - = | [ ® i (i) + - (-y ^ M 5)] - | * 3 ( 5 ) - (28)

V

B *JT 2(l+R )

i z w (y=B) = gjp- = ^ ( i ) + ---$ 2 ^ = ^ 3 ^ ) . (29)

0 <r _ 2( 1+Fi,)

3 w (y=B ) = " cTj- “ * 1 ^ +-- Y - = (*) • (30)

P o n i e w a ż :

i = r V j ^ = z \ [ § ( i * J>< (31)

c 1 c|

więc :

5 - ( 5 -E) ■ w ' y f & ’ * (i> ‘ (32)

_ B 7W9f f - / 2ć (i+R ) -i 2ć (l + R . ) _

0Zw (y=B) = 3 ^

-

^{1 ® 1 (2)}

+

^{~ y f & ~ * 2U)] ~} i ^{■ ^}

2

^{(2 ) • (33)}

W y o d r ę b n i e n i e częś ci rzeczywistej i urojonej poten cj a łu w e k t o r o w e g o i i ndukcji magne t yc zn ej w (32) i (33) ułatwia w y z n a c z e n i e gęstości s t r u m i e ­ ni mocy czynnej i biernej , w ni k a j ę c y c h do wsadu. Po po ds tawieniu tych z a ­ l eż no śc i do w z o r ó w (25) i (26) otrzymuje się:

X ) —

P rz y n a g r ze wa ni u induk cy jn y m z wykle c : £ s 3t4 i w t e d y założenie cthjcfli 1 + JO Jest w pełni uzasadnione.

i

P S

- " { sy } • V 51 ■ (34>

O s - ■ <J 5 >

gdzie :

- 2 c ( 1+R ) r 2 c ( l + R , ) _ "I

Bs(5) ■ + — 5— ł2 (5,| V 5) + • yiffi- * 2 ^{(5)J' (36)}

- o 2 c ^ ( l + R ) _ r _ -1

5=<5) "yH - ' (i) * “ 3— ’ 2' 51 ' t* * '5’ *

⁽³⁷⁾

4. Rozbieżności między metodę ścięła 1 uproszczone

Ocenę dokładności przedstawionej wyżej przybliżonej metody określanie wielkości pola elektromagnetycznego w analizowanym układzie grzejnym (rys, l) przeprowedzono na przykładzie Indukcji magnetycznej. Wykonano, oblicze­

nia dla następujęcych wymiarów względnych*^:

E = 0,8 j c =

^0,526»

a

^1,326;

Rj = 1

^;

y = E = 0

^,8.

Tablica 1 Indukcja magnetyczna przy różnych wartościach

¡2)

(5 » 2)

CO |Bzwl| 1S zw2| IBz w3 1

A

%

2 , 2 5 0 ,4 5 1 3 0 ,4 5 5 3 0 ,6 2 0 2 - 3 7 , 5

22 ,5 0 ,5 0 5 5 0 ,5 0 5 7 0 ,5 7 1 4 - 1 3 , 0

110 0 ,5 2 5 1 0 ,5 2 5 1 0 ,5 5 3 8 - 5 , 5

45 0 0 ,5 3 0 5 0 ,5 3 0 5 0 ,5 4 6 0 - 2 , 9

45 0 0 0 ,5 3 5 6 0 ,5 3 5 6 0 ,5 4 0 9 - 1 , 0

W tablicy 1 zestawiono wyniki uzyskane dla różnych wartości pulsacji względnej £5 , przy i - 2, natomiast w tablicy 2 - dla różnych z (u> =

= 110), gdzie;

/ /

xl---

Ola Identycznych danych przeprowadzono obliczenia indukcji magnetycznej w £5} metodę szeregu Fouriera, w £9] - metodę całki Fouriera i porówna­

no z pomiarami.

Pr zy czy ne k do ob li cza ni a płaskich indukcyjnych. 155

T a b l ic a 2 Indukcja magne ty cz n a przy różnych wa rt oś c i a c h z (¿3= 110)

7. K w i ! 1® z w 2 ! I5 zw3l

A

%

0,5 0 ,1386 0,138 5 0 ,1403 -1,2

1,0 0 ,3 13 7 0,313 7 0 ,3256 -3,8

1.5 0 ,4656 0 ,4 6 57 0,4787 -2,8

2 ,0 0 ,5251 0,5251 0,5538 -5,5

2,5 0,4832 0,4832 0 ,5 09 7 -5,5

3,0 0,3525 0, 3525 0,3645 -3,4

4 ,0 0,12 03 0, 1203 0,1144 4.9

6,0 0 , 0 2 54 0 ,0254 0,0235 7,5

|§ I - m o d u ł i n d u k c j i m a g n e t y c z n e j , o b l i c z o n e j na m a s z y n i e c y f r o w e j z w i

wg w z o r u d o k ł a d n e g o z p r a c y [ 9 J . d l a

B z w i W 7 4p • sinE . slnk(l + Fi^)

8 z«l = ■ J r '

E .co s h p( y- 3 ) - p .s i nh p(y-3) e - & 5 -Sin X I . dk (38) ( E +p ) . 9 i n h p c + 2 p lc . c o s h pc

przy czym:

P ="^E2 + J Ć 3 Ć - 2 '

E = kh.

|§zw2I _ moduł indukcji magnetycznej, obliczonej na maszynie cyfrowej wg wzoru jak wyżej, prz y dodatkowym, p r z ed y sk ut ow a ny m w p. 2, za ł oż en iu (3) (b2= S » k 2 , które sprowadza zwięzek (39) do p o ­ staci :

c '

§ z w 3 | - m o du ł indukcji magnetycznej, obliczonej wg wzoru u p r o s z c z o n e ­ go (20) ,

(39)

(40)

A - błęd w z g l ę d n y

A = zwll - B

zw3l 1 0 0

.

zwl I

(42)

Dak w i d a ć z tab li cy 1, im w i ę k s z a p ulsacja w z g l ę d n a S (czyli, zgodnie z (8), c:&), tym z bi eż n o ś ć w y n i k ó w u z ys ka ny c h wzorami: u p r o s z c z o n y m (20) 1 d o k ł a d n y m (38) jest lepsza. Dla p r zy ję ty c h p a r a m e t r ó w układu gr z ej ne go j uż prz y ¿3 = 2 2 , 5 ( c : < $ « 3 , 4 ) , co o dp owiada np. n a g rz ew an i u p łyty a l u m i ­ niowej (<3 = 3 . 10 S/m) o gru b oś ci ok. 0,01 m prędem o c z ę s t o t l i w o ś c i f = 1000 Hz; błęd jest d o p u s z c z a l n y dla p r z e p ro wa dz e ni e p r z y b li ż on yc h o b ­ liczeń.

W i ę k s z ę d o kł ad no ś ć, rzędu kilku procent, uzys ka no dla S =» 110 (c:tJa>7).

2 po ró w n a n i a w a r t o ś c i | ® z w l | ■ |®zw2l' |®zw3| w tal,licy 1 w y ni k a ponadto,' że w p r o w a d z e n i e j e d yn i e za ł oż en ia |J)2 » k2 w w y r a ż e n i a c h (2) nie ma d u ­ żego w p ł y w u na d o k ł a d n o ś ć o b l i cz eń (warto ści l5 zwl| 1 l§ z w 2 P - D e c y d u j ą ­ ce z n a c z e n i e na w i e l k o ś ć błędu ma n at omiast p rz y jęcie Re > s - k (warto-

zwll zw3

P

5. Pods um ow a ni e

W a r t y k ul e p r ze d y s k u t o w a n o m o ż l iw o ść u p ro s z c z e n i a z ł o ż on yc h w z o r ó w z p racy £9^, o pi su j ę c y c h rozk ł ad y w i e l k o ś c i pola e l e k t r o m a g n e t y c z n e g o (in­

d uk cj i ma gn e ty cz ne j , g ęstości p rę d ów i n d uk ow an y ch oraz moc y czynnej i biernej) w i n du kc y jn ym u kładzie g r z ej ny m jak na rys. 1. Ot rz ym a ne zwięzki maję prostę p ostać oraz w y s t a r c z a j ę c ę dla obl ic ze ń techn ic z ny ch d o k ł a d ­ ność. O b l i c z e n i a można w y k o n a ć bez użycia m a s z y n y c y f r o w e j , co sta n ow i za- sa d ni cz ę z al et ę metody.

Przy w y s t a r c z a j ę c o dużej p ulsacji w z ględnej ¿3 , czyli dla d u ż yc h w a r ­ tości c :<S, błęd nie p r ze kr ac z a kilku procent.

LI T ER A T U R A

[lj L ANGER E. : T eorie induk cn ih o a d i e l e k t r i c k e h o tepla. C e s k o s l o v e n s k e a k a d em ie v e d . Praha 1964.,

¡2] S U N DB E RG Y . : I n du ction heating with special reference to bodies in si ­ de met a ll ic shells. Vä st er a s 1965.

£

3

] LIWIŃSKI W. : Nagrz e wn ic e indukc y jn e skrośne. WNT, W a rs z a w a 1968.

[

4

] B U C H HO LT Z S.H, : Das Ma gn et f e l d der W i r b e l s t r S m e in e inen e l ek tr is c he n I n d u kt io n so fe n und ande re d a r au s W i r b e l s t r o m ■ felder. A r c h i v für E l e k ­ trotechnik. XLIII Band, 6 Heft 1958.

£5] S A D D A K C.: A n a li z a pola e l e k t r o m a g n e t y c z n e g o w indu k cy jn ym układzie g r z e jn ym p łyta-wzbudnik. A r c h i w u m E le kt r o t e c h n i k i t. XXVI z. 4/1977, ss. 825-834.

Przyczynek do oblicz an ia płaskich indukcyjnych. 157

KRAKOWSKI M . : Eddy current losses in a n o n - f e r r o m a g n e t i c plate due to c urrents in a m u l t i - co n du ct or system. A r c h i w u m Elek tr o te ch ni k i, z. 2/1973 ss. 321-332.

[7] FIKUS F. , S AO DA K C. , W I E C Z O R E K T. : Rozkład pola e l e k t r o m a g n e t y c z n e g o i mocy w płaskiej nagrze w ni cy indukcyjnej. A r c h i w u m E l e k tr ot ec h ni ki , t. XXVI z. 4/1977, ss. 835-844.

[8] TOZONI O.W. : Rasczot eiektromagnitnych poliej na w y c z i s l i t i e l n y c h maszinach. Technika, Kijów 1967.

[9] SA3D AK C . : Za s to s o w a n i e m etody całki Fouriera do analizy i n d u k c y j n e ­ go układu gr z ej ne go p ł y t a - w z b u d n i k . Arc hi w um E l ek tr o te ch ni k i, t.

XXVIII, z. 1/1979.

[

10

] KUP AL AN S.D.: Teor ia pola elektromagnetycznego. WNT, W a r s za wa 1967.

[llj SA3DA K C. : Pasmowe nagrz ew an i e indukcyjne blach m e t a l o w y c h w p r o c e ­ sach kształto wa n ia ich wł a sn oś ci mechanicznych. Ro zp r aw a doktorska.

Ka t ow ic e 1975.

fl2] F LUERASU C. , G A L A N N. : Eddy currents and the power co nv er te d into heat inside a ve ry long cylindrical co nd uctor placed in an a.c. c i r ­ c ular coil of finite length. Rev, Roum. Sci. Techn. - Electrotechn.

et Energ. t.'ll n. 2, 1966, ss. 123-141.

[13] G RA ND S Z T E I N I.S., R YZ lK I.M. : Tablicy i nt i egrałow, s u m , riadow i p r o i z w i e d i e n i j . Nauka, M oskwa 1971.

[143

D W IG HT H.B. : Tabl e s of integrals and other ma t he m a t i c a l data. The M a c m i l l a n Company, 1961.

K Bonpocy PAC META IUIOCKHX HIWKIiiOHHliX HATPEBATEJIbHHX CHCl'EM DfflXTA - H W K T O P

P e 3 s m e

B c z a T b e n p H B O H H T c a

cnocoó

npaÓjiMceHHoro

BbiqacjioBHfl uarHHTHOfl

H H x y K U H H , njEOTBOCTH HKJtyfCTHpOBaHHHX T O K O B , a T a K X O aKTHBHOił H peaKTHBHOit MOIHHOCTe#

b

HHAyKKBOKHOii HarpeuareJibHofi CHCteue, coxepxaayn HeuarHHTay» n*xTy b

b h x b

npocTepaoS mtHTu x

n e i J i e B O f l

H H xymop 6es uarHBTHoro cepxesHHKa. uopuy.au, Koxopue

x a » T b o s m o x h o c t l o n p e x e x H T b

suae ynonaHyiue

B e j H i i H u C l u i h

noayaeHu

n y T e u vnpcineHHi

cooTHOHeaatt

c

paCoiu

[9],

nposexacb oqeHKa

t o b h o c t h

sioro

uefoxa. HoKa3HBaeTca,

b i o oaa

BBJiaeTca Ten

6 o a i . B e ,

aeu

S o x b n e

oiBOCHTejtbHaa

nyxbcaaaa iaa HueHHO x*a OojibsHX cooiHomeHH« tojuhhh ilhhtu

c

k rjiyÓHHe npo-

HBKaOBSHHU

S JieKTpOMarHHTHOrO HO

JIB <s.

THE R E AS O N FOR C A L C U L A T I N G FLAT I N D U C TI VE H E A T IN G , S Y S T EM S "CH AR GE -I N DU CT OR "

' i

S u m m a r y

The p aper pre se nt s a method of a pp r ox i m a t e c a l c u l a t i o n of magn e ti c in­

d uction, induced current d e n s i t y and a c t i v e / p a s s i v e power in the heating s ystem that co ntains n o nm ag n et ic c harge in the form of wi de sp r ea d plate and a loop indu ct or w i th o ut a m ag n e t i c core. The e qu a t i o n s that allow to d e t e r m i n e the above m en tioned p a ra me t er s we r e o btained by simpl if yi ng com­

pounds in Ref. [

9

]]. The method was checked for accuracy. It was found that the g r e a te r r e lative pu ls at io n ¿5 , the grea te r a c c u ra cy is, i.e. for big v a l u es of plate t hi c kness ration c to the de pt h p en et r a t i o n of the e l e c ­ t romag n et ic field 6 .

\

I