Metody statystycznej analisy wielowymiarowej

(1)

AKADEMII BOII'OKICZNEJ WROCŁAWIU Nr 600

Metody statystycznej analisy wielowymiarowej

1

ich sastosowania w badaniach ekonomicznych

Marek Walesiak

O S'rOSOW.ALII'OŚCI MIAR lWREL!CJI W AB.lLIZIE 'lfl'NIXĆW POMIARU 1'0RZłl)XOWEGO

1991

w artykule scharakteryzowano

swięzki istniej~· między współczynni

kami: korelacji liniowej Pearsona, rang Spearmana i tau Xendalla z punk-

tu

widzenia skal pomiaru. Zwrócono

uwagę

na nie dostrzegany w polskiej literaturze statystycznej 'fakt,

łe wapółe~ik

korelacji

tau

Iendalla jest (dla wyników pomiaru rangowego)

szczególną poataeią współczynnika

korelacji liniowej Pearsona.

Problemetyka poruszana w artykule

wymaga

wprowadzenia podatawowych

pojęć

z r.akresu teorii pomiaru.

Przez pomiar rosumie

się pr~rsądkowanie

licsb obiektom zgodnie z

określonymi regułami

w

ta~i

sposób, aby liczby

odzwierciedlały zachodzą

ce

111iędzy

tymi obiektami relacje (por. np.[ 5, •· 54; 2, s. 17 ] ).

Podsta~

teorii pomiaru jest

^pojęcie

skali.

D e 'f

i

n

i

c

j

a ( por. [ 1, e. 101-102; 9, s . 37 ] ).

Takłl

upo-

rządkowaną czwórkę

U

• <.A;

G; H; F > , h

a)

.A

to niepusty zbiór obiektów,

H -

zbiór liczb rzeczywistych, G- klaaa funkcji

odwzoTowującycb

A w H, F- klasa funkc ji

odwzorowują

cych H

w

H,

b) dla wuyatlcich g E G i !E.7, 'f o sEG,

o) l

zawiera

przekształcenie

H

na

H, a ponadto d1a

każdeso !k, t1

E

F iłohnie !kor₁

E

7,

n azywa

się skalą

pomiaru.

W teorii pomiaru

rozróżnia się

4 podstawowe skale pomiaru, wprowa- dzone przez s.s. Stevenaa [ 7].

D e

! i

n

i

c

j

a 2 {por. [ 1, a. 103]). U ·<.A; G; H;

I'>

jest

alta-l!ł nominalną

wtedy i tylko wtedy, @dy

7

jest sbiorea wa•y•tkicb !ankcji

!

odvzorowuj,oych

R

w

H (H ~ R)

taki ch,

łe

(2)

14 t - fUnkcja wzajemnie jednoznaczna. ( 1)

D e t i n i c j a 3 (por.[1, e. 103]). U •<A; G; H; P)jest ska-

lą porządkową

wtedy i tylko wtedy, gdy

~

jest zbiorem wszystkich funkcji t

odwsorowuj~ych

H w B (B • R) takich, te

t - fUnkcja

ściśle

monotonicznie

rosnąca.

(2}

D e t i n i c j a 4 (por.[1, e. 103; 9, s. 37]}. U •(A; G; H; F) jest

ekalą interwalową (przedziałową)

wtedy i

tyl~o

wtedy, gdy H jest zbiorem wezyetkicb liczb rzeczywistych R i

^~

jest zbiorem funkcji

f

ta- kich, te dla dodatniego b

t(y} • b y +

a,

t(y)E R

(3}

dla wezyetkicb yE

^R.

D e t i n i c j a 5 (por. [1, s. 103; 9, s. 38]). U •

(A;

G;

H;~)

jeet

skalą ilorazową (etosunkową}

wtedy i tylko wtedy, gdy H jest zbiorem liczb rzeczywietych dodatnich

R+

i

~

jest zbiorem fUnkcji

f

takich, te

dla d.

oda tnie

go

b

!(y) • b y,

t(y)E R+ (4)

dla wszyetkich yE R+.

Skale te

uporządkowane są

od

najsłabszej

(nominalna) at do najmocniej- szej (ekala ilorazowa). Wynika to z definicji 6.

D e

f

i n i c

j

a 6 (por. [ 8, s. 5_ 2]). Skala u ₂

jelł't

-fllocniejsza od skali 01 zawsze i tylko wtedy, gdy jej dopuszczalne

przekształcenie

jest zdegenerowanym przypadkiem dopuszcsalnego

przekeztałcenia

skali o _{1 •}

Na

wartościach

poszczególnych ekal, ze

względu

na _ dopuszczalne prze-

kształcenie,

motna

wyznaczać naetępujące

relacje:

a) skala nominalna - relacje:

I'Ó\:ności, rótności,

b) ekala

porządkowa

- relacje:

równośoi, rótności, mniejezości, wię

kszości,

c) skala

przedziałowa

- relacje: równo&oi,

rótności, mniejszości, większości, równości

rótnic i

przedziałów,

d) skala ilorazowa - relacje:

równości, rótności, mniejszości, wię

kszości, równości

rótnic i

przedziałów, równości

stoeunk6w

między

po- szczególnymi

wartościami

skali.

Wykonywanie operacji arytmetycznych dodawania i odejmowania jest do- puszczalne na

wartościach

skali

przedziałowej.

Skala ilorazowa dopuszcza ponadto wykonywanie na

wartościach

skali operacji dzielenia 1 mnotenia.

Jedyną dopuszczalną operacją empiryczną

na

wartościach

skali nominalnej 1

porządkowej

jeet zliczanie

zdarzeń

(tzn. tego, ile relacji

mniejszości, więkezości

i

równości określono

na

wartościach

np. skali

porządkowej).

Jedna s podstawowych

^re~ł

teorii pomiaru mówi,

^~e

jedynie rezultaty

(3)

o orniaru w skali mocniejszej

mogą być

transformowane na liczby

naletące

do skali

słabszej

(por. np. [6, s. 17], [9, s. H]).

Stosując

dozwolone

przekształcenie wartości

na skali, zachowujemy

niezmienność

typu skali

przyjętej

dla danej cechy.

Typ skali, ze

względu

na dopuszczalne

przekształcenia,

determinuje

stosowalność

rozmaitych technik etatystyczno-ekonometrycznych.

D e

f

1 n i c j a 7 (por. np. [8, s. 61]). 'l'echnikami statystycz- n ymi dopuszczalnymi dla danego typu skali

są

takie techniki, które do-

etarozsją

wyników (w sensie relacji) niezmiennych

względem

dopuszczalnych

przekształceń.

2

W pracy [10] J.W.

Wiśniewski

na

przykładzie współczynnika

korelacji

Wkweetionował inną

z

reguł

teorii pomiaru , która mówi, te metody

1 iloś-

ciowe, które motna

stosować

do wyników pomiaru w skali

słabszej,

zezwala

się stosować

równie! do liczb uzyskanych z mierzenia na poziomie mocniej- szym. W konkluzji stwierdza

się,

te o ile

współczynnik

korelacji Pearsona m otna

stosować

z powodzeniem do badania skorelowania cech mierzonych na skali nominalnej (po odpowiedniej traneformacji), o tyle

transformację Yapółczynnika

korelacji Pearaona w formie

współczynnika

korelacji rang

S~armana

nalety

stosować

z

ostrożnością

w stosunku do pomiaru rangowego.

Wprawdzie ostatnie zdanie jest prawdziwe, ale nie kwestionuje powyt- ezej

reguły

teorii pomiaru, albowiem odpowiednikiem

współczynnika

korela- oji Pearsona (stosowanego do pomiaru

siły

i kierunku

zw~zku

liniowego

międsy

dwiema cechami mierzonymi na

a~ali przedziałowej

i (lub) ilorazo- wej) w badaniu skorelowania dwóch eech mierzonych na skali

porządkowej

jest nie

współczynnik

rang Spearmana, ale

współczynnik

tau Xendalla.

Współczynnik

korelacji rang Spearmana jest w szczególny sposób trans- formowanym

współczynnikiem

korelacji liniowej Pearsona, w 'którym wykorzys- tuje

eię specyfikę

kolejnych n liczb naturalnych (por. np. [ 6, s. 160- , 162] ).

Współczynnik

ten nie jest

typową lliarą

korelacji rang,

stosując

go bowiem

zakłada się,

h

odległości po111iędzy sąsiednimi

rengami

są

sobie równe {na skali

porządkowej odległości aiędzy

dowolnymi dwiema rangami

, nie

eą

znane).

Załohnie

to oznacza, te motna go

wjkorzystyvać.

gdy Mmy

do czynienia nie z pomiarem

porządkowym,

ald z pomiarem co najmniej prze-

działowym.

W

myśl

definicji 7

współczynnik

korelacji rang Spearmana nie 111ote

być

etoscwany jako miara skorelowania warto!§ci dwóch cech mierzonych na skali

.Porządkowej.

Ilustruje to

następujący przykład.

1w artykule nie podejmuje się obrony tej reguły teorii pomiaru, ale

~estionuje się przykład,

na podstawie kt6rego j4

podwałono.

(4)

16

Przykła

d 1.

Dane

eą

trzy

uporządkowania

5 obiektów ze

względu

na

wartości

3 cech

"'1' M2

^1~

nierzonyc

h

na skali

porządkowej:

M1

^{1 •}

M2 3, M3 ⁴

2 4 5

3 2 1

4 1 3

5 5 2

Zgodność uporządkowań

ze

względu

na cechy M 1 1 M2 ^oraz M2 ^{1 M} ₃ ^oce-

niono r.a

pomocą współczynnika

korelac

j

1 rang Spearmana i otrzymano wyni- ki:

Między

tymi

wapółc

zynnikami zachodzi re

la

c

ja:

r

₃^(M₁^,M₂⁾

<r

₃^(M₂^,M₃^).

Do wyników pomiaru zastosowano dopuszczalne

przekształcenie

(2) na skali porządkowej (!(y) • y 2 ), które zachowuje ustalony porządek wyników pomiarów. Uzyskane wyniki nie

mają wcześniej

stwierdzonej

własności,

po-

niewa~

r~(M 1 ^,M 2 ⁾ ^{• -21,9} > r 3 ^(M 2 ^,~) ^{• -32,2.}

Współczyanika

korelacji Spearmana nie

mo~na stosować

jako miary sko- relowania

wartości

dwóch cech

~ierzonycb

na skali

porządkowej,

nie za- pewnia on bowiem wyników niezmiennych

wz~lędem

dopuszczalnych

przekształ

ceń

na tej skali.

Do pomiaru

siły

i kierunku skorelowania dwóch cech mierzonych na ska- li

porządkowej

wykorzystuje

się współczynnik

tau Kendalla, który jest e ze

zeFólną postacią wepółc

zynnika korelacji liniowej Pearsona [ 3, e. 19- 21 ] . Wzór na

współczynnik

Pearsona w wers j i rachunkowej

można

przedst a-

wić

alternatywnie jako (por. [3; 4, e. 266] ):

n n

n

n Lxizi- L ^xi _L ^{z i}

r • i•1 1•1 i•1

( r ⁿ ⁾ ⁿ xi - ( ² L ⁿ ^:ri) ^{2] [} ⁿ _L: ⁿ ^{z i} ² - ⁽ ⁾ ⁿ ^{z!) )} ^2l ^0,5

L i•1

^L-J

i•1 1•1

^..__,

1•1

^J

n ~

L.

^~

(x1 - xj)(zi- zj)

j•2 i•1

₍₅₎

n ~ (xi - xj)2 n

~ ^{2 0,5}

L, L, ^(z ⁱ ^- ^{z j) )}

j•2 i•1 j• 2 i•1

(5)

1 (M2);

t~ (:x1 - xj)(z 1-

^{llj) -}

E: ⁿ e ^{x1z1 •} z= ⁿ ^t= ^{xi zj}

j·2 1•1 j·2 1·1 j•2 1·1

n j-1

n j-1 _n _n n

- _{L L} ^:xjz1 _•L:: ^z::==xjzj

^{• (n -}

ⁿ _L ^x1z1 - ⁽ _L

c x 1 z j

j•2 1•1 j•2 1•1 i•1 j•1 i•1

n n n

- L xi z i) •

n

L ^{:xi z}

^{i -}

L

¹¹

ⁱ

ia1 1•1 1•1

t t= ² ⁿ ²

^r. ⁿ ⁿ

²

+

:xj • (n- ¹⁾ L ^xi - ( c L:XiX;!- Cxi ) -

j•2 1·1 1•1 j•1 1•1 i•1

n 2

n

n n 2

ⁿ

2

• n

L ^{x1 -} _L: c x 1 x j • n L ^{xi -} <L:

^X

^{i) •}

1=1 j•1 i•1 i•1 1•1

Prawa strona wzoru (5) po transformacji

wartości

cech mierzonych na skali

przedziałowej

1 (lub) ilorazowej na

wartości

cech ze skali

porząd- kowej według

Bchematu:

1 ,

jeśli xi) xj (zi

> ^zj),

kij(bij) - o,

jeśli

xi • x j ( z1 • zj), (6)

-1,

jeśli

:xi (

x

3

^(z

¹

⁽

^zj),

przyjmuje

postać

wsp6lczynn1ka korelacji rang ( tau) Kendalla:

( 7)

Współczynnik

'korelacji

rK

jest stosowany jako miara Bkorelowan.fa

dwóch

cech

mierzonych na

skali porządkowej.

Przyjmuje

wartości

liczbowe

z

przedziału

-1

(

rK

(

1. Gdy

uporządkowania

rang dla obu cech

Bą

zu-

pełnie

przeciwne, wówczas ri •

-1. Wartość

1 oznacza

pełną zgodność

u-

porządkowań.

(6)

16 P r s

y

k l a d 2

Dokonano dwóch

równoległych

ocen szans 6 kandydatów na pre zydenta:

Kandydaci

A

B

C D E F

Uporządkowanie

3 5

²

^{6 4}

Uporządkowanie

2 3,5 3,5 1,5 1,5 6 5

Zgodność

ocen

określono

przez ustalenie

zgodności uporządkowań

kandy- datów na podatawie

współczynnika

(7):

rx • -( 1_5_•..:.1...:..3 -., 11 0 .... , ... 5- • o. 788 •

Otrzymana

wartość

wskazuje na

dość du~ą zgodność

obu

uporządkowań.

[ 1]

[ 2

J

[ 3]

[ 4]

[ 5]

[ 6 ] [ 7 ]

[ 8 ]

LITERATURA

Adama E.W., Fagot R.P., Robineon R.E.: A theory of appropriate etatistics. "Peychometrika• 1965 (30) no. 2 e. 99-127.

Cboynowaki M.: Pomiar w psychologii. W: Problemy psychologii mate- matycznej. Red. J. Kozielecki. Warszawa: PWN 1971.

Kendall M.G.: Rank Correlation Methods. London: Griffin 1955.

Kendall M.G., Buckland W.R.:

Słownik

terminów statystycznych.

Warezawa:

P\liE

1966.

Pawlows~i

T.: Metodologiczne zagadnienia humanistyki. Warszawa:

PWN 1969.

Steczkowski J . ,

Zeliaś

A.: Statystyczne metody analizy cech jako-

ściowych.

Warszawa: PWE 1981.

Stevena S.S.: Measurement, Psychophyeios and Utility. W: Measure- ment; Definitions and Theories. Red. c.w. Churehman, F. Ratoosh, New York: Wiley 1959.

Walenta K.: Podstawowe

pojęcie

teorii pomiaru. W: Problemy psycho- logii matematycznej. Red. J. Kozielecki. Warszawa: PWN 1971.

Walesiak M.: Syntetyczne badania porównawcze w

świetle

teorii po- miaru.

•Przegląd

Statystyczny" 1990 z. 1-2 s. 37-46.

Wiśnieweki

J.W.: Korelacja i regresja w badaniach zjawisk

jakościo

wych na tle teorii pomiaru.

"Przegląd

Statystyczny" 1986 z. 3 s.

2'39-248.

(7)

MEIISUREMENT RESULTS Summary

the paper the relatJons between Pearson correlatJon coeffJcJent.

::>~e<Hman

rank correlat1on coeff:c1ent and tau Kendall coefflcient

ar·~

ana.y~ed

WJth respect to che scale of measurement. !t JS argued that he rau Kendall correlat1on coeff1c1ent 1s (for the rank meas,Jrement

r~:-ul.s)

the specJaJ case of the Pearson correJatJon coeff1c1en