Funkcja Phragmena-Lindelófa niektórych parzystych iloczynów kanonicznych

(1)

K. U

rbanik

(Wrocław)

Funkcja Phragmena-Lindelófa niektórych parzystych iloczynów kanonicznych

Wnioskowanie o szybkości wzrostu funkcji analitycznej na pod

stawie znajomości jej przebiegu w ustalonym ciągu punktów jest mocnym środkiem badawczym. Przykładem tego jest twierdzenie Levinsona ([2] i [3], str. 107), z którego Boas [1] wydedukował twierdzenie Miku- sińskiego o momentach ograniczonych (Mikusiński [5]).

Miarą szybkości wzrostu funkcji F(z) typu wykładniczego przy ustalonym argz jest funkcja Pliragmena-Lindelófa

h ( d )

lim sup

T—> 00

log \F(reie)\

r

W dowodzie cytowanego twierdzenia Levinsona wykorzystuje się mię

dzy innymi twierdzenie, że dla parzystych iloczynów kanonicznych

CO

(1) F(<s) = J ] (1 - г/4 ),*

71 = 1

gdzie gęstość zer zl t z2, ... jest rzeczywista i dodatnia, to znaczy

(2) lim — = D > O, n

n— >oo %n funkcja Phragmena-Lindelófa ma postać

(3) h(Q) — 7r-Z>|sin0| (O < в < 2тс).

Dowód tego twierdzenia podany u Levinsona ([3], str. 92), a opierający się na pomysłach Pflugera ([6]; por. także Polya [7], str. 571) jest żmudny i nieprzejrzysty. Niniejszy artykuł zawiera prosty dowód wzoru (3) przy założeniach (1) i (2), oparty na elementarnych własnościach funkcji Phragmena-Lindelófa i metodach oszacowań z pracy [4] J. Mikusińskiego.

Przed właściwym dowodem zrobimy dwie uwagi.

I. Z parzystości funkcji F wynika, że

(4) h { d ) = h ( 6 + тс).

(2)

186 К . U r b a n i k

Niech F(z) = f l (1 —z2/Zn) i niech h* będzie funkcją Phragmena - Lin-*

n

=1

delófa dla F. Wobec równości \F(z)\ = \F(z)\ mamy

(5) h{Q)* = ł i ( - d ) .

Z (4), (5) i tego, że wraz z [zn] ciąg [żn\ spełnia wzór (2), wynika, że wystarczy udowodnić (3) dla -|тс < в < n.

II. Z równości

1 \ 1 z2

lim — > log 1 ---

y

|г|-».оо \z\ Z n

= 0

wynika, że zmiana skończonej ilości czynników w. iloczynie (1) nie zmie:

nia funkcji h{6).

D ow ód . Ze wzoru (2) wynika, że dla D > e > 0 i dla prawie wszy

stkich n naturalnych zachodzą nierówności

(6) ^ D +

e,

гег. {D-

n£ I>2- ^

^n ^ ej}1.

Wobec uwagi II (zmieniając, ewentualnie skończoną ilość zn) przyjmu

jemy, że (6) zachodzi dla n = 1 , 2 , . . . Z (6) otrzymujemy

\l~z2jzn2\ < 1 + |г|2/|г„|2 < 1 + |г|2(П + в )2/» 2, a więc

(7) \F(z)\^ sin iz{D-\-e)\z

тс (D-f- e) \z\

co dowodzi w szczególności, że F jest funkcją typu wykładniczego.

Z (6) otrzymujemy również

|l + r2/

₂

n2| ^ |l-f г2гег,^2| > l + r2(D — e)2/n2, co implikuje nierówność

. sinłiTc(D — e) \r\

' k n ^ n(B-e)\r\

Stąd i z (7) na mocy definicji funkcji h(6) otrzymujemy

тс

{ D —e)

^

тс( D + e ) ,

co wobec dowolności e daje

(8) ВД w) = тс D.

(3)

Z (6) otrzymujemy dalej, że (9)

y2* /^2 /у>2 n2 Y)2

1 - - Г

Zn <c 1 - H—n2 D 2--- r <C

n2 n2

er2D2

Przyjmijmy

Ф(г) = J~J (\l — r2ln?\ -\-er2ln2).

Z (9) otrzymujemy nierówność

(10) |_F(r)| + 0{Dr).

Oszacujemy teraz log(2>(r). Z definicji funkcji Ф(г) wynika, że [S] ' 2M I ' r2( l + e ' [Г]

lO g 0 (»’) = Z log - 1

n“ Z ^lo4 ^{r2(l + г)} ^{i) +}

Z log

»=[»•]+1

№ = [S] + 1

r2(l — e)\ . _. / 1 + e

w/ , gdzie s — r Y -

Składniki pierwszej sumy są nieujemne, dwóch pozostałych zaś nie- dodatnie. Wobec monotoniczności składników zachodzi więc nierówność

[S] r n

r ( r2( 1 + e ) \ г I r2( 1 + e)

lo g 0 (r) < J lo g i--- 1 I d x + I lo g i--- --- 1 \dx-\-

0 \ X f [e]+ 2 ' X й

/ iog(i-^V ⁴ <fo:’

[*■]+! '

gdzie s = r Y

1 + e

W pierwszej i drugiej całce dokonujemy podstawienia x = urV 1 + e, w trzeci

lo g (|> (r)

w trzeciej zaś podstawienia x — urV 1 —e i otrzymujemy , aik) “з(0

r gdzie

< l / l + e | j + J J l o g | ~ — l j й ^ + l / l - e j l o g j l — - i j d w ,

' 0 °2^(r) ^' ^' ^*4{r) ' U *

O.W = KiE+fll, aa(r) = K i l i M i i

r \

1 + e

r \

1 + e

«з И = — 7 = = , « iW = W + 1

V i + r/l — e

(4)

188 К . U r b a n i k

Stąd wobec (10) i definicji funkcji h(0) otrzymujemy przy r - -> oo oo

A ( 0 ) < 2 ) / l + e J \og{llu?-l)d,u + D \ / l-£ j l o g { l —l/u2)du,

0 W 2

gdzie wx — 1 /l/l + e, w2 = lf]/l — s, co wobec dowolności e daje

1 O O

(11) A(0) j l o g ( l / u 2—l ) d u - \ - D j l o g ( l - l lu2)du =

o i

= 2 D log 2 — 2 D log 2 = 0.

Mech H(0) — TtDsinfl. Z (8) i (11) wynika, że

( 1 2 )

H (

0 ) =

H

(тс) > A ( 0 ) = А (тс) , = A ( £tc).

Stąd na mocy znanej własności funkcji Phragmena-Lindelofa (por. np.

Titchmarsh [8], str. 183) wynika, że

(13) A(0) < Н(в) dla 0 < 0 < тс.

Mech < в < 7i. Wówczas z (12) na mocy znanego twierdzenia 0 funkcjach Phragmena-Lindelofa (por. Titchmarsh [8], str. 183) otrzy

mujemy nierówność A(0) > Д (0 ), co w połączeniu z (13) daje A(0) —

= Н(в) dla |-7T < 0 < 7Г. Powołanie się na uwagę I kończy dowód twierdzenia. Podaną metodą można udowodnić wzór (3) także wtedy, gdy gęstość zer ciągu \zn) jest równa 0. Myśl dowodu jest następująca:

ze wzoru (7), który jest także wówczas słuszny, otrzymujemy h(0) < 0 1 h(%те) < 0. Dowód, że A(-|n) > 0, jest analogiczny do dowodu, że A(0) ^ 0, w przypadku gęstości dodatniej. Dalej rozumujemy już tak, jak przy gęstości dodatniej.

Prace cytowane

[1] R. P. B o a s , Remarks on a moment problem, Studia Mathematica 13 (1953), str. 5 9 -6 1 .

[2] N. L e v i n s o n , On the growth of analytic functions, Transactions of A m e

rican Mathematical Society 43 (1938), str. 240-257.

[3] — Gap and density theorems, New York 1940.

[4] J. M i k u s i ń sk i, On generalized exponential functions, Studia Mathematica 13 (1953), str. 4 8 -5 0 .

[5] — Remarks on the moment problem and a theorem of Picone, Colloquium Mathematicum 2 (1951), str. 138-141.

[6] A . P flu g e r , tiber das Anwachsen von Funktionen, die in einem Winkelraum regular und vom Exponentialtypus sind, Compositio Matematica 4 (1937), str. 367 -372.

[7] G. P o ly a , Untersuchungen uber Lucken und Singularitaten von Potenzreihen, Mathematische Zeitschrift 29 (1929), str. 549-640.

[8] E. C. T i t c h m a r s h , The theory of functions, Oxford 1932.

IN STYTU T M ATEM ATYCZNY POLSKIEJ A K AD EM II N A U K

(5)

К. ^Ур б а н и к (Вроцлав)

Ф У Н К Ц И Я ФРАГМЕ H A -ЛИ H Д ЕЛ Е ФА Н Е К О Т О Р Ы Х Ч Ё Т Н Ы Х К А Н О  Н И Ч Е С К И Х П РО И ЗВ ЕД Е Н И Й

РЕЗЮМЕ

В работе дано простое доказательство следующей известной теоремы:

Если lim (n /z n) = I) > 0, то функция Фрагмена-Линделёфа функции п—>оо

оо

F(z) = / 7 (1 - z 2/4 ) п—

1

дается формулой h( 6)⁼ 7cD|sin0|, где ^{0 ^} в^{^} 2tz.

К . ^Ur b a n i k (Wrocław)

ON TH E PH R A G M E N -L IN D E L O F FU N C TIO N OF SOME E V E N CAN O N IC AL PRODUCTS

S U M M A R Y

The paper contains a simple proof of the following well-known theorem:

I f lim (njzn) — D > 0, then the Phragmen-TAndelóf function of the function 71—>0O

CO

F

{

z

) =

f

] (

l

-

z

*/£)

n= 1

is given by the formula h(6) = TrD|sin0|, 0 sg; 0 ^ 2тг.

Funkcja Phragmena-Lindelófa niektórych parzystych iloczynów kanonicznych

K. U

(Wrocław)

Funkcja Phragmena-Lindelófa niektórych parzystych iloczynów kanonicznych

Wnioskowanie o szybkości wzrostu funkcji analitycznej na pod­

stawie znajomości jej przebiegu w ustalonym ciągu punktów jest mocnym środkiem badawczym. Przykładem tego jest twierdzenie Levinsona ([2] i [3], str. 107), z którego Boas [1] wydedukował twierdzenie Miku- sińskiego o momentach ograniczonych (Mikusiński [5]).

Miarą szybkości wzrostu funkcji F(z) typu wykładniczego przy ustalonym argz jest funkcja Pliragmena-Lindelófa

lim sup

log \F(reie)\

r

W dowodzie cytowanego twierdzenia Levinsona wykorzystuje się mię­

dzy innymi twierdzenie, że dla parzystych iloczynów kanonicznych

(1) F(<s) = J ] (1 - * г/4 ),

gdzie gęstość zer zl t z2, ... jest rzeczywista i dodatnia, to znaczy

(2) lim — = D > O, n

n— >oo %n funkcja Phragmena-Lindelófa ma postać

(3) h(Q) — 7r-Z>|sin0| (O < в < 2тс).

Przed właściwym dowodem zrobimy dwie uwagi.

I. Z parzystości funkcji F wynika, że

(4) h { d ) = h ( 6 + тс).

Niech F*(z) = f l (1 —z2/Zn) i niech h* będzie funkcją Phragmena - Lin-

=1

delófa dla F*. Wobec równości \F*(z)\ = \F(z)\ mamy

(5) h*{Q) = ł i ( - d ) .

Z (4), (5) i tego, że wraz z [zn] ciąg [żn\ spełnia wzór (2), wynika, że wystarczy udowodnić (3) dla -|тс < в < n.

II. Z równości

1 \ 1 z2

lim — > log 1 ---

= 0

wynika, że zmiana skończonej ilości czynników w. iloczynie (1) nie zmie:

nia funkcji h{6).

D ow ód . Ze wzoru (2) wynika, że dla D > e > 0 i dla prawie wszy­

stkich n naturalnych zachodzą nierówności

(6) ^ D +

гег. {D-

n£ I>2- ^

^n ^ ej}1.

Wobec uwagi II (zmieniając, ewentualnie skończoną ilość zn) przyjmu­

jemy, że (6) zachodzi dla n = 1 , 2 , . . . Z (6) otrzymujemy

\l~z2jzn2\ < 1 + |г|2/|г„|2 < 1 + |г|2(П + в )2/» 2, a więc

(7) \F(z)\^ sin iz{D-\-e)\z

тс (D-f- e) \z\

co dowodzi w szczególności, że F jest funkcją typu wykładniczego.

Z (6) otrzymujemy również

|l + r2/

n2| ^ |l-f г2гег,^2| > l + r2(D — e)2/n2, co implikuje nierówność

. sinłiTc(D — e) \r\

' k n ^ n(B-e)\r\

Stąd i z (7) na mocy definicji funkcji h(6) otrzymujemy

{ D —e)

^

co wobec dowolności e daje

(8) ВД w) = тс D.

Z (6) otrzymujemy dalej, że (9)

y*2 /^2 /у>2 n2 Y)2

1 - - Г

Zn <c 1 - H—n2 D 2--- r <C

n2 n2

er2D2

Przyjmijmy

Ф(г) = J~J (\l — r2ln?\ -\-er2ln2).

Z (9) otrzymujemy nierówność

(10) |_F(r)| + 0{Dr).

Oszacujemy teraz log(2>(r). Z definicji funkcji Ф(г) wynika, że [S] ' 2M I ' r2( l + e ' [Г]

lO g 0 (»’) = Z log - 1

n“ Z lo4 r2(l + г) i) +

Z log

»=[»•]+1

r2(l — e)\ . _. / 1 + e

w/ , gdzie s — r Y -

Składniki pierwszej sumy są nieujemne, dwóch pozostałych zaś nie- dodatnie. Wobec monotoniczności składników zachodzi więc nierówność

r ( r2( 1 + e ) \ г I r2( 1 + e)

lo g 0 (r) < J lo g i--- 1 I d x + I lo g i--- --- 1 \dx-\-

/ iog(i-^V 4 <fo:’

[*■]+! '

gdzie s = r Y

1 + e

W pierwszej i drugiej całce dokonujemy podstawienia x = urV 1 + e, w trzeci

lo g (|> (r)

w trzeciej zaś podstawienia x — urV 1 —e i otrzymujemy , aik) “з(0

Wnioskowanie o szybkości wzrostu funkcji analitycznej na pod

W dowodzie cytowanego twierdzenia Levinsona wykorzystuje się mię

(1) F(<s) = J ] (1 - г/4 ),*

Niech F(z) = f l (1 —z2/Zn) i niech h* będzie funkcją Phragmena - Lin-*

delófa dla F. Wobec równości \F(z)\ = \F(z)\ mamy

(5) h{Q)* = ł i ( - d ) .

D ow ód . Ze wzoru (2) wynika, że dla D > e > 0 i dla prawie wszy

Wobec uwagi II (zmieniając, ewentualnie skończoną ilość zn) przyjmu

y2* /^2 /у>2 n2 Y)2

n“ Z ^lo4 ^{r2(l + г)} ^{i) +}

/ iog(i-^V ⁴ <fo:’

Mech < в < 7i. Wówczas z (12) na mocy znanego twierdzenia 0 funkcjach Phragmena-Lindelofa (por. Titchmarsh [8], str. 183) otrzy