Liniowe Zadanie Decyzyjne
– model matematyczny, w którym zarówno funkcja celu jak i warunki ograniczające są funkcjami liniowymi – ekonomiczne wykorzystanie Programowania Liniowego do opisu sytuacji decyzyjnej i znalezienia decyzji optymalnej (najlepszej).1. Rodzaje LZD:
• Optymalnego asortymentu produkcji
• Diety
• Transportowe
• Mieszanki
• Rozkroju (wyboru odpowiedniego procesu technologicznego)
• Przydziału (alokacji szeroko pojętych zasobów)
• Optymalnego rozłoŜenie w czasie
• inne
2. UłoŜenie LZD: przełoŜenie sytuacji decyzyjnej na język matematyczny (budowa modelu matematycznego):
• Zdefiniowanie zmiennych decyzyjnych
• Określenie postaci funkcji celu (funkcji kryterium)
• Sformułowanie warunków ograniczających
• Ustalenie warunków znakowych i/lub innych warunków nałoŜonych na zmienne decyzyjne (np.
całkowitoliczbowości albo binarności)
Rozwiązanie dopuszczalne (decyzja dopuszczalna): taka wartość zmiennej decyzyjnej, która spełnia wszystkie warunki ograniczające. Rozwiązania dopuszczalne tworzą ZRD (zbiór rozwiązań dopuszczalnych)
Rozwiązanie optymalne: x* - takie rozwiązanie dopuszczalne, dla którego funkcja celu osiąga wartość najkorzystniejszą (najwyŜszą/najniŜszą w danym ZRD)
LZD z dwoma zmiennymi moŜemy rozwiązać graficznie. KaŜdy punkt płaszczyzny jest rozwiązaniem - odczytujemy je jako współrzędne tego punktu. Spośród wszystkich punktów płaszczyzny tylko niektóre są rozwiązaniami dopuszczalnymi (czyli takimi, które bierzemy pod uwagę jako moŜliwe rozwiązania problemu) - muszą spełniać wszystkie warunki ograniczające zadania. Najlepszym rozwiązaniem z spośród dopuszczalnych jest to o najkorzystniejszej wartości funkcji celu.
3. Rozwiązanie LZD metodą graficzną:
• Rysujemy osie układu współrzędnych i opisujemy je (oś pozioma x1,oś pionowa x2)
• Obliczenie punktów przecięcia linii stanowiących warunki ograniczające z osiami i narysowanie tych linii (oznaczamy kaŜdą linię i rysujemy zwrot nierówności)
• Znalezienie zbioru rozwiązań dopuszczalnych (część wspólna wszystkich ograniczeń)
• Określenie nachylenia wszystkich prostych (dla ax1+bx2=c nachylenie prostej wynosi –a/b)
• Rysujemy na wykresie choć jedną izolinię/izokwantę obrazującą graficznie funkcję celu. Dla funkcji celu w postaci c1x1+c2x2 kaŜda izokwanta przecina osie układu współrzędnych w takich punktach, Ŝe stosunek odległości przecięcia z osią x2 (pionową) od początku układu współrzędnych do odległości przecięcia z osią x1 (poziomą) od początku układu współrzędnych ma się jak c1/c2, czyli przykładowo jedna z izokwant przecina oś pionową x2 w punkcie c1 a oś poziomą x1 w punkcie c2 (moŜemy brać równieŜ krotności).
Ilustrują to dwa poniŜsze przykłady, gdzie zaznaczono kilka izokwant, spośród których pogrubiona została narysowana zgodnie z powyŜszymi zasadami:
Dla sprawdzenia czy dobrze narysowaliśmy izokwantę moŜemy narysować takŜe gradient, do którego izokwanty są prostopadłe. Jest to szczególnie przydatne, gdy przy którejś z wag funkcji celu stoi znak minus. Gradient jest to wektor wskazujący na kierunek wzrostu wartości fc. Jego początek leŜy w początku układu współrzędnych, a współrzędne końca gradientu to (c1,c2) lub ich krotności (uwaga – moŜna powiedzieć, Ŝe występuje tu pewna „zamiana” parametrów niŜ przy rysowaniu izokwanty). Ilustrują to poniŜsze przykłady, gdzie zaznaczono izokwanty, oraz narysowano takŜe gradient:
• Określenie punktu styczności najwyŜej/najniŜej połoŜonej izokwanty z wierzchołkiem zbioru rozwiązań dopuszczalnych (moŜe to być takŜe krawędź w przypadku takiego samego nachylenia izokwanty i któregoś warunku ograniczających) - narysowaną izokwantę przesuwamy równolegle do miejsca w którym posiada jeszcze jakiś punkt wspólny ze zbiorem rozwiązań dopuszczalnych - jest to rozwiązanie optymalne (x*). W
celu znalezienia współrzędnych punktu optymalnego (czyli liczbowego rozwiązania optymalnego) musimy rozwiązać układ równań złoŜony z równań dwóch prostych, których przecięciem jest punkt optymalny.
Punkty na danej izokwancie odpowiadają tej samej wartości funkcji celu, a izokwanty odpowiadające róŜnym wartościom funkcji celu są do siebie równoległe. JeŜeli chcemy "przejść" na izokwantę o wyŜszej wartości funkcji celu to "przeskakujemy" zgodnie z kierunkiem wskazanym przez gradient..
JeŜeli LZD ma rozwiązanie(a) dopuszczalne to rozwiązanie optymalne znajduje się w punkcie, w którym izokwanta dla najkorzystniejszej wartości funkcji celu jest styczna do ZRD.
Na podstawie stosownych twierdzeń wiemy, Ŝe rozwiązanie zadania znajduje się w wierzchołku zbioru rozwiązań dopuszczalnych (podstawa metody SIMPLEX)
4. Ilość rozwiązań dopuszczalnych:
• Brak – zadanie sprzeczne, brak części wspólnej dla ograniczeń
• Jedno – np. gdy zadanie ma dwa warunki ograniczające będące równościami - jedyne rozwiązanie dopuszczalne znajduje się w punkcie ich przecięcia się
• Nieskończenie wiele (odcinek albo obszar) 5. Ilość rozwiązań optymalnych:
• Jedno (wierzchołek)
• Nieskończenie wiele (krawędź)
• Brak rozwiązania (brak części wspólnej dla wszystkich ograniczeń) – zadanie sprzeczne
• Brak (skończonego) rozwiązania (np. przy funkcji celu na max brak ograniczenia od góry)
6. Analiza wraŜliwości / analiza postoptymalizacyjna (dla danego parametru) – zakładając niezmienność pozostałych parametrów określamy jak zmieni się rozwiązanie optymalne LZD przy róŜnych wartościach danego parametru.
Analizę wraŜliwości przeprowadzamy dla:
• Wag funkcji celu - zmiana którejś z wag powoduje zmianę nachylenia izokwant, które wynosi c1/c2. Jeśli c1
wzrośnie/spadnie to rośnie/maleje nachylenie izokwant, jeśli c2 wzrośnie/spadnie to maleje/rośnie nachylenie izokwant. Większe nachylenie oznacza, Ŝe izokwanty są strome, mniejsze to inaczej łagodniejsze nachylenie.
• Wartości ograniczeń (prawych stron) - jeśli wartość prawej strony rośnie, to warunek przesuwa się do góry (w prawo), jeśli maleje to warunek przemieszcza się w dół (w lewo).
