Model wymiany

Stosowane modele równowagi ogólnej (CGE)

ogólnej (CGE)

Wykład 4

Model wymiany

(z poprzednich zajęć)

Model wymiany składał się z równań:

• popytu na poszczególne dobra (np. popyt na pomarańcze – funkcją dochodu gospodarstwa i ceny pomarańczy),

ceny pomarańczy),

• ograniczeń budżetowych (wydatki=dochody),

• równowagi (np. suma popytu na pomarańcze = suma podaży/zasobów pomarańczy),

• definiujących użyteczność,

• definiujących dochód (jako sumę wartości posiadanych przez gospodarstwo zasobów).

Oznaczenia

• y – konsumpcja,

• z – zasoby początkowe,

• p – ceny dóbr,

• wytot – wartości dochodów (zasobów

• wytot – wartości dochodów (zasobów początkowych),

• u – użyteczności.

• Symbole zmiennych wyrażają procentowe

przyrosty odpowiednich kategorii.

Symulacja 1

Zakładamy wzrost zasobu początkowego (Z) pomarańczy w II gospodarstwie o 10%.

Wyniki:

y(Gosp1) y(Gosp2) p

Pomarancze 0 6,25 0

Pomarancze 0 6,25 0

Jablka -4,17 2,08 4,17

wytot u

Gosp1 0 -2,08 Gosp2 6,25 4,46

Wyniki uzyskane metodą Johansena (przybliżone).

Interpretacja wyników (ceny)

• W modelu CGE badamy zmiany cen względnych.

• Przy stałej cenie pomarańczy (pomarańcze jako dobro numeraire)

dobro numeraire)

cena jabłek rośnie o 4,17%.

• Inaczej – cena jabłek w relacji do ceny

pomarańczy rośnie o 4,17%. Same nominalne zmiany nie mają znaczenia.

• Jak wyjasnić ten efekt? Jabłka stają się dobrem relatywnie rzadszym.

Interpretacja wyników (dochody)

wytot = S(”P”)·[z(”P”)+p(”P”)]

+ S(”J”)·[z(”J”)+p(”J”)]

Dla gospodarstwa 1:

1·(0+0) + 0·(0+4,17) = 0 1·(0+0) + 0·(0+4,17) = 0 Dla gospodarstwa 2:

25/70·(10+0) + 45/70·(0+4,17) = 6,25

Zmiany wartości dochodów nie są tożsame ze zmianami realnych dochodów (siły nabywczej).

Interpretacja wyników (konsumpcja)

y(i) = wytot – p(i) Dla gospodarstwa 1:

y(”P”) = 0 – 0 = 0

y(”J”) = 0 – 4,17 = –4,17 y(”J”) = 0 – 4,17 = –4,17 Dla gospodarstwa 2:

y(”P”) = 6,25 – 0 = 6,25

y(”J”) = 6,25 – 4,17 = 2,08

zmianami realnych dochodów (siły nabywczej).

Interpretacja wyników (użyteczność)

u = alfa·y(”P”)+(1–alfa)·y(”J”) Dla gospodarstwa 1:

u = 0,5·0 + 0,5·(–4,17) = –2,08 Dla gospodarstwa 2:

Dla gospodarstwa 2:

u = 4/7·6,25 + 3/7·2,08 = 4,46

Zmiany użyteczności można tu utożsamiać ze zmianami realnej całkowitej konsumpcji.

Interpretacja wyników c.d.

• Metodą Eulera można wyznaczyć dokładne rozwiązanie …

• … ale wówczas równania dla

procentowych przyrostów nie są spełnione procentowych przyrostów nie są spełnione dokładnie.

• W związku z tym dekompozycja wyników

jest także przybliżona.

Rozw. Metodą Eulera

Rozwiązanie na podstawie 3-stopniowej metody Eulera (method=euler; steps=4 8 16).

Np. dla gospodarstwa 2:

Np. dla gospodarstwa 2:

y(”J”) = 2,00 ≈ 6,25 – 4,17

Symulacja 2

Wzrost zasobu początkowego pomarańczy w II gospodarstwie o 10% (jak w sym. 1). Zmiana numeraire!

Wyniki:

y(Gosp1) y(Gosp2) p y(Gosp1) y(Gosp2) p

Pomarancze 0 6,25 -4,17

Jablka -4,17 2,08 0

wytot u

Gosp1 -4,17 -2,08 Gosp2 2,08 4,46

Wyniki uzyskane metodą Johansena (przybliżone).

Symulacja 2 c.d.

• Wyniki w ujęciu realnym (ilości) nie

zmieniają się (konsumpcja, użyteczności).

• Zmieniają się wyłącznie wyniki dla

wielkości nominalnych (dochody, ceny).

wielkości nominalnych (dochody, ceny).

Funkcja produkcji CES

Elastyczność substytucji

) /

( przyrost wzgledny

) /

( przyrost wzgledny

K L

P P

L

≡ K

σ

L K / ) (

d

K L

K L

P P

P P

L K

L K

/

) /

( d

/

) /

( d

σ ≡

Funkcja produkcji CES

• CES – constant elasticity of substitution.

• Można sprawdzić, że tego typu funkcja

[ ^δ

^δ

]

β ⋅ ⋅

+ ( 1 − ) ⋅

= K L

Q

• Można sprawdzić, że tego typu funkcja

charakteryzuje się stałą elastycznością

substytucji σ = 1 /( 1 + ρ )

Funkcja produkcji CES – szczególne przypadki

• Im większa wartość σ tym łatwiejsza zastępowalność czynników produkcji.

• σ = 0: funkcja produkcji Leontiefa.

• σ = 0: funkcja produkcji Leontiefa.

• σ = 1: funkcja produkcji Cobba-Douglasa.

• σ →∞: doskonale substytucyjne czynniki

produkcji.

Problem minimalizacji kosztów (1)

min K·P

+L·P

Przy warunku

• Dane: produkcja i ceny czynników.

[ ^{⋅ K + − ⋅ L} ] ^{= Q}

⋅ δ

δ

β ( 1 )

• Dane: produkcja i ceny czynników.

Problem minimalizacji kosztów (2)

Rozwiązanie (zmienne w postaci procentowych przyrostów):

• k = q – σ·(p

– p

)

• l = q – σ·(p – p )

• l = q – σ·(p

– p

)

• p

= S

·p

+S

·p

Rozszerzenie modelu wymiany

• Do modelu wymiany dodajemy rynki czynników produkcji i opis technologii produkcji.

Koszty (produkcja pomarańczy)

Koszty (produkcja jabłek)

Zasób Gosp.1 (wartość)

Zasób Gosp.2 (wartość)

Kapitał 30 30 20 40

Praca 25 15 10 30