Sprawdzian nr 3 - poprawa, 3.3.2020
Zadanie 1. (12 pkt)
(a) Znajdź liczbę par (x, y), gdzie x, y ∈ N takich, że 4x2− 9y2 = 2100· 3101.
(b) Uzasadnij, że równanie x2+ (x + 1)2 = y4+ (y + 1)4 nie ma rozwiązań w liczbach naturalnych x, y.
(c) Znajdź wszystkie liczby naturalne n takie, że ϕ(n) = 24, gdzie ϕ jest funckją Eulera.
Zadanie 2. (6pkt) Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej n, liczby n! + 1 i (n + 1)! + 1 są względnie pierwsze.
Zadanie 3. (6 pkt) Znajdź trzy ostatnie cyfry liczby 101!! = 1 · 3 · 5 · . . . · 99 · 101.
Zadanie 4. (6pkt) Niech n 3.
(a) Udowodnij, że dla dowolnej liczby nieparzystej a, liczba a2n−2−1 jest podzielna przez 2n.
(b) Udowodnij, że dla dowolnej liczby nieparzystej a istnieją liczby całkowite 0 ¬ x ¬ 1, 0 ¬ y ¬ 2n−2− 1, że (−1)x· 5y ≡ a(mod 2n).
