(Wskazówka: Wykorzystać wklęsłość funkcji y = 1/x.) Zadanie 3

Zadania przygotowawcze do kolokwium nr 2 (WZ, 23.1.2019)

Zadanie 1. Proszę uzasadnić, że przekątna w prostokącie o bokach 3 i 4 ma długość 5 nie powołując się na twierdzenie Pitagorasa.

Zadanie 2. Sformułuj definicję liczby π, liczby Eulera e, logarytmu naturalnego¹ i uzasadnij, że (a) π > 2√

2,

(b) 1 +¹₂ +¹₃ +¹₄ > ln 5 > ₅¹ +¹₄ +¹₃ +¹₂,

(c) ln 5 − ln 4 < ¹₂(¹₄ +¹₅). (Wskazówka: Wykorzystać wklęsłość funkcji y = 1/x.) Zadanie 3. Znajdź wartość maksymalną funkcji

(a) f (x) = |x²+ 2x − 3| + ³₂ln x na przedziale [¹₂, 2]. (Wskazówka: Wyznaczyć przedziały, na których x²+ 2x − 3 ­ 0, na których funkcja rośnie i te, na których maleje.)

(b) f (x) = x³− 3x²− 9x + 5 na [0, +∞);

(c) e^−xsin x na [0, +∞],

(d) | − x²+ 12x − 6| na [−5, 3].

Zadanie 4. Oblicz log1 4

16, sin(¹¹₆ π), cos^2019π₄ , tg(−²₃π), arctg(−1), arc sin(−¹₂), arc cos(−

√ 3 2 ).

Zadanie 5. Oblicz granice (a) lim_x→^π

2(^π₂ − x) tg x, (b) lim_x→0

√1−x²−cos x x⁴ , (c) lim_x→0ln(1+x)−sin x

x² , (d) lim_x→+∞(ln(x +√

x) − ln x)√⁴ 1 + x².

Zadanie 6. Wyznacz te przedziały, na których funkcja rośnie, maleje, jest wypukła, wklęsła. Naszkicuj wy- kres funkcji:

(a) f (x) = (x²− 3)e^x,

(b) f (x) = 3x⁴− 16x³− 6x²+ 48x.

W zależności od a ∈ R proszę znaleźć liczbę takich x ∈ R, że f (x) = a.

Zadanie 7. Pudełko bez przykrywki o podstawie kwadratowej ma mieć objętość 125cm³. Cena 1cm² ściany wynosi 3 gr, a cena 1cm² podstawy wynosi 6 gr. Znaleźć wymiar podstawy, który minimalizuje koszt wykonania.

Zadanie 8. Znaleźć stożek o najmniejszej objętości spośród wszystkich stożków opisanych na kuli o promie- niu 1.²

1Proszę przeczytać i zrozumieć https://www.mimuw.edu.pl/~pol/MatZarz/NotatkiiZestawI, strona 5, wiersze 5 i 2 od dołu. Uwaga, stwierdzenie, że e ' 2.7182818284590452353602874713526624977 nie może być uznane za definicję liczby e. Podobnie z liczbą π.

2Stożek jest opisany na kuli, jeśli jego podstawa i powierzchnia boczna są styczne do kuli.