Probabilistyka i metody statystyczne
Wykład 6
Weryfikacja hipotez statystycznych
Hipoteza statystyczna – przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu badanej cechy.
Hipoteza parametryczna – hipoteza statystyczna dotycząca rzeczywistej wartości parametru rozkładu badanej cechy.
Weryfikacja – sprawdzenie prawdziwości badanej cechy.
Test statystyczny – reguła postępowania, która danej próbie
przyporządkowuje decyzję przyjęcia (uznania za prawdziwą) lub odrzucenia
(uznania za fałszywą) badanej hipotezy.
Weryfikacja hipotez statystycznych
Weryfikacja hipotez statystycznych
Decyzja \ Fakty
Poprawna decyzja
Błąd pierwszego rodzaju α = poziom istotności = prawdopodobieństwo
popełnienia błędu 1-go rodzaju (ryzyko sprzedającego)
Poprawna decyzja
Weryfikacja hipotez statystycznych
Decyzja \ Fakty
Błąd pierwszego rodzaju α = poziom istotności = prawdopodobieństwo
popełnienia błędu 1-go rodzaju
(ryzyko sprzedającego)
Weryfikacja hipotez statystycznych
Obu tych prawdopodobieństw popełnienia błędu (α i β) nie da się równocześnie minimalizować.
Jak α zmniejszymy, to β wzrośnie (i na odwrót).
Decyzja \ Fakty
Błąd pierwszego rodzaju α = poziom istotności = prawdopodobieństwo
popełnienia błędu 1-go rodzaju
(ryzyko sprzedającego)
Testy istotności
Weryfikacja hipotez statystycznych
Decyzja \ Fakty
Błąd pierwszego rodzaju α = poziom istotności = prawdopodobieństwo
popełnienia błędu 1-go rodzaju
(ryzyko sprzedającego)
Testy istotności
Testy istotności
Testy istotności
Testy istotności
Algorytm weryfikacji hipotez za pomocą testów istotności
Zbiór krytyczny
Zbiór krytyczny
Zbiór krytyczny
Zbiór krytyczny
Zbiór krytyczny
Krytyczny poziom istotności
Test zgodności chi-kwadrat
Dana jest próba podzielona przedziały 𝐼1, 𝐼2, … , 𝐼𝑘, liczby 𝑛𝑗 obserwacji z próby należących do przedziału 𝐼𝑗, dla j=1, …, k, oraz hipotetyczne prawdopodobieństwa 𝑝𝑗 dla j=1, …, k.
Weryfikujemy hipotezę
𝐻0: 𝑝𝑗= prawdopodobieństwo, że badana cecha przyjmie wartość należącą do przedziału 𝐼𝑗, dla każdego j=1, …, k
przeciw hipotezie
𝐻1: 𝑝𝑗 ≠ prawdopodobieństwo, że badana cecha przyjmie wartość należącą do przedziału 𝐼𝑗, dla pewnego j=1, …, k
Algorytm weryfikacji
1. Obliczamy wartość statystyki testowej 𝜒2 = (𝑛𝑗−𝑛 𝑝𝑗)
2 𝑛 𝑝𝑗
𝑘𝑗 =1 .
2. Budujemy zbiór krytyczny 𝐾 = (𝑐 1 − 𝛼, 𝑘 − 1 ; +∞), gdzie 𝑐 1 − 𝛼, 𝑘 − 1 jest kwantylem rzędu 1 − 𝛼 rozkładu chi-kwadrat o k-1 stopniach swobody.
3. Podejmujemy decyzję weryfikacyjną: Jeżeli obliczona wartość statystyki testowej należy do zbioru krytycznego K, to hipotezę H_0 należy odrzucić (tzn. przyjąć H_1 na poziomie istotności α. W przeciwnym przypadku nie podstaw do odrzucenia hipotezy H_0.
