Sposoby przedstawiania gałęzi W stosunku do elementów tego samego rodzaju, wyst

Wykład VIII. GAŁĘZIE NORMALNE. PRĄDOWE I NAPIĘCIOWE RÓWNANIA RÓWNOWAGI. RÓWNANIA RÓWNOWAGI WZGLĘDEM PRĄDÓW

Sposoby przedstawiania gałęzi

W stosunku do elementów tego samego rodzaju, występujących w różnych (k-tych) gałęziach ob- wodu, trzeba stosować jednakową konwencję strzałkowania prądów i napięć. Chodzi mianowicie o jednolitą formę zapisu zależności między prądem gałęziowym Ik, napięciem gałęziowym Uk, źró- dłowym napięciem gałęziowym (napięciem gałęziowego idealnego źródła napięciowego) Ek i źró- dłowym prądem gałęziowym (prądem gałęziowego idealnego źródła prądowego) I_źr.k .

Zwrot prądu gałęziowego jest z zasady zgodny ze zwrotem gałęzi. Co do zwrotów pozostałych wielkości, dopuszcza się dużą dowolność. Z dokonanego, formalnego w istocie, wyboru zwrotów tych wielkości, wynikają określone postaci równań obwodu i związane z nimi kwestie obliczeniowe (dotyczące znaków wielkości oraz charakteru poszczególnych elementów).

Standardową gałąź, obrazującą przyjęty system strzałkowania, nazywa się gałęzią normalną lub uogólnioną. Będzie używana gałąź uogólniona o zgodnych zwrotach Ik, Ek i Iźr.k (odpowiadających zwrotowi gałęzi), oraz przeciwnym do nich zwrocie Uk (przeciwnym do zwrotu gałęzi).

Źródłowy prąd gałęziowy Iźr.k może być traktowany w dwojaki sposób: jako zewnętrzny (rys. a) bądź jako wewnętrzny (rys. b) prąd gałęzi. Postać z ze- wnętrznym prądem źródłowym I_źr.k pozwala uwzględniać w równaniach obwodu prądy pseudoga- łęzi (idealnych źródeł prądowych, nie będących ele- mentami gałęzi). Nie ma natomiast takiej możliwo- ści, jeśli I_źr.k jest prądem wewnętrznym gałęzi. Pseu- dogałęzie nie są w tym przypadku elementami auto- nomicznymi, co ogranicza ogólność rozważań. Pod- stawową pełną postacią gałęzi uogólnionej jest więc gałąź z zewnętrznym prądem źródłowym I_źr.k .

Zwroty napięcia gałęziowego Uk i prądu gałęziowego Ik są przeciwne, zatem gałęzie są strzałkowa- ne odbiornikowo: U_k = U_k.odb. Iloczyn napięcia U_k i prądu I_wej.k jest wobec tego mocą pobieraną przez gałąź z obwodu: P_k = U_k I_wej.k = P_k.odb. Idealne źródło prądowe jest również strzałkowane od- biornikowo, toteż iloczyn Uk Iźr.k wyraża moc pobieraną przez to źródło. W tym sensie jest więc ono aktywnym odbiornikiem o prądzie Iźr.k. Aby otrzymać moc wydawaną przez idealne źródło prądo- we, trzeba zmienić znak napięcia gałęziowego (U_k.gen I_źr.k = –U_k I_źr.k). Trzeba o tym pamiętać przy sporządzaniu bilansu mocy obwodu. Zwroty źródłowego napięcia gałęziowego E_k i prądu w rezystan- cji IR.k są zgodne, więc ich iloczyn Ek IR.k wyraża moc wydawaną przez idealne źródło napięciowe.

Przedstawione wyżej, pełne postaci gałęzi uogólnionej określa się jako gałęzie napięciowo-prądowe.

W obwodach występują też postaci niepełne: gałęzie napięciowe (rys. c) i gałęzie prądowe (rys. d). Czę- sto jest to efekt zamian postaci gałęzi występujących w danym obwodzie (postaci pełnej na jedną z nie- pełnych, albo niepełnej na inną niepełną), dokona- nych dla uproszczenia analizy obwodu. Przy takich zamianach ulegają zmianom wartości prądu w rezy- stancjach gałęziowych i wartości występującego na nich napięcia, więc po znalezieniu rozwiązania przekształconego obwodu trzeba „wrócić” do obwo- du pierwotnego i obliczyć wartości prądu (napięcia), odpowiadające temu obwodowi.

Iźr.k

Iwej.k Ek Rk IR.k =Ik

Uk

Iźr.k

Iwej.k =Ik Ek Rk IR.k

Uk

a)

b)

Ik’ Ek’ Rk

Uk

Iźr.k’ Ik’ Gk

Uk

c)

d)

Liczby prądowych i napięciowych równań równowagi obwodu

Jeśli jednospójny obwód elektryczny ma g gałęzi i w węzłów, to można napisać:

m = (w –1) prądowych równań równowagi – na podstawie I prawa Kirchhoffa, n = (g – w +1) napięciowych równań równowagi – na podstawie II prawa Kirchhoffa.

Razem z g równaniami gałęziowymi, wystarcza to do wyznaczenia wartości wszystkich prądów i napięć gałęziowych.

Równania równowagi muszą być od siebie liniowo niezależne, tzn. że ani w zbiorze m równań prą- dowych dla węzłów, ani w zbiorze n równań napięciowych dla oczek, żadne z nich nie może być kombinacją liniową pozostałych.

Uznano wcześniej, że skoro jeden węzeł nie tworzy gałęzi (wyklucza się występowanie pętli), to w obwodzie jednospójnym o w węzłach występuje m = (w –1) węzłów niezależnych. Równanie prą- dowe dla jednego z w węzłów jest więc zawsze kombinacją liniową (w –1) równań prądowych dla węzłów pozostałych. Poniżej zostanie to udowodnione na drodze algebraicznej.

Na rysunku obok węzły są tak oznaczone, że na zewnątrz przekroju K_o jest tylko węzeł o numerze w, a gałęzie mają- ce w nim początek oraz węzły będące końcami tych gałęzi mają numery od 1 do x.

W węzłach o numerach j = 1, ... , x (x ≤ w –1) słuszne jest równanie prądowe 0

1 ,..., 1

,

=

∑

+

−

=≠ wj

w i

j i

ij I

I ,

zaś w węźle zewnętrznym: 0

1 1

=

−

=

∑

∑

=

=

x

j wj x

j

jw I

I ,

stąd 0

1

1 ,..., 1

, 1

=















=

∑ ∑

∑

=

−

=≠

=

x

j

w i

j i

ij x

j

jw I

I ,

gdzie: I_ij – prąd gałęziowy zwrócony od węzła o numerze i do węzła o numerze j, I_wj – prąd gałę- ziowy od węzła w do węzła j, I_jw – prąd gałęziowy od węzła j do węzła w.

W pozostałych (w –1 – x) węzłach o numerach j = x+1, ... , w –1 , tj. w węzłach nie połączonych bezpośrednio (poprzez pojedyncze gałęzie) z węzłem w, zachodzą zależności:

0

1 ,..., 1

,

∑

=

−

=≠ w i

j i

Iij oraz I_jw =0 , więc 0

1

1

∑

⁻ =

+

= w

x j

Ijw .

Wobec powyższego: 0

1

1

1 ,..., 1

, 1

1

≡















≡

∑ ∑

∑

⁻

= =≠ −

−

=

w

j

w i

j i

ij w

j

jw I

I .

Wykazano zatem, że równanie prądów w jednym węźle jest liniowo zależne od równań prądów w węzłach pozostałych.

Równania prądów w węzłach

Zostały utworzone macierze incydencji gałęzi (pseudogałęzi) i węzłów:

- g gałęzi i m węzłów

m g

[ ]

ik m g

× = ×

λ

^λ , i = 1, .. , m, k = 1, .. , g, (4.4a) Ko

w

x 1

1

x

w–1

x+2

x+1 w–2

- h pseudogałęzi i m węzłów

[ ]

ik _{m h} h

mh ^×

×

= λ

λ

, i = 1, .. , m, k = g+1, .. , g+h, (4.4b) - g gałęzi oraz h pseudogałęzi, i m węzłów („całkowitą” macierz incydencji węzłów)

[ ] [ ]

[

ik m g ik m h

]

h g m h m

g

m c h ^{× ×}

× × +

×

=













=

λ λ

λ λ

λ

) (

, i = 1, .. , m, k = 1, .. , g+h , (4.4c) gdzie λik

–

współczynnik incydencji k-tej gałęzi (lub pseudogłęzi) i i-tego węzła, zgodnie z okre-

śleniem (4.3a).

Zapisano w postaci wektorów:

- prądy gałęziowe i źródłowe prądy gałęziowe

[ ]

1

1 ×

×

= _{k g}

g

I

I ^,

^{[ ]}

^{. 1}

1

× ×

= _{źrk g}

g

źr I

I

, k = 1, .. , g, (4.5a, b) - prądy pseudogałęzi

[ ]

. ₁

1. ^×

×

= _{źrk h}

h

h I

I

źr , k = g+1, .. , g+h, (4.5c) - źródłowe prądy gałęzi i pseudogałęzi („całkowity” wektor prądów źródłowych)

[ ]

. _{( )1} 1

1

1 ) (

.

. ^{+ ×}

×

×

× +

=





















= _{źrk g h}

h g

h g

I h źr źr c

źr

I I

I

^{. . . ..} , k = 1, .. , g+h, (4.5d)

- wejściowe prądy gałęzi

[ ]

₁

1

× ×

= wejk g g

wej I

I

. , k = 1, .. , g, (4.5e) - wejściowe prądy pseudogałęzi

[ ]

. ₁ 1

. ×

×

= wejk h g

h I

I

wej , k = g+1, .. , g+h, (4.5f) - wejściowe prądy gałęzi i pseudogałęzi („całkowity” wektor prądów wejściowych)

[ ]

. _{( ) 1} 1

1

1 ) (

.

. + ×

×

×

× +

=





















= _{wejk g h}

h g

h g

I h wej wej c

wej

I I

I

^{. . . ..} . k = 1, .. , g+h. (4.5g)

Między prądami w gałęziach (rys. a) oraz między prądami w pseudogałeziach (rys. b) zachodzą związki:

k źr k k

wej I I

I _. = + _. , k = 1, 2, ... , g ; (4.6a)

k źr k

wej I

I _. = _. , k = g +1, ... , g +h, (4.6b)

wej

I I

źr

I

g g

g×1 ×1 ×1

+

= ,

h h źr

wej

I

I

g g

. .

1 ×1

×

= ,

c c źr

wej

I

I I

h g h

g

h g

. .

1 ) 1

1

1 )

(

0

^{+ ×}

×

×

× +

+





















=

( . . . .

. . (4.6c, d, e) Iźr.k

Iwej.k Ek Rk Ik

Iwej.k Iźr.k

a)

b)

Wg I prawa Kirchhoffa, sumy prądów w węzłach obwodu jednospójnego o w węzłach tworzą układ m = (w –1) prądowych równań równowagi:

- w wersji 1. (dodatnie znaki składników sumy odpowiadają prądom dopływającym) - 0

)

( _.

1

=

⋅

∑

⁺ −

= wejk

h g

k

ik I

λ , i = 1, ... , m , (4.7a’) - w wersji 2. (dodatnie znaki składników sumy odpowiadają prądom wypływającym) -

. 0

1

=

∑

⁺ ⋅

= wejk

h g

k

ik I

λ , i = 1, ... , m . (4.7a”) Forma (4.7a’) odzwierciedla tradycję, natomiast przyjęta definicja λik przemawia za wyborem formy (4.7a”), której odpowiada zapis macierzowy

0

1 1 ) ) ( (

. ×

× + +

×

=

⋅

h m h g g m

c c

I

wej

λ

. (4.7b) Rozłożywszy prądy wejściowe gałęzi w równaniach (4.7a”) i (4.7b), zgodnie ze wzorami (4.6a) i (4.6c), na prądy wewnętrzne i zewnętrzne (źródłowe), otrzymuje się zależności:

k źr h

g

k ik k

g

k

ik I I _.

1 1

) (− ⋅

=

⋅

∑

∑

⁺

=

= λ λ , i = 1, ... , m , (4.7c) c

źr c

I I

h g h g g m

g

m .

1 ) ( )

1 ×( + + ×

× ×

⋅

=

⋅

− λ

λ

. (4.7d)

Równania napięć w oczkach

Została utworzona macierz incydencji gałęzi i oczek

n g

[ ]

lk n g

× = ×

δ

^δ , l = 1, .. , n, k = 1, .. , g . (4.8a) gdzie: k – numer gałęzi, l – numer oczka, δik– współczynnik incydencji k-tej gałęzi i l-tego oczka, zgodnie z określeniem (4.3b).

Zapisano wektor napięć gałęziowych

g

[ ]

k g

U

^U

× = ×

1 1 , k = 1, .. , g . (4.8b) Wg II prawa Kirchhoffa, sumy napięć gałęziowych w oczkach obwodu jednospójnego o w węzłach tworzą układ n = (g – w +1) napięciowych równań równowagi:

0

1

=

∑

⋅

= k

g

k

lk U

δ , l = 1, ... , n , (4.9a) któremu odpowiada zapis macierzowy

0

1

1 ×

×

×

=

⋅

n g g

n

U

δ

. (4.9b) Napięcia na pseudogałęziach są liniowymi kombinacjami napięć gałęziowych.

Równania równowagi względem prądów – postać ogólna

Dla gałęzi uogólnionej o pełnej postaci, w której prąd źró- dła prądowego Iźr.k jest prądem zewnętrznym gałęzi, a zwrot jego jest zgodny ze zwrotem prądu I_k (rys.), otrzy- muje się napięciowe równania gałęziowe:

k k k k k R

k U E R I E

U = _. − = ⋅ − , k = 1, .. , g , (4.10a)

E I R

U

g×1 g×g g×1 g×1

−

⋅

= , (4.10b) Iźr.k

Iwej.k Ek Rk Ik

Uk

UR.k

gdzie:

- diagonalna macierz rezystancji gałęziowych

[ ]

kk g g

[

g

]

g g

R R R

R

⁼ R ^{× =diag 1, 2,...,}

×

, (4.10c) - wektor źródłowych napięć gałęziowych

g

[ ]

k g

E

^E

× = ×

1 1 , k = 1, .. , g . (4.10d) Napięciowe równania równowagi (4.9a) i (4.9b), po uwzględnieniu zależności gałęziowych (4.10a) i (4.10b), przybierają następujące postaci:

( ) 0

1 1

=

⋅

− +

⋅

⋅

∑

∑

= = k g

k

lk k

k g

k

lk R I δ E

δ , l = 1, ... , n ,

( ) ⁰

1 1

1 × × ×

×

×

×

=

⋅ +

⋅

⋅

−

n g g

g n g g g

n

δ R I δ E

^,

albo δlk δ

k g

k k lk

k g

R I Ek

= =

∑

⋅ ⋅ =

∑

⋅

1 1

, l = 1, ... , n ; (4.11a)

n g g g

R I

g n g g

E

× ⋅ × ⋅ × = × ⋅ ×

δ

₁

δ

₁ . (4.11b) W przypadku gałęzi bezrezystancyjnej, tzn. zawierającej tylko idealne źródło napięciowe, we wła- ściwym miejscu macierzy R wstawia się zero.

Wyrażenia (4.7d) i (4.11b):

c źr c

I I

h g h g g m

g

m .

1 ) ( )

1 ×( + + ×

× ×

⋅

=

⋅

− λ

λ

^, _{n g}

δ

_× ^⋅_{g g}

^{R I}

_× ^⋅_g×1⁼_{n g}

δ

_× ^⋅

^E

_g×1 ^,

tworzą razem układ g równań z g niewiadomymi, którymi są prądy gałęziowe (równania obwodu względem prądów). Równania te można zapisać łącznie, w dwóch równoważnych postaciach, jako:

- pełne równanie równowagi względem prądów

c źr c

E I I

R

h g h g n

h g m

g g n

g m

g g n

g m

g g g n

g m

.

1 ) ( ) (

) (

1

1

0

0 0

0

× + +

× +

×

×

×

×

×

×

×

×

×

×

⋅



















 +

⋅





















=

⋅







































 +

⋅





















− λ

δ λ

δ

. . . . . . . . .

. . . .

. . . .

. .

. , (4.12a)

- skrócone równanie równowagi względem prądów





















=

⋅

















×

×

×

×

×

o w

l

E

I R I

n m

g g n

g m

1 . . . . . .

1

1 . . . . .

λ

, (4.12b)

gdzie:

- macierz rezystancji gałęziowych w oczkach (skierowanych wzdłuż oczek)

n g n g g g

R

_l

R

× =

δ

× ⋅ × , (4.12c) - wektor wydajności źródeł prądowych do węzłów, tj. źródłowych prądów dopływających do węzłów (wydawanych do węzłów)

c źr c

w

I

I

h g h g m m

.

1 ) ( ) (

1 × + + ×

×

⋅

=

− λ

, (4.12d)

- wektor źródłowych napięć (sem) oczkowych

n n g g

E

_o

E

× = × ⋅ ×

1

δ

1 . (4.12e) Trzeba wyjaśnić, że:

- elementy macierzy R_l są rezystancjami k-tych gałęzi, przy czym opatrujemy je znakiem „plus”, jeśli zwrot prądu Ik jest zgodny ze zwrotem obiegu l-tego oczka, a znakiem „minus”, jeśli zwrot prądu Ik jest przeciwny do zwrotu obiegu l-tego oczka,

- elementy wektora I_w są sumami źródłowych prądów gałęziowych dopływających do kolejnych węzłów (dopływające prądy źródłowe występują w sumie ze znakiem „plus”, zaś odpływające – ze znakiem „minus”),

- elementy wektora Eo są sumami źródłowych napięć gałęziowych występujących w oczkach, przy czym te źródłowe napięcia bierzemy ze znakiem „plus”, jeśli ich zwrot jest zgodny ze zwrotem obiegu oczka, a ze znakiem „minus” – jeśli jest przeciwny.

Przykład 1. Gałęzie w obwodzie pokazanym na rys. a mają z założenia postać napięciowo- prądową. Obliczane są wartości prądów gałęziowych.

Źródło prądowe i gałąź z prądem I4 są jednym obiektem (jedną gałęzią). Graf obwodu z wybranym drzewem przedstawiono na rys. b. Stopień złożoności obwodu określają: w = 3, g = 4, h = 0, stąd m = 2, n = 2.

Wybrano i oznaczono – na rys. a i b – węzły niezależne (1, 2) i oczka niezależne (1, 2).

I. Wyznaczono macierze incydencji, macierz rezystancji gałęziowych oraz wektory źródłowych napięć i prądów gałęziowych:



 



=

× 0 1 0 -1 0 1 1 - 1

λ

-

g m

,

λ λ

g h m g m

c+ ×

×

=

) (

, 



 



=

× 0 1 1 1 0 1 0

δ

1

g n

,

















=

×

10 0 0 0

0 24 0 0

0 0 10 0

0 0 0 10

R

g g

,

















=

×

180 0

0 140

E

1 g

,

















=

×

4,6 0 0 0

1

I

źr

g

,

źr c

źr

I

I

g h

g )1 1

( .

×

× +

= .

Zapisano równanie równowagi w pełnej formie (4.12a):

0 0 0 0

0 0 0 0

1 - 0 1 0

0 1 1 - 1 -

10 0 0 0

0 24 0 0

0 0 10 0

0 0 0 10

1 1 1 0

0 1 0 1

0 0 0 0

0 0 0 0

4 3 2 1

=





















⋅



































 +

















⋅

















I I I I

















⋅















 +

















⋅

















=

4,6 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

1 0 1 - 0

0 1 - 1 1

180 0

0 140

1 1 1 0

0 1 0 1

0 0 0 0

0 0 0 0

. a) b) I1 10Ω I2 10Ω 10Ω I4

140V 24Ω 180V I3

1 2

1 2

4,6A

1 2

1 2

3 4

1 2

Po wykonaniu działań (wyniki można odczytać ze schematu, zgodnie z podanymi wyżej regułami):



 



=

⋅

=

× ×

× 0 10 24 10 0 24 0

R

10

R

g g g g n

n l

δ

^{, = ⋅ =}_^{ }_^

× + +

×

×

−

_{. 4,6}⁰

1 ) ( ) (

1 c źrc

w

I

I

h g h g m m

λ

^{, = ⋅ =}_^{ }_^

× ×

× 180

140

1 1

E E

g g n n

o

δ

^,

otrzymano równanie w skróconej formie (4.12b):

















=





















⋅

















180 140 4,6

0

10 24 10 0

0 24 0 10

1 - 0 1 0

0 1 1 - 1 -

4 3 2 1

I I I I

, którego rozwiązaniem jest

















=





















=

×

0,1 5,5 4,7 0,8

4 3 2 1

1

I I I I

g

I

A.

II. Zapisano równania równowagi na podstawie wzorów (4.7c) i (4.11a), bez wprowadzania macie- rzy incydencji – wg schematu obwodu:

3 0

2

1− + =

−I I I ,

6 ,

4 4

2−I =

I ,

140 24

10⋅I₁+ ⋅I₃ = , 180 10

24

10⋅I₂ + ⋅I₃+ ⋅I₄ = .

Równanie macierzowe, scalające powyższy układ równań, odpowiada podanemu wyżej równaniu skróconemu.

Uwaga. Korzystanie z pełnej formy zapisu równań równowagi ma uzasadnienie tylko wtedy, jeśli do rozwiązania tych równań używa się odpowiedniego programu komputerowego. Jeśli nie ma ta- kiej możliwości (korzysta się ze zwykłego kalkulatora), należy pisać od razu równania skrócone.

Przykład 2. W obwodzie z poprzedniego przykładu, pokazanym na rys. a, występuje pseudogałąź i gałęzie o postaci napięciowej . Obliczane są wartości prądów gałęziowych.

Graf obwodu z wybranym drzewem przedstawiono na rys. b. Stopień złożoności obwodu określają:

w = 3, g = 4, h = 1, stąd m = 2, n = 2, g + h = 5.

Wybrano i oznaczono – na rys. a i b – węzły niezależne (1, 2) i oczka niezależne (1, 2).

Wyznaczono „całkowitą” macierz incydencji węzłów i „całkowity” wektor prądów źródłowych (inne macierze i wektory – bez zmian):



 



=

+

× 0 1 0 -1 -1 0 0 1 1 - 1 -

) ( c

h g m

λ

^,

























=

× +

4,6 0 0 0 0

.

1 ) (

c

I

źr

h g

, stąd 



 



=

⋅

=

× + +

×

×

−

_{. 4,6}⁰

1 ) ( ) (

1 c źrc

w

I

I

h g h g m m

λ

^.

Jest to ten sam wektor, który występuje w poprzednim przykładzie – w skróconym równaniu rów- nowagi obwodu.

Równania równowagi zapisane bez wprowadzania macierzy incydencji – na podstawie wzorów (4.7c) i (4.11a) – również nie różnią się od podanych w poprzednim przykładzie.

Postać równań jest taka jak wcześniej, więc i rozwiązanie obwodu jest takie same jak poprzednio.

a) b) I1 10Ω I2 10Ω 10Ω I4

140V 24Ω 180V I3

1 2

1 2

4,6A

1 2

1 2

3 4

1 2

5

Równania równowagi względem prądów dla obwodów z gałęziami napięciowymi

Jeśli w obwodzie wszystkie gałęzie są sprowadzone do postaci napięciowej (rys. obok), to wzory (4.12a) i (4.12b) – przedsta- wiające równania równowagi (pełne i skrócone) względem prą- dów – można zapisać następująco:

h źr h

E I I

R

h h

n h m

g g n

g m

g g n

g m

g g g n

g m

.

1 .

. . . . . . . 1 . . . . 1 .

. . . .

. . .

0 ' 0 0 '

0

×

×

×

×

×

×

×

×

×

×

×

× ⋅



















 +

⋅





















=

⋅







































 +

⋅





















− λ

δ λ

δ

^,





















=

⋅

















×

×

×

×

×

' '

1 . . . . . .

1

1 . . . . .

.

o h w

l

E

I R I

n m

g g n

g m

λ

, (4.13a, b)

gdzie:

- wektor zastępczych prądów gałęziowych

I

źr

I I

g g

g 1

'

1 1

× ×

×

+

= , (4.13c) - wektor wydajności pseudogałęzi do węzłów, tj. prądów pseudogałęzi dopływających do węzłów

h źr h h

w

I

I

h h m

m. .

1

1 × ×

×

⋅

=

− λ

, (4.13d) - wektor zastępczych źródłowych napięć gałęziowych

I

źr

R E E

g g g g

g 1

'

1 1

× ×

×

×

⋅ +

= , (4.13e) - wektor zastępczych źródłowych napięć (sem) oczkowych

' '

1 1

E E

g g no n

×

× ×

⋅

=

δ

. (4.13f) Wektory E’ i I’ wyrażają wartości napięć źródłowych oraz prądów gałęziowych układu zastępczego.

Prądy gałęziowe układu pierwotnego (zastąpionego obwodem rozwiązywanym) oblicza się ze wzoru

I

źr

I I

g g

g 1 1

'

1

× ×

×

−

= . (4.14)

Przykład. W obwodzie z poprzednich przykładów (rys. a) nie ma pseudogałęzi, a gałąź ze źródłem prądowym jest przedstawiona w postaci zastępczej gałęzi napięciowej (rys. b). Obliczane są warto- ści prądów gałęziowych.

Po przedstawieniu źródła prądowego wraz z gałęzią 4 – w postaci na- pięciowej 4’, węzeł 2 ma znaczenie tylko formalne, bowiem I4’ = I2 .

„Scalając” gałęzie 2 i 4’ otrzymuje się graf obwodu pokazany na rys. c, dla którego: ⁼

[

^{-1 -1 1}

]

λ

× g m

, 



 



=

× 0 1 1 1 0

δ

1

g n

.

Rozwiązaniem otrzymanego skróconego równania równowagi obwodu

















=

















⋅

















226 140 0

24 20 0

24 0 10

1 1 - 1 -

3 2 1

I I I

jest

















=

















5,5 4,7 0,8

3 2 1

I I I

; prąd w 4. gałęzi I4 = I2 – Iźr.4 = 4,7 – 4,6 = 0,1 A.

a) b) I1 10Ω I2 10Ω 10Ω I4

140V 24Ω 180V I3

1 2

1 2

4,6A

1 (2)

1 2

3 4’

1 2

I1 10Ω I2 10Ω 102 Ω I4’

140V 24Ω 226V I3

1

1 2

c) Ik’ Ek’ Rk

Uk