9. METODY SIECIOWE (ALGORYTMICZNE) ANALIZY OBWODÓW LINIOWYCH

9. METODY SIECIOWE (ALGORYTMICZNE) ANALIZY OBWODÓW LINIOWYCH

9.1. WPROWADZENIE

ANALIZA OBWODÓW

Jeżeli przy badaniu obwodu elektrycznego dane są parametry elemen- tów i schemat obwodu, a poszukiwane są napięcia i prądy w różnych czę- ściach obwodu, to takie zagadnienie jest przedmiotem analizy obwodów.

ELEMENTY TEORII GRAFÓW

Grafem sieci (strukturą topologiczną obwodu) nazywamy zbiór punk- tów reprezentujący węzły obwodu i zbiór linii ciągłych obrazujących gałęzie obwodu.

Drzewem grafu nazywamy podgraf danego grafu złożony z minimalnej liczby dowolnie wybranych gałęzi grafu łączących wszystkie węzły.

Sieć elektryczna a

b

c

d

a

b

c

d drzewo

grafu

gałęzie dopełniające

Graf sieci

Gałęzie grafu tworzące drzewo grafu nazywamy konarami (gałę- ziami drzewa).

Pozostałe gałęzie grafu nazywamy gałęziami dopeł- niającymi (łączą- cymi, zamykający- mi, cięciwami, stru- nami).

Każdy graf składający się z w węzłów i g gałęzi zawiera:

gd konarów gdzie: gd = w – 1

gZ gałęzi dopełniających gdzie: gZ = g – gd = g – w + 1

Mówimy, że gałąź jest incydentna z węzłem, jeżeli węzeł jest jednym z punktów końcowych gałęzi.

Dla dowolnej sieci można podać graf, w którym zachowana zostaje wyłącznie struktura geometryczna sieci (każdej gałęzi grafu przypisuje się numer lub symbol identyfikujący ją z gałęzią sieci). Tak otrzymany graf jest grafem niezorientowanym.

Jeśli każdej gałęzi przypiszemy dodatkowo orientację – orientacja ga- łęzi jest wybierana dowolnie i odpowiada dodatniej polaryzacji napięcia gałęziowego lub kierunkowi przepływu prądu – to otrzymujemy graf zo- rientowany (skierowany).

Graf zorientowany

a

b

c

d

Graf niezorientowany

1 2

4 3

5

6

a

b

c

d

1 2

4 3

5

6

Z każdą gałęzią związana jest para (u, i) napięcia i prądu, zatem dla g gałęzi

liczba zmiennych sieci = 2g

Ponieważ dla każdej pary (u, i) istnieją proste związki pozwalające na

Dysponując układem g równań, wiążących prądy gałęziowe lub wią- żących napięcia gałęziowe możemy dokonać analizy sieci.

Pytanie: Czy wszystkie równania są niezależne?

¾ Przyjmując za niewiadome w procesie analizy sieci g prądów gałęziowych

Wszystkie prądy dzielimy na dwie grupy: prądy w konarach (gałę- ziach drzewa) i prądy w gałęziach dopełniających. Usuwając z grafu gałę- zie dopełniające powodujemy rozwarcie wszystkich oczek – w rezultacie uniemożliwiony zostaje przepływ prądu w sieci. Prądy we wszystkich ga- łęziach stają się równe zeru. A zatem sprowadzenie do zera prądów w ga- łęziach dopełniających powoduje zerowanie wszystkich pozostałych prą- dów. Stąd wniosek, że prądy gałęzi drzewa są funkcjami (są zależne od) prądów gałęzi dopełniających. Czyli:

1. liczba niezależnych prądów gałęziowych określona jest liczbą gałęzi dopełniających gZ,

2. liczba gałęzi dopełniających określa liczbę oczek niezależnych n n

w g

g_Z = − +1= (9.1)

¾ Przyjmując za niewiadome w procesie analizy sieci g napięć gałęziowych

Przez wybór drzewa dokonuje się podziału na napięcia na konarach (gałęziach drzewa) i gałęziach dopełniających. Ponieważ konary łączą pa- rami wszystkie węzły, to gdy napięcia na konarach będą zerami, to poten- cjały wszystkich węzłów staną się jednakowe i równe zeru A zatem spro- wadzenie do zera napięć na gałęziach drzewa, zeruje wszystkie napięcia gałęziowe. Stąd wniosek, że napięcia na gałęziach dopełniających są funk- cjami (są zależne od) napięć na gałęziach drzewa. Czyli:

1. liczba niezależnych napięć gałęziowych określona jest liczbą konarów (gałęzi drzewa) gd,

2. liczba konarów określa liczbę węzłów niezależnych m m

w

g = −1= (9.2)

METODA PRAW KIRCHHOFFA (KLASYCZNA) Niech dane będą napięcia

źródłowe i rezystancje, poszuku- jemy natomiast prądów.

Dane :

U

01

=U

05

= 5V, U

06

= 6V R

1

=R

2

=R

5

=R

6

=2Ω;

R

3

=R

4

=4Ω.

R₁

R₂

R₃ R₄

R₅

R₆ U₀₁

U₀₅

U₀₆

Należy:

1.

ustalić liczbę gałęzi i węzłów;

liczba gałęzi g = 6 , liczba węzłów w = 4

2.

nanieść prądy w gałęziach (przyjmując ich zwroty zupeł- nie dowolnie);

3.

wyeliminować dowolnie je- den z węzłów obwodu (np.

węzeł d) a dla pozostałych ułożyć równania na podsta- wie PPK:

R₁ R₂

R₃ R₄

R₅

R₆ U₀₁

U₀₅

U₀₆ I₁

I₄

I₂ I₃ I₅

I₆ a

b

c

d

4.

określić liczbę n oczek nie- zależnych w obwodzie;

n = g-w+1 = 6-4+1=3

5.

dokonać wyboru oczek nie- zależnych i zaznaczyć do- datni zwrot ich obiegu (kie- runek sumowania);

6.

dla wybranych oczek ułożyć równania na podstawie NPK:

R₁ R₂

R₃ R₄

R₅

R₆ U₀₁

U₀₅

U₀₆ I₁

I₄

I₂

I₃ I₅

I₆

1 2

3

dla 1 oczka:

R₁

R₄

R₅ U₀₁

U₀₅ I₁

I₄

I₅ 1

4 0

4 5 5 1 1 05

01+U −R I − R I −R I = U

dla 2 oczka:

R₂

R₃ R₅

U₀₅

I₂ I₃ 2

dla 3 oczka:

R₃ R₄

R₆ U₀₆

I₄ I₃

I₆ 3

6 0

6 3 3 4 4

06 +R I + R I −R I = U

7.

rozwiązując układ równań wyznaczyć poszukiwane wielkości

dla węzła a : I₆ + I₄ = I₁ dla węzła b : I₁ = I₂ +I₅ dla węzła c : I₂ = I₃ + I₆

dla 1 oczka : 10= 2I₁+2I₅ +4I₄ dla 2 oczka : 5= −2I₂ +2I₅ −4I₃ dla 3 oczka : 6= −4I₄ −4I₃ +2I₆

9.2. METODA PRĄDÓW OCZKOWYCH (OCZKOWA)

Metoda ta należy do grupy metod algorytmicznych, tzn. poddaje się pewnemu „przepisowi” postępowania. W metodzie oczkowej poszukuje- my prądów gałęziowych.

Przebieg postępowania przy rozwiązywaniu obwodu prądu harmo- nicznego metodą oczkową jest następujący, ^należy:

1) zamienić wszystkie rzeczywiste źródła prądu występujące w obwo- dzie na równoważne źródła napięcia;

2) określić liczbę n oczek niezależnych w obwodzie:

n=p-q+1 {p-gałęzie, q-węzły};

3) dokonać wyboru i oznaczenia oczek niezależnych;

4) ustalić zwroty prądów oczkowych;

5) dla każdego oczka niezależnegoułożyć równanie bilansu napięć;

k k n

l

l l

k I E

Z =

∑

=1

'

gdzie:

k k k

l l

k Z

Z ₌ = - impedancja własna oczka k, równa sumie impedancji wszystkich gałęzi występujących wzdłuż oczka k;

l k k k l

l l

k Z

Z _≠ = _≠ - impedancja wzajemna, równa impedancji gałęzi wspólnej dla oczek k i l , wzięta ze znakiem minus jeżeli prądy oczkowe w tej gałęzi mają zwroty prze- ciwne;

l'

I - prąd oczkowy w oczku l;

k

Ek - napięcie źródłowe w postaci symbolicznej, oczka k określone su- mą algebraiczną wszystkich symbolicznych napięć źródłowych w gałęziach należących do oczka k; napięcie źródłowe gałęziowe przyjmuje się ze znakiem plus, jeżeli zwrot tego napięcia źródło- wego jest zgodny ze zwrotem prądu oczkowego, natomiast ze znakiem minus, jeżeli zwrot napięcia źródłowego i zwrot prądu oczkowego są przeciwne.

6) dokonać rozwiązania układu równań, stosując jedną ze znanych me- tod, np. rugowania zmiennych, wyznaczników lub macierzową;

7) ustalić zwroty prądów gałęziowych a następnie obliczyć ich wartości.

PRZYKŁAD 9.1

Procedurę postępowania w metodzie oczkowej (dla obwodu prądu sinusoidalnego) zilustruje- my dla przykładowej sieci.

1) zamienić wszystkie rzeczy- wiste źródła prądu występu- jące w obwodzie na równo- ważne źródła napięcia;

nie dotyczy

Z₁

Z₂

Z₃ Z₄

Z₅

Z₆ U₀₁

U₀₅

U₀₆

2) określić liczbę n oczek niezależnych w obwodzie;

z zależności (9.1): n = g-w+1 = 6-4+1=3 {g-gałęzie, w-węzły};

3) dokonać wyboru i oznacze- nia oczek niezależnych;

4) ustalić zwroty prądów oczkowych;

Przyjmujemy w wybranych oczkach istnienie umownych prądów oczkowych o dowol- nych zwrotach.

I

_I

I

_II

I

_III

5) dla każdego niezależnego oczka ułożyć równanie bilansu napięć (NPK) uwzględniając tylko prądy oczkowe;

Z₁

Z₂

Z₃ Z₄

Z₅

Z₆ U₀₁

U₀₅

U₀₆

I

_I

I

_II

I

_III

Dla I oczka:

(

Z₁+Z₅ +Z₄

)

I_I −Z₅I_II −Z₄I_III =U₀₁ +U₀₅ Dla II oczka: −Z₅I_I +

(

Z₂ + Z₃ + Z₅

)

I_II −Z₃I_III = −U₀₅ Dla III oczka: −Z₄I_I −Z₃I_II +

(

Z₃ + Z₆ +Z₄

)

I_III =U₀₆

6) dokonać rozwiązania układu równań, stosując jedną ze znanych metod, np. rugowania zmiennych, wyznaczników lub macierzową;

Rozwiązując powyższy układ równań metodą macierzową, możemy napisać:

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

− +

=

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

+ +

−

−

− + +

−

−

− + +

06 05

05 01

4 6

3

3 4

3 5 3 2

5

4 5

4 5

1

U U

U U

I I

I Z

Z Z

Z Z Z

Z Z Z

Z Z

Z Z Z Z

III II

I

Ogólnie, postać macierzy jest następująca:

Z I

X

= U

0 (9.3)

Macierz impedancji oczkowych Z jest macierzą kwadratową, syme- tryczną i nieosobliwą (det ≠0).

Z_kk = (def.) impedancja własna oczka „k” – jest to suma impedancji występujących w danym oczku (ze znakiem plus).

>0 Zkk

Zkl = (def.) impedancja wzajemna, równa sumie impedancji występu- jących gałęzi wspólnej dla oczek „k” i „l” , wzięta ze zna- kiem minus jeżeli prądy oczkowe w tej gałęzi mają zwroty przeciwne;

lk

kl Z

Z =

Macierz IX jest macierzą kolumnową prądów oczkowych.

Macierz U0 jest macierzą kolumnową napięć źródłowych w kolejnych oczkach, napięcie źródłowe oczka „k” określone jest sumą algebraiczną wszystkich symbolicznych napięć źródłowych w gałęziach należących do oczka „k”; napięcie źródłowe gałęziowe przyjmuje się ze znakiem plus, jeżeli zwrot tego napięcia źródłowego jest zgodny ze zwrotem prądu oczkowego, natomiast ze znakiem minus, jeżeli zwrot napięcia źródłowe- go i zwrot prądu oczkowego są przeciwne.

Rozwiązanie układu równań:

Mnożymy lewostronnie równanie 9.3 przez macierz odwrotną Z^-1

Z^-1 U0 = Z^-1Z IX (9.4)

ponieważ Z^-1Z =1, otrzymujemy ostatecznie

I_X = Z^-1 U₀ (9.5)

znajdując tym samym prądy oczkowe.

7) ustalić zwroty prądów gałęziowych i obliczyć ich wartości.

Do tego celu pomocny jest graf (skierowany) obwodu, na którym DOPIERO TERAZ nanosimy (w sposób dowolny) zwroty prądów ga- łęziowych.

Sposób 1

1

2

4

3 5

6

I₁ I₂

I₄ I₃

I₅

I₆

I

_II

I

_I

I

_III

Prądy w gałęziach zewnętrznych oczek określone są przez prądy oczkowe (obwodowe) tych oczek z odpowiednim znakiem.

W naszym przykładzie

I

1

= I

I

I

2

= I

II

I

6

= I

III

Prądy w gałęziach wspólnych dla dwóch lub więcej oczek są sumą algebraiczną prądów tych oczek, czyli:

I

₃

= I

_II

- I

_III

I

₄

= I

_I

- I

_III

I

₅

= I

_I

- I

_II

Sposób 2

Prądy gałęziowe możemy obliczyć również wykorzystując metodą in- cydencji prądowej. Macierz prądów gałęziowych Ig wyznaczamy w opar- ciu o macierz prądów oczkowych I_X korzystając z macierzy łączącej prą- dowej α :

Ig = α I_X (9.6)

Elementy macierzy łączącej prądowej α przyjmują wartość +1, -1 lub 0 α_gk = 1 jeśli gałąź „g” jest incydentna z oczkiem „k” (tzn. należy do

oczka „k”) oraz zgodnie z nim skierowana -1 j.w., lecz skierowana przeciwnie

0 jeśli gałąź „g” nie jest incydentna z oczkiem „k”

W naszym przykładzie α

numer oczka 1

2

4

3 5

6

I₁ I₂

I₄ I₃

I₅

I₆

I

_II

I

_I

I

_III numer gałęzi

⎥⎥

⎥⎥

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎢

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

−

−

−

1 0 0

0 1 1

1 0

1

1 1

0

0 1 0

0 0 1

6 5 4 3 2 1

III II I

PRZYKŁAD 9.2

Obliczyć wartości prądów w gałęziach obwo- du – dane: E = j100V

R1= 150Ω, R2= 100Ω X1= ωL1= 400Ω, X2= ωL2= 250Ω, X3= 1/ωC3 = 250Ω,

C L²

I2

I3

L1

R1 R2

E

I1

I’₁ 3 I’₂

Ad.5) układamy równanie bilansu napięć dla każdego oczka niezależnego

( )

[ ] ( )

( ) [ ( ) ]

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

− +

+

−

−

=

−

−

− +

0 ' '

' '

3 2 2

1 2 3

3 2 3 1

1 1

I X X

j R I

jX

E I

jX I

X X j R

( )

⎩⎨

⎧

= +

= +

+

0 ' 100 '

250

100 '

250 '

150 150

2 1

2 1

I I

j

j I

j I

j

Ad.6) dokonujemy rozwiązania układu równań metodą wyznaczników

15000 77500

100 250

250 150

150 j

j

j

W_G + j = +

=

10000 100

0

250 100

1 j j j

W = =

25000 0

250

100 150

150

2 + =

= j

j W j

WG

I₁'= W¹

150 775

100 15000

77500

10000

j j j

j

= +

= +

( )

623125 15000 77500

150 775

150 775

100

2 2

= + +

= j − j j

j o

e j0,124 0,126 ⁷⁹ 0241

,

0 + =

=

WG

I₂'= W²

150 775

250 15000

77500 25000

j

j = +

= +

( )

623125 37500 193750

150 775

150 775

250

2 2

j

j = −

+

= −

j o

e j0,0602 0,317 ¹¹ 311

,

0 − = ⁻

=

Ad.7) mając ustalone zwroty prądów gałęziowych - obliczamy ich wartości

C L²

I2

I3

L¹

R¹ R²

E

I1

I’₁ 3 I’₂

' '

; '

;

' _{2 2 3 1 2}

1

1 I I I I I I

I = = = −

(

^j

) (

^j

)

^j

I₃ = 0,0241+ 0,124 − 0,311− 0,0602 = −0,2869+ 0,1842

PRZYKŁAD 9.3

Procedurę postępowania w metodzie oczkowej (dla obwodu prądu stałego) zilustrujemy dla przykładowej sieci.

1) zamienić wszystkie rzeczy- wiste źródła prądu występu- jące w obwodzie na równo- ważne źródła napięcia;

nie dotyczy

Dane : U

₀₁

=U

₀₅

= 5V, U

₀₆

= 6V R

₁

=R

₂

=R

₅

=R

₆

=2Ω; R

₃

=R

₄

=4Ω.

R₁

R₂

R₃ R₄

R₅

R₆ U₀₁

U₀₅

U₀₆

2) określić liczbę n oczek niezależnych w obwodzie;

z zależności (5.1): n = g-w+1 = 6-4+1=3 {g-gałęzie, w-węzły};

3) dokonać wyboru i oznacze- nia oczek niezależnych;

4) ustalić zwroty prądów oczkowych;

Przyjmujemy w wybranych oczkach istnienie umownych prądów oczkowych o dowol- nych zwrotach.

I

_I

I

_II

I

_III

5) dla każdego niezależnego oczka ułożyć równanie bilansu napięć (NPK) uwzględniając tylko prądy oczkowe;

R₁

R₂

R₃ R₄

R₅

R₆ U₀₁

U₀₅

U₀₆

I

_I

I

_II

I

_III

Dla I oczka:

(

^R₁ ^{+ R}₅ ^{+ R}₄

)

^I_I ^−R₅^I_II ^{− R}₄^I_III ^=U₀₁ ^+U₀₅

Dla II oczka: −R₅I_I +

(

R₂ + R₃ + R₅

)

I_II − R₃I_III = −U₀₅ Dla III oczka: −R₄I_I −R₃I_II +

(

R₃ + R₆ + R₄

)

I_III =U₀₆

6) dokonać rozwiązania układu równań, stosując jedną ze znanych metod, np. rugowania zmiennych, wyznaczników lub macierzową;

Rozwiązując powyższy układ równań metodą macierzową, możemy napisać:

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

− +

=

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

+ +

−

−

− + +

−

−

− + +

06 05

05 01

4 6 3

3 4

3 5 3 2

5

4 5

4 5 1

U U

U U

I I

I R R R

R R R

R R R

R R

R R R R

III II I

Ogólnie, postać macierzy jest następująca:

Macierz rezystancji oczkowych R =

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

−

−

−

−

−

−

10 4 4

4 8

2

4 2

8

stąd R^-1 =

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

214 , 0 143 , 0 143 , 0

143 , 0 229 , 0 129 , 0

143 , 0 129 , 0 229 , 0

natomiast U0 =

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

− 6

5 10

Zatem

macierz prądów oczkowych: IX =

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡ 2 1 5 , 2

czyli prądy oczkowe:

I

I

= 2,5A, I

II

= 1A, I

III

= 2A

7) ustalić zwroty prądów gałęziowych i obliczyć ich wartości.

Do tego celu pomocny jest graf (skierowany) obwodu, na którym DOPIERO TERAZ nanosimy (w sposób dowolny) zwroty prądów ga- łęziowych.

1

2

4

3 5

6

I₁ I₂

I₄ I₃

I₅

I₆

I

_II

I

_I

I

_III

Sposób 1

Prądy w gałęziach zewnętrznych oczek określone są przez prądy oczkowe (obwodowe) tych oczek z odpowiednim znakiem:

I

₁

= I

I

= 2,5 I

₂

= I

_II

= 1 I

₆

= I

III

= 2

Prądy w gałęziach wspólnych dla dwóch lub więcej oczek są sumą algebraiczną prądów tych oczek:

I

₃

= I

_II

- I

_III

= -1

Sposób 2

Macierz prądów gałęziowych I_g wyznaczamy w oparciu o macierz prądów oczkowych IX korzystając z macierzy łączącej prądowej α :

I_g = α I_X

=

⎥⎥

⎥⎥

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎢

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

−

−

−

1 0 0

0 1 1

1 0

1

1 1

0

0 1 0

0 0 1

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡ 2 1 5 , 2

=

⎥⎥

⎥⎥

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎢

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

−

2 5 , 1

5 , 0

1 1

5 , 2

9.3. METODA NAPIĘĆ WĘZŁOWYCH (WĘZŁOWA)

Metoda ta także należy do grupy metod algorytmicznych. W metodzie węzłowej poszukujemy napięć gałęziowych.

Przebieg postępowania przy rozwiązywaniu obwodu prądu harmo- nicznego metodą węzłową jest następujący, należy:

1) zamienić wszystkie rzeczywiste źródła napięcia występujące w ob- wodzie na równoważne źródła prądu;

2) określić liczbę m niezależnych węzłów w obwodzie:

m = w- 1 {w-węzły};

3) dokonać wyboru i oznaczenia węzłów niezależnych;

4) ustalić zwroty napięć węzłowych;

5) dla każdego węzła niezależnego ułożyć równanie bilansu prądów;

k z m

l Ykl U l = I

∑

=1

'

gdzie:

k k k

ll

k Y

Y =

= - admitancja własna węzła k, równa sumie admitancji gałęzi dołączonych do węzłak;

l k k k l

l l

k Y

Y _≠ = _≠ - admitancja wzajemna węzłów k i l , równa sumie admitancji wszystkich gałęzi łączących k-ty węzeł z l-tym, wzięta ze znakiem minus;

l'

U - napięcie zespolone węzła l, określone względem węzła odniesienia;

k

Iz - wypadkowy prąd źródłowy węzła k w postaci symbolicznej, rów- ny sumie algebraicznej wszystkich symbolicznych prądów źró- dłowych w gałęziach należących do k-tego węzła; prąd źródłowy gałęziowy przyjmuje się ze znakiem plus, jeżeli zwrot tego prądu źródłowego jest do węzła k, a ze znakiem minus w przypadku przeciwnym.

6) dokonać rozwiązania układu równań, stosując jedną ze znanych me- tod, np. rugowania zmiennych, wyznaczników lub macierzową;

7) ustalić zwroty prądów gałęziowych a następnie obliczyć ich wartości.

Procedurę postępowania w metodzie węzłowej (dla obwodu prądu si- nusoidalnego) zilustrujemy dla przykładowej sieci.

IZ4

IZ3

IZ2

I^Z1 _Y1

Y₂ Y3

Y₄ Y₅

Należy:

1) zamienić wszystkie źródła napięcia występujące w obwodzie na równoważne źródła prądu;

nie dotyczy

2) określić liczbę m niezależnych węzłów w obwodzie;

z zależności (8.2): m = w- 1 = 4 - 1=3 {w-węzły};

3) dokonać wyboru i oznaczenia węzłów niezależnych;

m niezależnymi węzłami są węzły a, b, c – natomiast w-ty węzeł oznaczony jako d jest węzłem odniesienia;

I

^Z4

I

Z3

I

Z2

I

Z1 Y₁

Y₂ Y₃

Y₄ Y5

a

b

c

d

4) ustalić zwroty napięć węzłowych;

Przyjmujemy istnienie napięć międzywęzłowych (pomiędzy węzłami niezależnymi a, b ,c a uziemionym węzłem odniesienia d) o zwrotach do węzłów niezależnych.

a b c

d

U_a

U_b

U_c

5) dla każdego niezależnego węzła ułożyć równanie bilansu prądów (PPK) uwzględniając tylko napięcia węzłowe;

a b c

I _z2

U a U b U c

I_z3

I _z1

I _z4 Y ₅

Y ₃ Y ₁

Y ₂

Y ₄

Dla węzła a:

(

Y₁+Y₂

)

U_a −Y₂ U_b −0U_c = I_z1−I_z2

Dla węzła b: −Y₂ U_a +

(

Y₂ +Y₃ +Y₅

)

U_b −Y₃U_c = I_z2 + I_z3 Dla węzła c: 0U_a −Y₃U_b +

(

Y₃ +Y₄

)

U_c = I_z4 −I_z3

6) dokonać rozwiązania układu równań, stosując jedną ze znanych metod, np. rugowania zmiennych, wyznaczników lub macierzową;

Rozwiązując powyższy układ równań metodą macierzową, piszemy:

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

− +

−

=

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

+

−

− + +

−

− +

3 4

3 2

2 1

4 3

3 3

5 3 2

2 2

2

1 0

0 _{z z}

z z

z z

c b a

I I

I I

I I

U U U Y

Y Y Y

Y Y Y

Y Y

Y Y

7) ustalić zwroty napięć gałęziowych i obliczyć ich wartości.

a b c

I _z2

U a U b U c

I_z3

I _z1

I _z4 Y ₅

Y ₃ Y ₁

Y ₂

Y ₄

U ₁ U₅ U ₄

U ₂ U ₃

Sposób 1

Jeżeli gałąź łączy węzeł odniesienia z węzłem niezależnym, wówczas napięcie gałęziowe równe jest liczbowo napięciu wę- złowemu (z odpowiednim znakiem). Czyli:

U₁ = U_a U₄ = U_c U₅ = U_b

Natomiast napięcie na gałęzi łączącej węzły niezależne jest równe algebraicznej sumie napięć węzłowych tych węzłów. Otrzy- mamy więc:

U₂ = U_a

-

U_b U₃ = U_b

-

U_c

Sposób 2

Napięcia gałęziowe możemy obliczyć również wykorzystując metodą incydencji napięciowej. Macierz napięć gałęziowych Ug wyznaczamy w oparciu o macierz napięć węzłowych U_X korzystając z macierzy łączącej napięciowej β :

Ug = β U_X (9.9)

Elementy macierzy łączącej napięciowej β przyjmują wartość +1, -1 lub 0 β_gk = 1 jeśli gałąź „g” jest incydentna z węzłem „k” (tzn. węzeł „k”

jest końcówką gałęzi „g”) oraz grot napięcia w gałęzi „g” jest zwrócony do węzła „k”.

-1 j.w., lecz napięcie ma zwrot przeciwny

0 jeśli gałąź „g” nie jest incydentna z węzłem „k”

węzeł

a b c

U ₁ U ₅ U₄

U ₂ U ₃

numer gałęzi

⎥⎥

⎥⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎢

⎢⎢

⎣

⎡

−

−

0 1 0

1 0 0

1 1

0

0 1 1

0 0 1

5 4 3 2 1

c b a

Przykład 9.4:

Stosując metodę węzłową, obliczyć wartości prą- dów w gałęziach obwodu.

L R

E

C

1 E₂

Dane:

E1 = j100V, E2 = 60e ^{j 60} V, f = 50 Hz,

R= 200Ω, L = 0,796 H, C = 9,55 μF

ROZWIĄZANIE:

1) zamiana wszystkich rzeczywistych źródeł napięcia występujące w obwodzie na równoważne źródła prądu;

E₁ E₂

Z₁ Z₂

Z₃

Y

I

_Z2

3

Y

₂

I

_Z1

Y

₁

[ ]

^Ω

ω

90 1

250

250

j L

e

j L j jX

Z

=

=

=

=

[ ]

^V

e j

E₁ = 100=100 ^j90

[ ]

^S

e j

L j j jB

Y

j L

90 1

004 , 0 004 , 0

250 1 1

= −

−

=

=

−

=

−

=

−

= ω

[ ]

^A

e Y

Z E

I_z E _{1 1} ^j0

1

1 = 1 = =0,4= 0,4

[ ]

Ω

2 = R = 200 Z

[ ]

^V

e E₂ = 60 ^{j 60}

[ ]

S R

Z

Y₂ =1/ ₂ =1/ = 0,005

[ ]

^A

j e

e R

Y E E I

j

j z

26 , 0 15 , 0 3

, 0

200 60

60 2 60 2

2 2

+

=

=

=

=

=

=

[ ]

^Ω

ω

90 3

333

003 , 0 1

j C

e

j j C

jX Z

= −

= −

−

=

−

=

[ ]

S e

j C j jB

Y

j C

90 3

003 , 0

003 , 0

=

=

=

=

= ω

2) określenie liczby m niezależnych węzłów w obwodzie;

z zależności 9.2: m = w- 1 = 2 – 1 = 1 {w-węzły};

3) wybór i oznaczenie wę- zła niezależnego;

niezależnym węzłem jest węzeł V – natomiast wę- zeł oznaczony jako O jest węzłem odniesienia;

4) ustalenie zwrotu napię- cia węzłowego;

Y

I

_Z2

3

Y

₂

I

_Z1

Y

₁

U

_V

V

O

5) ułożenie dla niezależnego węzła równania bilansu prądów (PPK) uwzględ- niającego tylko napięcie węzłowe

(

Y₁ +Y₂ +Y₃

)

U_V = I_z1+ I_z2

6) rozwiązanie równania (wyznaczenie U_V)

( )

[ ]

V j

e e e

j j j

j

j Y

Y Y

I U I

j j

j z V z

7 , 71 8

, 95 4

, 00509 119

, 0

608 , 0

001 , 0 005 , 0

26 , 0 55 , 0 003 , 0 005 , 0 004 , 0

26 , 0 15 , 0 4 , 0

6 , 36 3

, 11

3 , 25

3 2 1

2 1

+

=

=

=

− =

= + +

+

−

+

= + +

+

= +

−

7) ustalenie zwrotów napięć gałęziowych i obliczenie ich wartości.

Y Y

U

_V

V

Y U

₂

U

₁

U

₃

V V

U U

U U

=

=

2 1

8) ustalenie zwrotów prądów gałęziowych i obliczenie ich wartości;

UWAGA: rozpatruje się sieć zawierającą źródła napięciowe!

I₃

E₁ E₂

Z₁ Z₂

Z₃

U_V

I₁ I₂

[ ]

^A

j e

e e

Y Z U

I U

j

j V j

V

288 , 0 214 , 0 358

, 0

003 , 0 4

, 119

6 , 126

90 6

, 3 36

3 3

+

−

=

=

=

=

=

=

E₁ Z₁

U

_V

I

₁

U

_L

4 4 4 4 4 4

4 3

4 4 4 4 4 4

4 2

1 :

1 1

1

1 0

czyli L

V L

V L

Z I U

U E U

U U

E

=

−

=

⇒

=

−

−

UV

E Z

I_{1 1} = ₁− stąd:

(

E U

)

Y j

[ ]

A

Z U

I E ^V _{1 V 1} 0,115 0,383

1

1 = 1 − = − = +

( )

[ ]

^A

j

j j

I I I

095 , 0 329 , 0

288 , 0 214 , 0 383

, 0 115 , 0

3 1 2

+

=

= +

−

− +

=

=

−

=