Przestrzenie Hilberta zadania na ćwiczenia Zad. 1. Przestrzenią prehilbertowską (unitarną)

Przestrzenie Hilberta

zadania na ćwiczenia

Zad. 1. Przestrzenią prehilbertowską (unitarną) nazywamy przestrzeń liniową E z iloczy- nem skalarnym, czyli formą h·, ·i : E × E → C (lub R) spełniającą warunki:

1. hx + y, zi = hx, zi + hy, zi dla każdych x, y, z ∈ E,

2. hαx, zi = αhx, zi dla dowolnego α ∈ C i dowolnych x, z ∈ E, 3. hx, zi = hz, xi dla dowolnych x, z ∈ E,

4. hx, xi ­ 0 dla każdego x ∈ E oraz hx, xi = 0 ⇔ x = 0.

Udowodnij, że następujące przestrzenie są przestrzeniami prehilbertowskimi:

1. przestrzeń l_n² ciągów n-wyrazowych z iloczynem skalarnym hx, yi = ^Pn_k=1x_ky_k, gdzie x = (x₁, x₂, . . . , x_n), y = (y₁, y₂, . . . , y_n);

2. przestrzeń l² ciągów nieskończonych, sumowalnych w drugiej potędze, z iloczy- nem skalarnym hx, yi =^P∞_k=1xkyk, gdzie x = (xk)_k∈N, y = (yk)_k∈N.

3. przestrzeń L²(Ω, F , µ) z iloczynem skalarnym hf, gi =^R_Ωf (t)g(t) dµ(t), 4. przestrzeń funkcji ciągłych na odcinku [0, 1] z iloczynem skalarnym

hf, gi =^R₀¹f (t)g(t) dt.

Zad. 2. Udowodnij następujące własności iloczynu skalarnego:

1. hx, y + zi = hx, yi + hx, zi dla dowolnych x, y, x ∈ E;

2. hx, ayi = ahx, yi dla dowolnego a ∈ C i dowolnych x, y ∈ E;

3. hx, 0i = h0, xi = 0 dla każdego x ∈ E.

Zad. 3. Udowodnij nierówność Schwarza: dla dowolnych x, y ∈ E zachodzi nierówność

|hx, yi| ¬ ||x|| · ||y||,

gdzie ||x|| =^qhx, xi.

(Rozpisz prawą stronę nierówności 0 ¬ hx − ay, x − ayi i podstaw a = hx, yi hy, yi).

Zad. 4. Sprawdź, że ||x|| =^qhx, xi jest normą w przestrzeni E, tzn. spełnia warunki:

1. ||x|| ­ 0 i ||x|| = 0 ⇔ x = 0,

2. ||ax|| = |a| · ||x|| dla dowolnego a ∈ C, 3. ||x + y|| ¬ ||x|| + ||y||.

1

Zad. 5. Udowodnij, że w każdej przestrzeni unitarnej zachodzi tożsamość równoległoboku:

||x + y||²+ ||x − y||² = 2||x||²+ 2||y||² dla dowolnych x, y ∈ E.

Zad. 6. Wykaż, że przestrzeń C([0, 1]) z normą ||f ||_max = max_0¬t¬1|f (t)| nie jest prze- strzenią unitarną, tzn. nie można wprowadzić w tej przestrzeni iloczynu skalarnego tak, aby ||f ||²_max = hf, f i. W tym celu rozważ

f (t) =







−2t + 1, 0 ¬ t ¬ ¹₂

0, ¹₂ < t ¬ 1, g(t) =







0, 0 ¬ t ¬ ¹₂

−2t + 1, ¹₂ < t ¬ 1

i pokaż, że nie jest dla nich spełniona tożsamość równoległoboku.

Zad. 7. Wykaż, że jeżeli || · || jest normą w przestrzeni unitarnej ((E), h·, ·i), to hx, yi = 1

4(||x + y||² − ||x − y||²) w przypadku przestrzeni rzeczywistej E oraz

hx, yi = 1

4(||x + y||²− ||x − y||²) −1

4i(||ix + y||²− ||ix − y||²) w przypadku przestrzeni zespolonej E.

(Uwaga: W przestrzeni unormowanej iloczyn skalarny możemy wprowadzić powyż- szymi wzorami wtedy i tylko wtedy, gdy tożsamość równoległoboku zachodzi w niej dla każdej pary wektorów).

Zad. 8. Wykaż, że iloczyn skalarny jest ciągłą funkcją obu argumentów.

Zad. 9. Układem ortogonalnym nazywamy niepusty zbiór A ⊂ E taki, że 0 /∈ A i dowolne dwa elementy x, y ∈ A, x 6= y są ortogonalne, tzn. hx, yi = 0.

Wykaż, że w przestrzeni L²(−π, π) układem ortogonalnym jest 1, cos t, sin t, cos 2t, sin 2t, ...

Zad. 10. Układem ortonormalnym nazywamy układ ortogonalny, którego wszystkie wek- tory mają normę 1.

Wykaż, że układ funkcji e^2iπnt, gdzie n ∈ Z, jest układem ortogonalnym w L²(0, 1).

Zad. 11. Przestrzenią Hilberta nazywamy zupełną przestrzeń prehilbertowską (zupełność oznacza, że ciąg spełniający warunek Cauchy’ego jest w tej przestrzeni zbieżny).

2

Pokaż, że przestrzeń C([0, 1]) z iloczynem skalarnym hf, gi =

Z 1 0

f (t)g(t) dt

nie jest przestrzenią Hilberta. W tym celu rozważ ciąg (f_n), gdzie

f_n(t) =







n^1/4, 0 ¬ t ¬ _n¹ t^−1/4, _n¹ < t ¬ 1.

Pokaż, że spełnia on warunek Cauchy’ego, tzn. ||fn−f_m||² =^R₀¹|f_n(t)−fm(t)|²dt → 0 przy n, m → ∞, i zauważ, że nie jest zbieżny w C([0, 1]), gdyż funkcja graniczna nie należy do tej przestrzeni.

Zad. 12. Rzutem ortogonalnym wektora x ∈ H na podprzestrzeń liniową V nazywamy jedyny wektor Π_Vx spełniający warunki: Π_Vx ∈ V i hx − Π_Vx, ui = 0 dla każdego u ∈ V .

Udowodnij następujące własności rzutu (dla dowolnych x, y ∈ H i a, b ∈ C):

1. hΠVx, yi = hΠVx, ΠVyi = hx, ΠVyi (samosprzężoność), 2. hΠ_V(Π_Vx), yi = hΠ_Vx, yi (idempotentność),

3. hΠ_Vx, xi = ||Π_Vx||²,

4. ||Π_Vx|| ¬ ||x|| (ograniczoność), 5. ||x||² = ||x − ΠVx||²+ ||ΠVx||²,

6. V = {x; Π_Vx = x} = {x; ||Π_Vx|| = ||x||}, 7. Π_Vx = 0 ⇔ x⊥V ,

8. Π_V(ax + by) = aΠ_Vx + bΠ_Vy (liniowość), 9. ΠVH = V .

Zad. 13. Udowodnij, że odwzorowanie liniowe A : H → H jest rzutem ortogonalnym na pewną podprzestrzeń domkniętą V wtedy i tylko wtedy, gdy A jest idempotentne i samosprzężone.

Zad. 14. Niech V = {x; ||x|| ¬ 1}. Wykaż, że V^⊥ = {0}.

Zad. 15. Wykaż, że

1. A₁ ⊂ A₂ ⇒ A^⊥₂ ⊂ A^⊥₁, 2. (A₁∪ A₂)^⊥= A^⊥₁ ∩ A^⊥₂.

3

Przestrzenie Hilberta

zadania na kolokwium

Zad. 1. Niech Ω będzie zbiorem otwartym w R². Pokaż, że przestrzeń liniowa X funkcji f : Ω → C mających pochodne cząstkowe _∂t^∂x₁ i _∂t^∂x

2 całkowalne z kwadratem w Ω jest przestrzenią unitarną z iloczynem skalarnym

hf, gi =

Z

Ω

f (t)g(t) +

2

X

i=1

Z

Ω

∂f

∂t_i(t)∂g

∂t_i(t) dt.

Zad. 2. W przestrzeniach l²_n, l² i L²(Ω, F , µ) zapisz nierówność Schwarza.

Zad. 3. Wykaż, że przestrzenie ciągów 1. l^∞ ciągów ograniczonych, 2. c ciągów zbieżnych,

3. c₀ ciągów zbieżnych do zera,

wszystkie z normą ||x|| = sup_ktk dla x = (tk)_k∈N, nie są unitarne.

Zad. 4. Niech r₀(t) = 1 dla t ∈ [0, 1] oraz

r_n(t) = sgn(sin 2ⁿπt), t ∈ [0, 1], n = 1, 2, . . .

Wykaż, że powyższy układ zwany układem Rademachera jest ortonormalny w prze- strzeni L²(0, 1).

Zad. 5. Niech χ⁰₁(t) = 1 dla t ∈ [0, 1] oraz

χⁿ_k(t) =











√2ⁿ, ^2k−2₂n < t < ^2k−1₂n+1,

−√

2ⁿ, ^2k−1₂n < t < ₂n+1^2k ,

0, w pozostałych punktach przedziału [0, 1]

dla k = 1, 2, 3, . . . , 2ⁿoraz n = 1, 2, 3 . . . Wykaż, że układ ten, zwany układem Haara, jest ortonormalny w L²(0, 1).

Zad. 6. Dowieść, że układ Rademachera nie jest zupełny w L²(0, 1).

Zad. 7. Udowodnij, że w przestrzeni unitarnej z warunków ||x_n|| = ||y_n|| = 1 i lim_n→∞||x_n+ y_n|| = 2 wynika, że lim_n→∞||x_n− y_n|| = 0.

Zad. 8. Niech (λ_n) będzie ciągiem liczb dodatnich. Udowodnij, że przestrzeń ciągów (x_n) takich, że ^P∞_n=1λ_n|x_n|² < ∞ jest przestrzenią Hilberta z iloczynem skalarnym h(x_n), (y_n)i =^P∞_n=1λ_nx_ny_n.

Zad. 9. Zbiór S punktów (x₁, x₂, . . . , x_n) ∈ Cⁿ, dla których ^Pn_n=1x_i = 1 jest zbiorem wypukłym i domkniętym. Pokaż, że rzut wektora zerowego na S jest wektorem postaci (¹_n,¹_n, . . . ,_n¹).

Zad. 10. Udowodnij, że jeżeli Π_Vx = ax dla pewnego x 6= 0, to a = 0 lub a = 1.

4