1 Ciągi Definicja 1.1 (ciąg)

Wykład 2

1 Ciągi

Definicja 1.1 (ciąg) Ciągiem w zbiorze X nazywamy odwzorowanie x : N → X. Dla uprosz- czenia piszemy x n zamiast x(n).

Przykład

1. x n = n jest ciągiem elementów z przestrzeni R

2. f _n (x) = sin _n+1 ^x jest ciągiem elementów z przestrzeni B(R, R)

Definicja 1.2 (ciąg zbieżny) Niech (X, d) będzie przestrzenią metryczną. Niech (x _n ) bę- dzie ciągiem z przestrzeni X. Ciąg ten nazywamy zbieżnym jeśli istnieje x _∞ ∈ X takie, że:

∀ _ε>0 ∃ _n

_∈N ∀ _n>n

x _n ∈ K(x ∞ , ε)

x _∞ spełniające powyższy warunek nazywamy granicą ciągu. Jeśli granica nie istnieje, ciąg nazywamy rozbieżnym.

Stwierdzenie 1.1 Granica ciągu zbieżnego jest wyznaczona jednoznacznie Dowód:

Załóżmy, że ciąg (x _n ) ma dwie granice - x ¹ _∞ , x ² _∞ . Niech ρ = d(x ¹ _∞ , x ² _∞ ) oznacza odległość między tymi granicami. Z definicji granicy wiemy, że istnieje takie N , że

∀ _m>N d(x ¹ _∞ , x _m ) < ρ/4 oraz d(x ¹ _∞ , x _m ) < ρ/4 Otrzymujemy wtedy dla m > N wykorzystując nierówność trójkąta:

ρ = d(x ¹ _∞ , x ² _∞ ) < d(x ¹ _∞ , x _m ) + d(x _m , x ² _∞ ) < ρ/4 + ρ/4 = ρ/2 co daje sprzeczność, więc ciąg zbieżny musi mieć dokładnie jedną granicę.

Stwierdzenie 1.2 Ciąg zbieżny jest ograniczony Dowód:

Niech x ∞ będzie granicą ciągu (x _n ). Istnieje takie N , że jeśli tylko m ­ N to x _m ∈ K(x ∞ , 1).

Wobec tego wszystkie wyrazy począwszy od x _N są zawarte w pewnej kuli. Wystarczy teraz tylko powiększyć tę kulę tak aby zawierała skończenia wiele początkowych wyrazów ciągu od x ₁ do x _{N −1} .

Definicja 1.3 (zbiór zwarty) Zbiór A ∈ X, (X, d) - przestrzeń metryczna nazywamy zwar-

tym jeśli z każdego ciągu elementów zbioru A można wybrać podciąg zbieżny do granicy w

zbiorze A.

Definicja 1.4 (ciąg Cauchy’ego) (X, d) - przestrzeń metryczna. Ciągiem Cauchy’ego na- zywamy ciąg spełniający warunek:

∀ _ε>0 ∃ _{N ∈N} ∀ _n,m>N d(x _n , x _m ) < ε . Stwierdzenie 1.3 Każdy ciąg zbieżny jest ciągiem Cauchy’ego.

Dowód: Niech (x _n ) - ciąg zbieżny do x ∞ . Niech ε > 0. Z definicji ciągu zbieżnego wiemy, że istnieje N takie, że dla m > N mamy:

d(x ∞ , x _m ) < ε 2 . Stąd dla m, n > N otrzymujemy:

d(x _n , x _m ) < d(x _n , x ∞ ) + d(x ∞ , x _m ) < ε 2 + ε

2 = ε więc ciąg jest Cauchy’ego.

Stwierdzenie 1.4 Każdy ciąg Cauchy’ego jest ograniczony.

Dowód analogiczny do dowodu Stw. 1.2 pomijam.

Definicja 1.5 (przestrzeń zupełna) Przestrzeń metryczną (X, d) nazywamy zupełną jeśli każdy ciąg Cauchy’ego elementów tej przestrzeni jest zbieżny.

Przykłady:

• Prosta R jest przestrzenią zupełną.

Szkic dowodu: Rozważmy ciąg Cauchy’ego liczb rzeczywistych (x _n ). Stwierdzenie 1.4 zapewnia nas, że ciąg ten jest ograniczony. Stosujemy teraz twierdzenie Bolzano - We- ierstrassa, które orzeka, iż z każdego ograniczonego ciągu liczb rzeczywistych można wybrać podciąg zbieżny. Wobec tego z naszego ciągu (x _n ) możemy wybrać podciąg zbieżny (x n

) do pewnego g ∈ R. Niech teraz ε > 0. Ponieważ ciąg (x ⁿ ) jest Cau- chy’ego więc istnieje takie N ₁ , że dla n, m > N ₁ mamy:

|x _n − x _m | < ε 3 .

Ponadto ponieważ podciąg x _n

jest zbieżny, istnieje N ₂ takie, że dla k takich, że n _k > N ₂ mamy:

|x _n

− g| < ε 3 .

Niech N = max{N ₁ , N ₂ }. Możemy teraz szacować dla m > N i k takich, że x _n

> N :

|x _m − g| ¬ |x _m − x _n

| + |x _n

− g| < ε 3 + ε

3 < ε.

Tak więc pokazaliśmy, że cały ten ciąg jest zbieżny do g, więc R jest zupełna.

• Przestrzeń R ^k jest zupełna.

Szkic dowodu: Pokazujemy najpierw, że ciąg Cauchy’ego (x n ) _n∈N w R ^k jest ciągiem Cauchy’ego ze względu na każdą współrzędną (tzn. poszczególne współrzędna tworzą rzeczywiste ciągi Cauchy’ego (x ⁱ _n ) _n∈N , dla i = 1, . . . , k). Tak jak poprzednio wszystkie te ciągi są ograniczone, możemy więc wybrać z ciągu (x n ) _n∈N podciąg taki aby pierwsza jego współrzędna była zbieżna do pewnego g ¹ . Następnie z tego podciągu wybieramy kolejne podciągi tak aby otrzymać zbieżność na pozostałych współrzędnych. W ostat- nim kroku pokazujemy jak poprzednio, że cały ciąg jest zbieżny do granicy będącej granicą tak otrzymanego podciągu.

• Półprosta otwarta (0, ∞) nie jest przestrzenią zupełną, gdyż ciąg x _n = _n ¹ jest w niej ciągiem Cauchy’ego a nie jest w niej zbieżny.

Definicja 1.6 (norma) X - przestrzeń liniowa nad R (ogólnie nad ciałem K). Funkcja N : X → R + nazywa się normą, gdy dla t ∈ R, u, v ∈ X spełnione są warunki:

• N (tu) = |t|N (u) (jednorodność)

• N (u) = 0 ⇒ u = 0 (niezdegenerowaność)

• N (u + v) ¬ N (u) + N (v) (warunek trójkąta)

Parę (X, N ) nazywamy przestrzenią unormowaną.

Przykłady

• W R ⁿ :

– euklidesowa: kxk = kxk ₂ = ( ^{P n} _i=1 x ² _i ) ^1/2 – maksimum kxk = kxk _max = kxk ∞

– miejska kxk = kxk ₁ = ^{P n} _i=1 |x _i |

• Norma supremum w przestrzeni B(X, Y ), gdzie X - przestrzeń metryczna, Y - prze- strzeń unormowana. Wtedy dla f ∈ B(X, Y ) określamy kf k = sup kf (x)k.

• Norma w przestrzeni L(X, Y ) - wszystkich odwzorowań liniowych przestrzeni unormo- wanej X w przestrzeń unormowaną Y. Niech f ∈ L(X, Y ). Wtedy określamy kf k = sup _kxk¬1 kf (x)k.

Stwierdzenie 1.5 Norma definiuje metrykę: d(u, v) = N (u − v).Mówimy że jest to metryka

indukowana przez normę.

Dowód: Własności normy wynikają bezpośrednio z własności metryki, polecam własnoręczne sprawdzenie.

Definicja 1.7 (przestrzeń Banacha) Przestrzeń liniową unormowaną zupełną nazywamy przestrzenią Banacha.

2 Ciągi funkcyjne

Definicja 2.1 (Zbieżność punktowa ciągów funkcyjnych) Ciąg funkcji f _n : X → R jest zbieżny punktowo na zbiorze A ⊂ X do funkcji f : X → R jeśli:

∀ _x∈A f _n (x) → f (x) dla n → ∞

Definicja 2.2 (Zbieżność jednostajna ciągów funkcyjnych) Niech f, f _n ∈ B(X, R) dla n ∈ N. Ciąg funkcji f n jest zbieżny jednostajnie do funkcji f ((f _n ⇒ f ) jeśli jest zbieżny w sensie normy supremum, tzn:

kf − f _n k _sup → 0

Wniosek: ciąg funkcji ograniczonych zbieżny jednostajnie jest zbieżny punktowo. Uwaga:

implikacja przeciwna nie zachodzi!!!

Powyższe definicje można w sposób oczywisty uogólnić na przypadek funkcji których zbiorem wartości jest dowolna przestrzeń metryczna.

Poznawszy definicje zbieżności możemy się teraz zająć tym, jak taką granicę ciągu funkcyj- nego policzyć oraz jak sprawdzić czy zbieżność jednostajna zachodzi.

Uwaga 1: W celu poznania funkcji granicznej ciągu funkcyjnego f _n liczymy granicę ciągu liczbowego f _n (x) dla każdego ustalonego x otrzymując w ten sposób wartości funkcji gra- nicznej f . Obszar złożony z tych x, dla których granica taka istnieje nazywamy obszarem zbieżności ciągu funkcyjnego.

Uwaga 2: Gdy już poznamy granicę ciągu, możemy sprawdzić czy zbieżność jest jedno- stajna na danym podzbiorze obszaru zbieżności. Pozostaje tu jeszcze uświadomić sobie, że jeśli zbieżność jednostajna ciągu funkcyjnego ma zachodzić do jakiejkolwiek funkcji, to musi to być funkcja wyznaczona tak jak w Uwadze 1. W celu sprawdzenia czy zbieżność jest jednostajna na danym zbiorze A sprawdzamy, czy na zbiorze A zachodzi:

kf − f _n k _sup → 0 czyli, czy:

sup

x∈A

|f _n (x) − f (x)| → 0.

Najprostszym sposobem sprawdzenia tego warunku jest zbadanie przebiegu zmienności funk- cji |f _n (x) − f (x)| na zbiorze A i stwierdzenie czy żądane supremum zbiega do 0.

Przykłady

• Ciąg funkcyjny f _n (x) = x ⁿ jest zbieżny na przedziale (−1, 1] do funkcji granicznej f (x) =

( 0 dla x ∈ (−1, 1)

1 dla x = 1 . Zbieżność jednostajna jednak nie zachodzi, gdyż w sen-

sie normy supremum odległość między każdą z funkcji f n a funkcją f wynosi 1.

• Rozważmy funkcje f _n (x) = sin ^x _n dla x ∈ R. Tu funkcją graniczną jest funkcja stała równa tożsamościowo 0. Zbieżność jednostajna znowu nie zachodzi, gdyż dla x = nk ^π ₂ , k ∈ Z (Z oznacza zbiór licz całkowitych) mamy |f n (x) − f (x)| = 1 dla każdego n.

• Rozważmy funkcje f _n = _{n+sin x} ^{n sin x} określone na R. Funkcją graniczną jest funkcja f (x) = sin x, obszarem zbieżności cała prosta. Sprawdzamy, czy zbieżność jest jednostajna:

sup

x∈R

|f _n (x)−f (x)| = sup

x∈R

n sin x

n + sin x − sin x

= sup

x∈R

sin ² x n + sin x

¬

1 n − 1

→ 0 dla n → ∞.

Tak więc w tym przypadku zbieżność jest jednostajna.