Przestrzenie unitarne i przestrzenie Hilberta
1. Wykazać, że iloczyn skalarny w przestrzeni wektorowej X nad ciałem K ma nastepuj ace własności:
(i)x, y + z = x, y + x, z, (ii) x, λy = ¯λ x, y,
(iii) x, θ = θ, x = 0
dla wszystkich x, y ∈ X, λ ∈ K.
2. Podać postać nierówności Schwarza w konkretnych przestrzeniach unitarnych.
3. Sprawdzić, że iloczyn skalarny ·, · jest zgodny z norma ·, jeśli x = x, x.
4. Wykazać, że iloczyn skalarny w przestrzeni unitarnej X jest odwzorowaniem ciagłym, tzn. jeśli xn→ x i yn → y, to xn, yn → x, y .
5. Wykazać prawdziwość tożsamości równoległoboku i tożsamości polaryzacyjnych.
6. Wykazać, że w przestrzeni C ([0, 1]) z norma supremum nie jest spełniona tożsamość równo- ległoboku, wiec nie jest to przestrzń unitarna.
7. Wykazać, że w przestrzeniach l1 i L1(0, 1) nie jest spełniona tożsamość równoległoboku, wiec nie s a to przestrzenie unitarne.
8. Wykazać, że w przestrzeni unitarnej X dla wektorów x1, x2, . . . , xn parami ortogonalnych, zachodzi
x1+ x2 + . . . + xn2 =x12+x22+ . . . +xn2.
9. Wykazać, że w nierówności Schwarza zachodzi równość wtedy i tylko wtedy, gdy wektory x, y sa liniowo zależne.
10. W przestrzeni unitarnej L2(0, 1) obliczyć iloczyn skalarny funkcji f (t) = e2ti g(t) = e−t+ 1.
11. W przestrzeni unitarnej L2(0, π) obliczyć odległość pomiedzy funkcjami f(t) = 2sint i g(t) = sintcost.
Arkusz 14
12. W przestrzeni unitarnej L2(0, 1) obliczyć długości boków trójkata o wierzchołkach w punk- tach f, g, h, gdzie f (t)≡ 1, g(t) = t, h(t) = t2.
13. Dla macierzy A, B ∈ M(n×n,R) niech A, B = tr(ABT), gdzie BT jest macierza transwer- salna do B, a trC oznacza ślad macierzy C. Wykazać, że powyższy wzór określa iloczyn skalarny w przestrzeni M (n× n,R).
14. W przestrzeni unitarnej kat mi edzy wektorami określamy jako ∠(x, y) taki, że cos∠ (x, y) = x, y
x y.
Obliczyć katy w trójk acie o wierzchołkach x 1(t) ≡ 0, x2(t) ≡ 1, x3(t) = t w przestrzeni L2(−1, 1) .
Arkusz 15
