Podstawy matematyczne przetwarzania sygnałów i obrazów Egzamin – II termin – 27 września 2004 roku
Zadanie 1. Wiedząc, że f, g ∈ L2([0, 1]), oszacuj Z
[0,1]
|f + 2g + 3f g + 4f2+ 5g2| dl za pomocą ||f ||2 i ||g||2.
Zadanie 2. a) Rozwiń w szereg Fouriera funkcję określoną na odcinku [0, 2] wzorem f (x) = |x − 1|.
b) Z rozwinięcia w szereg Fouriera funkcji f wyprowadź rozwinięcie w szereg Fouriera funkcji określonej na odcinku [0, 2] wzorem
f (x) =
−1, x ∈ (0, 1) 1, x ∈ (1, 2)
0, w pozostałych przypadkach.
c) Udowodnij równość
∞
X
n=1
1
(4n − 3)(4n − 1) = π 8. Zadanie 3. a) Udowodnij, że transformatą Fouriera funkcji
fn(x) = x1I[−n,n](x), n ∈ N jest
fˆn(ξ) = i 2πξ
n cos(2πξn) − sin(2πξn) 2πξ
. b) Wyznacz transformatę Fouriera splotu fn∗ fm.
c) Korzystając ze wzoru na ˆfn, wyprowadź wzór na transformatę Fouriera funkcji g(x) = x1I[−2π1 ,2π1 ](x).
Zadanie 4. Wyznacz dyskretną transformatę Fouriera ciągu yk = ke−k/N, k = 0, 1, . . . , N − 1.
