Bąk symetryczny

VII.5 Zastosowania 1: bąki symetryczne- swobodny i

ważki

Bąk symetryczny

ʹ ʹ

ʹ ʹ

ʹ ʹ

0 0 0 0

ˆ 0 0 0 0

0 0 0 0

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

′ = ⎜ ⎟ ⎜ = ⎟

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

x x

y x

z z

I I

I I I

I I

cd. Równania Eulera dla bąka symetrycznego

( )

( )

ʹ ʹ ʹ ʹ ʹ ʹ ʹ

ʹ ʹ ʹ ʹ ʹ ʹ ʹ

ʹ ʹ ʹ

ω + − ω ω = ω + − ω ω = ω =







x x z x y z x

x y x z x z y

z z z

I I I M

I I I M

I M

Równania Eulera dla bąka swobodnego

( )

( )

ʹ ʹ

ʹ ʹ ʹ ʹ ʹ ʹ ʹ ʹ ʹ

ʹ

ʹ ʹ

ʹ ʹ ʹ ʹ ʹ ʹ ʹ ʹ ʹ

ʹ

ʹ ʹ ʹ 0 ʹ

0 0

0 0

0

⎛ − ⎞

ω + − ω ω = ⇒ ω +⎜ ω ω =⎟

⎝ ⎠

⎛ − ⎞

ω + − ω ω = ⇒ ω −⎜ ω ω =⎟

⎝ ⎠

ω = ⇒ ω = ω

 

 



z x

x x z x y z x z y

x

z x

x y x z x z y z x

x

z z z z

I I

I I I

I I I

I I I

I I

ʹ ʹ

ʹ ʹ

Ω =

−

ω

x

I I

( ) I

( )

ʹ 0 ʹ

ʹ 0 ʹ

ʹ 0 ʹ

cos sin

ω = ω Ω + φ ω = ω Ω + φ ω = ω

x x

y x

z z

t

t

Bąk swobodny. Obraz widziany w układzie bryły U’

Z’- oś symetrii bąka

L G

ω G

ω0 ʹ_z

Stożek polhodii

Bąk swobodny. Obraz widziany w układzie inercjalnym U

Nieruchoma oś Momentu pędu

ω G

Chwilowa oś obrotu

Oś symetrii Stożek

herpolhodii Stożek

precesji

L G

Bąk swobodny. U’ widziane z U- PRECESJA REGULARNA

Nieruchoma oś Momentu pędu

ω G

Chwilowa oś obrotu

Stożek

I _x’ >I _ż’

Oś symetrii

Stożek Stożek precesji

L G

Bąk swobodny Eulera cd.

Uwaga: 

Bąki (żyroskopy) swobodne i symetryczne najczęściej 

rozkręcamy dookoła osi symetrii. Jest to sytuacja gdy wektory  momentu pędu i prędkości kątowej są równoległe. Nie 

obserwujemy więc precesji symetrii, stożka herpolhodii etc. – widać tylko ustaloną oś obrotu= osi zachowanego momentu  pędu.

Precesja, którą obserwowaliśmy na wykładzie dotyczyła bąków  nieswobodnych i/lub ważkich ‐ nie znikający moment siły 

ciężkości, bądź była wywołana nie znikającymi momentami w  niedoskonałych zawieszeniach Cardana.

Bąk pod działaniem sił zewnętrznych.

Efekt żyroskopowy

Ciało obracające się obraca się inaczej pod  wpływem momentu siły  niż ciało nie obracające się.

Pojawia się precesja.

L G G ′

L

∆ G L

r G

F G

M G

ω G

∆ = ⋅ ∆

= ′

G G

G L M t G

L L

Bąk symetryczny ważki- obrót dookoła osi symetrii

Moment siły ciężkości względem O:

Zmiana momenty pędu:

Prędkość kątowa precesji:

nie zależy od kąta teta.

Gdy osie momenty pędu i symetrii  bryły pokrywają mówimy o precesji  regularnej.

;      sin

= × = θ

G G G

M r mg M mgr

;     sin

∆ = ⋅ ∆ = ρ⋅ ∆φ ρ =G G θ

L M t L

sin sin

∆φ ∆ θ⋅ ∆

ω = = = =

∆ ρ⋅ ∆ θ⋅ ∆

p

L mgr t mgr

t t L t L

x

y z

ŚM mg G

r G L G

ω G

M G θ

O

ρ = L sin θ

Bąk symetryczny ważki-obrót dookoła osi dowolnej

Gdy oś symetrii nie pokrywa  się z osią momentu pędu bąka,  ta pierwsza nakreśla nie okrąg  a linię wężykowatą.

Ruch osi symetrii podlega  nutacji.  

Mówimy, że bryła wykonuje  precesję pseudoregularną.

Oś

symetrii

Równanie bąka symetrycznego ciężkiego szybkiego

Jeżeli wersor k’ jest wersorem osi symetrii bąka w UI, zaś  częstość obrotu bąka dookoła osi symetrii wynosi ω₀ mamy z  dobrym przybliżeniem:

Równanie ruchu możemy napisać w następujący sposób:

3 0

ʹ

= ω G G 

L I k

( )

3 0

ʹ ʹ

wersor w UI pionowo do góry,

k ‐ wersor w UI opisujący os symetrii bąka

ω = − × +

−

′

G G G

G G

dodatkowe

I dk mgr k k M

dt

k