MES w zagadnieniach sprężysto-plastycznych Wykład 5 z MKwIL, kierunek

(1)

MES w zagadnieniach sprężysto-plastycznych

Wykład 5 z MKwIL, kierunek Budownictwo

Jerzy Pamin

Katedra Technologii Informatycznych w Inżynierii Politechnika Krakowska

Podziękowania:

A. Winnicki, A. Wosatko, Ł. Kaczmarczyk TNO DIANA http://www.tnodiana.com FEAP http://www.ce.berkeley.edu/feap

MKwIL, Budownictwo II st.

Tematyka zajęć

Nieliniowość fizyczna

Teoria plastycznego płynięcia

Zastosowania - deformacje plastyczne

Symulacja zarysowania konstrukcji murowych

Modelowanie katastrofy World Trade Center

(2)

Analiza przyrostowo-iteracyjna

Nieliniowy problem:

f_ext przykładane w przyrostach t → t + ∆t → σ^t+∆t = σ^t + ∆σ Równowaga w chwili t + ∆t:

ne

X

e=1

A^{e T} Z

V^e

B^Tσ^t+∆tdV = f_ext^t+∆t

ne

X

e=1

A^{e T} Z

V^e

B^T∆σ dV = f_ext^t+∆t − f_int^t gdzie: f_int^t = Pne

e=1A^{e T}R

V^eB^Tσ^tdV Linearyzacja lewej strony w chwili czasu t:

∆σ = ∆σ(∆(∆u)) Układ równań dla przyrostu:

K ∆d = f_ext^t+∆t − f_int^t

Nieliniowość fizyczna

K ∆d = f_ext^t+∆t − f_int^t Linearyzacja lewej strony w chwili czasu t:

∆σ =∆σ(∆(∆u))

∆σ = ^∂σ_∂^t _∂

∂u

^t

∆u D = ^∂σ_∂, L = ^∂_∂u

Dyskretyzacja: ∆u = N∆d^e

Liniowe związki geometryczne → macierz dyskretnych związków kinematycznych B = LN niezależna od przemieszczeń

Styczna macierz sztywności K =

n_e

X

e=1

A^{e T} Z

V^e

B^TDB dV A^e

(3)

Uplastycznienie materiału

A B C

przemieszczenie siła

P

A

+

-

σy

+

- -

+ C B

zakres sprężysty

pełne uplastycznienie pełne uplastycznienie zakres sprężysty

poziom mikroskopowy

sieć ścinanie poślizg

krystaliczna dyskolacyjny

Teoria płynięcia plastycznego [1,2]

Nośność materiału nie jest nieskończona, przy deformacji powstają odkształcenia trwałe

Pojęcia teorii plastyczności

I Funkcja plastyczności f (σ) = 0

- określa granicę zachowania sprężystego

I Prawo płynięcia plastycznego ˙^p = ˙λm - określa prędkość odkształceń plastycznych

˙λ - mnożnik plastyczny

m - kierunek płynięcia plastycznego

(zazwyczaj stowarzyszony z funkcją płynięcia m^T = n^T = _∂σ^∂f )

I Wzmocnienie plastyczne f (σ − α, κ) ¬ 0 kinematyczne (κ = 0) lub izotropowe (α = 0)

I Warunki Kuhna-Tuckera (obciążenie-odciążenie):

f ¬ 0, ˙λ 0, ˙λf = 0 (odciążenie jest sprężyste)

f < 0 f =0

n σ₁ σ₂

σ σ_y

E E

(4)

Teoria płynięcia plastycznego

Deformacja materiału zależy od historii obciążenia, zatem związki konstytutywne są zapisywane w prędkościach.

Płynięcie plastyczne gdy f = 0 i ˙f = 0

(warunek zgodności plastycznej) Dekompozycja addytywna

˙ = ˙^e+ ˙^p

Odwzorowanie bijekcyjne

˙

σ = D^e˙^e

Wykorzystując prawo płynięcia

˙

σ = D^e( ˙ − ˙λm)

Zgodność procesu plastycznego

˙f = _∂σ^∂f σ +˙ _∂κ^∂f ˙κ = 0

Moduł wzmocnienia h = −¹_˙

λ

∂f

∂κ˙κ

Podstawiając ˙σ do równ. zgodności n^Tσ − h ˙λ = 0˙

oblicza się mnożnik plastyczny

˙λ = ⁿ^T^D^e^˙

h+n^TD^em

Macierzowe równanie konstytutywne

˙ σ = h

Dê− _h+n^Dê^mn_T_D^T^D_e_mêi

˙

Operator styczny Dêp = Dê− _h+n^Dê^mnTD^T^Dêmê

Całkowanie po czasie niezbędne na poziomie punktu

Teoria Hubera-Misesa-Hencky’ego

Najczęściej stosowana jest teoria Hubera-Misesa-Hencky’ego (H-M-H), oparta na skalarnej mierze energii odkształcenia postaciowego.

Dla małych odkształceń zakłada się addytywność ich przyrostów:

˙ = ˙^e+ ˙^p

I Funkcja płynięcia

np. ze wzmocnieniem izotropowym f (σ, κ) = p3J₂^σ − ¯σ(κ) = 0

κ - miara odkształcenia plastycznego ( ˙κ = _σ¹_¯σ^T˙^p = ˙λ)

I Prawo płynięcia plastycznego

˙^p = ˙λ_∂σ^∂f

I Prawo wzmocnienia izotropowego np. liniowe

¯

σ(κ) = σ_y + hκ

h - moduł wzmocnienia

f < 0 f =0 σ₂

σ₁

σy

σ

1 h

¯ σ

κ=||^p||

σy

(5)

Przykład rozciągania perforowanej płytki

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600

0 0.5 1 1.5 2

Wydłużenie [mm]

plastyczność ze wzmocmieniem

Siła[N]

plastyczność idealna

Deformacja Uplastycznienie Wykres siła-wydłużenie

Teoria plastycznego płynięcia

Funkcje plastyczności dla metali:

Coulomba-Tresca’i-Guesta i Hubera-Misesa-Hencky’ego

Funkcje plastyczności niezależne od ciśnienia

(6)

Teoria plastycznego płynięcia

Funkcje plastyczności dla gruntów:

Mohra-Coulomba i Burzyńskiego-Druckera-Pragera

Funkcje plastyczności zależne od ciśnienia

Powierzchnie „plastyczności” dla betonu

Płaski stan naprężenia

Eksperyment Kupfera

Funkcja ”plastyczności” Rankine’a: f (σ, κ) = σ₁− ¯σ(κ) = 0 Miara odkształcenia zarysowania κ = |^p₁|

(7)

Algorytm komputerowej plastyczności

Algorytm powrotnego odwzorowania

→ algorytm Eulera „wstecz” (bezwarunkowo stabilny) 1. Obliczyć sprężysty predyktor

σ_tr = σ^t + D^e∆

2. Sprawdzić, czy f (σ_tr, κ^t) > 0 ? Jeśli nie, to stan sprężysty σ = σ_tr Jeśli tak, to stan plastyczny,

obliczyć plastyczny korektor σ = σ_tr − ∆λD^em(σ) f (σ, κ) = 0

(układ 7 równań nieliniowych na σ, ∆λ) Obliczyć κ = κ^t + ∆κ(∆λ)

σ

_tr

σ

^t

f = 0

Iteracyjne poprawki są konieczne, chyba, że powrót odbywa się po promieniu i wzmocnienie jest liniowe.

Brazylijski test rozłupywania

Sprężystość, płaski stan odkształcenia

Deformacje, naprężenie pionowe σ_yy i niezmiennik naprężenia J₂^σ

(8)

Brazylijski test rozłupywania

Sprężystość, zależność naprężeń od siatki

Naprężenia σ_yy dla rzadkiej i gęstej siatki

Naprężenia pod siłą zmierzają do nieskończoności (zależność rozwiązania od gęstości siatki) - rozwiązanie sprzeczne z fizyką

Brazylijski test rozłupywania

Idealna plastyczność H-M-H

Końcowa deformacja i naprężenie σ_yy

(9)

Brazylijski test rozłupywania

Końcowe odkształcenie _yy i niezmiennik J₂

Brazylijski test rozłupywania

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Displacement 0

200 400 600 800

Force

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Displacement 0

200 400 600 800

Force

This is correct!

Dla elementu czterowęzłowego wykres siła-przemieszczenie wykazuje wzmocnienie na skutek blokady objętościowej, bo plastyczność H-M-H zawiera więz nieściśliwości plastycznej, którego nie potrafi odtworzyć poprawnie model MES

Element ośmiowęzłowy nie wykazuje blokady

(10)

Brazylijski test rozłupywania

Sprężystość, płaski stan odkształcenia, elementy 8-węzłowe

Deformacje, naprężenie pionowe σ_yy i niezmiennik naprężenia J₂^σ

Brazylijski test rozłupywania

Końcowa deformacja i naprężenie σ_yy

(11)

Brazylijski test rozłupywania

Końcowe odkształcenie _yy i niezmiennik J₂

Plastyczność Burzyńskiego-Druckera-Pragera

I Funkcja plastyczności ze wzmocnieniem izotropowym

f (σ, κ) = q + α p − βc_p(κ) = 0 q = √

3J2 - dewiatorowa miara napr.

p = ¹₃I₁ - ciśnienie hydrostatyczne α = _{3−sin ϕ}^{6 sin ϕ} , β = _{3−sin ϕ}^{6 cos ϕ}

ϕ - kąt tarcia wewnętrznego c_p(κ) - kohezja

I Potencjał plastyczny f^p = q + α p α = _{3−sin ψ}^{6 sin ψ}

ψ - kąt dylatacji

Niestowarzyszone prawo płynięcia

˙^p = ˙λm, m = ^∂f_∂σ^p

I Miara odkształceń plastycznych

˙κ = η ˙λ, η = (1 + ²₉ α ²)¹²

I Moduł wzmocnienia kohezji h(κ) = ηβ ^∂c^p

q

p HMH

BDP

ϕ βcp

Dla sin ϕ = sin ψ = 0 otrzymuje się funkcję Hubera- Misesa-Hencky’ego.

(12)

Symulacja niestateczności zbocza

Gradientowa plastyczność Burzyńskiego-Druckera-Pragera

Ewolucja miary odkształceń plastycznych

Interfejsowe elementy skończone 2D i 3D

Przykłady zastosowania

(13)

Elementy interfejsowe

t = D ∆u

Dla interfejsu 2D w modelu 3D:

t = [t_n t_t t_s]^T

Względne przemieszczenie ∆u stron (A) i (B) interfejsu

∆u = [∆u_n ∆u_t ∆u_s]^T u = [u_n^(A)u_n^(B)u_t^(A)u^(B)_t u^(A)_s u_s^(B)]^T

∆u = Lu , u = N d^e

L =





−1 1 0 0 0 0

0 0 −1 1 0 0

0 0 0 0 −1 1





∆u = LN d^e

Interfejs w modelu 2D

Przypadek ścinania

Symulacja zarysowania konstrukcji murowych [3]

DIANA

(14)

Modelowanie konstrukcji murowych

Model ”mikro”(dyskretne interfejsy) lub model ”makro”(homogenizacja)

W każdym z trzech podstawowych stanów wytrzymałościowych pojawia się osłabienie

Teoria plastyczności

Model interfejsu

Model kontinuum

(15)

Budowa metra w Amsterdamie (Noord/Zuidlijn)

Katastrofa World Trade Center

Wybudowany w latach 1966-77, 110 kondygnacji o wys. ok. 3.7m, konstrukcja ramowa stalowa zgodnie z koncepcją „rura w rurze”, rdzeń 26.5×41.8m (47 słupów połączonych krótkimi belkami, przenosił 60% ciężaru własnego), rama zewnętrzna (240 słupów skrzynkowych 356x356 co 1m na obwodzie, przenosiła 40% ciężaru własnego), stropy zespolone na dźwigarach kratowych

połączonych przegubowo ze rdzeniem i ramą zewnętrzną, stężenie szczytowe na kondygnacjach 107-110. Ciężar budynku ponad ziemią 3630MN, ciężar własny 2890MN, obc. użytkowe 740MN.

(16)

Uproszczony mechanizm katastrofy WTC [4,6]

Efekt dynamiczny wysokiej temperatury, która obniżyła granicę plastycz- ności stali i spowodowała wyboczenie słupów w warunkach pełzania

1. Konstrukcja osłabiona przez uderzenie, pożar paliwa powoduje wzrost temperatury do ok. 600C

2. Redystrybucja naprężeń, lepkoplastyczne wyboczenie słupów na krytycznej kondygnacji, zniszczeniu ulegają węzły kratownic nośnych stropów i postępuje wyboczenie słupów

3. Połowa słupów przestaje przenosić ciężar części budynku powyżej

4. Część ta spada na niższy strop z rosnącą energią kinetyczną, uderzenie stanowi obciążenie dynamiczne, którego kontrukcja poniżej nie jest w stanie przenieść

5. Górna część wieży stopniowo zapada się, gdy rośnie jej masa i energia

Szacunkowe obliczenia energetyczne dają współczynnik przeciążenia Pdyn/mg = 30 − 60.

Odpowiedź wież World Trade Center na obciążenie wyjątkowe [5]

Uproszczony model dynamiczny (110 elementow belkowych) z masami skupionymi (ciężar stropów 33 MN), sztywność na zginanie i ścinanie określona na podstawie modelu ramy przestrzennej, 3%

tłumienie Rayleigha.

(17)

Wyniki dla uproszczonego modelu dynamicznego

Przemieszczenia i siły w momencie uderzenia nie przekroczyły wynikających z projektowanego obciążenia wiatrem, dlatego wieże przetrzymały początkowo obciążenie wyjątkowe.

Katastrofa World Trade Center, 2001 [5]

Model MES do oceny szczegółowej zniszczeń - LS-DYNA

Model strefy uderzenia i samolotu o masie 140 ton, materiał sprężysto-plastyczny.

(18)

Model krytycznego segmentu - wyniki

Siły osiowe w słupach zewnętrznych przed i po uderzeniu

Redystrybucja obciążeń pionowych po uderzeniu, zniszczonych 122/113 słupów odpowiednio dla WTC1/WTC2, granica plastyczności osiągana w pozostałych słupach, pozytywny wpływ stężeń szczytowych.

Literatura

[1] R. de Borst and L.J. Sluys. Computational Methods in Nonlinear Solid Mechanics. Lecture notes, Delft University of Technology, 1999.

[2] M. Jir´asek and Z.P. Baˇzant. Inelastic Analysis of Structures. J.

Wiley & Sons, Chichester, 2002.

[3] P.B. Lourenco. Computational strategies for masonry structures.

PhD Thesis, Delft University of Technology, 1996.

[4] Z.P. Bazant, Y. Zhou. Why Did the World Trade Center Collapse?

- Simple Analysis. ASCE J. Eng. Mech., 128, 2-6, 2002.

[5] Y. Omika, E. Fukuzawa, N. Koshika, H. Morikawa, R.

Fukuda. Structural Responses of World Trade Center Collapse under Aircraft Attacks. ASCE J. Eng. Mech., 131, 6-15, 2005.

[6] Z.P. Bazant, M. Verdure. Mechanics of Progressive Collapse:

Learning from World Trade Center and Building Demolitions. ASCE J.

Eng. Mech., 133, 308-319, 2007.