Pytania egzaminacyjne z algebry liniowej, ISI 2021.

Pytania egzaminacyjne z algebry liniowej, ISI 2021.

1. Denicja grupy i grupy abelowej. Poda¢ przykªady zbiorów liczbowych, które tworz¡ grupy abelowe z dziaªaniami dodawania lub mno»enia. Zbada¢ czy dany zbiór z danym dziaªaniem jest grup¡.

2. Denicja grupy. Poda¢ przykªad grupy nieprzemiennej. Wyznaczy¢ w grupie nieprzemiennej element x z danego równania.

3. Denicja ciaªa liczb zespolonych. Rozwi¡za¢ w liczbach zespolonych równanie liniowe.

4. Denicja ciaªa sko«czonego Zp. Dziaªania modulo p. W danym ciele Zp wyznaczy¢ element przeciwny i odwrotny do danego elementu.

5. Moduª, argument i posta¢ trygonometryczna liczby zespolonej. Zaznaczy¢ na pªaszczy¹nie zbiór liczb speªniaj¡cych dane warunki.

6. Wzory Moivre'a na pot¦g¦ i pierwiastki z liczby zespolonej. Zastosowa¢.

7. Zasadnicze twierdzenie algebry i twierdzenie o sprz¦»onych pierwiastkach wielomianu o wspóªczynnikach rzeczywistych. Rozwi¡za¢ w C równanie stopnia ≥ 2.

8. Denicja przestrzeni liniowej nad dowolnym ciaªem oraz przestrzeni wektorowej Rⁿ. Sprawdzi¢ dany ak- sjomat przestrzeni liniowej w Rⁿ.

9. Denicja podprzestrzeni przestrzeni liniowej. Poda¢ przykªad. Sprawdzi¢, czy dany zbiór jest podprze- strzeni¡ przestrzeni Rⁿ

10. Wektory liniowo zale»ne i liniowo niezale»ne. Denicja i twierdzenie podaj¡ce warunek jej równowa»ny.

Poda¢ przykªady. Sprawdzi¢ czy dane wektory s¡ liniowo zale»ne.

11. Denicja bazy i wymiaru przestrzeni i podprzestrzeni. Poda¢ przykªady. Sprawdzi¢, czy co± jest baz¡.

12. Denicja macierzy. Dziaªania na macierzach. Rozstrzygn¡¢, czy mo»na wykona¢ dane dziaªanie. Wykona¢, je±li jest to mo»liwe.

13. Transpozycja macierzy. Wzór na transpozycj¦ iloczynu macierzy. Denicja macierzy symetrycznej. Spraw- dzi¢, czy dany wzór jest prawdziwy.

14. Rz¡d macierzy i metoda eliminacji Gaussa jego wyznaczania. Wyznaczy¢ rz¡d danej macierzy 15. Indukcyjna denicja wyznacznika. Rozwini¦cie i twierdzenie Laplace'a. Zastosowa¢.

16. Wªasno±ci wyznacznika. Metody jego obliczania. Obliczy¢ wyznacznik danej macierzy.

17. Twierdzenie Cauchy'ego o wyznaczniku iloczynu macierzy. Sprawdzi¢ na przykªadzie.

18. Macierze osobliwe i nieosobliwe. Macierz odwrotna. Wyznaczy¢ macierz odwrotn¡ danej macierzy.

19. Twierdzenie Kroneckera-Capellego. Zastosowa¢ do danego ukªadu.

20. Omówi¢ metod¦ elmininacji Gaussa rozwi¡zywania ukªadów równa« liniowych. Rozwi¡za¢ dany ukªad.

21. Ukªady Cramera równa« linowych. Wzory Cramera. Sprawdzi¢, czy dany ukªad równa« jest ukªadem Cramera.

22. Jednorodne ukªady równa« liniowych. Posta¢ rozwi¡zania. Sprawdzi¢, czy rozwi¡zaniem danego ukªadu jest prosta.

23. Denicja permutacji. Permutacje parzyste i nieparzyste. Rozwi¡za¢ równanie w grupie permutacji.

24. Cykl i transpozycja. Rozkªad permutacji na cykle rozª¡czne. Rozªo»y¢ dan¡ permutacj¦ na cykle rozª¡czne.

25. Permutacyjna denicja wyznacznika. Okre±li¢ znak danego skªadnika wyznacznika.

26. Denicja przeksztaªcenia liniowego. Sprawdzi¢, czy dane przeksztaªcenie jest liniowe.

27. Denicja macierzy przeksztaªcenia liniowego. Poda¢ macierz danego przeksztaªcenia.

28. J¡dro i obraz przeksztaªcenia liniowego. Wyznaczy¢ dla danego przeksztaªcenia.

29. Izomorzm i automorzm liniowy, jego macierz, j¡dro i obraz. Grupa GL(n, R). Sprawdzi¢, czy dane przeksztaªcenie jest automorzmem.

30. Denicja podprzestrzeni niezmienniczej przeksztaªcenia liniowego. Sprawdzi¢, czy dana jednowymiarowa podprzestrze« jest niezmiennicza.

31. Denicja wektora wªasnego i warto±ci wªasnej przeksztaªcenia liniowego. Sposób ich wyznaczania. Wyzna- czy¢ dla danego przeksztaªcenia.

32. Twierdzenie o liniowej niezale»no±ci wektorów wªasnych. Posta¢ przeksztaªcenia liniowego w bazie wektorów wªasnych. Sprawdzi¢, czy dane przeksztaªcenie ma baz¦ wektorów wªasnych.

33. Denicja macierzy przej±cia z bazy kanonicznej do dowolnej bazy. Zwi¡zek mi¦dzy macierzami przeksztaª- cenia w ró»nych bazach. Wyznaczy¢ macierz przej±cia z bazy kanonicznej do danej.

34. Denicja macierzy podobnych. Warunki konieczne podobie«stwa macierzy. Sprawdzi¢, czy dane macierze s¡ podobne.

35. Denicja macierzy diagonalizowalnej. Zwi¡zek z baz¡ wektorów wªasnych. Sprawdzi¢, czy dana macierz jest diagonalizowalna.

36. Denicja przeksztaªcenia i macierzy ortogonalnej. Poda¢ przykªad w E² i w E³. Grupy O(n) i SO(n).

37. Twierdzenie o ortogonalnej diagonalizacji macierzy symetrycznej. Wyznaczy¢ macierz diagonaln¡ podobn¡

do danej macierzy symetrycznej A2×2.

38. Ortogonalna baza przestrzeni i podprzestrzeni. Omówi¢ metod¦ ortogonalizacji Grama-Schmidta i zasto- sowa¢ do danego ukªadu wektorów.

39. Denicja przestrzeni anicznej zwi¡zanej z dan¡ przestrzeni¡ liniow¡. Wyznaczy¢ wektor przyporz¡dko- wany parze punktów i punkt przyporz¡dkowany parze (punkt, wektor).

40. Denicja iloczynu wektorowego w przestrzeni euklidesowej E³. Wyznaczy¢ dla danych wektorów.

41. Zastosowanie iloczynu wektorowego i mieszanego do wyznaczania pól i obj¦to±ci. Wyznaczy¢ pole danego trójk¡ta lub obj¦to±¢ danego czworo±cianu.

42. Geometryczna interpretacja iloczynu skalarnego i jego zastosowanie do wyznaczania k¡tów w E³. Wy- znaczy¢ k¡t pomi¦dzy pomi¦dzy danymi pªaszczyznami lub pomi¦dzy dan¡ prost¡ i dan¡ pªaszczyzn¡ w E³.

43. Posta¢ normalna pªaszczyzny w E³. Wyznaczy¢ równanie pªaszczyzny okre±lonej zadanym warunkiem (np.

przechodz¡cej przez dane 3 punkty).

44. Posta¢ parametryczna i kanoniczna prostej w E³. Wyznaczy¢ dla prostej okre±lonej zadanym warunkiem (np. przechodz¡cej przez dane dwa punkty).

45. Wyznaczanie odlegªo±ci punktu od pªaszczyzny i od prostej w E³. Wyznaczy¢ dla danych elementów.

Dodatkowe uwagi

1. Ka»de pytanie zawieraªo b¦dzie nieuci¡»liwy rachunkowo przykªad, który nie jest tu udost¦pniony.

2. Ka»dy otrzyma 4 pytania z ró»nych dziaªów.

3. Brak odpowiedzi na dwa pytania, to nieunikniona ocena ndst.

4. W przypadku braku odpowiedzi na jedno z pyta« student otrzyma pytanie dodatkowe z dziaªu powi¡zanego z tym pytaniem. Brak odpowiedzi, to nieunikniona ocena ndst.

5. Ka»dy student b¦dzie miaª minimum 10 minut na przygotowanie odpowiedzi.

6. Lista osób dopuszczonych do egzaminu ustnego zostanie udost¦pniona w przeddzie«, w ci¡gu 2 godzin po zamkni¦ciu testu egzaminacyjnego. Na egzamin nale»y zgªasza¢ si¦ w czasie wyznaczonym na tej li±cie.

Dopuszczalne s¡ zamiany pomi¦dzy poszczególnymi osobami, które porozumiej¡ si¦ w tej sprawie.

7. Do egzaminu ustnego dopuszcza 35% punktów uzyskanych z testu jak ju» podano w sylabusie. 65%

gwarantuje ocen¦ dostateczn¡+. Zastrzegam sobie prawo zmiany tych kryteriów na korzy±¢ studentów (obni»enie progu dopuszczenia do egzaminu lub z niego zwolnienia).