Zadania z algebry liniowej

Zadania z algebry liniowej

¹

Z

ESTAW

1/2 - Podstawowe zbiory liczbowe, podstawowe poj˛ecia algebraiczne 1.

Podziel z reszt ˛a:

(a) 134 przez 26, (b) -134 przez 26,

(c) 134 przez -26, (d) -134 przez -26.

2.

Liczba 100 przy dzieleniu z reszt ˛a przez pewn ˛a liczb˛e b daje reszt˛e 6 i iloraz q. Wyznacz b i q.

3.

Liczba 42157 przy dzieleniu przez pewn ˛a liczb˛e naturaln ˛a b daje iloraz q = 231. Wyznacz dzielnik b oraz reszt˛e r.

4.

Pokaza´c, ˙ze je´sli a i b, (b < a) s ˛a liczbami naturalnymi, to !_a

b

"

jest ilorazem natomiast a−!_a

b

"

b jest reszt ˛a z dzielenia a przez b. Funkcja [ ] :R −→ Z przyporz ˛adkowuje liczbie rzeczywistej x cz˛e´s´c całkowit ˛a liczby x.

5.

Rozkładaj ˛ac na czynniki pierwsze liczby a oraz b wyznaczy´c NWD(a, b) oraz NWW(a, b), je´sli:

(a) a = 360, b = 504, (b) a = 2520, b = 6600, (c) a = 187, b = 533.

6.

Wyka˙z, ˙ze:

(a) NWD(a, 0)= a

(b) NWD(a, b) = NWD(a− kb,b); w szczególno´sci NWD(a,b) = NWD(b,(a)b) o ile b#= 0..

(c) NWD(ac, bc) = c NWD(a, b)

(d) je´sli d = NWD(a, b), to NWD(_d^a,^b_d) = 1 (e) c|ab , NWD(c,a) = 1 =⇒ c|b

(f) a|c , b|c, NWD(a,b) = 1 =⇒ ab|c.

(g) NWD(a1, ..., an) = NWD(NWD(a1, ..., an−1),an−1). Podobnie dla NWW.

Wskazówka:

ad e. c|ab ∧ c|bc =⇒ c|NWD(ab,bc) = b.

ad f. ab|ac ∧ ab|bc =⇒ ab|NWD(ac,bc) = c.

7.

Korzystaj ˛ac z algorytmu Euklidesa wyznaczy´c NWD(a, b), je´sli:

(a) a = 237, b = 87, (b) a = 5720, b = 4370, (c) a = 2345, b = 525.

8.

Pokaza´c, ˙ze dla dowolnych liczb całkowitych a i b zachodzi równo´s´c NWD(a, b) = NWD(5a + 2b, 13a + 5b).

9.

Rozwi ˛a˙z w liczbach naturalnych nast˛epuj ˛ace układy równa´n:

(a)

#x + y = 180

NW D(x, y) = 30 (b)

#xy = 720

NW D(x, y) = 4 (c)

#xy = 720 NW D(x, y) = 4

10.

Zbiór A ma n elementów.

(a) Ile działa´n mo˙zna okre´sli´c w zbiorze A?

(b) Ile działa´n przemiennych mo˙zna okre´sli´c w zbiorze A?

(c) Ile działa´n z elementem neutralnym mo˙zna okre´sli´c w zbiorze A?

11.

Zbuduj tabelki dodawania i mno˙zenia modulo n w zbiorze Zn= {0,1,...,n − 1} dla n = 2,3,4,5,6,7,8,9,10.

12.

Sprawd´z, czy podany układ (w którym + oznacza zwykłe dodawanie liczb) jest grup ˛a: (a) (R, +), (b) (N, +), (c) (Z, +), (d) ({0, 1}, +), (e) (&0; ∞), +).

13.

Sprawd´z, czy podany układ (w którym· oznacza zwykłe mno˙zenie liczb) jest grup ˛a: (a) (Z, ·), (b) (R^∗,·), (c) ({1, −1}, ·), (d) (R⁺,·), (e) ({a^k: k∈ Z}, ·).

14.

Sprawd´z, czy zbiór liczb wymiernych dodatnichQ⁺wraz z działaniem a∗ b =¹2ab tworzy grup˛e.

15.

Niech m > 1 b˛edzie liczb ˛a naturaln ˛a. Wyka˙z, ˙ze zbiórZ^m= {0, 1, ..., m − 1} wraz z dodawaniem modulo m ( tzn. a⊕ b = (a + b)^m) jest grup ˛a abelow ˛a.

16.

Niech p b˛edzie liczb ˛a pierwsza. Wyka˙z, ˙ze zbiór Z^∗p = {1,..., p − 1} wraz z mno˙zeniem modulo p (tzn. a* b = (ab)^p) jest grup ˛a abelow ˛a. Zbuduj tabelki działa´n w grupach Z₅^∗, Z^∗7 i Z^∗11.

Wskazówka. W celu pokazania istnienia elementu odwrotnego do elementu a rozwa˙z odwzorowanie Z^∗n−→ Z^∗n, x+−→ ax, i poka˙z, ˙ze jest ono wzajemnie jednoznaczne.

1Uwaga. Prócz zada´n w zestawach 1-13 nale˙zy poszuka´c odpowiednich zada´n w poleconych zbiorach zada´n [7] oraz [8]

17.

Niech (G,·) b˛edzie grup ˛a. Wyka˙z, ˙ze dla ka˙zdych a,b,c,g ∈ G oraz m,n ∈ Z zachodzi:

(a) ga = gb⇒ a = b oraz ag = bg⇒ a = b;

(b) (ab)⁻¹= b⁻¹a⁻¹ oraz (a⁻¹)⁻¹= a;

(c) a²= 1 ⇔ a = a⁻¹;

(d) aⁿa^m= a^n+m oraz (aⁿ)^m= a^mn.

18.

Sprawdzi´c, czy zbiórR z działaniem x ◦ y = x + y + 1 jest grup ˛a.

19.

W zbiorzeR \ {−1} okre´slamy działanie x ! y = x + y + xy. Sprawdzi´c, ˙ze (R, !) jest grup ˛a.

20.

Sprawdzi´c, ˙ze dany zbiór ze zwykłym dodawaniem i mno˙zeniem liczb jest pier´scieniem przemiennym.

(a) R, (b) Z, (c) Z[√

5] ={a + b√

5 : a, b∈ Z}, (e) Z[√³

2] ={a + b√³ 2 + c√³

4 : a, b, c∈ Z},

21.

Pokaza´c, ˙ze zbiór Zⁿ= {0,1,...,n − 1} z działaniami dodawania i mno˙zenia modulo n jest pier´scieniem prze- miennym. Pokaza´c, ˙ze je´sli n jest liczb ˛a pierwsz ˛a to pier´scie´n ten jest ciałem.

22.

Poka˙z, ˙ze zbiórR z działaniami ◦ oraz ! okre´slonymi nastepuj ˛aco: x ◦y = x +y+1, x !y = x +y+xy, jest ciałem.

23.

Niech K b˛edzie ciałem oraz a, b, c∈ K, n,m ∈ N. Wyka˙z, ˙ze:

(a) a + c = b + c =⇒ a = b, (b) −(−a) = a,

(c) $₁

a

%−1= a, o ile a #= 0, (d) a· 0 = 0,

(e) ab = 0 ⇐⇒ a = 0 lub b = 0, (f) a· (−b) = −ab,

(g) (−a)(−b) = ab, (h) a(b− c) = ab − ac.

(i) ac = bc i c#= 0 =⇒ a = b.

(j) (a + b)(a− b) = a²− b², (k) (a + b)ⁿ=

∑

ⁿ

i=0

&n i '

aⁱbⁿ⁻ⁱ. (l) a

b·c d = ac

bd, o ile bd#= 0, (m) a

b+c

d =ad + bc

bd , o ile bd#= 0, (n) na± ma = (n ± m)a,

(o) (na)· (mb) = (nm)(a˙b), (p) (n(ma) = (nm)a, (q) (ab)ⁿ= aⁿbⁿ,

(r) aⁿ· a^m= a^n+m, (s) (aⁿ)m = a^nm.

Wskazówka. Zajrzyj do [3, rozdz. 1.4]

24.

Uło˙zy´c tabelk˛e funkcji:

(a) x+→ x² wZ¹¹. (b) x+→ x⁻¹ wZ13.

25.

Sprawdzi´c czy istniej ˛a - i wyznaczy´c, je´sli istniej ˛a - pierwiastki kwadratowe z −1 w ciele Z^pdla p = 2, 3, 5, 7, 11, 13.

26.

Wyznaczy´c dziedzin˛e oraz uło˙zy´c tabelk˛e funkcji x+→ x + 2 2x− 1wZ⁷.

27.

Rozwi ˛aza´c równanie:

a) 5x²+ 5x + 1 = 0 w Z11, b) x²+ x + 3 = 0 w Z5, c) 2x²+ 2x + 2 = 0 w Z13, d) 2x³+ 3x²+ x − 4 = 0 w Z7.

28.

Wykona´c działania: (6²· 3 + 5 · 4 − 1) · (5 · 12 − 7)⁻¹ wZ¹⁷ oraz wZ²³.

29.

Rozwi ˛aza´c układ równa´n a)

( 3x + 5y = 2

4x + 9y = 4 wZ13i wZ7 b)

( 5x + 4y = a

4x + 3y = b wZ11i wZ5.

30.

W pier´scieniu wielomianówZ5[X] wykona´c wskazane działanie:

(a) (X³+ 2X²+ 3X²+ 1) + (X⁴+ X³+ 3X²+ 2X + 2);

(b) (2X²+ X + 3) − (2X⁴+ 3X³+ X²+ 3X);

(c) (2X³+ 2X²+ 3)(3X²+ X + 2);

(d) (2X⁴+ 3)(2X⁴+ 1).

31.

Podzieli´c wielomian f z reszt ˛a przez wielomian g:

(a) f (X) = 5X³+ 2X²− X − 7, g(X) = X²+ 3X − 1 w R[X];

(b) f (X) = 3X³+ 2X²− X − 1, g(X) = X²+ 3X − 1 w Z5[X];

(c) f (X) = 2X⁴+ Xs + X²− X + 3, g(X) = 3X²+ X + 4 w Z7[X];

(d) f (X) = X³− 7, g(X) = X − 2 w Q[X].

32.

Dobra´c liczby a, b∈ Z, aby wielomian X⁵− 4X³+ 2X²+ aX + b ∈ Z[X] przy dzieleniu przez X −1 dawał reszt˛e 1, a przy dzieleniu przez X− 2 reszt˛e -5.

33.

Wielomian o współczynnikach rzeczywistych przy dzieleniu przez X− 2 daje reszt˛e 1 za´s przy dzieleniu przez X− 1 daje reszt˛e 2. Jak ˛a reszt˛e daje ten wielomian przy dzieleniu przez (X − 1)(X − 2) ?

34.

Wielomian o współczynnikach z Z⁵ przy dzieleniu przez X + 1 daje reszt˛e 2, przy dzieleniu przez X + 2 da- je reszt˛e 3 za´s przy dzieleniu przez X + 3 daje reszt˛e 1. Jak ˛a reszt˛e daje ten wielomian przy dzieleniu przez (X + 1)(X + 2)(X + 3) ?

Zadania z algebry liniowej Z

ESTAW

3 - Ciało liczb zespolonych 1.

Wyznaczy´c wszystkie pary liczb rzeczywistych x, y spełniaj ˛ace równo´s´c:

a) (1 + 2i)x + (3− 5i)y = 1 − 3i, b) (2 + 3i)x + (4− 5i)y = 6 − 2i, c) (4− 3i)2x + (1 + i)2y = 7 − 12i, d) 2 + i

3− ix +

&4− i 3− i

'2

y = 1 + i.

2.

Rozwi ˛aza´c układ równa´n:

a)

# (1 + i)z + (2 − i)w = 2 − 21 (1 − i)z − (3 + i)w = −3 + 3i ; b)

# (3 − i)z + (4 + 2i)w = 2 + 6i (4 + 2i)z − (2 + 3i)w = 5 + 4i ;

c)







 z 2− i+ w

1 + i= 2 5z

(2 − i)²+ 2w

(1 + i)²= 3 .

3.

Obliczy´c:

a) (1 + 2i)⁶, b) (2 + i)⁷+ (2 − i)⁷, c) (1 + 2i)⁵+ (1 − 2i)⁵.

4.

Rozwi ˛aza´c równania:

a) zz + (z− z) = 3 + 2i, b) i(z + z) + i(z− z) = 2i − 3.

5.

Rozwi ˛aza´c równania:

a) z²+ 3z + 3 + i = 0, b) z²+ (1 + 4i)z − (5 + i) = 0,

c) z²+ z(1 + i) + 2i = 0, d) (4 − 3i)z²− (2 + 11i)z − (5 + i) = 0.

6.

Rozwi ˛aza´c równania:

a) z⁴+ 2z²+ 4 = 0, b) z⁴+ (15 + 7i)z²+ 8 = 0, c) z⁴− (18 + 4i)z²+ 77 − 36i = 0.

7.

Rozwi ˛aza´c równania:

a) (1 + i)z²− (3 + 7i)z + 10i = 0;

b) (1 + 2i)z²− (−1 + 8i)z + (−5 + 5i) = 0;

c) (1 + 2i)z²− (1 + 7i)z + (−2 + 6i) = 0;

d) (1 + i)z²− (1 + 5i)z + (−2 + 6i) = 0;

e) (1− i)z²− (7 + 3i)z + 10i = 0;

f) (1− 2i)z²− (4 + 7i)z + (7 + i) = 0;

g) (1 + i)z²− (3 + 3i)z + (4 + 2i) = 0;

8.

Wykona´c działania:

a)1 + itgα

1− itgα, b)a + bi

a− bi, c) (1 + 2i)²− (1 − i)³

(3 + 2i)²− (2 + i)², d)(1 − i)⁵− 1 (1 + i)⁵+ 1.

9.

Wykaza´c nierówno´sci:

a)|z1+ z₂| ≤ |z1| + |z2|, b)||z1| − |z2|| ≤ |z1− z2|.

10.

Znale´z´c wszystkie pierwiastki wielomianu x⁴− 6x³+ 14x²− 6x + 13 wiedz ˛ac, ˙ze jednym z nich jest 3 + 2i.

11.

Wykaza´c równo´s´c |z1+ z₂|²+ |z1− z2|²= 2|z1|²+ 2|z2|² i poda´c jej interpretacj˛e geometryczn ˛a².

12.

Jakie twory na płaszczy´znie zespolonej okre´slaj ˛a równania i nierówno´sci:

a)|z| < 2, b)|z − 1| = 3, c)|z − 1 − 2i| ≤ 3, d) 1 <|z| < 5, e)|z − 3|

|z + 1|≥ 1, f)|z − c| + |z + c| = 2a, g) π

2 < Arg(z)≤ π, h)|z − i| = |z + i| , i) argz− i z + i=π

2, j) arg(z− z0) = φ, φ dane, k) 0 ≤ Re(iz) ≤ 1, l) Re(z²) > 1.

2Interpretacj˛e geometryczn ˛a liczb zespolonych odkrył C. Wessel w 1799 r., a potem niezale˙znie J. R. Argand w 1806 r.

13.

Przedstawi´c w postaci trygonometrycznej nast˛epuj ˛ace liczby zespolone:

1, −1, i, −i,

1 + i, 1− i, −1 + i, 1 + i√

3,

−1 − i√

3, √

3− i, √ 6 +√

2 + i(√ 6−√

2), cos^π₃+ isin^π₆ , cos^π₂+ isin^π₃.

14.

Przedstawi´c w postaci trygonometrycznej nast˛epuj ˛ace liczby zespolone:

cos α− isinα, sin α + i cos α, sin α− icosα, 1 + itgα.

15.

Dla dowolnej liczby całkowitej n∈ Z obliczy´c:

a) iⁿ, b) (1 + i)ⁿ

(1 − i)ⁿ⁻², c) (1 + i)ⁿ.

16.

Obliczy´c:

a)(1 + i√ 3)⁷⁶+ 1

(1 − i)³⁷ , b) (1 − i√ 3)³²+ 5 (1 + i)¹⁷ .

17.

Wyznaczy´c:√

2i, √

−8i, √

3− 4i, √

−15 + 8i, √

−3 − 4i,

√−11 + 60i, √³

−8i, √

−8 + 6i.

18.

Obliczy´c (podaj ˛ac dokładne warto´sci cz˛e´sci rzeczywistej i urojonej):

(a) (1 − i)²⁴ (√

3− i)²², (b) (1 − i√ 3)⁴²

(−1 + i)³¹ , (c) (−1 + i√ 3)³⁶

(1 + i)³¹ , (d) (1 − i)²⁸ (√

3 + i)²⁰, (e) (1 − i)²⁸ (√

3 + i)²⁰, (f) (−1 + i)³²

(−√

3 + i)²⁸, (g) (−1 − i)²⁸ (1 − i√

3)²⁰.

19.

Narysowa´c na płaszczy´znie zespolonej pierwiastki z 1 stopni 3, 4, 5, 6, 7 i 8.

20.

Korzystaj ˛ac z postaci trygonometrycznej liczb zespolonych wyprowadzi´c wzory wyra˙zaj ˛ace sin 3x i cos 3x poprzez sin x i cos x.

Zadania z algebry liniowej Z

ESTAW

4 - Układy równa´n liniowych

^∗

1.

Rozwi ˛aza´c nad ciałemR liczb rzeczywistych nast˛epuj ˛ace układy równa´n:

a)





2x− 3y + 5z + 7t = 1 4x− 6y + 2z + 3t = 2 2x− 3y − 11z − 15t = 1

; b)









2x + 5y− 8z = 8 4x + 3y− 9z = 9 2x + 3y− 5z = 7 x + 8y− 7z = 12

;

c)





3x + 4y + z + 2t = 3 6x + 8y + 2z + 5t = 7 9x + 12y + 3z + 10t = 13 ; d)





3x− 5y + 2z + 4t = 2 7x− 4y + z + 3t = 5 5x + 7y− 4z − 6t = 3

;

e)





3x− 2y + 5z + 4t = 2 6x− 4y + 4z + 3t = 3 9x− 6y + 3z + 2t = 4

; f)













8x + 6y + 5z + 2t = 21 3x + 3y + 2z + t = 10 4x + 2y + 3z + t = 8 3x + 5y + z + t = 15 7x + 4y + 5z + 2t = 18

;

2.

Nast˛epuj ˛ace układy rozwi ˛aza´c nadQ oraz nad Zp: a)





2x + 7y + 3z + t = 6 3x + 5y + 2z + 2t = 4

9x + 4y + z + 7t = 2 , p = 11; b)





9x− 3y + 5z + 6t = 4 9x− 3y + 5z + 6t = 4 3x− y + 3z + 14t = −8

, p = 13;

c)









6x + 3y + 2z + 3t + 4w = 5 4x + 2y + z + 2t + w = 4 4x + 2y + 3z + 2t + w = 0 2x + y + 7z + 3t + 2w = 1

, p = 11 d)





2x− y + 3z − 7t = 5 6x− 3y + z − 4t = 7 4x− 2y + 14z − 31t = 18

, p = 37

e)









x + 2y + 3z− 2t + w = 4 3x + 6y + 5z− 4t + 3w = 5 x + 2y + 7z− 4t + w = 11 2x + 4y + 2z− 3t + 3w = 6

, p = 13 f)













3x + 2y + 2z + 2t = 2 2x + 3y + 2z + 5t = 3 9x + y + 4z− 5t = 1 2x + 2y + 3z + 4t = 5 7x + y + 6z−t = 7

, p = 7

3.

Ka˙zdy z nast˛epuj ˛acych układów rozwi ˛aza´c w ciałachZ⁵,Z⁷,Z¹¹: a)





x + 4y + 3z = 2 3x + 2y + 4z = 3 4x + y + z = 0

, b)





2x + 3y + z = 1 x + 4y + 3z = 3 4x + 3z = 2 .

4.

Rozwi ˛aza´c nad ciałemC nast˛epuj ˛ace układy równa´n:

a)





(1 + i)x + 2iy − z = 3 + 2i (3 + i)x + (1 − i)y + 4z = 6 + i 5x + y− iz = 2

, b)





(1 + i)x + 2y − iz = 2 − 3i 3x + iy + (2− i)z = 6 + 4i

(4 + i)x + y + 3z = 6 + 6i .

5.

Dla jakiego parametru λ∈ Z7układ równa´n





x + 2y + 6z + 6t = 1 x + y + z + 3t = 2

3x + 5y + 6z + t = λ nad ciałemZ7ma rozwi ˛azanie? Rozwi ˛a- za´c ten układ, gdy jest to mo˙zliwe.

6.

W zale˙zno´sci od parametru a∈ R rozwi ˛aza´c układ równa´n:

(a)







2x + 2y− z = 1 x− 2y + z = 2 5x + 2y− z = a

, (b)







x− 2y + z = 1 ax− y + 3z = 2 2x + y + 2z = 1

, (c)







x + y + z = 1 x + ay + z = 2 x + y + az = 1

.

7.

W zale˙zno´sci od parametru λ∈ Q rozwi ˛aza´c układy równa´n:

a)









8x + 6y + 3z + 2t = 5

−12x − 3y − 3z + 3t = −6 4x + 5y + z + 4t = 3 λx + 4y + z + 4t = 2

, b)









2x− y + 3z + 4t = 5 4x− 2y + 5z + 6t = 7 6x− 3y + 7z + 8t = 9 λx− 4y + 9z + 10t = 11

, c)









λx + y + z + t = 1 x + λy + z + t = 1 x + y + λz + t = 1 x + y + z + λt = 1

.

8.

Pokaza´c, ˙ze układ równa´n





x + y + z = 1 2x + y− z = 2 x− y + 3z = 0

jest sprzeczny w cieleZ^pwtedy i tylko wtedy, gdy p = 2.

2Do rozwi ˛azywania układów równa ´n stosujemy jedynie metod˛e eliminacji Gaussa

Zadania z algebry liniowej Z

ESTAW

5 - Działania na macierzach 1.

Obliczy´c iloczyny macierzy:

(a)

- 1 2

−2 3 .

·

- −4 0

−1 5 .

, (b)



 6 4

−2 1

7 9



 ·-

0 1 2 3 4 5

. , (c)



 −3 4 1

0 2 8

1 3 −1





2

,

(d)

- 2 1 1 3

.3

, (e) !

1 2 3 4 5 "T

·!

1 2 3 4 5 "

,

(f) !

1 2 3 4 5 "

·!

1 2 3 4 5 "T

, (g)



 2 0 3 1 3 2





T

·



 2 0 3 1 3 2



.

2.

Dla A = - 1 1

0 1 .

i B = - 0 1

1 0 .

obliczy´c:

(a) A²+ 2AB + B² i (A + B)²; (b) A²− 2AB + B² i (A− B)²;

(c) A²− B², (A− B)(A + B) i (A + B)(A − B).

3.

Pokaza´c, ˙ze dla dowolnej liczby naturalnej m zachodz ˛a równo´sci:

(a)

- a 0 0 b

.m

=- a^m 0

0 b^m .

, (b)

- 1 a 0 1

.m

=- 1 ma

0 1

. , (c)

- cos α −sinα sin α cos α

.m

=-

cos mα −sinmα sin mα cos mα

. , (d)

- a 1 0 a

.m

=-

a^m ma^m−1

0 a^m

. ,

(e)



 1 1 0 0 1 1 0 0 1





m

=



 1 m ^m(m₂⁻¹⁾

0 1 m

0 0 1



.

4.

Je´sli A∈ Knⁿ, B∈ Km^m, C∈ Kn^m, D∈ Kmⁿ, to macierz

- A D

C B

.

nazywamy macierz ˛a klatkow ˛a o klatkach A, D,C, B.

Sprawdzi´c, ˙ze -

A1 D1

C1 B1

.

·

- A2 D2

C2 B2

.

=-

A1A2+ D1C2 A1D2+ D1B2

C1A2+ B1C2 C1D2+ B1B2

. .

5.

Znale´z´c wszystkie takie macierze A∈ K2², ˙ze (a) A

- 1 2 1 0

.

=- 1 2 1 0

.

A, (b) A - 1 0

0 0 .

=- 1 1 0 0

. , (c)

- 1 0 0 0

. A =

- 1 1 0 0

. , (d) A²=-

0 0 0 0

.

, (e) A²=- 1 0 0 1

. .

6.

Niech Eir oznacza macierz kwadratow ˛a stopnia n, której element o wska´znikach i, r równy jest 1, a pozostałe ele- menty s ˛a równe 0. Obliczy´c:

(a) Eir· Elk, (b) A· Eir, (c) Eir· A, (d) A· (In+ aE_ir), i #= r, (e) (In+ bE_ir) · A, i #= r,

(f) (In+ aE_ir)(I_n+ bE_ir), i #= r, gdzie A ∈ Knⁿ, a, b∈ K. Zinterpretowa´c (d) oraz (e) w j˛ezyku operacji elementar- nych wykonanych na A.

Zadania z algebry liniowej

Z

ESTAW

6 - Wyznaczniki i ich zastosowanie 1.

Obliczy´c wyznaczniki nast˛epuj ˛acych macierzy:

(a)



 1 2 3 5 1 4 3 2 5



, (b)



 −1 5 4

3 −2 0

−1 3 6



, (c)



 0 2 2 2 0 2 2 2 0



, (d)



 1 2 3 4 5 6 7 8 9



,

(e)



 a b c

b c a

c a b



, (f)



 sin α cos α 1 sin β cos β 1 sin γ cos γ 1



 gdzie α, β, γ s ˛a miarami k ˛atów trójk ˛ata,

(g)



 1 ε ε² ε² 1 ε

ε ε² 1



, gdzie ε = −¹₂+ i^√₂³, (h)



 1 1 1

1 ε ε² 1 ε² ε³



, gdzie ε = cos^4π₃ + isin^4π₃,

2.

Obliczy´c nast˛epuj ˛ace wyznaczniki (nadR):

(a) 33 33 33 33

1 2 3 4

−3 2 −5 13

1 −2 10 4

−2 9 −8 25

33 33 33 33

, (b) 33 33 33 33

1 −1 1 −2

1 3 −1 3

−1 −1 4 3

−3 0 −8 −13

33 33 33 33

, (c) 33 33 33 33 33

7 6 9 4 −4

1 0 −2 6 6

1 −1 −2 4 5

1 −1 −2 4 4

−7 0 −9 2 −2

33 33 33 33 33 ,

(d) 33 33 33 33 33

1 1 0 0 0

0 1 1 0 0

0 0 1 1 0

0 0 0 1 1

1 0 0 0 1

33 33 33 33 33

, (e) 33 33 33 33 33 33

1 1 0 0 0 0

0 1 1 0 0 0

0 0 1 1 0 0

0 0 0 1 1 0

0 0 0 0 1 1

1 0 0 0 0 1

33 33 33 33 33 33

, (f) 33 33 33 33 33 33

4 4 −1 0 −1 8

2 3 7 5 2 3

3 2 5 7 3 2

1 2 2 1 1 2

1 7 6 6 5 7

2 1 1 2 2 1

33 33 33 33 33 33 ,

(g) 33 33 33 33

1001 1002 1003 1004 1002 1003 1001 1002 1001 1001 1001 999 1001 1000 998 999

33 33 33 33

, (h) 33 33 33 33

30 20 15 12 20 15 12 15 15 12 15 20 12 15 20 30

33 33 33 33

, (i) 33 33 33 33 33 33

5 −4 4 0 0 0

9 −7 6 0 0 0

3 −2 1 0 0 0

1 −1 2 0 0 1

0 1 −3 0 1 0

−2 1 0 1 0 0

33 33 33 33 33 33 ,

(j) 33 33 33 33 33 33

1 6 20 50 140 140

0 −16 −70 −195 −560 −560

0 26 125 366 1064 1064

0 −31 −154 −460 −1344 −1344

0 4 20 60 176 175

0 4 20 60 175 176

33 33 33 33 33 33

, (k) 33 33 33 33 33 33

3 1 1 1 1 1

−1 3 1 1 1 1

−1 −1 3 1 1 1

−1 −1 −1 3 1 1

−1 −1 −1 −1 3 1

−1 −1 −1 −1 −1 3 33 33 33 33 33 33 .

3.

Obliczy´c:

(a) 33 33 33 33

1 2 3 4 3 2 5 3 1 2 3 5 2 2 1 4 33 33 33 33

nadZ⁷, (b) 33 33 33 33

1 1 1 2

1 3 1 3

1 1 4 3

3 0 8 10 33 33 33 33

nadZ^11, (c) 33 33 33 33 33

7 6 11 4 4

1 0 2 6 6

7 8 9 1 6

1 10 2 4 5

7 0 9 2 2

33 33 33 33 33

nadZ¹³.

4.

Obliczy´c wyznaczniki nast˛epuj ˛acych macierzy stopnia n :

(a)









1 1 0 0 ··· 0 0 0 1 1 0 ··· 0 0 ... ... ... ... . .. ... ...

0 0 0 0 ··· 1 1 1 0 0 0 ··· 0 1







 , (b)











2 1 0 ··· 0 0 1 2 1 ··· 0 0 0 1 2 ··· 0 0 ... ... ... . .. ... ...

0 0 0 ··· 2 1 0 0 0 ··· 1 2









 , (c)











3 2 0 ··· 0 0 1 3 2 ··· 0 0 0 1 3 ··· 0 0 ... ... ... . .. ... ...

0 0 0 ··· 3 2 0 0 0 ··· 1 3









 ,

(d)











a 1 1 1 ··· 1 1 a 1 1 ··· 1 1 1 a 1 ··· 1 1 1 1 a ··· 1 ... ... ... ... . .. ...

1 1 1 1 ··· a









 , (e)











a 1 1 ··· 1 1

−1 a 1 ··· 1 1

−1 −1 a ··· 1 1

... ... ... . .. ... ...

−1 −1 −1 ··· a 1

−1 −1 −1 ··· −1 a









 ,

(f)











1 n n ··· n n

n 2 n ··· n n

n n 3 ··· n n

... ... ... . .. ... ... n n n ··· n − 1 n

n n n ··· n n









 , (g)











a b 0 ··· 0 0 0 a b ··· 0 0 0 0 a ··· 0 0 ... ... ... . .. ... ...

0 0 0 0 a b

b 0 0 0 0 a









 .

5.

Niech A = [a_{i j}], a_{i j}∈ Z, b˛edzie macierz ˛a kwadratow ˛a stopnia n. Pokaza´c, ˙ze detA jest liczb ˛a całkowit ˛a. Załó˙zmy dodatkowo, ˙ze a_{i j}= ±k, gdzie k jest ustalon ˛a liczb ˛a całkowit ˛a. Pokaza´c, ˙ze 2ⁿ⁻¹kⁿdzieli det A.

6.

Pokaza´c, ˙ze je´sli A jest macierz ˛a antysymetryczn ˛a (tzn. A^T= −A) stopnia nieparzystego nad R, to jest ona osobliwa, czyli det A = 0.

7.

Liczby 20604, 53227, 25755, 20927 i 289 dziel ˛a si˛e przez 17. Pokaza´c (bez obliczania), ˙ze wyznacznik 33 33 33 33 33

2 0 6 0 4

5 3 2 2 7

2 5 7 5 5

2 0 9 2 7

0 0 2 8 9

33 33 33 33 33 równie˙z dzieli si˛e przez 17.

8.

Załó˙zmy, ˙ze A∈ Knⁿ, B∈ Km^m, D∈ Kmⁿudowodni´c wzór na wyznacznik macierzy klatkowo-trójk ˛atnej det

- A 0 D B

.

= detAdetB

Wskazówka. Zastosowa´c indukcj˛e wzgl˛edem stopnia klatki B. Zob. te˙z Przykład 6.7 ze stron 158-159 z ksi ˛a˙zki A.Białynickiego-Biruli, Algebra liniowa z geometri ˛a.

9.

Wyznacznikiem Vandermonde’a (stopnia n nad ciałem K) nazywamy wyznacznik postaci

V_n(x₁, . . . , x_n) = 33 33 33 33 3

1 x1 x²₁ ··· xⁿ1⁻¹

1 x2 x²₂ ··· xⁿ2⁻¹

... ... ... . .. ... 1 xn x²_n ··· xⁿn⁻¹

33 33 33 33 3 .

(a) Obliczy´c warto´s´c wyznacznika Vandermonde’a.

Rozwi ˛azanie: Wyprowadzimy najpierw wzór rekurencyjny. Post˛epujemy nast˛epuj ˛aco: od n-tej kolumny odej- mujemy (n− 1)-sz ˛a pomno˙zon ˛a przez xⁿ, od (n− 1)-szej kolumny odejmujemy (n − 2)-g ˛a pomno˙zon ˛a przez xn, od drugiej kolumny odejmujemy pierwsz a pomno˙zon ˛a przez xn. Jako wynik otrzymujemy równo´s´c

Vn(x₁, . . . , xn) = 33 33 33 33 33 3

1 x1− xⁿ x1(x1− xⁿ) ··· xⁿ⁻²₁ (x1− xⁿ) 1 x2− xⁿ x2(x2− xⁿ) ··· xⁿ⁻²₂ (x2− xⁿ)

... ... ... . .. ...

1 xn−1− xn xn−1(xn−1− xn) ··· xnⁿ⁻²−1(xn−1− xn)

1 0 0 0 0

33 33 33 33 33 3 .

Po rozwini˛eciu wzgl˛edem ostatniego wiersza oraz wył ˛aczeniu z ka˙zdego wiersza odpowiedniego czynnika przed wyznacznik otrzymujemy w wyniku

Vn(x1, . . . , xn) = (−1)ⁿ⁺¹(x1− xⁿ) · ··· · (xn−1− xⁿ)Vn−1(x1, . . . , xn−1)

= (x_n− x1) · ··· · (xn− xn−1)V_n−1(x₁, . . . , x_n−1).

Prosty dowód indukcyjny daje w rezultacie wzór Vn(x1, . . . , xn) = ∏

k>l

(x_k− xl).

(b) Wykaza´c, ˙ze Vn(x₁, . . . , xn) #= 0 wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie x1, . . . , xns ˛a parami ró˙zne.

10.

Rozwi ˛aza´c za pomoc ˛a wzorów Cramera nast˛epuj ˛ace układy równa´n nad ciałemQ:

(a)





2x− y − z = 4 3x + 4y− 2z = 11 3x− 2y + 4z = 11

, (b)





x + y + 2z =−1 2x− y + 2z = −4 4x + y + 4z =−2

,

(c)





x + y + 4z = 31 5x + y + 2z = 29

3x− y + z = 10

, (d)









x + y + 2z + 3t = 1 3x− y − z − 2t = −4 2x + 3y− z −t = −6 x + 2y + 3z−t = −4

,

(e)









y− 3z + 4t = −5 x − 2z + 3t = −4 3x + 2y− 5z = 12

4x + 3y− 5z = 5 .

11.

Sprawdzi´c, czy nast˛epuj ˛ace macierze s ˛a odwracalne oraz w przypadku pozytywnej odpowiedzi obliczy´c macierz odwrotn ˛a:

(a)

- 1 2 2 5

. , (b)



 1 2 −3

0 1 2

0 0 1



, (c)







1 3 −5 7

0 1 2 −3

0 0 1 2

0 0 0 1





, (d)







1 1 1 1

1 1 −1 −1

1 −1 1 −1

1 −1 −1 1





,

(e)



 2 3 2

1 −1 0

−1 2 1



.

12.

Rozwi ˛aza´c nast˛epuj ˛ace równania macierzowe:

(a) X - 4 1

0 4 .

=- 4 −6

2 1

. , (b)

- 4 1 0 4

. X =

- 4 −6

2 1

. ,

(c) X



 1 1 −1

2 1 0

1 −1 1



 =



 1 −1 3

4 3 2

1 −2 5



,

(d)

- 2 1 3 2

. X

- −3 1 1 1

.

=-

−2 4

3 −1 .

.

13.

Rozwi ˛aza´c układy równa´n macierzowych:

(a)









- 2 1 1 1

. X +

- 3 1 2 1

. Y =

- 2 8 0 5

.

- 3 −1

−1 1

. X +

- 2 1

−1 −1 .

Y =

- 4 9

−1 −4 . ,

(b)









- 1 1

−1 1 .

X + - 3 1

1 1 .

Y = - 3 5

1 1 . - 1 −1

1 1

. X +

- 1 1 1 3

. Y =

- 1 1 5 3

. .

14.

Obliczy´c (I + aE_ir)⁻¹, i#= r.

15.

Obliczy´c macierze odwrotne do macierzy:

(a)







1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0





 (b)







2 0 0 0

0 0 0 1

0 2 0 0

0 0 1 0





 (c)







0 0 0 −1

0 0 2 0

1 0 0 0

0 3 0 0







(d)









0 1 1 ··· 1 1 0 1 ··· 1 1 1 0 ··· 1 ... ... ... . .. ...

1 1 1 ··· 0









, (e)











1 −1 0 ··· 0 0

−1 2 −1 ··· 0 0

0 −1 2 ··· 0 0

... ... ... . .. ... ...

0 0 0 ··· 2 −1

0 0 0 ··· −1 1









 ,

(f)











2 −1 0 ··· 0 0

−1 2 −1 ··· 0 0

0 −1 2 ··· 0 0

... ... ... . .. ... ...

0 0 0 ··· 2 −1

0 0 0 ··· −1 1









 .

16.

Obliczy´c macierze odwrotne do macierzy klatkowych:

- A D

0 B

. ,

- A 0

C B

.

. Obliczy´c macierze odwrotne do

nast˛epuj ˛acych macierzy:







2 1 0 0

3 2 0 0

1 1 3 4

2 −1 2 3





,







1 2 0 0

2 3 0 0

1 −1 1 3

0 1 0 2





,









1 1 1 3 1

0 1 1 −1 2

0 0 1 2 1

0 0 0 1 0

0 0 0 1 1







.

Zadania z algebry liniowej Z

ESTAW

7 - Przestrzenie liniowe

1.

Niech A b˛edzie niepustym zbiorem oraz niech K b˛edzie dowolnym ciałem. Oznaczmy symbolem K^Azbiór wszyst- kich funkcji A→ K. Sum ˛a funkcji f : A → K oraz funkcji g : A → K nazywamy funkcj˛e f + g : A → K tak ˛a, ˙ze ( f + g)(a) = f (a) + g(a) dla ka˙zdego a ∈ A. Iloczynem funkcji f : A → K przez skalar x z ciała K nazywamy funk- cj˛e x f : A→ K tak ˛a, ˙ze (x f )(a) = x f (a) dla ka˙zdego a ∈ A. Pokaza´c, ˙ze tak zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzeni ˛a liniow ˛a nad ciałem K.

2.

Oznaczmy symbolem K[X] zbiór wszystkich wielomianów zmiennej X o współczynnikach z ciała K. Sprawdzi´c, ˙ze z działaniami dodawania wielomianów i mno˙zenia wielomianu przez elementy ciała K, zbiór K[X] jest przestrzeni ˛a wektorow ˛a nad ciałem K.

3.

Załó˙zmy, ˙ze K i L s ˛a ciałami oraz K⊂ L. Sprawdzi´c, ˙ze zbiór L z dodawaniem elementów ciała L i operacj ˛a mno˙zenia elementów ciała L przez elementy ciała K jest przestrzeni ˛a wektorow ˛a nad ciałem K.

4.

Niech K b˛edzie dowolnym ciałem oraz niech V = K^∞ (zbiór wszystkich niesko´nczonych ci ˛agów elementów ciała K). Okre´slmy działania dodawania wektorów oraz mno˙zenia wektorów przez skalary z ciała K nast˛epuj ˛aco:

[a₁, a₂, . . .] + [b₁, b₂, . . .] := [a₁+ b₁, a₂+ b₂, . . .], a· [a1, a₂, . . .] := [aa₁, aa₂, . . .].

Pokaza´c, ˙ze wy˙zej zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzeni ˛a wektorow ˛a nad ciałem K.

5.

Wykaza´c , ˙ze K_n^mz działaniami dodawania macierzy i mno˙zenia macierzy przez element ciała K jest przestrzeni ˛a wektorow ˛a nad K.

6.

Niech A b˛edzie niepustym zbiorem oraz niech V b˛edzie przestrzeni ˛a wektorow ˛a nad ciałem K. Oznaczmy symbolem V^Azbiór wszystkich funkcji A→ V . Sum ˛afunkcji f : A → V oraz funkcji g : A → V nazywamy funkcj˛e f +g : A → V tak ˛a, ˙ze ( f +g)(a) = f (a)+g(a) dla ka˙zdego a∈ A. Iloczynem funkcji f : A → K przez skalar x z ciała K nazywamy funkcj˛e x f : A→ V tak ˛a, ˙ze (x f )(a) = x f (a) dla ka˙zdego a ∈ A. Pokaza´c, ˙ze tak zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzeni ˛a liniow ˛a nad ciałem K.

7.

Niech n∈ N oraz V1, V2, . . . ,Vn niech b˛ed ˛a przestrzeniami wektorowymi nad ciałem K.

W zbiorze V1×V2× ... ×Vn okre´slamy dodawanie nast˛epuj ˛aco:

(α1, α2, . . . αn) + (β1, β2, . . . βn) = (α1+ β1, α2+ β2, . . . , αn+ βn) za´s mno˙zenie przez elementy ciała K w nast˛epuj ˛acy sposób:

x(α1, α2, . . . αn) = (xα1, xα2, . . . xαn)

Wyka˙z, ˙ze tak otrzymana struktura algebraiczna jest przestrzeni ˛a wektorow ˛a nad ciałem K.

8.

Wykaza´c, ˙ze V =C ze zwykłym dodawaniem jako dodawaniem wektorów i operacj ˛a mno˙zenia przez skalar

∗ : C × C → C, (z,v) +→ z ∗ v := z · v jest przestrzeni ˛a liniow ˛a nad ciałem liczb zespolonychC.

9.

Załó˙zmy, ˙ze V jest przestrzeni ˛a wektorow ˛a nad ciałem K, α, β, γ∈ V oraz x,y ∈ K. Udowodni´c, ˙ze:

(a) α + β = α + γ =⇒ β = γ, (b) xα = θ ⇐⇒ x = 0 lub α = θ,

(c) xα = xβ i x#= 0 =⇒ α = β, (d) xα = yα i α#= θ =⇒ x = y,

(e) −(−α) = α,

(f) α− (β + γ) = (α − β) − γ, α− (β − γ) = (α − β) + γ, (g) (−1)α = −α, (−x)α = −xα, (−x)(−α) = xα, (h) x(α− β) = xα − xβ, (x − y)α = xα − yα,

10.

Niech K b˛edzie ciałem. Oznaczmy symbolem K[X]mzbiór wszystkich wielomianów nale˙z ˛acych do K[X], stopnia nie wi˛ekszego od m. Sprawdzi´c, ˙ze K[X]mjest podprzestrzeni ˛a przestrzeni wektorowej K[X].

11.

Macierz S = [si j] ∈ Knⁿnazywamy macierz ˛a symetryczn ˛a, gdy jej elementy si jspełniaj ˛a warunki: si j= s_ji dla ka˙z- dych i, j. Macierz A = [ai j] ∈ Knⁿnazywamy macierz ˛a antysymetryczn ˛a, gdy jej elementy ai j spełniaj ˛a warunki:

a_{i j}= −ajidla ka˙zdych i, j. Sprawdzi´c, ˙ze ka˙zdy ze zbiorów: zbiór S_nwszystkich macierzy symetrycznych nale˙z- cych do K_nⁿi zbiór A_nwszystkich macierzy antysymetrycznych nale˙z ˛acych do K_nⁿ, s ˛a podprzestrzeniami przestrzeni liniowej K_nⁿ.

12.

Zbada´c, które z nast˛epuj ˛acych podzbiorów przestrzeni K⁴s ˛a podprzestrzeniami wektorowymi:

(a) U ={[t,t + 1,0,1] : t ∈ K}, (b) U ={[t,u,t + u,t − u] : t,u ∈ K},

(c) U ={[tu,u,t,0] : t,u ∈ K},

(d) U ={[x,y,z,t] : x + y − z = 0},

(e) U ={[x,y,z,t] : x + y − z = 0 i 2x + y = 0}, (f) U ={[x,y,z,t] : xy = 0},

(g) U ={t[1,0,1,0] + u[0,−1,0,1] : t,u ∈ K}.

13.

Zbada´c, które z nast˛epuj ˛acych podzbiorów przestrzeniR⁴s ˛a podprzestrzeniami liniowymi:

(a) U ={[t,u,t + u,t − u] : t ≤ u}, (b) U ={[t,u,t,0] : tu ≥ 0},

(c) U ={[x,y,z,t] : x,y,z,t ∈ Q}.

14.

Zbada´c, które z nast˛epuj ˛acych podzbiorów przestrzeniR²2s ˛a podprzestrzeniami liniowymi:

(a) U ={ -a −b

b a

.

: a, b∈ K}, (b) U ={

-a b 0 c .

: a + b + c = 0}, (c) U ={

-a 0 0 b .

: ab = 0},

15.

NiechR^∞b˛edzie przestrzeni ˛a ci ˛agów elementów ciałaR (zob. zadanie 3 z poprzedniego zestawu ). Zbada´c, które spo´sród nast˛epuj ˛acych zbiorów s ˛a podprzestrzeniami wektorowymi przestrzeniR^∞:

(a) U1= {[a1, a2, . . .] : ai+1= ai+ ai−1dla ka˙zdego i = 2, 3, . . .};

(b) U2= {[a1, a2, . . .] : ai=¹₂(a_i−1+ a_i+1) dla ka˙zdego i = 2,3,...};

(c) zbiór wszystkich ci ˛agów [a1, a2, . . .], których prawie wszystkie wyrazy (wszystkie wyrazy z wyj ˛atkiem co najwy˙zej sko´nczonej liczby) s ˛a równe zero;

(d) zbiór wszystkich ci ˛agów ograniczonych.

16.

Zbada´c, które z nast˛epuj ˛acych podzbiorów przestrzeniR^Rs ˛a podprzestrzeniami liniowymi:

(a) zbiór wszystkich funkcji parzystych;

(b) zbiór wszystkich funkcji nieparzystych;

(c) zbiór wszystkich funkcji rosn ˛acych;

(d) zbiór wszystkich funkcji monotonicznych;

(e) U ={ f ∈ R^R: f (0) = f (1)};

(f) U ={ f ∈ R^R: f (x) = 0 dla ka˙zdego x∈ &0, 14}.

17.

Sprawdzi´c, które z okre´slonych podzbiorów przestrzeni wielomianów K[X] nad ciałem K s ˛a podprzestrzeniami wektorowymi:

(a) U ={F ∈ K[X] : F(−1) = 0}, (b) U ={F ∈ K[X] : F(0) · F(1) = 0},

(c) K[X]10= {F ∈ K[X] : stF ≤ 10}, (d) U ={F ∈ K[X] : stF = 10}.

18.

Zbada´c, które z nast˛epuj ˛acych podzbiorów przestrzeniZ²3s ˛a podprzestrzeniami liniowymi:

(a) U ={[0,0], [1,2], [2,1]}, (b) U ={[0,0], [1,1], [2,2]}, (c) U ={[0,0], [1,2], [2,2]}.

19.

Wyznaczy´c wszystkie podprzestrzenie przestrzeni a)Z²2; b)Z²3; c)Z³2.

20.

Zbada´c, które z nast˛epuj ˛acych podzbiorów przestrzeniC nad R s ˛a podprzestrzeniami liniowymi:

(a) U ={z ∈ C : Rez = 0}, (b) U ={z ∈ C : |z| = 1},

(c) U ={z ∈ C : Rez = Imz}.

Który z powy˙zszych podzbiorów jest podprzestrzeni ˛a przestrzeni linowejC nad C ?

21.

Zbada´c, które z nast˛epuj ˛acych podzbiorów przestrzeniR nad Q s ˛a podprzestrzeniami liniowymi:

(a) Q(√

2) ={a + b√

2 : a, b∈ Q}, (b) U ={x ∈ R : |x| ≤ 1},

(c) U ={x ∈ R : x²∈ Q}.

Który z powy˙zszych podzbiorów jest podprzestrzeni ˛a przestrzeni linowejR nad R ?

22.

Załó˙zmy, ˙ze U jest podprzestrzeni ˛a liniow ˛a przestrzeni V , α, β∈ V oraz x ∈ K. Wykaza´c, ˙ze:

(a) je´sli α + β∈ U i α ∈ U, to β ∈ U, (b) je´sli xα∈ U i x #= 0, to α ∈ U.

23.

Pokaza´c, ˙ze je´sli U oraz W s ˛a podprzestrzeniami przestrzeni liniowej V , to U∪W jest podprzestrzeni ˛a przestrzeni V wtedy i tylko wtedy, gdy U ⊂ W lub W ⊂ U.

24.

Niech W1, W2, W3b˛ed ˛a podprzestrzeniami liniowymi przestrzeni V . Wykaza´c ˙ze:

(a) W1∪W²⊂ W¹+W2; (b) W1+W2= W2+W1;

(c) (W1+W₂) +W₃= W₁+ (W₂+W₃);

(d) W1+W₁= W₁;

(e) W₁⊂ W3 i W₂⊂ W3 =⇒ W1+W₂⊂ W3;

(f) W2⊂ W¹ =⇒ W1∩ (W²+W3) = (W1∩W²) + (W1∩W³);

(g) W2⊂ W¹ =⇒ W1+ (W2∩W³) = (W1+W2) ∩W3.

Zadania z algebry liniowej

Z

ESTAW

8 - Kombinacje liniowe wektorów

1.

W przestrzeni V wyznaczy´c kombinacj˛e liniow ˛a wektorów α1, . . . , αno współczynnikach odpowiednio a1, . . . , an, gdzie:

(a) V =R³, n = 3, α1= [1, 0, 2], α2= [−2, 3, 1], α3= [1, 2, 3], a1= −1, a2= 2, a3= 1;

(b) V =Z34, n = 3, α1= [1, 0, 2, 1], α2= [2, 1, 1, 1], α3= [1, 2, 0, 0], a₁= 1, a₂= 2, a₃= 1;

(c) V =Q³2, n = 2, α1=- 1 −2 3 −1 .

α1=- 0 −3 1 −1 .

, a₁= −1, a2= 2;

(d) V =Z2[X], n = 4, α1= X²+ X + 1, α2= X³+ X, α3= X¹+ 1, α4= X²+ 1 a1= 1, a2= 0, a3= 1, a4= 1.

2.

W przestrzeni liniowej V wyznaczy´c wszystkie kombinacje liniowe wektorów α1, . . . , αn, gdzie:

(a) V =Z23, n = 3, α1= [1, 0, 1], α2= [1, 1, 1], α3= [0, 1, 0];

(b) V =Z32, n = 2, α1= [1, 0, 2], α2= [1, 1, 1];

(c) V = (Z2)²₂, n = 2, α1=- 1 0 1 1 .

α1=- 0 1 1 1 .

.

3.

Sprawdzi´c,czy wektor β jest kombinacj ˛a liniow ˛a wektorów α1, . . . , αnprzestrzeni V , je´sli:

(a) V =R³, n = 3, α1= [1, 0, 2], α2= [2, 1, 1], α3= [1, 2, 0], β = [−1, −1, −1];

(b) V =Z33, n = 3, α1= [1, 0, 2], α2= [1, 1, 1], α3= [1, 2, 0], β = [1, 1, 2];

(c) V =Q[X], n = 4, α1= 1, α2= X − 1, α3= (X − 1)², α4= (X − 1)³, β = X³+ X²+ X + 1.

4.

Wyznaczy´c wszystkie warto´sci parametrów a∈ R, dla których wektor β jest kombinacj ˛aliniow ˛awektorów α1, α2, α3

przestrzeniR³, gdzie:

(a) α1= [2, 3, 5], α2= [3, 7, 8], α3= [1, −6, 1], β = [7, −2, a];

(b) α1= [4, 4, 3], α2= [7, 2, 1], α3= [4, 1, 6], β = [5, 9, a];

(c) α1= [3, 2, 5], α2= [2, 4, 7], α3= [5, 6, a], β = [1, 3, 5];

(d) α1= [3, 2, 6], α2= [5, 1, 3], α3= [7, 3, 9], β = [a, 2, 5].

5.

Dla jakiej liczby zespolonej c∈ C wektor [1, i, i] jest kombinacj ˛a liniow ˛a wektorów [c, −1 + i, 1 + i], [i, −1, −c]

przestrzeniC³ ?

6.

Sprawdzi´c, czy wektory α oraz β s ˛a kombinacjami liniowymi układuAwektorów przestrzeniR⁴, je˙zeli

a)A^{= (}





 1 1 1

−1





,





 2 1 1 1





,





 5 3 2 0





), α =





 9 6 5

−1





, β =





 9 6 5 0





.

b)A= (





 1 1 1

−1





,





 2 1 1 1





,





 5 3 2 0





,





 1 0 0 2





), α =





 9 6 5

−1





, β =





 9 6 5 0





.

Czy zapis wektora α w postaci kombinacji liniowej układuAjest jednoznaczny?

7.

Sprawdzi´c, ˙ze ka˙zda kombinacja [x1, x2, x3, x4] liniowa wektorów [1, 1, 2, 1], [0, 2, 2, 1], [3, 0, 1, 1] przestrzeni Z54

spełnia równanie X1+ X2+ X3+ X4= 0.

8.

Dla danych podzbiorów U, A przestrzeni liniowej V sprawdzi´c, ˙ze U jest podprzestrzeni ˛a przestrzeni V oraz lin (A)⊂ U.

(a) V =R³, U ={[x1, x2, x3] : 2x1− x2+ x3= 0}, A = {[1, 0, −2], [0, 1, 1], [1, −1, −3]};

(b) V =Z³⁴, U = Sol (

#X1+ X2− X⁴= 0

X₂− 2X3= 0 ), A = {[1, 1, 2, 2], [0, 1, 2, 1], [2, 2, 1, 1]};

(c) V =C (nadR), U = {z ∈ C : Im z = 2Re z}, A = {1 + 2i, −3 − 6i}.

9.

Niech A, B b˛ed ˛a podzbiorami przestrzeni liniowej V . Pokaza´c, ˙ze:

(a) A⊂ B =⇒ lin(A) ⊂ lin(B), (b) A = B =⇒ lin(A) = lin(B),

(c) A < V ⇐⇒ lin (A) = A, (d) lin (lin (B)) = lin (B),

(e) lin (A∪ B) = lin(A) + lin(B).