Noworoczna seria zadań z Algebry IR 1. grudnia 2014 r.
Notacja: We wszystkich poniższych zadaniach K jest ciałem, V zaś jest przestrzeni¸a wektorow¸ a nad K.
Zadanie 1. Sprawdź, czy zbiór R
>0liczb rzeczywistych dodatnich z działaniem grupo- wym
R
>0× R
>0Ð→ R
>0∶ (x, y) z→ x ⋅ y =∶ x +
R>0y oraz działaniem ciała R liczb rzeczywistych
R × R
>0Ð→ R
>0∶ (λ, x) z→ x
λ=∶ λ ⊳ x
jest przestrzeni¸ a wektorow¸ a nad R. Jaki jest wymiar tej przestrzeni?
Zadanie 2. Niechaj V ∶= R
4[t] (wielomiany stopnia ≤ 4 o współczynnikach z R) i niech F
vb¸edzie funkcj¸ a wielomianow¸ a stowarzyszon¸ a z wielomianem v ∈ V . Pokaż, że podzbiór
W ∶= { v ∈ V ∣ F
v(−1) = F
v(1) ∧ F
v′(−
√13) + F
v′(
√13) = 0 }
jest podprzestrzeni¸ a R-liniow¸a V . Wskaż dowoln¸a baz¸e i oblicz wymiar R-liniowy prze- strzeni W .
Zadanie 3. Dane s¸ a liniowo niezależne wektory v
1, v
2, . . . , v
n∈ V oraz skalary λ
1, λ
2, . . . , λ
n∈ K. Oznaczmy
s ∶= v
1+
Vv
2+
V. . . +
Vv
ni zdefiniujmy wektory
e
k∶= v
k+
V(−λ
k) ⊳ s ≡ v
k− λ
k⊳ s , k ∈ 1, n . Wykaż, co nast¸epuje:
(i) Wektory e
1, e
2, . . . , e
ns¸ a liniowo niezależne. ⇐⇒ ∑
nk=1λ
k≠ 1.
(ii) Jeśli ∑
nk=1λ
k= 1, to ( ∑
nk=1µ
k⊳ e
k= 0
V⇐⇒ µ
1= µ
2= . . . = µ
n), każdy układ n−1 wektorów spośród e
1, e
2, . . . , e
njest liniowo zależny oraz
⟨e
1, e
2, . . . , e
n⟩
K= { v = ∑
nk=1
µ
k⊳ v
k∣ (µ
1, µ
2, . . . , µ
n) ∈ K
n∧ ∑
nk=1
λ
k⋅ µ
k= 0
K} .
Zadanie 4. Niechaj n, p, q ∈ N ∖ {0}. Podprzestrzenie K-liniowe V
1, V
2⊂ K
ns¸ a dane w postaci
V
1∶= ker A , V
2∶= im B , gdzie A ∈ K
pni B ∈ K
nq. Dowiedź, że
(i) V
1= V
2⇐⇒ ( A ⋅ B = 0
p×q∧ rk A + rk B = n );
(ii) K
n= V
1⊕ V
2⇐⇒ ( rk A = rk B = rk (A ⋅ B) ).
Zadanie 5. Czy wektory v
1, v
2, . . . , v
n∈ V s¸a zawsze liniowo niezależne, jeśli
(i) wektory v
2, v
3, . . . , v
ns¸ a liniowo niezależne i wektory v
1, v
2, . . . , v
n−1s¸ a liniowo nie- zależne;
(ii) po odrzuceniu dowolnego z wektorów v
1, v
2, . . . , v
npozostałe wektory s¸ a liniowo niezależne;
(iii) wektory v
1, v
2, . . . , v
n−1s¸ a liniowo niezależne oraz v
n/∈ ⟨v
1, v
2, . . . , v
n−1⟩
K?
Zadanie 6. Udowodnij poniższe zdania:
(i) Dla dowolnych wektorów v
1, v
2, v
3∈ V oraz skalarów λ
1, λ
2, λ
3∈ K wektory λ
2⊳ v
1− λ
1⊳ v
2, λ
3⊳ v
2− λ
2⊳ v
3, λ
1⊳ v
3− λ
3⊳ v
1s¸ a liniowo zależne.
(ii) Dla dowolnych wektorów v
1, v
2, v
3, v
4, v
5∈ V oraz skalarów λ
1, λ
2, λ
3, λ
4, λ
5∈ K wektory λ
k⊳ v
k−λ
k+1⊳ v
k+2, k ∈ 1, 5, zapisane w konwencji v
6∶= v
1, v
7∶= v
2, λ
6∶= λ
1, s¸ a liniowo zależne.
Zadanie 7. Niechaj X ∶= {1, p, q} ⊂ K (przy czym char K = 0) i rozważmy funkcje wielomianowe f
k∶= F
tk, k ∈ {0, 2, 3} stowarzyszone z jednomianami t
0, t
2, t
3∈ K
3[t].
Sprawdź, co nast¸epuje:
(i) Jeśli p = 0
Ki q ∈ K ∖ {0
K, 1
K}, to funkcje f
0, f
2, f
3tworz¸ a układ liniowo niezależny nad K w K
X(funkcje X Ð→ K).
(ii) Jeśli p = 1
K+
K1
K=∶ 2
K, to istnieje dokładnie jeden skalar q ∈ K ∖ {1
K, 2
K}, dla którego funkcje f
0, f
2, f
3tworz¸ a układ liniowo niezależny nad K w K
X.
Zadanie 8. Niechaj układ wektorów {e
k}
k∈1,nb¸edzie baz¸ a przestrzeni V i wprowadźmy oznaczenia
V
0∶= {0
V} , V
k∶= ⟨e
1, e
2, . . . , e
k⟩
K, k ∈ 1, n .
Wykaż, co nast¸epuje:
(i) Jeśli f
k∈ V
k∖ V
k−1dla k ∈ 1, n, to układ wektorów {f
k}
k∈1,nteż jest baz¸ a V .
(ii) Jeśli układ {f
k}
k∈1,njest (inn¸ a) baz¸ a V , o własności f
k∈ V
k, to także e
k∈ ⟨f
1, f
2, . . . , f
k⟩
Kdla k ∈ 1, n, a st¸ad ⟨e
1, e
2, . . . , e
k⟩
K= ⟨f
1, f
2, . . . , f
k⟩
K.
Zadanie 9. Sprawdź, że dla dowolnych wektorów v
1, v
2, . . . , v
n∈ V zachodzi tożsamość
⟨v
2− v
1, v
3− v
2, . . . , v
n− v
n−1⟩
K= { ∑
nk=1
λ
k⊳ v
k∣ (λ
1, λ
2, . . . , λ
n) ∈ K
n∧ ∑
nk=1
λ
k= 0
K} .
Zadanie 10. Wykaż, że jeśli każdy z trzech danych wektorów w przestrzeni R
nspełnia warunek „Suma każdej trójki kolejnych współrz¸ednych jest równa 0.”, to te trzy wektory s¸ a liniowo zależne.
Zadanie 11. Nazwijmy stopniem niezerowego wektora x = (x
1, x
2, . . . , x
n) ∈ K
nliczb¸e deg x ∶= max{ k ∈ 1, n ∣ x
k≠ 0
K} .
Udowodnij, że każdy układ wektorów z K
n∖{(0
K, 0
K, . . . , 0
K)} o parami różnych stopniach jest liniowo niezależny.
Zadanie 12. Niechaj V ∶= K
4[t]. Określmy podprzestrzenie V
1∶= { v ∈ V ∣ F
v(−2) = 0
K= F
v(2) } ,
V
2∶= { v ∈ V ∣ F
v(−1) = 0
K= F
v(1) = F
v(0
K) } .
Sprawdź, że dim
KV
1= 3 = dim
KV
2+1 i wskaż przykłady baz tych podprzestrzeni. Wykaż ponadto, że V
1∩ V
2= {0
V} oraz V
1+
VV
2= V , a nast¸epnie znajdź rozkład wektora v ∶= c
0⊳ t
0+
Vc
1⊳ t
1+
Vc
2⊳ t
2+
Vc
3⊳ t
3+
Vc
4⊳ t
4∈ V na składowe v
1∈ V
1i v
2∈ V
2. Zadanie 13. Podprzestrzenie V
1, V
2⊂ V ∶= R
4s¸ a określone wzorami V
1∶= ker A i V
2∶= im A, gdzie
A ∶=
⎛ ⎜⎜
⎜ ⎝
5 2 0 1
−7 −2 4 5
1 1 3 5
7 3 1 3
⎞ ⎟⎟
⎟ ⎠ .
Znajdź
(i) takie bazy V
1i V
2, których cz¸eść wspólna jest baz¸ a V
1∩ V
2;
(ii) układ równań opisuj¸ acy V
1+
VV
2.
Powtórz rachunki dla V
1∶= ⟨B
●1, B
●3⟩
Ri V
2∶= ⟨B
●2, B
●4⟩
R, gdzie
B ∶=
⎛ ⎜⎜
⎜ ⎝
−3 1 1 1
1 −2 1 1
1 1 −5 1
1 1 1 −3
⎞ ⎟⎟
⎟ ⎠ .
Zadanie 14. Sprawdź, czy R
3jest sum¸ a prost¸ a swoich podprzestrzeni V
1∶= ker ( 4 −1 −1 2 −3 1 ) i V
2∶= ⟨ ⎛
⎜ ⎝ 5 12 16
⎞ ⎟
⎠ , ⎛
⎜ ⎝ 7 6 17
⎞ ⎟
⎠ ⟩
R
