Zestaw I Jądro atomowe. Rozpad promieniotwórczy   

(1)

Zestaw I

Jądro atomowe. Rozpad promieniotwórczy

Przydatne równania:

Prawo rozpadu promieniotwórczego:

 

0

N t N e^{ }^t, (1)

gdzie: N – liczba jąder promieniotwórczych w chwili t,N0 – liczba jąder promieniotwórczych w chwili t0,  – stała rozpadu 1

 , gdzie   – średni czas życia(czas, po którym pozostaje 1/e początkowej liczby jąder).

Aktywność promieniotwórcza – liczba rozpadów promieniotwórczych na sekundę:

 

^{dN t}

 

a t   dt . (2)

Jednostką aktywności jest bekerel (Bq): 1Bq = s^-1. Liczba Avogadra: N_A 6.022 10 mol ²³ ^¹.

Deficyt masy – różnica między sumą mas poszczególnych składników układu fizycznego a masą tego układu.

Deficyt masy jądra atomowego atomu X_Z^A :

p n j 0

m Zm Nm m

     , (3)

lub:

H n a 0

m Zm Nm m

     , (4)

gdzie:N  A Z, mp – masa protonu, mn– masa neutronu, mj to masa jądra atomowego zaś ma

to masa atomu.

Energia wiązania atomu:

 

²

w H n a

E  Zm Nm m c . (5)

Jednostka masy atomowej: 1u1.66 10 ^²⁷kg; 1.00728

mp  u, m_n 1.00866u.

(2)

1) Wykazać, że zachodzi następujący związek pomiędzy stałą rozpadu a średnim czasem życia:

 1

 .  (6)

2) Wykazać, że zachodzi następujący związek pomiędzy stałą rozpadu a czasem połowicznego rozpadu (zaniku)T_1/2 – czasu, po którym liczba jąder promieniotwórczych zmniejsza się o połowę:

1/2

T ln 2

  . (7)

3) W preparacie promieniotwórczym, o czasie połowicznego rozpadu T_1/2, znajduje się N0 jąder w chwili początkowej. Ile jąder będzie w preparacie po upływie czasu 1 _1/2

2T , T_1/2, 2T_1/2 oraz 3T1/2?

4) Czas połowicznego rozpadu izotopu strontu ⁹⁰₃₈Srwynosi T_1/2 20 lat. Jaki procent pierwotnej liczby jąder pozostanie po upływie czasu: a) t₁10lat oraz b)t₂ 80lat?

(odp.:a N N) / ₀ 70.7%; )b N N/ ₀ 6.25%)

5) W ciągu czasu t=4h, p=75% początkowej liczby jąder izotopu promieniotwórczego rozpadło się. Obliczyć jego czas połowicznego rozpadu T_1/2.

(odp.:T_1/2 2h)

6) Promieniotwórczy izotop kobaltu ⁶⁰₂₇Co ma czas połowicznego rozpadu T_1/2 5.7 lat. Obliczyć aktywność m1kg kobaltu.

(odp.: a=3.87 10¹⁶Bq)

7) Po jakim czasie aktywność promieniotwórczego izotopu kobaltu ⁶⁰₂₇Co spadnie e razy?

1/2 5.7 lat

T  .

(odp.: t8.22 lat)

8) Promieniotwórczy izotop miedzi ⁶⁶₂₉Cu ma czas połowicznego rozpadu T_1/2 4.3min. O ile procent p zmaleje aktywność tego izotopu po upływie czasu t12.9 min?

(odp.: p87.5%)

9) Poza układowa jednostka aktywności źródła 1Ci (kiur) odpowiada liczbie rozpadów zachodzących w 1g radu (²²⁶Ra) w ciągu 1s. Określić tę liczbę, jeżeli czas połowicznego zaniku T1/2 dla radu wynosi 1599 lat.

(odp.: a3.66 10 ¹⁰Bq)

10)Wykazać, że niedobór masy wyrażony równaniem (3) może zostać przybliżony równaniem (4) w przypadku, gdy pominiemy człon związany z energią wiązania elektronów w atomie.

11) Wykazać, że zachodzi związek: MeV₂ 1u 931.5

 c .

(3)

12) Obliczyć energię reakcji jądrowej: ⁶₃Li₀¹n³₁T₂⁴He. Skorzystaj z tablicy mas atomowych izotopów dostępnej pod adresem https://en.wikipedia.org/wiki/Isotope.

(odp.: E~ 4.8MeV)

13) Oblicz energię wiązania Izotopów⁴₂He, ⁶₃Li oraz⁵⁶₂₆Fe.

(odp.: 𝐸 ∼ 7 𝑀𝑒𝑉/𝑛𝑢𝑘𝑙𝑒𝑜𝑛,E_Li ~ 5.3MeV/nukleon, E_Fe ~ 8.8MeV/nukleon)

Rozwiązania wybranych zadań Zad. 5

Jeżeli rozpadowi uległo 75% atomów, oznacza to, że liczba jąder promieniotwórczych, które nie uległy rozpadowi wynosi N=0.25 𝑁 . Łącząc wzory (1) i (7) otrzymamy

𝑁

𝑁 = 0.25 = 𝑒 ^/ ^/ Logarytmując obustronnie otrzymujemy

ln0.25 = −ln2 𝑡/𝑇 _/ , a następnie 𝑇_/ = −ln2 𝑡/ln0.25 = 2h.

Zad. 6

Wstawiając (1) do (2) dostajemy

𝑎 = 𝑎 𝑒 ^/ ^/

𝑎 = ln2 𝑁 /𝑇_/ jest aktywnością początkową, którą należy wyznaczyć. Liczba atomów kobaltu 𝑁 = 𝑚𝑁 /𝜇, gdzie 𝑁 = 6.022 10 (cząstek/mol) jest liczbą Avogadra, 𝜇 = 60 g/mol to masa molowa kobaltu. Ostatecznie otrzymujemy

𝑎 =ln2m𝑁 /(𝑇/ 𝜇) Zad. 8

Z warunków zadania:

𝑝 = 1 − 100% = 1 − 𝑒 ^/ ^/ 100%=87.5%

Zad. 13

Biorąc pod uwagę, że masa jądra helu wynosi 4.0015 u , otrzymujemy na podstawie wzoru (5) energię wiązania o wartości: 0.45∙ 10 J= 28 MeV. Ostatecznie energia przypadająca na jeden nukleon wynosi 7 MeV.