74. 59 4.01.2018

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1 LUX, zima 2017/18

KOLOKWIUM nr

59

^4.01.2018

74.

Dana jest taka funkcja f :R→R, że dla każdych liczb rzeczywistych x, y zachodzi nierówność

|f (x) − f (y)| ¬ 10 · |x − y| ,

a dla każdych liczb rzeczywistych x, y spełniających warunek |x − y| ­ 10 zachodzi nie- równość

|f (x) − f (y)| ¬ |x − y| . Dowieść, że

|f (6) − f (0)| ¬ 50 . Rozwiązanie:

Teza zadania wynika z następujących nierówności, wykorzystujących nierówność trójkąta oraz założenia o funkcji f :

|f (6) − f (0)| = |f (6) − f (10) + f (10) − f (0)| ¬ |f (6) − f (10)| + |f (10) − f (0)| ¬

¬ 10 · |6 − 10| + |10 − 0| = 40 + 10 = 50 .

Kolokwium 59 - 1 - Odpowiedzi i rozwiązania

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1 LUX, zima 2017/18

Zadanie

75.

Wyznaczyć (wraz z pełnym uzasadnieniem) kres górny zbioru Z =

( kmn

k²+ m⁴+ n⁴: k,m,n ∈_N

)

. Rozwiązanie:

Z nierówności między średnią geometryczną i arytmetyczną zastosowanej do czterech liczb k²/2, k²/2, m⁴, n⁴ otrzymujemy

4

sk⁴m⁴n⁴

4 ¬k²+ m⁴+ n⁴

4 ,

czyli

kmn k²+ m⁴+ n⁴ ¬

√4

4 4 =

√2 4 . Zatem liczba √

2/4 jest ograniczeniem górnym zbioru Z. Wykażemy, że jest to ograni- czenie najmniejsze. W tym celu rozważmy następujące ciągi liczb:

n_i= m_i= 10ⁱ, k_i=^h√

2 · 10²ⁱⁱ. To prowadzi do następującego ciągu elementów zbioru Z:

k_im_in_i k_i²+ m⁴_i+ n⁴_i =

ki

10²ⁱ·^m₁₀ⁱi·₁₀ⁿⁱi

 _k

i

10²ⁱ

2

+^₁₀^mii

4

+^₁₀ⁿⁱi

4 →

√2 · 1 · 1

√

2^2+ 1 + 1

=

√2 4 .

Odpowiedź: Kres górny zbioru Z jest równy √ 2/4.

Zadanie

76.

Podać liczby całkowite dodatnie k, m, n, dla których spełniona jest nierówność kmn

k²+ m⁴+ n⁴ >1 3.

k = 6 (ewentualnie 5 lub 7), m = 2, n = 2.

Kolokwium 59 - 2 - Odpowiedzi i rozwiązania