Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2 (LUX), lato 2017/18
Kolokwium nr 52: wtorek 13.03.2018, godz. 17:15, materiał zad. 501–538.
Udowodnić następujące nierówności:
549.
π/2
Z
0
sinx
x dx < 2 550. 2√
2 <
4
Z
2
x1/xdx 551.
1/2
Z
1/4
x2xdx <1 8
552. 19 3 <
3
Z
2
xxdx <65
4 . Wsk. Oszacować xx przez xa.
553. Przedstawić na rysunku następujące wzory zachodzące dla funkcji ciągłej f na przedziale [a,b]:
b
Z
a
f (x)dx = lim
n→∞
b − a n
n
X
k=1
inf
x∈[a+(k−1)b−an , a+kb−an ]
f (x) (A)
b
Z
a
f (x)dx = lim
n→∞
b − a n
n
X
k=1
sup
x∈[a+(k−1)b−an , a+kb−an ]
f (x) (B)
b
Z
a
f (x)dx = lim
n→∞
b − a n
n−1
X
k=0
f a + kb − a n
!
(C)
b
Z
a
f (x)dx = lim
n→∞
b − a n
n
X
k=1
f a + kb − a n
!
(D)
Zb
a
f (x)dx = lim
n→∞
n−1
X
k=1
f a +
k −1 2
b − a n
!
(E)
Zb
a
f (x)dx = lim
n→∞
b − a n
f (a) + f (b)
2 +
n−1
X
k=1
f a + kb − a n
!!
(F )
W miarę możliwości zrobić taki rysunek, aby było widać, czy wyrazy ciągu sum Rie- manna są większe/mniejsze od całki w przypadku ogólnym lub w przypadku funkcji rosnącej/malejącej, wypukłej/wklęsłej.
554. Obliczyć całkę oznaczoną
25
Z
1
√ dx x +√
x + 24.
Lista 54 - 54 - Strona 54
