Matematykaﬁnansowa GrzegorzKosiorowski 2b.Inﬂacja

(1)

2b. Inflacja

Grzegorz Kosiorowski

Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie

Matematyka finansowa

Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2b. Inflacja Matematyka finansowa 1 / 22

(2)

1 Motywacje i definicja

2 Podstawowe zagadnienie

3 Inne zagadnienia

(3)

Motywacja

Przy inwestowaniu często trzeba uwzględnić czynniki inne niż tylko sama jakość inwestycji. Jeśli z zainwestowanych pieniędzy zarobiliśmy 10% w ciągu roku, ale inflacja waluty, w której zarobiliśmy, wyniosła w tym czasie 12% to tak naprawdę ponieśliśmy stratę.

Inflację możemy (a czasem musimy) uwzględnić w obliczeniach związanych z matematyką finansową na wiele sposobów. W

przyszłości zobaczymy jak waloryzować o inflację wypłatę okresowych rent z zadanego kapitału. Teraz będziemy zainteresowani głównie obliczaniem realnej stopy zwrotu - czyli miary tego, jak w

rzeczywistości zmieniła się nie tyle liczba zapisana na lokacie, ale wartość nabywcza kapitału, który ta liczba symbolizuje.

(4)

Motywacja

Inflację możemy (a czasem musimy) uwzględnić w obliczeniach związanych z matematyką finansową na wiele sposobów.

W

(5)

Motywacja

przyszłości zobaczymy jak waloryzować o inflację wypłatę okresowych rent z zadanego kapitału.

Teraz będziemy zainteresowani głównie obliczaniem realnej stopy zwrotu - czyli miary tego, jak w

(6)

Motywacja

rzeczywistości zmieniła się nie tyle liczba zapisana na lokacie, ale

(7)

Inflacja - definicja

Inflacja i jej stopa

Przez inflację w ramach kursu matematyki finansowej będziemy nazywać spadek siły nabywczej kapitału w czasie. Dla uproszczenia (jeśli nie jest w zadaniu napisane inaczej) zakładamy, że jest on tożsamy ze wzrostem poziomu cen wszystkich towarów i usług i że ten wzrost jest taki sam dla każdego dobra. Stopa inflacji w danym okresie, oznaczana przez i , wyraża wzrost poziomu cen towarów i usług (czyli spadek siły nabywczej kapitału) w danym okresie oznaczanym przez OI.

(8)

Inflacja - uwaga do definicji

Od razu zaznaczę, że wzrost cen kumuluje się z wzrostami cen z poprzednich okresów, więc modelem opisującym zmiany inflacyjne jest model oprocentowania złożonego przy stopach zmiennych w czasie. W praktyce oznacza to, że zmieniając okres inflacji, musimy przeliczyć stopę inflacji wzorami na stopy efektywne/równoważne i zawsze dla stóp inflacyjnych OS = OI - czyli nie ma czegoś takiego jak inflacja niezgodna.

(9)

Nominalna wartość kapitału

Wprowadzimy teraz nieco mylące pojęcie:

Nominalna wartość kapitału

Nominalna wartość kapitału to wartość obserwowana w

rzeczywistości np. jako zapis na lokacie - bez uwzględniania inflacji, czy siły nabywczej tego kapitału. Czasami również stopy wyrażające zmiany nominalnej wartości kapitału nazywamy nominalnymi, jednak nie nalezy mylić dwóch pojęć słowa: nominalny -

nieuwzględniający inflacji oraz nominalny - nieuwzględniający kapitalizacji, więc będę się starał jak najmniej używać tego słowa w tym pierwszym kontekście.

Proces uwzględniania inflacji w wartościach nominalnych nazywamy indeksacją lub waloryzacją.

(10)

Nominalna wartość kapitału

Wprowadzimy teraz nieco mylące pojęcie:

Nominalna wartość kapitału

Nominalna wartość kapitału to wartość obserwowana w

rzeczywistości np. jako zapis na lokacie - bez uwzględniania inflacji, czy siły nabywczej tego kapitału. Czasami również stopy wyrażające zmiany nominalnej wartości kapitału nazywamy nominalnymi, jednak nie nalezy mylić dwóch pojęć słowa: nominalny -

nieuwzględniający inflacji oraz nominalny - nieuwzględniający kapitalizacji, więc będę się starał jak najmniej używać tego słowa w tym pierwszym kontekście.

(11)

Realna wartość kapitału

W kontraście do poprzedniej definicji:

Realna wartość kapitału

Realna wartość kapitału (K_re) to wartość nabywcza kapitału, domyślnie w porównaniu z jego wartością nabywczą w momencie startowym inwestycji - uwzględnia ona inflację. Innymi słowy, jest to wartość nominalna kapitału zaktualizowana na ustalony moment czasu o czynnik inflacji. Stopy wyrażające zmiany realnej wartości kapitału nazywamy realnymi stopami zwrotu (r_re).

Oczywiście, skoro stopy realne obliczamy w kontekście stóp zwrotu, przeliczamy je na inne okresy za pomocą wzorów na stopy efektywne, a nie względne i zawsze traktujemy taką stopę jako zgodną.

(12)

Realna wartość kapitału

W kontraście do poprzedniej definicji:

Realna wartość kapitału

Realna wartość kapitału (K_re) to wartość nabywcza kapitału, domyślnie w porównaniu z jego wartością nabywczą w momencie startowym inwestycji - uwzględnia ona inflację. Innymi słowy, jest to wartość nominalna kapitału zaktualizowana na ustalony moment czasu o czynnik inflacji. Stopy wyrażające zmiany realnej wartości kapitału nazywamy realnymi stopami zwrotu (r_re).

Oczywiście, skoro stopy realne obliczamy w kontekście stóp zwrotu,

(13)

Realna wartość kapitału

Definicję wartości realnej kapitału K_re w danym momencie t można zapisać w postaci wzoru:

Kre,t = Kt

1 + i_C,

gdzie K_t wyraża wartość nominalną danego kapitału w tym momencie, a i_C jest całkowitą stopą inflacji w okresie od 0 do t.

(14)

Podstawowe zagadnienie

Podstawowym problemem w tym momencie jest wskazanie związku między „nominalną” i realną stopą zwrotu z kapitału, przy danej inflacji.

Częstym błędem jest stwierdzenie, że stopa realna jest po prostu różnicą stopy zwrotu i stopy inflacji, czyli np. stopa „nominalna” zwrotu 5% rocznie i inflacja 2% rocznie oznacza realną stopę zwrotu 3% rocznie. Jak za chwilę zobaczymy, dla małej inflacji jest to bliskie prawdy, ale generalnie wzór r = r_re + i nie jest prawdziwy.

(15)

Podstawowe zagadnienie

Częstym błędem jest stwierdzenie, że stopa realna jest po prostu różnicą stopy zwrotu i stopy inflacji, czyli np. stopa „nominalna”

zwrotu 5% rocznie i inflacja 2% rocznie oznacza realną stopę zwrotu 3% rocznie.

Jak za chwilę zobaczymy, dla małej inflacji jest to bliskie prawdy, ale generalnie wzór r = r_re + i nie jest prawdziwy.

(16)

Podstawowe zagadnienie

Częstym błędem jest stwierdzenie, że stopa realna jest po prostu różnicą stopy zwrotu i stopy inflacji, czyli np. stopa „nominalna”

zwrotu 5% rocznie i inflacja 2% rocznie oznacza realną stopę zwrotu 3% rocznie. Jak za chwilę zobaczymy, dla małej inflacji jest to bliskie prawdy, ale generalnie wzór r = r_re + i nie jest prawdziwy.

(17)

Podstawowe zagadnienie

Załóżmy, że w pewnym interesującym nas okresie lokata dała stopę zwrotu r , inflacja w tym czasie wyniosła i . Na lokatę w momencie 0 wpłacono kwotę K₀, po danym okresie na lokacie znalazła się kwota K . Jak obliczyć realną stopę zwrotu r_re w tym samym okresie?

Wystarczy zauważyć, że K = K₀(1 + r ) , K_re = K₀(1 + r_re) i K_re = _1+i^K , by otrzymać:

K₀(1 + r_re) = K₀(1 + r )

1 + i ⇒ (1 + r_re)(1 + i ) = (1 + r ). Jeszcze raz podkreślę, że w tym wzorze r jest stopą zwrotu, więc wkalkulowany w nią jest okres kapitalizacji.

(18)

Podstawowe zagadnienie

Wystarczy zauważyć, że K = K₀(1 + r )

, K_re = K₀(1 + r_re) i K_re = _1+i^K , by otrzymać:

K₀(1 + r_re) = K₀(1 + r )

(19)

Podstawowe zagadnienie

Wystarczy zauważyć, że K = K₀(1 + r ) , K_re = K₀(1 + r_re)

i K_re = _1+i^K , by otrzymać:

K₀(1 + r_re) = K₀(1 + r )

(20)

Podstawowe zagadnienie

K₀(1 + r_re) = K₀(1 + r )

(21)

Podstawowe zagadnienie

K₀(1 + r_re) = K₀(1 + r ) 1 + i ⇒

(1 + r_re)(1 + i ) = (1 + r ).

Jeszcze raz podkreślę, że w tym wzorze r jest stopą zwrotu, więc wkalkulowany w nią jest okres kapitalizacji.

(22)

Podstawowe zagadnienie

K₀(1 + r_re) = K₀(1 + r )

1 + i ⇒ (1 + r_re)(1 + i ) = (1 + r ).

(23)

Wzór Fishera

Wzór wyznaczony na poprzednim slajdzie tj.:

(1 + r_re)(1 + i ) = (1 + r ) nazywamy wzorem Fishera.

Jeśli potrzebujemy wyznaczyć stopę realną, przekształcając wzór Fishera otrzymujemy:

Stopa realna

r_re = 1 + r

1 + i − 1 = r − i 1 + i.

(24)

Wzór Fishera

Wzór wyznaczony na poprzednim slajdzie tj.:

(1 + r_re)(1 + i ) = (1 + r ) nazywamy wzorem Fishera.

Jeśli potrzebujemy wyznaczyć stopę realną, przekształcając wzór Fishera otrzymujemy:

Stopa realna

(25)

Stopa realna

r_re = r − i 1 + i.

Jak widać, gdy i jest bliska 0, 1 + i jest bliskie 1 i dlatego w

przybliżeniu faktycznie może się wydawać, że r_re = r − i , niemniej w rzeczywistości tak nie jest.

(26)

Stopa realna

r_re = r − i 1 + i.

Jak widać, gdy i jest bliska 0, 1 + i jest bliskie 1 i dlatego w

przybliżeniu faktycznie może się wydawać, że r_re = r − i , niemniej w rzeczywistości tak nie jest.

(27)

Waloryzacja

W innych zagadnieniach stopa inflacji zachowuje się mniej więcej tak, jak inne stopy procentowe.

Na przykład od czasu do czasu można usłyszeć o waloryzacji pensji czy emerytur o jakiś czynnik związany z inflacją. Jeśli przez w oznaczymy poziom waloryzacji (np. jeśli

waloryzujemy o 75% stopy inflacji to w = 0, 75, przez K₀ początkowy poziom pensji/emerytury/renty, a przez i inflację w danym okresie, to po zadanym czasie pensja będzie wynosiła:

K = K₀(1 + wi ).

(28)

Waloryzacja

W innych zagadnieniach stopa inflacji zachowuje się mniej więcej tak, jak inne stopy procentowe. Na przykład od czasu do czasu można usłyszeć o waloryzacji pensji czy emerytur o jakiś czynnik związany z inflacją.

Jeśli przez w oznaczymy poziom waloryzacji (np. jeśli

K = K₀(1 + wi ).

(29)

Waloryzacja

W innych zagadnieniach stopa inflacji zachowuje się mniej więcej tak, jak inne stopy procentowe. Na przykład od czasu do czasu można usłyszeć o waloryzacji pensji czy emerytur o jakiś czynnik związany z inflacją. Jeśli przez w oznaczymy poziom waloryzacji (np. jeśli

K = K₀(1 + wi ).

(30)

Przeciętna inflacja

Oczywiście, stopa inflacji prawie nigdy nie jest stała lecz zmienia się z okresu na okres. Dlatego może być ważne obliczenie inflacji

całkowitej lub przeciętnej.

Przeciętna procentowa stopa inflacji

Przeciętną (średnią) procentową stopą inflacji w zadanym okresie (np. roczną) w czasie t nazywa się stopę i_prz o zadanym okresie, przy której kapitał początkowy traci w czasie t siłę nabywczą w tym samym stopniu, w jakim stracił go w czasie t z zadaną

zmienną inflacją.

W tej kwestii mamy takie same wzory (i tak samo wyprowadzane) jak dla przeciętnych i całkowitych stóp procentowych zwrotu w danym okresie.

(31)

Przeciętna inflacja

Oczywiście, stopa inflacji prawie nigdy nie jest stała lecz zmienia się z okresu na okres. Dlatego może być ważne obliczenie inflacji

całkowitej lub przeciętnej.

Przeciętna procentowa stopa inflacji

Przeciętną (średnią) procentową stopą inflacji w zadanym okresie (np. roczną) w czasie t nazywa się stopę i_prz o zadanym okresie, przy której kapitał początkowy traci w czasie t siłę nabywczą w tym samym stopniu, w jakim stracił go w czasie t z zadaną

zmienną inflacją.

W tej kwestii mamy takie same wzory (i tak samo wyprowadzane) jak dla przeciętnych i całkowitych stóp procentowych zwrotu w danym okresie.

(32)

Wzory

Inflacja całkowita i przeciętna

Niech n₁, n₂, . . . , n_p - będą liczbą okresów bazowych w których obowiązywały stopy inflacji zgodne z tymi okresami i₁, i₂, . . . , i_p. Niech N = Σ^p_{i =1}n_i, przez i_c oznaczymy inflację całkowitą z okresem równym N okresów bazowych, a przez i_prz przeciętną inflację w pojedynczym okresie bazowym. Wtedy:

I . i_c = (1 + i₁)ⁿ¹(1 + i₂)ⁿ²· . . . · (1 + i_p)ⁿ^p − 1;

II . i_prz = ^q^N 1 + i_c− 1;

III . i_prz = ^q^N(1 + i₁)ⁿ¹(1 + i₂)ⁿ²· . . . · (1 + i_p)ⁿ^p − 1.

(33)

Wzory

Inflacja całkowita i przeciętna

I . i_c = (1 + i₁)ⁿ¹(1 + i₂)ⁿ²· . . . · (1 + i_p)ⁿ^p − 1;

II . i_prz = ^q^N 1 + i_c− 1;

(34)

Wzory

Inflacja całkowita i przeciętna

I . i_c = (1 + i₁)ⁿ¹(1 + i₂)ⁿ²· . . . · (1 + i_p)ⁿ^p − 1;

II . i = ^q^N1 + i − 1;

(35)

Wzory

Inflacja całkowita i przeciętna

I . i_c = (1 + i₁)ⁿ¹(1 + i₂)ⁿ²· . . . · (1 + i_p)ⁿ^p − 1;

II . i_prz = ^q^N1 + i_c− 1;

(36)

Przykładowe zadanie

Przykład

Klient wpłacił na lokatę z kapitalizacją kwartalną i stopą procentową roczną 14% kwotę 5000 PLN. Po dwóch latach, wartość realna tego kapitału wyniosła 5500 PLN. W ciągu pierwszych trzech półroczy trwania tej lokaty, półroczna inflacja wynosiła kolejno: 3%, 5% i 8% . Jaka była średnia roczna inflacja w czasie trwania lokaty, ile wynosiła półroczna stopa inflacji w ostatnim jej półroczu i ile wyniosła realna stopa zwrotu w pierwszym roku trwania lokaty?

(37)

Przykładowe zadanie

Przykład

(38)

Przykładowe zadanie

Przykład

(39)

Przykładowe zadanie

Zaczniemy od wyznaczenia wartości nominalnej kapitału po 2 latach (czyli 8 kwartałach):

K_2nom = 5000(1 + 0, 14

4 )⁸ = 6584, 0452. Wtedy łatwo możemy policzyć całkowitą dwuletnią inflację:

K_2re = K2nom

1 + i_c ⇒ i_c = 6584, 0452

5500 − 1 = 0, 1971.

(40)

Przykładowe zadanie

K_2nom = 5000(1 + 0, 14

4 )⁸ = 6584, 0452. Wtedy łatwo możemy policzyć całkowitą dwuletnią inflację:

K_2re = K2nom

1 + i_c ⇒ i_c = 6584, 0452

5500 − 1 = 0, 1971.

(41)

Przykładowe zadanie

K_2nom = 5000(1 + 0, 14

4 )⁸ = 6584, 0452.

Wtedy łatwo możemy policzyć całkowitą dwuletnią inflację: K_2re = K2nom

1 + i_c ⇒ i_c = 6584, 0452

5500 − 1 = 0, 1971.

(42)

Przykładowe zadanie

K_2nom = 5000(1 + 0, 14

4 )⁸ = 6584, 0452.

⇒ i_c = 6584, 0452

5500 − 1 = 0, 1971.

(43)

Przykładowe zadanie

K_2nom = 5000(1 + 0, 14

4 )⁸ = 6584, 0452.

Wtedy łatwo możemy policzyć całkowitą dwuletnią inflację:

K_2re = K2nom

1 + i_c ⇒ i_c = 6584, 0452

5500 − 1 = 0, 1971.

(44)

Przykładowe zadanie

Ze wzoru na inflację całkowitą:

ic = (1 + i1)(1 + i2)(1 + i3)(1 + i4) − 1 ⇒ i4 = 0, 0249.

Zatem inflacja półroczna w ostatnim półroczu jest równa 2, 49%.

(45)

Przykładowe zadanie

ic = (1 + i1)(1 + i2)(1 + i3)(1 + i4) − 1

⇒ i4 = 0, 0249.

Zatem inflacja półroczna w ostatnim półroczu jest równa 2, 49%.

(46)

Przykładowe zadanie

ic = (1 + i1)(1 + i2)(1 + i3)(1 + i4) − 1⇒ i4 = 0, 0249.

(47)

Przykładowe zadanie

Teraz przeciętną inflację roczną można obliczyć na dwa sposoby. Możemy obliczać najpierw przeciętną inflację półroczną:

i_prz,p =^q⁴(1 + i₁)(1 + i₂)(1 + i₃)(1 + i₄) − 1 ⇒ i_prz,p = 0, 0460.

A potem zmieniamy okres inflacji tak jak okres kapitalizacji: i_prz,rocz = (1 + i_prz,p)²− 1 = 0, 0941.

(48)

Przykładowe zadanie

Teraz przeciętną inflację roczną można obliczyć na dwa sposoby.

Możemy obliczać najpierw przeciętną inflację półroczną:

i_prz,p =

q4

(1 + i₁)(1 + i₂)(1 + i₃)(1 + i₄) − 1 ⇒ i_prz,p = 0, 0460. A potem zmieniamy okres inflacji tak jak okres kapitalizacji:

i_prz,rocz = (1 + i_prz,p)²− 1 = 0, 0941.

(49)

Przykładowe zadanie

A potem zmieniamy okres inflacji tak jak okres kapitalizacji: i_prz,rocz = (1 + i_prz,p)²− 1 = 0, 0941.

(50)

Przykładowe zadanie

(1 + i_prz,p)²− 1 = 0, 0941.

(51)

Przykładowe zadanie

A potem zmieniamy okres inflacji tak jak okres kapitalizacji:

i_prz,rocz = (1 + i_prz,p)²− 1 = 0, 0941.

(52)

Przykładowe zadanie

Alternatywnie, można od razu przeciętną roczną stopę inflacji obliczyć z całkowitej inflacji dwuletniej:

i_prz,rocz =^q1 + i_c− 1 ⇒ i_prz,rocz = 0, 0941.

Tak, czy inaczej, przeciętna inflacja roczna w ciągu tych 2 lat wyniosła 9, 41%.

(53)

Przykładowe zadanie

i_prz,rocz =

q

1 + i_c− 1 ⇒ i_prz,rocz = 0, 0941.

(54)

Przykładowe zadanie

(55)

Przykładowe zadanie

(56)

Przykładowe zadanie

Wreszcie, by obliczyć realną stopę zwrotu r_re w pierwszym roku potrzebujemy stopy zwrotu „nominalnej” r oraz inflacji i w pierwszym roku.

r = (1 + 0, 14

4 )⁴− 1 = 0, 1475, i = (1, 03)(1, 05) − 1 = 0, 0815.

(57)

Przykładowe zadanie

r =

(1 + 0, 14

4 )⁴− 1 = 0, 1475, i = (1, 03)(1, 05) − 1 = 0, 0815.

(58)

Przykładowe zadanie

i = (1, 03)(1, 05) − 1 = 0, 0815.

(59)

Przykładowe zadanie

r = (1 + 0, 14

4 )⁴− 1 = 0, 1475, i =

(1, 03)(1, 05) − 1 = 0, 0815.

(60)

Przykładowe zadanie

(61)

Przykładowe zadanie

Zatem:

r_re = r − i

1 + i = 0, 0610.

Zatem realna stopa zwrotu w pierwszym roku wyniosła 6, 10%.

(62)

Przykładowe zadanie

Zatem:

r_re =

r − i

1 + i = 0, 0610.

(63)

Przykładowe zadanie

Zatem:

r_re = r − i

1 + i = 0, 0610.

(64)

Przykładowe zadanie

Zatem:

r_re = r − i

1 + i = 0, 0610.