ODKSZTAŁCENIA PROMIENIOWE SZYBKOOBROTOWYCH PIERŚCIENI ŁOŻYSKOWYCH SPOWODOWANE SIŁAMI ODŚRODKOWYMI
Mateusz Muszyński
1a1Katedra Budowy Maszyn, Politechnika Śląska
amateusz.muszynski@polsl.pl
Streszczenie
W artykule zaproponowany został analityczny model pozwalający na wyznaczanie sprężystych odkształceń wirują- cych pierścieni szybkoobrotowych łożysk, spowodowanych siłami odśrodkowymi. Przedstawiony model uwzględnia ograniczające oddziaływanie kulek na odkształcenie pierścienia. W dotychczasowych modelach nie było to brane pod uwagę. Ponadto przedstawione zostały wyniki symulacji MES potwierdzające zasadność rozpatrywania wpływu sił kontaktowych na odkształcenie wirującego pierścienia.
Słowa kluczowe: odkształcenie pierścienia, siły kontaktowe, łożyska skośne, HSC, MES
RADIAL DEFORMATIONS IN HIGH-SPEED BEARING RINGS DUE TO CENTRIFUGAL FORCES
Summary
The paper presents analytical model that enables to determine elastic deformation of rotating rings of high speed bearings caused by centrifugal forces. Proposed model take into account the impact of contact loads on deformation of the ring which limits this deformation and which in existing models were not included. Paper also presents FEM simulation results which confirmed rightness of considering the imapct of contact forces on ring deformation.
Keywords: ring deformation, contact loads, angular bearings, HSC, FEM
1. WSTĘP
Szybkoobrotowe wrzeciona (tzw. elektrowrzeciona) obra- biarek High Speed Cutting łożyskowane są najczęściej z wykorzystaniem kulkowych łożysk skośnych z uwagi na możliwość przenoszenia przez nie dużych obciążeń pro- mieniowych i osiowych, małe opory ruchu i dużą dostęp- ność na rynku. Ze względu na postać konstrukcyjną elek- trowrzecion istotna jest, z punktu widzenia dokładności obróbki, możliwość oszacowania odkształceń cieplnych, jakim ulega wrzeciono. Głównymi źródłami ciepła są straty w łożyskach i w silniku elektrycznym [6]. Możliwe jest analityczne oszacowanie ilości traconej mocy w łoży- skach, a do tego celu niezbędne jest wyznaczenie sił oddzia- ływania między jego elementami (sił kontaktowych) [3].
pierścienia [2, 9] spowodowanego dużą prędkością obro- tową, czego następstwem są duże siły odśrodkowe.
Jak dotąd w nielicznych publikacjach uwzględniano wpływ odkształceń pierścienia wewnętrznego łożyska na siły i kąty kontaktowe [2, 11]. Mimo bardzo małych wiel- kości tego odkształcenia, rzędu kilku μm, wpływa ono w sposób znaczący na siły kontaktowe w łożysku skośnym [2, 9], co wynika z faktu, że wielkości odkształceń kontak- towych są również niewielkie. Natomiast od wielkości sił kontaktowych zależne są opory ruchu łożyska, a co za tym idzie, ilość wydzielanego ciepła. W [2] autorzy zapropono- wali sposób wyznaczania odkształcenia, który opisany jest
𝑢𝑢 =3+𝑣𝑣8𝐸𝐸 𝜌𝜌𝜔𝜔2𝑟𝑟 �(1 − 𝑣𝑣)(𝑏𝑏2+ 𝑐𝑐2) + (1 + 𝑣𝑣)𝑏𝑏2𝑟𝑟𝑐𝑐22−1−𝑣𝑣3+𝑣𝑣2𝑟𝑟2� +(𝑏𝑏𝑃𝑃𝑏𝑏2−𝑐𝑐2𝑟𝑟2)𝐸𝐸�1 − 𝑣𝑣 +𝑐𝑐𝑟𝑟22(𝑣𝑣 + 1)� (1)
Poza wpływem siły odśrodkowej uwzględniono również wpływ pasowania na wielkość tego odkształcenia poprzez ciśnienie P wywierane na wewnętrzną powierzchnię pier- ścienia. Jednak w wyniku odkształcenia wcisk powstały na skutek pasowania jest coraz mniejszy, stąd ciśnienie P powinno być również coraz mniejsze aż do momentu, w którym pasowanie nie wpływa na odkształcenie tego pierścienia, o czym autorzy nie wspominają.
Inny model wyznaczania odkształcenia wirującego pier- ścienia podano w [11], który został przedstawiony w [8], opisuje go wzór (2).
𝑢𝑢 =𝜌𝜌𝜔𝜔32𝐸𝐸2𝑑𝑑𝑚𝑚[𝐷𝐷𝑖𝑖2(3 + 𝑣𝑣) + 𝑑𝑑𝑚𝑚2(1 − 𝑣𝑣)] (2) Na rys. 1 przedstawiono przykładowy wpływ prędkości obrotowej na odkształcenie promieniowe pierścienia łoży- skowego B7013-E-T-P4S wyznaczone na podstawie wzo- rów (1) i (2). Dla wyznaczenia odkształcenia na podstawie wzoru (1) pominięto wpływ ciasnego pasowania. Na pod- stawie przeprowadzonych obliczeń widać, że odkształce- nie promieniowe danego pierścienia rośnie w sposób wy- kładniczy w stosunku do prędkości obrotowej i wynosi, w zależności od przyjętego modelu, od około 5 do 7 μm dla prędkości 18000 obr/min, natomiast różnica między wyznaczonymi odkształceniami wynosi dla każdej prędko- ści 40,51%.
Rys. 1. Wpływ prędkości obrotowej na sprężyste odkształcenie promieniowe pierścienia łożyska B7013
Zarówno pierwszy jak i drugi model pozwala na wyzna- czenie sprężystego odkształcenia promieniowego pierście- nia, które nie jest w żaden sposób ograniczone, jednak w rzeczywistych warunkach pracy łożyska pierścień we- wnętrzny współpracuje z kulkami, które oddziałują na niego poprzez siły kontaktowe Qi oraz siły powstałe na skutek działania momentu żyroskopowego (rys. 2). Od- działywanie sił kontaktowych na pierścień łożyskowy z pewnością ogranicza jego odkształcenia na kierunku pro- mieniowym, a ich wielkość może przyjmować duże warto- ści w zależności od wielu czynników, głównie prędkości obrotowej i napięcia wstępnego.
Rys. 2. Oddziaływanie kulek w łożysku na promieniowo odkształ- cający się pierścień
2. PROPONOWANY MODEL
Jak wcześniej wspomniano, na sprężyste promieniowe od- kształcenia wirującego pierścienia łożyskowego wpływają siły oddziaływania między kulką a bieżnią ograniczające te odkształcenia. Na rys. 3 przedstawiono wycinek pier- ścienia łożyskowego odpowiadający pojedynczej kulce i działające na ten wycinek siły (z pominięciem siły wyni- kającej z momentu żyroskopowego): siła odśrodkowa, siła kontaktowa Qi, siły normalne Fn i siła napięcia wstępnego Fa.
0 1 2 3 4 5 6 7 8
0 3000 6000 9000 12000 15000 18000
u [μm]
n [obr/min]
[2] [8]
Rys. 3. Wycinek wewnętrznego pierścienia łożyska z działającymi na niego siłami Na podstawie rys. 3 możliwe jest wypisanie warunku rów-
nowagi sił działających na wycinek opisany równaniem (3).
𝐹𝐹𝑐𝑐− 𝑄𝑄𝑖𝑖cos 𝛼𝛼𝑖𝑖− 2𝐹𝐹𝑛𝑛sin𝜋𝜋𝑧𝑧= 0 (3) Stąd możliwe jest wyznaczenie wielkości siły normalnej Fn:
𝐹𝐹𝑛𝑛=𝐹𝐹𝑐𝑐−𝑄𝑄2 sin𝑖𝑖cos 𝛼𝛼𝜋𝜋 𝑖𝑖 𝑧𝑧
(4)
Siłę odśrodkową można wyznaczyć na podstawie:
𝐹𝐹𝑐𝑐= 𝑚𝑚𝜔𝜔2𝑟𝑟 = �𝜌𝜌𝑟𝑟2𝜋𝜋𝑧𝑧𝐴𝐴� 𝜔𝜔2𝑟𝑟 = 𝜌𝜌2𝜋𝜋𝑧𝑧 𝐴𝐴𝜔𝜔2𝑟𝑟2 (5) Znajomość siły normalnej działającej w wirującym pier- ścieniu łożyskowym pozwala na wyznaczenie wielkości średniego naprężenia normalnego w przekroju:
𝜎𝜎 =𝐹𝐹𝐴𝐴𝑛𝑛 (6)
Wielkość odkształcenia promieniowego (zwiększenia pro- mienia pierścienia) można wyznaczyć, korzystając z prawa Hooke’a na podstawie zależności [10]:
𝜀𝜀𝜑𝜑=𝑢𝑢𝑟𝑟=𝜎𝜎𝐸𝐸 (7) która po przekształceniu i po wstawieniu zależności (5) do (4) i (4) do (6) wyraża się następująco:
𝑢𝑢 =𝜎𝜎𝑟𝑟𝐸𝐸 =𝜌𝜌2𝜋𝜋𝑧𝑧𝐴𝐴𝜔𝜔22 sin𝑟𝑟2−𝑄𝑄𝜋𝜋𝑖𝑖cos 𝛼𝛼𝑖𝑖
𝑧𝑧 ∙𝐴𝐴𝐸𝐸𝑟𝑟 (8)
Przy stałej sile napięcia wstępnego wyrażenie (8) sprowa- dza się do:
𝑢𝑢 =𝜎𝜎𝑟𝑟𝐸𝐸 =𝜌𝜌
2𝜋𝜋
𝑧𝑧𝐴𝐴𝜔𝜔2𝑟𝑟2−𝑧𝑧 tan 𝛼𝛼𝑖𝑖𝐹𝐹𝑎𝑎
2 sin𝜋𝜋𝑧𝑧 ∙𝐴𝐴𝐸𝐸𝑟𝑟 (9) Jak wynika ze wzoru (9), do wyznaczenia wielkości pro-
mieniowego odkształcenia niezbędna jest znajomość wiel- kości kąta działania siły kontaktowej αi ,którą można wy- znaczyć na drodze analitycznej przez wykonywanie itera- cji polegających na rozwiązaniu układu dwóch równań (przy założeniu stałej wartości siły napięcia wstępnego) – jednego wynikającego z warunku równowagi sił działają- cych na kulkę i drugiego opisującego zależności geome- tryczne (uwzględniającego położenie i jego zmiany środ- ków krzywizn bieżni i środka kulki), a następnie po wy- znaczeniu szukanych wartości kątów ponownym wyzna- czeniu odkształcenia promieniowego przy użyciu wzoru (9) i rozwiązaniu tego samego układu równań itd. Jednak sposób ten jest czasochłonny. Tego typu rozważania ana- lityczne można znaleźć m. in. w [1, 3, 4, 5].
Jeśli siła normalna w pierścieniu osiąga wartości ujemne,
kiedy wartość siły odśrodkowej będzie stosunkowo nie- wielka w porównaniu z wartością siły kontaktowej, która dla małych prędkości wynika głównie z wielkości napięcia wstępnego.
3. BADANIA SYMULACYJNE
Za pomocą metody elementów skończonych przeprowa- dzone zostały symulacje, które miały na celu określenie odkształceń promieniowych wirującego pierścienia łoży- skowego. Na potrzeby tych symulacji przygotowano geo- metryczny model wycinka łożyska B7013-E-T-P4S, który przedstawiono na rys. 4. W okolicy stref kontaktu za- równo na bieżni wewnętrznej, zewnętrznej, jak i kulki za- gęszczona została siatka elementów skończonych w celu dokładniejszych obliczeń (rys. 5). Aby odzwierciedlić rze- czywiste łożysko, zastosowano stosowne narzędzia syme-
przedstawionego w [7], natomiast, aby możliwe było sprę- żyste odkształcanie pierścienia, zastosowano funkcję Compression only jako warunek brzegowy dla pierścienia wewnętrznego.
Rys. 4. Model geometryczny wycinka łożyska B7013 w programie ANSYS
Rys. 5. Model geometryczny wycinka łożyska B7013 po nałożeniu siatki elementów skończonych
Przeprowadzono symulacje wpływu prędkości obrotowej na przemieszczenia na kierunku prostopadłym do osi ob- rotu (odkształcenia promieniowe) przy założeniu stałej wartości napięcia wstępnego o wartości Fa=500N, które dla danego łożyska jest stosunkowo niewielką wartością.
Producent podaje [12], że badane łożysko może pracować przy napięciu wstępnym o wartości 2350N. Symulacje przeprowadzono w programie ANSYS 13.0.
Na rys. 6 pokazano przykładowe wyniki symulacji prze- mieszczeń dla prędkości obrotowej n=12000 obr/min.
Rys. 6. Przykładowe wyniki symulacji dla prędkości obrotowej n=12000 obr/min
W tym miejscu należy zaznaczyć, że odkształcenie wiru- jącego pierścienia jest nierównomierne, co widać na przed- stawionym rysunku, tzn. odkształcenie promieniowe po stronie działania siły kontaktowej jest mniejsze niż po stronie przeciwnej, co wynika z tego, że siła kontaktowa działa na bieżnię pod kątem (łożysko skośne). Miejsca od- czytywania wielkości odkształcenia również zostały za- znaczone na rys. 5. W tabeli 1 zestawiono wyniki symu- lacji odkształcenia promieniowego pierścienia – maksy- malnego i w pobliżu strefy kontaktu kulki z bieżnią.
Na rys. 7 przedstawiono wyniki symulacji MES i modelo- wania analitycznego przy wykorzystaniu zależności (1) oraz zależności (8) przy założeniu, że na pierścień nie działa siła kontaktowa (tj. Qi=0). Z rysunku wynika duża zgodność modeli analitycznych pozwalających na wyzna- czenie odkształcenia swobodnego (wyniki uzyskane na podstawie proponowanego modelu są większe o około 2,84%). Jak można było przypuszczać, uwzględnienie siły kontaktowej w rozważaniu sprężystego odkształcenia wi- rującego pierścienia jest istotne; rzeczywiste odkształcenie w okolicy strefy kontaktu kulki z bieżnią jest mniejsze niż wyznaczone na podstawie wzoru (1), co spowodowane jest oddziaływaniem kulki na odkształcający się pierścień. Dla 6000 obr/min uzyskane na podstawie symulacji MES przemieszczenie jest dwukrotnie mniejsze niż wyznaczone przy pomocy wzoru (1), a dla 18000 obr/min jest mniejsze o około 18%. Gdyby uwzględnić siłę kontaktową i skorzy- stać z zależności (9), z pewnością wyznaczone odkształce- nia byłyby bardziej zbliżone do rzeczywistości.
Tabela 1. Zestawienie wyników symulacji MES łożyska B7013- E-T-P-4S
𝑛𝑛 �𝑜𝑜𝑏𝑏𝑟𝑟
𝑚𝑚𝑚𝑚𝑛𝑛� 𝑢𝑢 [𝜇𝜇𝑚𝑚]
(maks.) 𝑢𝑢[𝜇𝜇𝑚𝑚]
(w strefie kontaktu)
500 0,0112 0,0004*
2000 0,077 0,0023
4000 0,31 0,023
6000 0,67 0,31
8000 1,16 0,76
10000 1,79 1,32
12000 2,54 1,96
14000 3,41 2,67
16000 4,38 3,44
18000 5,43 4,29
*- odkształcenie w zależności od miejsca jego odczytania waha się pomiędzy 1∙10^(-6) μm a -1,5∙10^(-6) co spo- wodowane jest obecnością i oddziaływaniem kulki na bież- nię.
Ponadto z rys. 7 można wywnioskować, że pierścień za- czyna się odkształcać przy prędkości około 4000 obr/min, co można wytłumaczyć na podstawie zależności (4), mia- nowicie dopóki warunek opisany równaniem (10) będzie spełniony, pierścień wewnętrzny nie będzie ulegał od- kształceniu promieniowemu.
Rys. 7. Wpływ prędkości obrotowej łożyska na wielkość spręży- stego odkształcenia wirującego pierścienia na kierunku promie- niowym
𝑄𝑄 cos 𝛼𝛼 > 𝐹𝐹 (10)
Należy tu podkreślić, że przyjęto napięcie wstępne o war- tości 500N, natomiast przypuszczalnie dla jego większych wartości odkształcenie promieniowe byłoby jeszcze mniej- sze, co wynika z następującej zależności opisującej drugi z warunków równowagi sił działających na wycinek pier- ścienia (11) (tj. ze zwiększeniem wartości napięcia wstęp- nego siła kontaktowa będzie większa, ale również kąt jej działania):
𝐹𝐹𝑎𝑎
𝑧𝑧 = 𝑄𝑄𝑖𝑖sin 𝛼𝛼𝑖𝑖= 𝑐𝑐𝑜𝑜𝑛𝑛𝑐𝑐𝑐𝑐 (11) Również należy zaznaczyć, że wyznaczenie odkształcenia promieniowego w postaci konkretnej wartości jest pew- nym przybliżeniem, gdyż jak wspomniano, pierścień łoży- skowy odkształca się nierównomiernie. Niemniej jednak zastosowanie modelu opisanego wzorem (8) z pewnością pozwoli na uzyskanie odkształcenia bardziej zbliżonego do rzeczywistości, które będzie nieodzowne przy wyznacza- niu wielkości siły kontaktowej.
4. PODSUMOWANIE
Wirujący pierścień wewnętrzny ulega sprężystemu od- kształceniu promieniowemu na skutek działania siły od- środkowej, która osiąga znaczne wartości przy dużych prędkościach obrotowych łożyska. Odkształcenie to ma istotny wpływ na wielkości sił kontaktowych, tj. we- wnętrznych sił reakcji, które w bezpośredni sposób wpły- wają na opory ruchu łożyska. Możliwe jest wyznaczenie sił kontaktowych na drodze analitycznej, jednak wtedy niezbędna jest znajomość wielkości odkształcenia pierście- nia. Jak dotąd w nielicznych publikacjach przedstawiono zagadnienie i zaproponowano sposoby wyznaczenia od- kształcenia, jednak oba te sposoby dotyczą odkształcenia swobodnego W niniejszej publikacji zaproponowano inny model analityczny, uwzględniający oddziaływanie kulek na wirujący pierścień. Należy jednak stwierdzić, że wy- znaczenie pojedynczej wartości odkształcenia pierścienia nie jest możliwe ze względu na nierównomierność jego od- kształcania spowodowaną skośnym kierunkiem działania siły kontaktowej, jednak ze względu na cele modelowania analitycznego prawdopodobnie wystarczające będzie osza- cowanie tego odkształcenia przez proponowany model.
5. WYKAZ OZNACZEŃ
A – pole przekroju poprzecznego wirującego pierścienia, E – moduł Younga
P – ciśnienie wywierane na powierzchnię wewnętrzną wi- rującego pierścienia będące skutkiem ciasnego pasowania, b – promień wewnętrzny wirującego pierścienia,
c – promień zewnętrzny wirującego pierścienia,
r – promień wirującego pierścienia (promień środka cięż- 0
1 2 3 4 5 6
0 3000 6000 9000 12000 15000 18000
u [μm]
n [obr/min]
[2]
wyniki symulacji MES
(8) - proponowany model (odkształcenie swobodne)
u – sprężyste odkształcenie promieniowe pierścienia łoży- skowego,
v – współczynnik Poissona, z – liczba kulek w łożysku,
Di – średnica bieżni wewnętrznej łożyska, Fa – napięcie wstępne łożyska,
Fc – siła odśrodkowa, Fn – siła normalna,
Qi – siła kontaktowa działająca na wirujący pierścień, dm – średnica podziałowa łożyska,
ρ – gęstość materiału,
ω – prędkość kątowa wirującego pierścienia,
αi – kąt działania siły kontaktowej działającej na wirujący pierścień,
εφ – odkształcenie liniowe na kierunku promieniowym.
Literatura
1. Antoine J-F., Abba G., Molinari A.: A new proposal for explicit angle calculation in angular contact ball bearing.
„Journal of Mechanical Design” 2006, Vol.128, p. 468-478.
2. Cao H., Holkup T.,Chen X., He Z.: Study of characteristic variations of high-speed spindles induced by centrifugal expansion deformations. „Journal of Vibroengineering” 2012, Vol. 14, Iss. 3, p. 1278-1291.
3. Harris T. A., Kotzalas M. N.: Rolling bearing technology, fifth edition: advanced concepts of bearing technology.
Boca Raton: CRC Press, 2007. ISBN 978-0-8493-7182-0.
4. Jędrzejewski J., Kwaśny W.: Modelling of angular contact ball bearings and axial displacements for high-speed spindles. „CIRP Annals – Manufacturing Technology” 2010, Vol. 59, Iss. 1, p. 377-382.
5. Kosmol J.: Determination of motion resistances in high-speed spindle angular bearings. Gliwice: Wyd. Pol. Śl., 2016. ISBN 978-83-7880-413-0.
6. Kosmol J., Lehrich K.: Model cieplny elektrowrzeciona. „Modelowanie Inżynierskie” 2010, t. 8, nr 39, s. 119-126.
7. Kosmol J., Lis P.: Modelowanie zjawisk kontaktowych w łożysku skośnym metodą elementów skończonych.
„Modelowanie Inżynierskie” 2015, t. 25, nr 56, s. 65-70.
8. Li H., Shin Y. C.: Integrated dynamic thermo-mechanical modeling of high-speed spindles, part 1: model develop- ment. „Journal of Manufacturing Science and Engineering” 2004, Vol. 126, Iss. 1, p. 159-168.
9. Muszyński M.: Wyznaczanie kątów i sił kontaktowych w łożysku skośnym przy uwzględnieniu odkształcenia pro- mieniowego wirującego pierścienia. „Stal, Metale & Nowe Technologie” 2018, nr 5-6, s. 131-135.
10. Walczak J.: Wytrzymałość materiałów oraz podstawy teorii sprężystości i plastyczności. T. I. Kraków: PWN, 1977.
11. Zivkovic A., Zeljkovic M., Tabakovic S., Milojevic Z.: Mathematical modeling and experimental testing of high- speed spindle behavior. „International Journal of Advanced Manufacturing Technology” 2014, Vol. 77, p.1071- 1086.
12. https://medias.schaeffler.com/medias/en!hp.ec.br.pr/B70...-E*B7013-E-T-P4S – dostęp 18.07.2018 r.
Artykuł dostępny na podstawie licencji Creative Commons Uznanie autorstwa 3.0 Polska.
http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/pl
