Zadania 12. 14. s¡ przeznaczone na konwersatorium.

(1)

ALGEBRA 1B, Lista 3

Zadania 12. 14. s¡ przeznaczone na konwersatorium.

Niech G i H b¦d¡ grupami i n ∈ N

>0

.

1. Niech f : G → H b¦dzie homomorzmem, G

1

6 G i H

1

6 H. Udowod- ni¢, »e f(G

1

) 6 H i f

⁻¹

(H

₁

) 6 G.

2. Udowodni¢, »e je±li n = |G| 6 3, to G ∼ = Z

n

. 3. Udowodni¢, »e funkcja

f : G → G, f (g) = g

²

jest homomorzmem wtedy i tylko wtedy, gdy G jest przemienna.

4. Niech g ∈ G. Przyjmijmy, »e min ∅ = ∞. Udowodni¢, »e:

rz¡d(g) = min{n ∈ N

>0

| g

ⁿ

= 1}.

5. Udowodni¢, »e je±li f : G → H jest monomorzmem, to dla ka»dego g ∈ G mamy

rz¡d(g) = rz¡d(f(g)).

6. Pokaza¢, »e nie istnieje monomorzm (Z

3

, +

₃

) → (R \ {0}, ·).

7. Udowodni¢, »e D

6

A

4

.

8. Znale¹¢ monomorzm (Z

n

, +

n

) → (C \ {0}, ·).

9. Znale¹¢ monomorzm f : S

n

→ GL

_n

(Q).

10. Udowodni¢, »e (Q, +) nie jest sko«czenie generowana.

11. Udowodni¢, »e je±li σ, τ ∈ S

n

s¡ rozª¡czne, to σ ◦ τ = τ ◦ σ, X

_σ◦τ

= X

_σ

∪ X

_τ

.

12. Wykaza¢, »e ka»da permutacja parzysta z S

n

(n > 3) jest zªo»eniem pewnej liczby cykli dªugo±ci 3 (niekoniecznie rozª¡cznych).

13. Udowodni¢, »e S

n

= h(12), (12 . . . n)i .

14. Niech E

ij

b¦dzie macierz¡, która na (i, j)-tym miejscu ma 1 a wsz¦dzie indziej 0. Udowodni¢, »e:

GL

_n

(R) = hI + rE

ij

, I + sE

_nn

| r ∈ R, s ∈ R \ {−1}, i 6= ji, SL

n

(R) = hI + rE

ij

Zadania 12. 14. s¡ przeznaczone na konwersatorium.

ALGEBRA 1B, Lista 3

Zadania 12.  14. s¡ przeznaczone na konwersatorium.

Niech G i H b¦d¡ grupami i n ∈ N

.

1. Niech f : G → H b¦dzie homomorzmem, G

6 G i H

6 H. Udowod- ni¢, »e f(G

) 6 H i f

(H

) 6 G.

2. Udowodni¢, »e je±li n = |G| 6 3, to G ∼ = Z

. 3. Udowodni¢, »e funkcja

f : G → G, f (g) = g

jest homomorzmem wtedy i tylko wtedy, gdy G jest przemienna.

4. Niech g ∈ G. Przyjmijmy, »e min ∅ = ∞. Udowodni¢, »e:

rz¡d(g) = min{n ∈ N

| g

= 1}.

5. Udowodni¢, »e je±li f : G → H jest monomorzmem, to dla ka»dego g ∈ G mamy

rz¡d(g) = rz¡d(f(g)).

6. Pokaza¢, »e nie istnieje monomorzm (Z

, +

) → (R \ {0}, ·).

7. Udowodni¢, »e D

 A

.

8. Znale¹¢ monomorzm (Z

, +

) → (C \ {0}, ·).

9. Znale¹¢ monomorzm f : S

→ GL

(Q).

10. Udowodni¢, »e (Q, +) nie jest sko«czenie generowana.

11. Udowodni¢, »e je±li σ, τ ∈ S

s¡ rozª¡czne, to σ ◦ τ = τ ◦ σ, X

= X

∪ X

.

12. Wykaza¢, »e ka»da permutacja parzysta z S

(n > 3) jest zªo»eniem pewnej liczby cykli dªugo±ci 3 (niekoniecznie rozª¡cznych).

13. Udowodni¢, »e S

= h(12), (12 . . . n)i .

14. Niech E

b¦dzie macierz¡, która na (i, j)-tym miejscu ma 1 a wsz¦dzie indziej 0. Udowodni¢, »e:

GL

(R) = hI + rE

, I + sE

| r ∈ R, s ∈ R \ {−1}, i 6= ji, SL

(R) = hI + rE

| r ∈ R, i 6= ji.

1

Zadania 12. 14. s¡ przeznaczone na konwersatorium.

1. Niech f : G → H b¦dzie homomorzmem, G

jest homomorzmem wtedy i tylko wtedy, gdy G jest przemienna.

5. Udowodni¢, »e je±li f : G → H jest monomorzmem, to dla ka»dego g ∈ G mamy

6. Pokaza¢, »e nie istnieje monomorzm (Z

A

8. Znale¹¢ monomorzm (Z

9. Znale¹¢ monomorzm f : S