Rachunek prawdopodobieństwa
1. Z urny, w której znajdują się trzy kule: białą, czarna i niebieska, wybieramy na chybił trafił jedną kulę. Zapisz zbiór zdarzeń elementarnych Ω tego doświadczenia i określ ich prawdopodobieństwa.
2. Losujemy jeden żeton z pudełka zawierającego wymieszanych: 20 żetonów białych, 60 czarnych i 40 niebieskich. Jaki jest zbiór zdarzeń elementarnych tego doświadczenia i ich prawdopodobieństwa?
3. Rzucamy dwukrotnie symetryczną monetą. Wypisz zbiór zdarzeń elementarnych tego doświadczenia. Oblicz prawdopodobieństwa zdarzeń elementarnych i następujących zdarzeń losowych: A – nie wypadnie żadna reszka, B – wypadnie dokładnie jedna reszka, C – wy- padną dwie reszki. Oblicz prawdopodobieństwo sumy i iloczynu zdarzeń A i B.
4. Wybieramy na chybił trafił kartę z talli 52 kart (cztery figury: walet, dama, król as w 4 kolorach: pik, kier, karo trefl oraz 9 blotek: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 również w tych 4 kolorach). Znajdź prawdopodobieństwo takiego zdarzenia, że wyciągniemy:
a) asa koloru kier, b) dziesiątę,
c) kartę koloru pik lub trefl, d) blotkę, która nie jest pikiem.
5. Rzucamy dwoma symetrycznymi kośćmi do gry: białą i czarną. Wypisz wszystkie zda- rzenia elementarne w postaci par (m, n), gdzie m – liczba oczek na kości białej, n – liczba oczek na kości czarnej. Oblicz prawdopodobieństwa zdarzeń:
a) A – liczba oczek na białej kości jest parzysta, b) B – liczba oczek na każdej kości jest parzysta,
c) C – suma oczek na obu kościach jest równa 6,
d) D – liczba oczek na białej kości jest większa od liczby oczek na czarnej kości.
6. Załóżmy, że GUS przeprowadził badania statystyczne oparte na dużej liczbie obserwacji, otrzymując, że dla rodzin z czwórką dzieci prawdopodobieństwo posiadania dokładnie 0, 1, 2, 3, 4 synów wynosi odpowiednio: 0,1, 0,2, 0,35, 0,2 i 0,15. Oblicz prawdopodobieństwa zdarzeń:
a) A – w wylosowanej rodzinie jest nie więcej niż dwóch synów, b) B – w wylosowanej rodzinie jest co najmniej dwóch synów,
c) C – w wylosowanje rodzinie jest nie więcej niż lub co najmniej dwóch synów.
7. W skład zarządu pewnej firmy wchodzi 17 osób, w tym 6 kobiet. Wśród kobiet dwie są w wieku 40+, pozostałe w wieku 30 − 40. Wśród mężczyzn tylko jeden jest w wieku 40+.
Wybieramy losowo jedną osobę z zarządu tej firmy. Jakie jest prawdopodobieństwo, że:
a) Będzie to mężczyzna;
b) Będzie to kobieta w wieku 40+;
c) Będzie to osoba w wieku 30 − 40 lat;
d) Będzie to mężczyzna w wieku 30 − 40 lat.
O d p o w i e d ź. a) 11/17; b) 2/17; c) 14/17; d) 10/17.
8. Wśród grupy studentów, liczącej 36 osób, 22 osoby uczą się języka angielskiego, a 19−
hiszpańskiego. Zakładamy, że tylko 3 studentów nie uczy się żadnego z tych języków obcych.
Jakie jest prawdopodobieństwo, że wybierając losowo jednego studenta z tej grupy, trafimy na osobę, która :
a) Uczy się języka hiszpańskiego;
b) Uczy się obydwu tych języków obcych;
c) Nie uczy się żadnego z tych języków;
d) Uczy się przynajmniej jednego z nich;
e) Uczy się tylko języka hiszpańskiego.
O d p o w i e d ź. a) 19/36; b) 8/36; c) 3/36; d) 33/36; e) 11/36.
Przypomnijmy następujące własności prawdopodobieństwa:
P(A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B), P(A \ B) = P (A) − P (A ∩ B),
P(A) = 1 − P (A).
9. Przy danych prawdopodobieństwach obliczyć pozostałe prawdopodobieństwa zdarzeń:
Dane prawdopodobieństwa: Prawdopodobieństwa do wyznaczenia:
a) P (A) = 12, P (B) = 23, P (A ∪ B) = 45 P(A ∩ B), P (A \ B), P (B ∩ A) b) P (A) = 23, P (B) = 25, P (A ∩ B) = 14 P(A ∪ B), P (B \ A), P (A ∩ B) c) P (A) = 12, P (A ∪ B) = 23, P (A ∩ B) = 13 P(B), P (A ∩ B), P (A ∩ B) d) P (B) = 34, P (A ∩ B) = 15, P (A ∪ B) = 13 P(A), P (A \ B), P (B \ (A ∩ B))
Prawdopodobieństwo warunkowe Przypomnijmy, że warunkowe prawdopodobieństwo zdarzenia A, gdy zaszło zdarzenie B o dodatnim prawdopodobieństwie, jest określone wzo- rem
P(A|B) = P(A ∩ B) P(B) .
10. Prawdopodobieństwo zachorowania wiosną na grypę dla mieszkańca Polski wynosi 0,3, a prawdopodobieństwo zachorowania na zapalenie płuc w następstwie zachorowania na grypę wynosi 0,6. Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wybrany mieszkaniec Polski zachoruje na grypę i na zapalenie płuc?
O d p o w i e d ź. 0,18.
11. Urzędnik bankowy wie, że 12% kredytobiorców traci pracę i przestaje spłacać kre- dyt w ciągu 5 lat. Wie też, że 20% kredytobiorców traci pracę w ciągu 5 lat. Jakie jest prawdopodobieństwo, że kredytobiorca przestanie spłacać kredyt, jeżeli straci pracę?
O d p o w i e d ź. 0,6.
12. Student zdający egzamin na MBA musi napisać dwa testy - z matematyki (test A) oraz z nauki o zarządzaniu (test B). Prawdopodobieństwo zdania testu A jest równe 0, 75, zaś prawdopodobieństwo zdobycia minimum punktów z obu testów wynosi 0, 5. Jakie stu- dent ma szanse na zdanie testu z zarządzania, jeśli wiadomo, że pomyślnie przeszedł test z matematyki?
O d p o w i e d ź. 2/3 = 0, 66(6).
13. 21%członków zarządu pewnej firmy otrzymuje najwyższe płace w firmie. 40% wszyst- kich członków zarządu to kobiety. Kobiety, pobierające najwyższe płace w firmie, stanowią 6, 4% wszystkich członków zarządu. Czy w tej firmie występuje dyskryminacja płci pod względem płacy?
O d p o w i e d ź. Odsetek najlepiej zarabiających kobiet wynosi 16% natomiast odsetek najlepiej zarabiających mężczyzn to 24, 33%. Zachodzi zatem dyskryminacja.
14. Przedsiębiorstwo usług transportowych obiecuje dostarczenie dowolnej przesyłki na- stępnego dnia rano, pod warunkiem, że zostanie ona nadana do godz. 17.00 poprzedniego dnia. Czasami jednak zdarzają się opóźnienia. Wiadomo, że jeżeli opóźni się wieczorny rejs do dużego miasta, z którego przesyłki są rozsyłane dalej, to istnieje prawdopodobieństwo 25%, że przesyłka nie zostanie w porę dostarczona. Wiadomo też, że 10% rejsów do dużego miasta ma opóźnienie. Jaki procent przesyłek dociera do klientów z opóźnieniem?
O d p o w i e d ź. 2, 5%.
15. Ankieter, przeprowadzający badanie w domach respondentów, uważa, że respondent odpowie na wszystkie pytania z prawdopodobieństwem 0, 94, jeśli będzie obecny w domu. Z kolei prawdopodobieństwo zastania w domu osoby, z którą chce przeprowadzić wywiad, jest równe 0, 65. Jaki procent zaplanowanych wywiadów dojdzie do skutku?
O d p o w i e d ź. 61%.
16. Wytwórca pewnego gatunku perfum wie, że istnieje prawdopodobieństwo 0, 05, że kon- sument zaakceptuje nowy produkt i tylko 0, 02, że zaakceptuje nowy produkt i będzie mu wierny przez co najmniej 6 miesięcy. Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wybrany klient, który właśnie zaczął nabywać nowy produkt, wytrwa przy nim przez najbliższych 6 miesięcy?
O d p o w i e d ź. 0, 4.
17. Na trzydniowy wyjazd integracyjny wyjechało 87 pracowników pewnej firmy; w tym 19 kobiet. Spośród nich 10 musiało wrócić po jednym dniu. Wśród panów chętnych do wcze- śniejszego powrotu było tylko trzech. Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wybrana osoba :
a) Wróci po jednym dniu;
b) Wróci w planowanym terminie;
c) Będzie mężczyzną i wróci po jednym dniu;
d) Będzie kobietą i wróci wcześniej;
e) Wróci z wyjazdu wcześniej, jeżeli wiadomo, że jest kobietą;
f) Wróci z wyjazdu w planowanym terminie, jeżeli wiadomo, że jest to mężczyzna.
O d p o w i e d ź. a) 13/87; b) 1 − 13/87; c) 3/87; d) 10/87; e) 10/19; f) 65/68.
Niezależność zdarzeń Przypomnijmy, że zdarzenia A i B są niezależne, gdy zachodzi co najmniej jeden (a wówczas wszystkie) z warunków:
(i) P (A|B) = P (A), (ii) P (B|A) = P (B),
(iii) P (A ∩ B) = P (A) · P (B).
18. Po emisji kolejnego sezonu serialu Sherlock przeprowadzono badanie opinii widzów.
Rozkład opinii o serialu, sklasyfikowanych według miejsca zamieszkania w Londynie, był następujący:
Miejsce zamieszkania Tak Nie Razem
Centrum 0,48 0,22 0,70
Przedmieścia 0,12 0,18 0,30
Razem 0,60 0,40 1,00
Podaj prawdopodobieństwo tego, że wylosowany spośród ogółu badanych jest:
a) mieszkańcem przedmieść Londynu, b) osobą, której serial się podobał,
c) mieszkańcem centrum Londynu, któremu podobał się serial, d) mieszkańcem centrum Londynu.
Czy zdarzenia: A – mieszkanie na przedmieściach i B – program się podobał są niezależne?
19. Przyjmijmy, że zdarzenia A i B mają niezerowe prawdopodobieństwa. Odpowiedz na następujące pytania:
a) Jeżeli A i B są rozłączne (wykluczają się), to czy muszą być zdarzeniami niezależnymi?
Dlaczego?
b) Jeżeli A i B są niezależne, to czy muszą być zdarzeniami wykluczającymi się? Dlaczego?
20. Zdarzenia elementarne są reprezentowane przez małe kwadraty na Rysunku 1. Różne kolory oznaczają zdarzenia losowe A, B i C. Oblicz prawdopodobieństwa bezwarunkowe i warunkowe wszystkich tych zdarzeń losowych i stwierdź, które z nich są niezależne.
Rysunek 1.
21. Zdarzenia A i B są niezależne. Przy podanych prawdopodobieństwach obliczyć pozo- stałe podane prawdopodobieństwa.
Dane prawdopodobieństwa: Prawdopodobieństwa do wyznaczenia:
a) P (A) = 12, P (A ∩ B) = 13 P(B) b) P (B) = 14, P (A ∩ B) = 23 P(A) c) P (A) > 0, 2P (A) = 5P (A ∩ B) P (B)
22. Zdarzenia A i B sa niezależne i P (A) > 0 oraz 4P (A) = 7P (A ∩ B). Obliczyć P (B).
23. Prawdopodobieństwo spowodowania przez kierowcę wypadku w ciągu roku wynosi 0,1. Zakładając, że wystąpienie takich zdarzeń w kolejnych latach jest niezależne, oblicz prawdopodobieństwo tego, że w ciągu najbliższych 4 lat kierowca:
a) nie spowoduje wypadku,
b) spowoduje wypadek dokładnie w jednym roku, c) spowoduje wypadek co najmniej w dwóch latach
24. Wykładowca przygotował na egzamin 56 pytań. Student jest przygotowany bardzo dobrze do odpowiedzi na 20 pytań, na kolejnych 17 - w stopniu dostatecznym, by zdać, ale nie bardzo dobrze. Do odpowiedzi na pozostałe pytania student nie jest w ogóle przygotowany.
Na egzaminie student losuje jedno pytanie. Jakie jest prawdopodobieństwo, że:
a) Odpowie na to pytanie bardzo dobrze;
b) Nie zda egzaminu;
c) Zda egzamin, ale nie dostanie oceny bardzo dobrej.
O d p o w i e d ź. a) 20/56; b) 19/56; c) 17/56.
25. W sytuacji takiej samej, jak opisana powyżej, student losuje 3 pytania. Jakie jest prawdopodobieństwo, że:
a) Odpowie bardzo dobrze na dwa pytania, a na jedno nie będzie znał odpowiedzi;
b) Odpowie w stopniu dostatecznym na dokładnie dwa z zadanych pytań (tzn. na pozostałe nie odpowie);
c) Nie odpowie na żadne z wylosowanych pytań;
d) Odpowie na każde z pytań bardzo dobrze;
e) Odpowie w stopniu dostatecznym na co najmniej dwa pytania, co umożliwi mu zdanie egzaminu, niezależnie od odpowiedzi na trzecie pytanie;
f) Uzyska inną ocenę z odpowiedzi na każde z wylosowanych pytań.
O d p o w i e d ź. a) 20/56·19/55·19/54; b) 17/56·16/55·19/54; c) 19/56·18/55·17/54;
d) 20/56 · 19/55 · 18/54; e) 17/56 · 16/55; f) 1/20 · 1/17 · 1/19.
26. Rzucamy trzy razy monetą. Oblicz prawdopodobieństwo, że:
a) Na drugiej monecie wypadnie orzeł;
b) Tylko na drugiej monecie wypadnie orzeł;
c) Na każdej monecie wypadnie reszka lub na każdej - orzeł;
d) Na (dokładnie) dwóch monetach wypadnie orzeł.
O d p o w i e d ź. a) 1/2; b) 1/2 · 1/2 · 1/2 = 1/8; c) 1/4; d) 3/8.
27. Na pewnym odcinku drogi samochód przejeżdża przez trzy skrzyżowania z niezsynchro- nizowaną sygnalizacją świetlną. Prawdopodobieństwa, że nie zatrzyma się na poszczególnych skrzyżowaniach są równe odpowiednio 0, 6; 0, 5; 0, 65. Oblicz prawdopodobieństwo:
a) Przejechania bez zatrzymania przez wszystkie trzy skrzyżowania;
b) Przejechania bez zatrzymania tylko przez dwa pierwsze skrzyżowania;
c) Zatrzymania się na pierwszym i drugim skrzyżowaniu, i przejechania bez zatrzymywania przez ostatnie.
O d p o w i e d ź. a) 0, 6 · 0, 5 · 0, 65 = 0, 195; b) 0, 6 · 0, 5 · (1 − 0, 65) = 0, 105;
c) (1 − 0, 6) · (1 − 0, 5) · 0, 65 = 0, 13.
28. Okrągła tarcza składa się z trzech stref. Prawdopodobieństwo trafienia do pierwszej strefy jest równe 0, 2; do drugiej - 0, 3; do trzeciej - 0, 4. Oblicz prawdopodobieństwo:
a) Trafienia w tarczę;
b) Trafienia, ale nie do I strefy;
c) Nietrafienia do tarczy.
O d p o w i e d ź. a) 0, 2 + 0, 3 + 0, 4 = 0, 9; b) 0, 3 + 0, 4 = 0, 7; c) 1 − 0, 9 = 0, 1.
Schemat Bernoulliego
29. Prawdopodobieństwo przekazania sygnału przez przekaźnik jest równe 0, 9. Oblicz prawdopodobieństwo, że z kolejnych 10 sygnałów, 8 zostanie przekazanych przez ten prze- kaźnik.
O d p o w i e d ź. a) 108· (0, 9)8· (0, 1)2 = 0, 1937.
30. Prawdopodobieństwo trafienia do tarczy przez pewnego strzelca jest równe 0, 85 w każdym ze strzałów. Oblicz prawdopodobieństwo, że tarcza zostanie przez tego strzelca trafiona tylko 3 razy w ciągu 8 strzałów.
O d p o w i e d ź. 83· (0, 85)3· (1 − 0, 85)5 = 0, 0026.
31. Prawdopodobieństwo popełnienia błędu przez wykładowcę podczas jednego wykładu jest równe 1/7. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wykładowca ten:
a) Popełni trzy błędy w ciągu semestru? Uwaga - jeden semestr to 15 wykładów.
b) Nie popełni ani jednego błędu w czasie semestru;
c) Popełni co najmniej dwa błędy w czasie semestru.
O d p o w i e d ź. a) 153·173·6712= 0, 2086; b) 150·170·6715= 0, 099; c) 1 −150·170·6715+151·171·6714= 0, 6534.
32. Siła kiełkowania pewnej rośliny (czyli prawdopodobieństwo wykiełkowania rośliny z jednego nasionka) wynosi 0, 74. Oblicz prawdopodobieństwo, że spośród 16 zasianych nasion
a) Trzy wykiełkują;
b) Wszystkie wykiełkują;
c) Wykiełkuje co najmniej 13.
O d p o w i e d ź. a)163·(0, 74)3·(1−0, 74)13 = 0, 0000056; b)1616·(0, 74)16·(1−0, 74)0 = 0, 0081; c)1613· (0, 74)13· (0, 26)3+1614· (0, 74)14· (0, 26)2+1615· (0, 74)15· (0, 26)1+1616· (0, 74)16· (0, 26)0 = 0, 3697.
33. Prawdopodobieństwo, że student będzie umiał odpowiedzieć na wylosowane na egza- minie pytanie, jest równe 5/8. Wiadomo, że student losuje trzy pytania i zdaje egzamin, jeśli odpowie na co najmniej dwa z nich. Jakie jest prawdopodobieństwo zdania egzaminu przez tego studenta?
O d p o w i e d ź. 32 582381+33 583380 = 350504.
34. Robotnik obsługuje cztery jednakowe warsztaty funkcjonujące automatycznie i nieza- leżnie od siebie. Prawdopodobieństwo, że w ciągu godziny warsztat będzie wymagał inter- wencji robotnika jest równe 0, 8. Jakie jest Prawdopodobieństwo tego, że:
a) Żaden z warsztatów nie będzie wymagał interwencji robotnika;
b) Jeden (dokładnie) warsztat będzie wymagał interwencji;
c) Więcej, niż dwa warsztaty będą wymagały interwencji.
O d p o w i e d ź. a) 40(0, 8)0(0, 2)4 = 0, 0016; b) 41(0, 8)1(0, 2)3 = 0, 0256; c)43(0, 8)3(0, 2)1+44(0, 8)4(0, 2)0 = 0, 8192.
![[1]: 2 2 0 12 12 12 0 2 2 12 0 0 0 1 1](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==)