Zadania na ±rod¦, 14 grudnia 2016
1. Rakieta porusza si¦ swobodnie po orbicie koªowej o promieniu r = 7M w geometrii Schwarz- schilda.
(a) Znale¹¢ okres obiegu orbity mierzony przez zegar w rakiecie i przez zegar w ∞.
(b) Przez przedni¡ szyb¦ z rakiety jest wystrzelony foton o cz¦sto±ci ω. Jak¡ cz¦sto±¢ fotonu zmierzy statyczny obserwator w ∞.
2. Rakieta spada swobodnie, radialnie na czarn¡ dziur¦ Schwarzschilda.
(a) Jaki czas spadku z niesko«czono±ci do horyzontu R = 2M zmierzy zegar w rakiecie?
(b) Ile czasu trwa ten spadek dla obserwatora statycznego w niesko«czono±ci?
(c) Jaka jest pr¦dko±¢ rakiety wzgl¦dem obserwatora statycznego znajduj¡cego sie na pro- mieniu r?
3. Komentator znajduj¡cy si¦ w rakiecie z poprzedniego zadania stara si¦ opisa¢ swoje wra»enia ze spadku do czarnej dziury. Sygnaªy wysyªane przez komentatora tu» przed przekroczeniem horyzontu s¡ odbierane w niesko«czono±ci z ogromnym redshiftem, który zachowuje si¦ jak exp(−αt)(t jest czasem wªasnym statycznego obserwatora w niesko«czono±ci). Czy z pomiaru parametru α mo»na okre±li¢ mas¦ czarnej dziury?
4. Prosz¦ pokaza¢, »e po przekroczeniu horyzontu rakieta komentatora dotrze do r = 0 w czasie wªasnym τ < πM, niezale»nie od ci¡gu silników.
