Podzielne szeregowanie zadań dwuprocesorowych na maszynach dedykowanych w celu minimalizacji sumy czasów zakończenia

ZESZYTY N A U K O W E P O L IT E C H N IK I Ś LĄ SK IEJ Seria: A U T O M A T Y K A z. 134

2002 N r kol. 1554

Michał M A L A F IE JS K I, Łukasz K U SZN ER , M arek K U B A LE Politechnika G d ań sk a

PODZIELNE SZEREGOWANIE ZADAŃ DWUPROCESOROWYCH NA MASZYNACH DEDYKOWANYCH W CELU MINIMALIZACJI SUMY CZASÓW ZAKOŃCZENIA

S tr e s z c z e n ie . W p rac y rozw ażam y determ inistyczne szeregowanie zad ań d w u p ro ­ cesorowych n a m aszynach dedykow anych, k tó re m inim alizuje sum ę czasów zakoń­

czenia, p rzy czym dopuszcza się możliwość przerw ania w ykonyw ania z a d an ia i ponow nego w znow ienia obsługi z pom ijalnie m ałym kosztem . W standardow ej no ­ ta cji te n pro b lem zapisujem y jako P \ f i X j = 2 ,p m tn \H C j.

W iadom o, że ta k p ostaw ione zagadnienie je s t problem em silnie N P -tru d n y m . W p rac y b ad a m y złożoność obliczeniow ą problem u, ograniczając liczbę m aszyn.

P o d a je m y w ielom ianow y algorytm d la problem u P 4 \ f i X j = 2,pm fn|E C ,-.

PREEMPTIVE SCHEDULING OF BIPROCESSOR TASKS ON DEDICATED MACHINES TO MINIMIZE SUM OF COMPLETION TIMES

S u m m a r y . In th is p a p e r we consider a problem of preem ptive scheduling of b iprocessor ta sk s on d ed ica ted processors in order to m inim ize th e sum of com­

p letio n tim es. U sing th e sta n d a rd n o ta tio n th is problem is d enoted as P \ f i X j ₌ 2 ,p m tn \T ,C j.

T h is pro b lem is stro n g ly N P -h ard . We analyze th e subproblem s obtained by re­

ducing th e n u m b e r of processors. W e give an exact polynom ial algorithm for open p roblem P 4 \ f i x j = 2 ,p m tn \E C j.

1. Wstęp

Zajm iem y się k la są problem ów szeregow ania za d ań wieloprocesorowych (ang. m ul­

tiprocessor task scheduling). D anych je s t n zad ań J i , . . . J n € J oraz m m aszyn (pro­

cesorów) € M . K ażde zadanie w ykonywane je st n a pew nym ustalonym (dedykowanym) p odzbiorze m aszyn. W p rac y będziem y się zajm ow ać system am i z zad a­

niami w ykorzystującym i dokładnie dw a dedykow ane procesory (ang. biprocessor tasks).

314 M. M ałafiejski, Ł. K uszner, M. Kubale

K ażde z a d a n ie będzie charak tery zo w an e przez czas w ykonyw ania p j oraz zbiór procesorów d edykow anych f i x j . Z akładać będziem y, że w legalnych uszeregow aniach ża d n e dwa zada­

n ia w spółdzielące p rzy n a jm n ie j je d e n procesor nie będ ą w ykonyw ane równocześnie.

O szeregow aniu mówimy, że jest:

• podzielne (ang. preem ptive scheduling), jeśli obsługa każdego z z a d a ń może być p rz e rw a n a i k o ntynuow ana później z p om ijalnie m ałym i kosztam i,

• niepodzielne (ang. nonpreem ptive scheduling) w w y p ad k u , gdy za d ań nie wolno dzielić.

Je śli w y stę p u ją zależności kolejnościowe pom iędzy n iek tó ry m i za d an am i, to mówimy, że z a d a n ia s ą zależne (ang. dependent). O graniczenia m ogą być o pisane p rzez digraf acyk­

liczny ze zbiorem w ierzchołków { Jj} oraz zbiorem łuków p o sta c i J; —► J j. K ażdy taki łuk oznacza, że w legalnym uszeregow aniu zad an ie Ji m usi się zakończyć przed rozpoczęciem z a d a n ia J j. Jeśli d ig ra f acykliczny o kreślający dopuszczalną kolejność w ykonyw ania zadań m a ta k ą w łasność, że d la każdego z a d a n ia Z , z w yjątk iem jednego, k tó re m a zostać wyko­

n a n e n a p o c z ą tk u , określone je s t dokładnie je d n o zadanie będące poprzednikiem zadania Z , to mówimy, że t a rela cja m a p o sta ć out-tree.

C zas zakończenia d la z a d a n ia J j oznaczym y przez C j. K ry te riu m oceny jakości u- szeregow ania je s t m inim alizacja sum y w szystkich czasów zakończenia Y C j (ang. total com pletion tim e ).

W y k o rz y stu ją c n o ta cję o |/3 |7 z p rac y [5] zapiszem y P \ f i x j — 2, p m tn \E C j, co oznacza p roblem szeregow ania podzielnych za d ań dw uprocesorow ych n a dedykow anych maszynach z k ry te riu m m in im alizacji sum y czasów zakończenia. W p rz y p a d k u u sta lo n e j liczby pro­

cesorów rów nej m sym bol P z a stą p io n y będzie przez P m .

P rz y k ła d e m zastosow ań tego m odelu m oże być tra n sfe r plików w sieci komputerowej an g a żu jąc y dw ie m aszyny jednocześnie [6] lu b system wieloprocesorow y, w którym jed­

n o stk i te s tu ją się w zajem nie w ykonując p a ra m i te s ty diagnostyczne [7].

P r z y k ł a d 1. D la ilu stra cji weźmy p o d uw agę system złożony z czterech maszyn Mu M 2, M 3, Mą oraz trzech z a d a ń J \, J 2, J 3. Z ad a n ie J \ m a zo stać w ykonane n a maszynach M i i M 2, z a d an ie J 2 m a z o stać w ykonane n a m aszynach M 2 i M 3, za d an ie J 3 m a zostać

Podzielne szeregow anie za d ań 315

wykonane n a m aszy n ach M3 i M 4, co zapisujem y f i x \ = f i x 2= { M2, M 3}, f i x 3 = { M3,M ą } . C zasy w ykonyw ania w ynoszą odpow iednio: p i = 1, P2 = 2, p3 = 4.

Łatwo spraw dzić, że su m a czasów zakończenia d la optym alnego uszeregow ania wyniesie 1 + 4 + 6 = 11 d la z a d a ń niepodzielnych lu b 1 + 3 + 6 = 10, jeśli dopuścim y dzielenie zadań. □

Rys. 1.

Optymalne uszeregowanie: a) niepodzielne (SCy

11), b) podzielne (S C j

10)

W dalszej części p rac y zajm iem y się system am i z ograniczoną liczbą m aszyn (m < 4).

P rzeanalizujem y złożoność w ybranych problem ów szeregow ania oraz pod am y algorytm wielomianowy.

2. Analiza złożoności problemu

P ro b lem ogólny był rozw ażany w [2, 5, 8].

T w ie r d z e n ie 1 [8]. Problem P \ f i X j , p m tn \Y ,C j je s t silnie N P -trudny, gdy dopuścim y przerwania je d yn ie w całkowitych m om entach czasu. □

W y n ik te n m o żn a w zm ocnić, gdyż problem pozostaje silnie N P -tru d n y przy dowolnych przerw aniach za d ań . W system ach z co najw yżej trze m a procesoram i m ożna w danym momencie w ykonyw ać co najw yżej je d n o zadanie dwuprocesorow e. M am y więc problem równoważny zw ykłem u szeregow aniu zad ań n a jednym procesorze. M inim alizację P C j

316 M. M ałafiejski, L. K uszner, M. Kubale

za p ew n ia stosow anie znanej reguły (zob. [2]) „n a jk ró tsz e n ajp ierw ” (S P T - sh o rtest Pro­

cessing tim e ), czyli do rozw iązania problem u w ystarczy posortow ać zad an ia niemalejąco p o d w zględem czasów w ykonyw ania. M am y więc

T w i e r d z e n i e 2 , P r o b l e m P 3 \ f i X j = 2 |EC j m o ż e być r o z wi ą z a n y w c zasi e O ( n lo g n ) . □

Ł atw o zauw ażyć, że jeśli dopuścim y p odzielność za d ań , nie u d a n a m się popraw ić czasu uzyskanego w w yniku stosow ania reguły S P T , sk ąd d o sta je m y

W n i o s e k 1. P roblem P 3 \ f i X j = 2, p m tn \H C j m oże być rozw iązany w czasie 0 ( n logn).

□

Je d n a k w ogólniejszej sy tu a cji m < 4 dopuszczenie podzielności z a d a ń m oże zmniej­

szyć sum ę czasów zakończenia (p rzy k ład 1). R ozum ując identycznie ja k w [8], dostajem y

T w i e r d z e n i e 3 . P 4 \ f i X j = 2 |E C j j e s t si lni e N P - t r u d n y .

D o w ó d : W p ra c y [3] pokazano, że p roblem P 2 \fix j\P ,C j je s t silnie N P -tru d n y . Mając za te m in sta n c ję pro b lem u P 2 \fiX j\T :C j, kon stru u jem y in stan c ję p roblem u P 4 \ f i x j = 2 |E C j w n a s tę p u ją c y sposób: zad an io m dedykow anym d la M i p rzy p o rząd k u jem y zada­

n ia o ta k im sam y m czasie w ykonyw ania dedykow ane m aszynom M i i M 2, zadaniom dedykow anym d la M i i M2 przy p o rząd k u jem y z a d a n ia o ta k im sam y m czasie wykonywa­

n ia dedykow ane m aszynom M2 i M 2, za d an io m dedykow anym d la M2 przyporządkujem y z a d a n ia o ta k im sam ym czasie w ykonyw ania dedykow ane m aszynom M2 i M 4. Zauważmy, że dow olnem u uszeregow aniu z a d a ń skonstruow anej in stan c ji p roblem u P A \fiX j — 2 |E Cj w zajem n ie jed n o zn aczn ie o d p o w iad a uszeregow anie in stan c ji p roblem u P 2 \fix j\H C j o ta k iej sam ej sum ie czasów zakończenia, sk ą d w obec wielom ianow ości tran sfo rm ac ji prob­

lem ów d o sta je m y tezę. □

A n alizu jąc p o sta ć konfliktów pom iędzy zad an iam i dw uprocesorow ym i w pracy [4]

częściowo popraw iono w ynik p o d an y w [3] w ykazując

T w i e r d z e n i e 4 [4]. P 2 \ f i X j \ S C j je s t N P -tru d n y naw et wtedy, gdy ograniczym y in­

sta n c je problem u do takich, że w ystępuje tylko jedno zadanie do w ykonania n a maszynie M i, je d n o zadanie do w ykonania na m aszynach M i i M 2, a reszta zadań m a zo sta ć wyko­

na n a n a m a szy n ie M 2. □

Podzieine szeregow anie zad ań 317

S tąd , analogicznie ja k w tw ierdzeniu 3,otrzym ujem y

W n i o s e k 2. P 4 \fi X j = 2 |TiCj je s t N P -tru d n y naw et wtedy, gdy ograniczym y instancje problem u do takich, że w ystępuje tylko jed n o zadanie do w ykonania na m aszynach M\

i M 2) je d n o zadanie do w ykonania na m aszynach M2 i M3, a reszta zadań m a zostać w ykonana n a m aszynach M 3 i Mi- □

P ro b le m szeregow ania z ograniczeniam i kolejnościowymi d la czterech m aszyn i zad ań podzielnych był rozw ażany w [8], gdzie a u to r wykazał

T w i e r d z e n i e 5. [ 8 } .P 4 \fiX j = 2, p m tn , c h a in \E C j je s t silnie N P -trudny. □

W p ra c y [3], w y k o rzy stu jąc problem l |o u i - i r e e |E C ;- (zob. [2]), au to rz y skonstruow ali algorytm o złożoności O ( n lo g n ) d la problem u P 2 \ f i x j , pm tn \T ,C j. Zauważmy, że w dowodzie tw ie rd z en ia 3 w redukcji problem u P 2 \fiX j, p m tn \Y ,C j do problem u P 4 \ f i x j = 2, p m tn \T ,C j nie w y stąp iły z a d a n ia dedykow ane m aszynom M\ i M 3, M\ i M 4 oraz M 2 i M it a z a te m p roblem P 4 \ f i X j = 2, p m trĄ Z C j, jako ogólniejszy, pozostaw ał wciąż nierozstrzygnięty.

W dalszej części a rty k u łu uogólnim y wyniki z [3] w ykorzystując redukcję problem u P4\ f i x j = 2, p m tn \£ ,C j do problem u 1|out - tr e e \Z C j, d la którego znany je s t algorytm dokładny o złożoności O ( n lo g n ) [2, 3].

3. Algorytm dla problemu

= 2,

O znaczm y m aszyny przez M\, Mi, IW3, M 4 oraz podzielm y zbiór zadań J n a rozłączne klasy w zależności o d dedykow anych p a r procesorów . Niech J — AiUAzUAzUAiUAsUAs, przy czym z a d a n ia z klasy A\ m a ją zostać w ykonane n a m aszynach M\ i Mi, A2 n a M 3 i M4i Az n a M i i M 3, A 4 n a M 2 i M 4, A s n a Mi i Mi oraz A& n a M 2 i M 3. Powiemy, że klasa Ai je s t stow arzyszona z klasą Aj, o ile za d an ia z obu klas m ogą byc wykonyw ane równocześnie. Zauważm y, że są dokładnie trz y p a ry klas stow arzyszonych: A\ i A2, A 3 i Ai oraz A 5 i A 3.

W ł a s n o ś ć 1 . Jeśli w pew nym przedziale czasowym [a, 6] w ykonywane je s t zadanie z klasy Ai, to równolegle m oże być w ykonyw ane tylko zadanie z klasy Aj, stow arzyszonej z Ai. □

318 M. M ałafiejski, Ł. K uszner, M. Kubale

K ażde dw a z a d a n ia należące do tej sam ej klasy A , są ze so b ą w konflikcie. Jest więc sens m ów ić o kolejności w ykonyw ania za d ań w klasie A i w p ew nym legalnym har­

m onogram ie uszeregow ania za d ań . Niech w ięc Jahj) oznacza zadanie, k tó re w klasie Ą zakończy się ja k o j - te z kolei w ty m harm onogram ie.

W ł a s n o ś ć 2. W ka żd ym harm onogram ie optym alnym , je ś li dwa procesory s ą bezczynne w p ew n ym przedziale czasu, to oznacza, że w klasie zadań dedykow anej ty m procesorom n ie pozostało j u ż więcej zadań do w ykonania.

D o w ó d : P rz y p u śćm y przeciw nie, że d w a procesory są bezczynne w pew nym przedziale czasu oraz w o d p o w iad ającej im klasie p o zo stały z a d a n ia d o w ykonania. Założyliśmy, że je s t to h arm o n o g ram optym alny, jeśli w ięc p o zostałoby jeszcze jakieś zadanie, to likw idując przestó j i w ykonując je wcześniej o trzym alibyśm y now y h arm o n o g ram z sumą czasów m n ie jsz ą co n ajm n ie j o czas zlikw idow anego p rze sto ju , sprzeczność z opty- m a ln o śc ią h arm o n o g ram u . □

Załóżm y, że w p rzedziale czasu [a, 6] w ykonyw ane je s t bez przerw zad an ie J . Powiemy w tedy, że w p rzedziale czasu [a, 6] w ykonyw any je s t fra g m e n t z a d a n ia J , p rz y czym za długość fra g m e n tu będziem y przyjm ow ać w artość b —a. Jeżeli p o n a d to b ezpośrednio przed m om en tem a o raz po m om encie b nie je s t w ykonyw ane zadanie J , to ta k i frag m en t zadania J nazyw ać będziem y blokiem.

W ł a s n o ś ć 3. W obrębie te j sa m ej klasy zadań m o żem y za m ie n ić kolejność wykonywania fra g m e n tó w o je d n a ko w ej długości dowolnych dwóch zadań, nie tracąc legalności uszere­

gowania, a n i n ie ingerując w czasy w ykonyw ania pozostałych zadań. □

W ł a s n o ś ć 4. W ka żd ym uszeregow aniu optym a ln ym zadanie Jauj) za czyn a się po zakoń­

czeniu za d a n ia Jahj-i), dla j > 1.

D o w ó d : Z ałóżm y przeciw nie, że za d an ie Jahj) zaczy n a się przed zakończeniem zadania JA i{j-\)- Z w łasności 3 w ynika, że p o zam ianie kolejności w ykonyw ania odpow iednich frag­

m en tó w ob u z a d a ń otrzym alibyśm y h arm o n o g ram z m niejszą su m ą czasów zakończenia, czyli sprzeczność. □

W ł a s n o ś ć 5. W każdym harm onogram ie o p tym a ln ym zadania w każdej klasie m uszą być uszeregow ane w porządku niem alejących czasów wykonyw ania, zgodnie z regułą S P T .

Podzielne szeregowanie zadań . 319

Dowód: G dyby ta k nie było, to m oglibyśm y zam ienić zadanie krótsze wykonywane później z za d an iem dłuższym w ykonyw anym wcześniej, nie zm ieniając czasów wykony­

wania p ozostałych zadań. W oczyw isty sposób dostaniem y wówczas h arm onogram z mniejszą su m ą czasów zakończenia. □

U porządkujm y z a te m z a d a n ia w klasie A i w zględem niem ałejących czasów wykonywa­

nia. Przez JAi(j) oznaczym y zadanie z klasy A{ o j- ty m czasie wykonywania.

W łasn o ść 6. W ka żd ym uszeregow aniu optym alnym chwila rozpoczęcia wykonyw ania każdego bloku zadania je s t chwilą zakończenia wykonyw ania innego zadania lub początkiem harmonogramu.

D owód: Załóżm y przeciw nie, że istnieje ta k i optym alny harm onogram , k tó ry nie spełnia tezy. Spośród w szystkich ta k ich harm onogram ów rozw ażm y tak i harm onogram , w któ ry m liczba bloków za d ań , k tó re nie ro zp o c zy n ają się w chwili zakończenia w ykonyw ania pewnego innego z a d an ia, je s t n ajm n ie jsza z możliwych. Niech t p oznacza najw cześniejszy moment ro zpoczęcia bloku zad an ia, nie będący czasem zakończenia pew nego innego z a d a­

nia ani p o cz ątk iem harm onogram u. D la u sta le n ia uwagi przyjm ijm y, że w chwili t v rozpoczyna się blok za d a n ia Ja\(i) z klasy A \.

Możliwe są w yłącznie n astęp u jące przypadki:

1. B ezpośrednio przed chw ilą t p było wykonywane zadanie z klasy A \ lub A i.

K o rz y sta jąc z w łasności 2 i w iedząc, że w chwili t p pozostało jeszcze nie zakończone zadanie Jai{;), stw ierdzam y, że bezpośrednio przed czasem t p było wykonywane zadanie z klasy A \.

Z założenia tp je s t chw ilą rozpoczęcia w ykonyw ania bloku za d an ia zatem k o rzy sta ją c z w łasności 4 i założenia o optym alności harm onogram u wnioskujemy, że w chwili t p za d an ie Ja i(i-i) m usiało się zakończyć, sprzeczność.

2. B ezpośrednio p rzed chw ilą t p było wykonywane zadanie należące do jednej z klas As jAą, As lu b yłg.

Niech k ró tsz y z bloków za d ań wykonywanych bezpośrednio przed m om entem tp rozpoczyna się w chwili t p — a. D la u sta le n ia uwagi przyjm ijm y, że blok te n należy do klasy A%.

320 M. M ałafiejski, Ł. K uszner, M. Kubale

P o n a d to niech b o znacza czas, ja k i u p ły n ą ł od chwili tp d o pierw szego momentu zako ń czen ia jakiegokolw iek z a d a n ia lub do m om entu rozpoczęcia wykonywania ko­

lejnego b lo k u z a d a n ia z A3.

Z ałóżm y w pierw , że w chwili tp + b kończy się w ykonyw anie pew nego zadania.

P oniew aż w czasie od t p d o t p + b nie je s t w ykonyw ane żad n e zadanie z klasy A3, z a te m m ożem y zm odyfikować h arm o n o g ram zm niejszając o a czasy wykony­

w an ia w szystkich z a d a ń w ykonyw anych w czasie od tp d o t p + b oraz odpowiednio zw iększając o b czasy w ykonyw ania w szystkich z a d a ń w ykonyw anych w czasie od tp — a d o t p. P oniew aż su m a czasów zakończenia zm niejszy się o co najmniej a, o trz y m a m y sprzeczność z op ty m aln o ścią początkow ego uszeregow ania.

Jeśli n a to m ia st w chwili t p + b nie kończy się żad n e zadanie, w te d y m usi się zacząć fra g m en t z a d a n ia z A3. Z am ien iając kolejność w ykonyw ania z a d a ń w ta k i sposób jak p o p rzed n io , o trzy m am y uszeregow anie z m niejszą liczbą bloków nie zaczynających się w chwili zakończenia innego zad an ia, sprzeczność.

D ow ód w łasności 6 zo stał zakończony. O

W ł a s n o ś ć 7 . W każdym o p ty m a ln ym uszeregow aniu p rzerw anie w ykonania niezakończo- nego zadania Jm^ ) z klasy A; n a stępuje tylko w chwili zakończenia zadania z klasy Aj z n ią stow arzyszonej.

D o w ó d : Załóżmy, że w pew nym opty m aln y m harm o n o g ram ie zad an ie JAi{k) zostało prz­

erw ane. P rz erw a n ie m usiało być spow odow ane rozpoczęciem w ykonyw ania fragmentu pew nego z a d a n ia J będącego w konflikcie z J A i ( k ) , czyli pochodzącego z jednej z klas różnych o d A , i A j n a m ocy w łasności 1. Z w łasności 6 w ynika, że rozpoczęcie wykonywa­

n ia fra g m e n tu z a d a n ia J n a stę p u je b ezpośrednio po zakończeniu pew nego innego zadania, a z a te m m ogło to być tylko zad an ie z klasy

Aj.

W eźm y te ra z p o d uw agę in stan c ję I p roblem u P A \ f i i j — 2, p m tn \T ,C j z n zadaniami.

S k o n stru u jem y in stan c ję p roblem u l|o u f — ir e e |E C j w n a stę p u ją c y sposób. Każdej parze klas stow arzyszonych odpow iadać będzie łańcuch za d ań utw orzony zgodnie z rysunkiem 2.

W eźm y d la p rzy k ła d u klasy A i i A i. U p o rząd k u jm y z a d a n ia z klasy A \ według niem ałej ących czasów w ykonyw ania p i < p2 < . . . < p a, p o d o b n ie d la klasy A3 otrzymu­

je m y qi < q2 < . . . < qb- Z godnie ze schem atem przedstaw ionym n a ry su n k u 2 tworzymy

Podzielne szeregow anie z a d a ń . ³²¹

P*+2 Sr+2

P*+2 ^i+i

s ,

P* _%

>

P;

S2 S;

Rys. 2. Transformacja problemu szeregowania zadań podzielnych na niepodzielne . Fig. 2. Transformation of preemptive scheduling tasks into nonpreemptive

zadania S i, S 2, . . . , S 0+& o czasach w ykonyw ania S i , s2, ■ ■ ■, sa + &. W w ypadku gdy E-Ljpi = Sj=19i, tw orzym y zad an ie o czasie w ykonyw ania 0. D odatkow o w prow adzam y łańcuch zależności: S r —> S r+1 d la r g { 1 , . . . , a + b - 1}.

Zgodnie z w pro w ad zo n ą wcześniej konw encją zadanie JAi(i) m a czas w ykonyw ania pit podobnie z a d a n ie J a2U) m a czas w ykonyw ania qj. Z adaniu S r przyporządkujem y zadanie

^Ai{p{r))i O ile > Ef=1 S i > 'Z p£ i ~ l p i )oraz zadanie J a ^ t ) ) , o ile E ? ^ q{ > Ef=1s,- >

n a p rzy k ła d n a ry su n k u 2 m am y p ( r ) = k + 1, q(r) — l + 1 ,p (r + 1) = k + 2.

Analogicznie tw orzym y z a d a n ia T r z klas A3 i Aq oraz Ur z klas A3 i ^ 6 , o cza­

sach w ykonyw ania odpow iednio t r i u T, w raz z odpow iednim i łańcucham i zależności.

W prowadzamy d odatkow o zad an ie Z0 z czasem w ykonyw ania 0, k tó re m a być w ykonane przed za d an iam i S i , T \ , U i . O trzym aliśm y za te m instan cję V problem u 1|out — tre e \E C j z n + 1 zad an iam i.

M ożemy znaleźć o p ty m a ln e uszeregow anie II' w czasie 0 ( n log n ) [1]. N a podstaw ie uszeregowania I I' d la in sta n c ji I ' k o n struujem y uszeregowanie II d la instancji I problem u P i\fiX j = 2, p m tn \T ,C j w n astę p u ją c y sposób: jeśli w chwili t uszeregow ania II' w ykony­

wane je st z a d a n ie S i, to w uszeregow aniu II w ykonyw ane są z a d an ia Jaiij>{x)) oraz J A2(q(i))- Analogicznie p o stę p u je m y d la za d ań T r , UT. Pokażem y te ra z przykład takiej konstrukcji.

P r z y k ła d 2 . D la ilu stra cji weźmy p o d uwagę system złożony z czterech m aszyn M \,

322 M. M ałafiejski, L. K uszner, M. Kubale

M 2, M 3, M 4 o raz dziesięciu z a d a ń Ą , J 2, . . . , <710, o zbiorach procesorów dedykowanych i czasach w ykonyw ania: f i x \ = { M i,M 2}, Pi = 2, f i x2 = { M i,M 2}, p2 = 2, f i x3 = { M i , M3} , p3 = 3, f i x A = {M i, M i} , p 4 = 1, f i x3 = { M i,M 4} , p 5 = 3, f i x3 = { M h M A}, p 6 = 7, f i x7 = {M 2, M 3}, p 7 = 8, } i x & = {M 2, M 4}, p8 = 6, /żrc9 = {M 3,M 4}, p9 = 1, / ń r io = {M 3 )M 4}, p 10 = 3. P o podzieleniu z a d a ń n a klasy m am y: A \ = { Ą , J 2} A2 = {Jg, J 10} A3 = { Ą } ^ 4 = {J&} = {*/4, J 5) ^e} ^ 6 = {-M - P o tran sfo rm ac ji n a instancję V o trzy m u jem y zbiory z a d a ń S , T , U\ zbiór S — { S i, S 2, S3, 5 4} z czasam i wykonywania:

1 ,1 ,2 ,0 , zbiór T = { T i,T 2} z czasam i w ykonyw ania: 3 ,3 oraz zbiór U = { U \,U2,U3l UA}

z czasam i w ykonyw ania: 1 ,3 ,4 ,3 . □

M u, s, s , S, U. T, t2 u 3 Ui

/ Zo

a i ł Si

T 1 5 6 7

1 1 9 10

1 1 11 12 13

1 ' 7” 1 14 15 16 17

1 1 1 18 19 20

M, U

h h ^{j 3} h

m2

h h ^J8 h

m3 J9J 10 ^{j 3}

M„ J4 h ^Js h

0 i

" I " (

2 3 4

1 1 5 6 7

1 1 1 1 1 8 9 10 11 12 13

i i i i i i 14 15 16 17 18 19 20 7

R y s . 3 . O p ty m a ln e u s z e r e g o w a n ie I I 7 o ra z o d p o w ia d a ją c e m u u s z e r e g o w a n ie I I F ig . 3 . O p tim a l S ch ed u le I I ' a n d t h e c o r r e sp o n d in g S ch ed u le I I

P oniew aż zad an ie Z0 tr w a 0 je d n o ste k czasu, w ięc nie w pływ a n a sum ę czasów zakończenia. P o zo stałe z a d a n ia z uszeregow ania II' kończą się w te j sam ej chwili, co o d p o w iad a ją ce im za d a n ia w uszeregow aniu II, za te m d o sta je m y

L e m a t 6. Dla dowolnego legalnego uszeregowania II' dla in sta n cji I ' istn ieje uszere­

gow anie II dla in sta n c ji I o ta kiej sa m ej su m ie czasów zakończenia. □

L e m a t 7. Uszeregowanie optym alne dla in sta n c ji I ' m a taką sa m ą sum ą czasów zakoń­

czenia ja k o ptym alne uszeregowanie dla in sta n cji I :

D o w ó d : R ozw ażm y uszeregow anie o p ty m a ln e II d la in stan c ji I . P rz ez h oznaczym y czas w ykonyw ania fc-tej m aksym alnej części h arm o n o g ram u II (rys. 4), w któ rej wykonywane

Podzielne szeregow anie z a d a ń . 323

są w yłącznie z a d a n ia z klas A i i A 2, bez przerw n a wykonywanie za d ań z innych klas.

Na m ocy w łasności 5 oraz 7 d la dowolnego k mamy, że T,^=1bk je s t rów na E ’=1p r , dla pewnego i lu b E j =1ęr , d la pew nego j , skąd analogicznie ja k w przy p ad k u transform acji pokazanej n a ry su n k u 3 dostajem y, że uszeregowanie fi m ożna sprowadzić do pewnego uszeregow ania II' d la in stan c ji / ' (rys. 4). P odobnie ja k poprzednio zauważmy, że sum y czasów zakończenia o b u harm onogram ów są równe. N a m ocy le m atu 6 d la uszeregow ania optym alnego II' d la in stan c ji / ' istnieje uszeregowanie II d la instancji I o identycznej sumie czasów zakończenia, sk ąd d ostajem y tezę. O

M ,

m2 J AI(i) ^Aig+u ^Al(j+2)

M ,

M„ JA2ffl J A2(i+1) J A2(j+1) J A2(j+2)

M Sm

I

Rys. 4. Ilustracja redukcji uszeregowania I I do uszeregowania dla instancji I ' Fig. 4. Illu stra tio n for ré duction of th e Schedule I I into the Schedule for instance I '

P odsum ow ując, d la in stan c ji I problem u P A \fiX j = 2 ,p m tn \H C m ożem y w czasie 0 ( n log n ) skonstruow ać in stan c ję I ' problem u l|ou£ — ire e |E C ;- (rys. 2), n astęp n ie w czasie 0 [ n lo g n ) p o trafim y znaleźć uszeregowanie optym alne II' dla instan cji / ' [1, 2], Na m ocy le m a tu 7 skonstruow ane uszeregow anie II d la instancji I je st optym alne, skąd ostatecznie m am y

T w ie r d z e n ie 8. Istn ie je algorytm dokładny o złożoności 0 ( n log n) rozw iązujący problem P 4 \fi x j = 2, p m tn \T ,C j. □

4. Podsumowanie

W yniki p rezentow ane w p rac y zostały zaw arte w tablicy 1.

W ciąż n ie ro z strz y g n ię ta p o zo staje złożoność problem u P 5 \fiX j = 2, p m tn \H C j naw et

324 M. M alafiejski, L. K uszner, M. Kubale

T ab lica 1 K lasyfikacja złożoności

P ro b le m Złożoność R e fe re n c ja' P \ f i X j , p m t n \ E C j sN P h [8]

P 2 \ f i X j \ Z C j sN P h [3]

P 4 \ f i x } = 2 |E C j sN P h Tw . 3 P 4 \ f i x j = 2, Pj ₌ 1, chai n\ T, Cj N P h [8]

P 2 \ f i X j , p m t n \ E C j 0 ( n lo g n ) [3]

P2>\fiXj = 2|E C j 0 ( nlog n ) [8]

P Z \ f i X j = 2, p m t n \ E C j 0 ( n log n ) [8]

P 4 \ f i X j = 2, p mt n\ ' £, Cj 0 ( nlog n) T w . 8 P 5 \ f i X j = 2, p m tn \£ .C j ^?

P 3 \ f i x j , p m tn \Y ,C j ? [3]

w p rzy p a d k u , gdy z a d a n ia w ykonyw ane są w yłącznie n a p ara ch procesorów {M i, M i + 1}

d la i = 1 , . . . , 4. P o d o b n ie o tw arty p o zo staje problem P 3 \fi X j , p m tn \T ,C j [3].

L IT E R A T U R A

1. A dolphson D ., H u T . C.: O p tim a l linear ordering, SIA M J . A ppl. M a th . 25, 1973, pp.

403-423.

2. B rucker P .:S cheduling algorithm s, Springer-V erlag, B erlin 1995.

3. C ai X ., Lee C. Li C.: M inim izing to ta l com pletion tim e in tw o-processor ta sk systems w ith prespecified processor allocations, N aval Res. Logist. 45, 1998, pp. 231-242.

4. G iaro K ., K u b ale M ., M alafiejski M ., Piw akow ski K .: D ed icated scheduling of biproce- sor ta sk s to m inim ize m ean flow tim e, L ecure N otes in C o m p u ter Science 2328 (2002), pp. 87-96.

5. H oogeveen J.A ., van de Velde S.L., V eltm an B.: C om plexity of scheduling m ultipro­

cessor ta sk s w ith prespecified processor allocations, D iscrete A pplied M ath em atics 55, 1994, pp. 259-272.

6. C offm an E .G ., G arey M .R ., Jo h n so n D .S., L aP au g h A.S.: Scheduling file transfers, SIA M J o u rn a l on C o m p u tin g 14, 1985, pp. 744-780.

7. K raw czyk H ., K u b ale M.: A n ap p ro x im atio n alg o rith m for diag n o stic te s t scheduling in m u ltic o m p u te r system s, IE E E T ra n sa ctio n s on C o m p u ters 34, 1985, pp. 869-872.

Podzielne szeregowanie zadań 325

8. K u b ale M.: P re e m p tiv e versus nonpreem ptive scheduling of biprocessor task s on ded­

icated processors, E u ro p e a n Jo u rn a l of O p eratio n al R esearch 94, 1996, pp. 242-251.

R ecenzent: Prof. d r hab. inz. A ndrzej Swierniak

A b s t r a c t

T h is p a p e r is d ev o ted to th e com plexity of a class of m ultiprocessor scheduling prob­

lems. A n essen tial p ro p e rty of m any real-life system s is parallel processing, so a classical assum ption th a t each jo b should b e processed by one processor only has no longer been justified. W e in v estig ate a special case of m ultiprocessor task s scheduling w ith all task s having preassigned to tw o processors (biprocessor tasks). We assum e th a t each ta sk re­

quires th e sim u lta n eo u s use of its prespecified m achines d uring a given processing tim e but each pro cesso r c a n execute a t m ost one ta sk a t a tim e. O ur objective is to find a schedule w ith m in im u m sum of com pletion tim es. U sing th e sta n d a rd n o ta tio n th is prob­

lem is d e n o te d as P \ f i X j = 2, p m tn \E C j. As we know th is problem is strongly N P -hard.

We analyze its su b p ro b lem s by reducing th e num ber of processors up to a fixed num ber m. W hen m < 3 all ta sk s becom e incom patible, therefore th is problem is equivalent to scheduling o rd in a ry jo b s on one processor. O ur m ain resu lt is a polynom ial algorithm for so far unsolved p roblem P 4 \ f i X j = 2, p m tn \Y ,C j. T h e cases m > 4 rem ains open.

C om paring p ree m p tiv e an d nonpreem ptive m odels it ap p ears th a t P A \ f i X j = 2 |E C j is strongly N P -h a rd .