Pareto-optymalne szeregowanie zadań wieloprocesorowych na procesorach dedykowanych

Paweł O B S Z A R S K I P o lite c h n ik a Gdańska

P A R E T O - O P T Y M A L N E S Z E R E G O W A N IE Z A D A Ń W IE L O P R O C E S O R O W Y C H N A P R O C E S O R A C H D E D Y K O W A N Y C H

S treszczenie. P roblem szeregowania je d n o s tk o w y c h zadań w ielop roce sorow ych na m aszynach dedykow anych m ożna m odelow ać za pom ocą h ipergrafów . Z nam y k ilk a klas hip erg ra fów , dla k tó ry c h szeregowanie z k ry te riu m kosztu c a łk o w ite ­ go je s t w ielom ian ow e . Pokażemy, ja k za pom ocą m odelu z kosztem c a łk o w ity m m ożna rozw iązać p ro b le m y z in n y m i k ry te ria m i znanym i z te o rii szeregowania oraz ja k rozw iązać p ro b le m y d w u k ry te ria ln e .

P A R E T O - O P T IM A L S C H E D U L IN G O F M U L T IP R O C E S S O R T A S K S O N D E D IC A T E D M A C H IN E S

S u m m a ry . Problem o f scheduling m ultiprocessor tasks on dedicated machines can be m odeled b y hypergraphs. There are a fe w classes o f hypergraphs fo r w h ich p o ly n o m in a l tim e a lg o rith m s fo r scheduling w ith to ta l cost c rite rio n are know n.

O u r a im is to show that other c rite ria and also b ic rite ria l problem s can be solved by the use o f total cost crite rio n .

1. W s tę p

R ozw ażm y z b ió r .7 = { Ą , J 2, ..., J m} zadań, któ re m ogą b yć w ykon yw an e na pew nym zbiorze procesorów (m aszyn) M = { M \ , M%,..., M n} . Procesory różnią się m ię d z y sobą i ka żdy je s t w yspe cjalizow a ny w u nikaln ej czynności. A b y w ykonać za­

danie Ji, konieczny je s t pewien z b ió r procesorów f i x i 6 M dostępnych jednocześnie.

Żaden procesor nie m oże pracow ać nad w ięcej n iż je d n y m zadaniem w tym samym m o ­ m encie. Czas je s t p o d zie lon y na ponum erow ane k o le jn y m i lic z b a m i n atu ra lnym i je d ­ n ostki, które nazyw ać będziem y szczelinam i czasow ym i. W szystkie zadania potrzebują je d n a ko w e j ilo ś c i czasu na w ykonanie. D la uproszczenia m ożem y p rzyjąć, że wystarcza im je d n a jed no stka czasu, c z y li pi = 1. Z adania m ogą m ie ć ograniczenia dostępności w yrażone skończonym i lis ta m i L ( J i) C N szczelin czasowych, w któ ry c h dane zadanie może b yć w ykonane. D la zadania Ji z je g o w ykon an iem w pewnej szczelinie czasowej x 6 L ( Ji

)

/^(x).

że nazyw ać lis to w o -k o s z to w y m lub m odelem szeregowania zadań z k ry te riu m kosztu ca łko w ite g o EG j( C j) [1].

Istn ieje w ie le inn ych k ry te rió w o p ty m a liz a c ji szeregowania. W tej pracy rozw a ­ żać będziem y k ilk a z nich. N ajprostsze z o blicze n io w e g o p un ktu w idze nia je s t k ry te riu m m in im a liz u ją c e długość harm onogram u C max- In n y m k ry te riu m je s t k ry te riu m m in im a ­ liz u ją c e m aksym alne spóźnienie Tmax lu b opóźnienie L max. N ajb liższe k ry te riu m kosz­

tu c a łko w ite g o są k ry te ria ważone sum acyjne E w jC j i ważonej sum y spóźnień E w fT j.

O sta tn im ro zp a tryw a n ym w ty m opracow aniu k ry te riu m je s t w ażona lic z b a spóźnień Sn jjU j. Szczegółowe d e fin ic je oznaczeń dotyczących szeregowania w yk o rz y s ty w a n y c h w tej pracy m ożna znaleźć w [1 ].

Scharakteryzow any m odel szeregowania zadań je d n o s tk o w y c h na procesorach dedykow anych z o graniczeniam i cza sow ym i (lu b bez) m ożna w y g o d n ie opisać p rz y w y ­ ko rzysta n iu te rm in o lo g ii hipergrafów .

Hipergrafem H nazyw am y uporządkow aną parę H = (V , E ) , gdzie V (lu b V ( H ) ) oznacza z b ió r wierzchołków, a E (lu b E ( H ) ) reprezentuje m u ltiz b ió r krawę­

dzi {hiperkrawędzi). E le m e nty z b io ru E są p e w n y m i p o d zb io ra m i z b io ru w ie rz c h o łk ó w . Poprawnym krawędziowym k-pokolorowaniem (lu b pokolorowaniem) h ip erg ra fu H na­

z y w a m y fu n k c ję c : E ( H ) —► { 1 , . . . , k } taką, że kraw ędzie mające w spó lny w ie rz c h o ­ łe k o trz y m u ją różne num ery, zwane dalej koloram i. Jeśli każdej h ip e rk ra w ę d z i e € E przypisana je s t skończona lista dostępnych k o lo ró w L (e ) i popraw ne p oko lo ro w a n ie k raw ędziow e spełnia d od a tko w y w arun e k c(e) 6 L (e ), to będziem y m ó w ili o listowym pokolorow aniu krawędzi hip erg ra fu. R ozw a żm y fu n k c ję / e : N —> N ( / e : L (e ) — N ).

Jeśli d la każdej kraw ęd zi e € E z w y k o rz y s ta n ie m k o lo ru x 6 N (x 6 L {e )) zw iąza ­ ny je s t pew ien koszt w yra żo n y fu n k c ją f e(x ) i celem m odelu je s t m in im a liz a c ja sum y kosztów , to ko lo ro w a n ie będziem y nazyw ać kosztowym (listowo-kosztowym).

S ym b olem N(e) oznaczać będziem y sąsiedztwo k ra w ę d zi e, c z y li liczbę kraw ę ­ d zi, z k tó ry m i e m a p rz y n a jm n ie j jed en w spó lny w ierzcho łek. N { H ) reprezentuje m ak­

sym alne sąsiedztwo w hipergrafie H .

Powyższe p ro b le m y szeregowania zadań i ko lo ro w a n ia kraw ęd zi h ip e rg ra fó w są rów now ażne. M aszyny utożsam iać będziem y z w ie rz c h o łk a m i, zadania z kraw ęd ziam i oraz k o lo ry z ich te rm in a m i w ykon an ia. A u to m a tyczn ie , popraw ne /¿-pokolorow anie kra w ę d z i reprezentuje pewne uszeregowanie. Pojęcia szeregowania zadań oraz k o lo ­ row an ia kraw ęd zi h ip erg ra fów będą używ ane zam iennie. W pracy p rz y jm u je m y k o n ­ w encję, że n oznacza liczbę w ie rz c h o łk ó w h ip erg ra fu oraz liczbę maszyn, a m liczbę kraw ęd zi i liczbę zadań.

2. S ze reg ow an ie z a d a ń z k r y t e r iu m k o s z tu c a łk o w ite g o

H ipe rg ra fe m przecinającym się nazyw am y h ip e rg ra f, w k tó ry m każde d w ie kra ­ w ędzie m ają p rz y n a jm n ie j je d e n w s p ó ln y w ie rzch o łe k.

T w ie rd z e n ie 1. Problem listowo-kosztowego kolorow ania krawędzi hipergrafów prze­

cinających się można rozwiązać w czasie 0 ( m3).

D owód. W p ie rw sze j k o le jn o ś c i ro z p a trz m y m o d e l k o lo ro w a n ia bez lis t. M o d e l ta ­ k i m o żn a ro z u m ie ć ja k o m o d e l z nieskończenie d łu g im i lis ta m i. Z auw ażm y, że d la k a żd e j k ra w ę d z i e* je j lis tę m o że m y o g ra n ic z y ć d o N ( H ) - r 1 n a jta ń s z y c h k o lo ró w i n ie w p ły n ie to na szeregowanie. A n a lo g ic z n ie p o s tę p u je m y , g d y lis t y są d łu ż ­ sze n iż N ( H ) — 1. In n e ro z w ią z a n ie p rz e w id z ia n e je s t, g d y lis ty są k ró ts z e n iż y ( H ) 4 -1 . M o ż e m y je w te d y rozszerzyć o k o lo ry ta k d ro g ie , b y ic h w y k o rz y s ta n ie

b y ło je d n o z n a c z n ie w id o c z n e w c a łk o w ite j sum ie ko sztów . D la te g o p rz y jm u je m y , że |L(e,-)| = N ( H ) + 1; w te d y m a m y pew ność, że h ip c rg ra f je s t ko lo ro w aln y.

R o z w a ż m y p e w ie n p rz e c in a ją c y się h ip e rg ra f I I . H m a m kra w ę d zi, z k t ó ­ ry c h żadne d w ie n ie m og ą d osta ć tego samego k o lo ru , p on ie w aż w s z y s tk ie kraw ę ­ d zie są ze sobą w z a je m n ie sąsiednie. K a ż d e j kra w ę d z i p rz y p is a n a je s t lis ta k o lo ró w L (e i) d łu g o ś c i N ( H ) + 1 = m o ra z fu n k c ja k o sztó w f e> : L (e t ) —> N. Z b u d u je ­ m y d w u d z ie ln y o b c ią ż o n y g ra f K E,L, k tó r y na je d n e j p a r ty c ji m a m w ie rz c h o łk ó w o d p o w ia d a ją c y c h k ra w ę d z io m , a n a d ru g ie j w ie rz c h o łk i o d p o w ia d a ją c e w s z y s tk im k o lo ro m w y s tę p u ją c y m n a lis ta c h . K ra w ę d ź { e i, x } w g ra fie I ( E'L w y s tę p u je w te dy, g d y x € 6 i. W a g a k ra w ę d z i w K E,L je s t ró w n a f c,{x )- Z na lezie nie p o k o lo ro w a n ia kra w ę d z i h ip e rg ra fu I I je s t rów now ażne zn a le z ie n iu m in im a ln e g o ważonego s k o ja ­ rz e n ia w g ra fie d w u d z ie ln y m . D in its w p ra c y [2] p o k a z a ł, że m a k s y m a ln e ważone s k o ja rz e n ie m o ż n a znaleźć w g ra fie d w u d z ie ln y m w czasie 0 ( p 3 + pą), gdzie p i q to ro z m ia ry p a r ty c ji i p < q. W p rz y p a d k u naszego g ra fu d w u d zie ln e g o je d n a p a r ty c ja re p re z e n tu je h ip e rk ra w ę d z ie , w ięc p — m, n a to m ia s t d ru g a p a rty c ja re­

p re z e n tu je k o lo ry n a lis ta c h , za te m w n a jg o rs z y m p rz y p a d k u q = m ( N ( I I ) + 1).

H je s t h ip e rg ra fe m p rz e c in a ją c y m się, w ięc = N ( H ) = m — 1, za te m q — m 2.

D la te g o złożo no ść a lg o ry tm u k o lo ro w a n ia kra w ę d z i h ip e rg ra fó w p rz e c in a ją c y c h się

sza cujem y przez 0 ( m 3 + m m 2) = 0 ( m 3). □

H ip e rg ra f lin io w y to h ip erg ra f, w k tó ry m każde d w ie kraw ędzie m ają co n a jw y ­ żej je d e n w sp ó ln y w ie rzch o łe k. Hiperdrzewem nazyw am y ta k i h ip e rg ra f I I , że istnieje drzew o T (g ra f p ro sty) rozpięte na zbiorze w ie rz c h o łk ó w V ( I I ) , takie że każda hiper- kraw ędź e € E ( H ) in d u k u je spójne poddrzew o w T .

T w ie rd z e n ie 2. [4] Istnieje algorytm znajdujący optymalne listowo-kośztowe pokolo­

rowanie hiperdrzewa liniowego I I w czasie 0 ( n N 2 log N W ), gdzie N = ¿ V (//), n = \V ( H ) \, a W to maksymalny koszt po wszystkich krawędziach i elementach ich list.

3. SG j( C j) a in n e k r y t e r ia

Z decydow ana w iększość klasycznych k ry te rió w szeregowania m oże być w ie lo m ia n o w o sprowadzona do zdefiniow anego w yżej problem u szeregowania listo w o - kosztowego.

L e m a t 1. Modele szeregowania z kryteriam i Cmax,

Lmax>

Dowód. P rz y jm u je m y , że w m o d e lu w s z y s tk ie kra w ę d zie m a ją lis ty d łu g o ś c i N { H ) + 1. M o ż e m y u s ta lić ta k ie o gran iczen ie n a ta k ie j sam ej zasadzie ja k w do­

w od zie tw ie rd z e n ia 1.

R o z w a ż y m y różn e k r y te r ia szeregow ania i pokażem y, ja k w sposób w ie lo m ia ­ n o w y m ożn a s p ro w a d z ić je do p ro b le m u listow o -ko szto w e go . Z ałóżm y, że zn a m y p e w n ą w ie lo m ia n o w ą p ro c e d u rę ro z w ią z y w a n ia p ro b le m u listow o-kosztow ego sze­

re g o w a n ia z a da ń d la pew nego ty p u in s ta n c ji p ro b le m u . U s ta lim y fu n k c je k o sztu d la

p ro b le m u listow o-lcosztow ego, ta k b y m o ż liw e b y ło ro z w ią z a n ie p ro b le m u z in n y m k r y te r iu m .

L max - P rz y jm ijm y , że d j je s t o s ta te c z n y m te rm in e m w y k o n a n ia z a d a n ia J2.

N iech C 6 Z będzie p e w n ą lic z b ą . U s ta lm y w a rto ś c i fu n k c ji ko sztu:

N ie tru d n o zauw ażyć, że c a łk o w ity ko s z t uszeregow ania będzie ró w n y 0, o ile ty lk o L max < C. Jeśli za stosu jem y m e to d ę d w u p o d z ia łu , je s te ś m y w s ta n ie w w ie lo m ia ­ n o w y m czasie w y z n a c z y ć o p ty m a ln e uszeregow anie z k r y te r iu m L max.

C max - K r y te r iu m to je s t p e w n y m szczególnym p rz y p a d k ie m L max, w k tó r y m z g ó ry p rz y jm u je m y , że w s z y s tk ie z a d a n ia p o w in n y się za koń czyć p rz e d p ie rw s z ą szczeliną czasową, c z y li d j = 0. W t e d y o pó źn ie n ie je s t ró w n e d łu g o ś c i h a rm o n o ­ g ra m u . D la te g o m oże m y p o w ie lić sposób p o s tę p o w a n ia z p o p rze d n ie g o k r y te r iu m . Tmax ~ P o no w nie s to s u je m y m e to d ę w y z n a c z a n ia o p ty m a ln e g o uszere­

g o w an ia ja k p rz y k r y te r iu m L max, b io rą c o c zyw iście p o d uwagę, że Tmax = m a x { 0 , Lmax}, z a te m p rz y jm u je m y , że C > 0.

EWjTj - Z a k ła d a m y , że w j je s t w agą s p ó ź n ie n ia z a d a n ia Jj , a d j o s ta te c z n y m te rm in e m je g o w y k o n a n ia . U s ta la m y w a rto ś c i fu n k c ji k o sztu :

Z auw ażm y, że w yzna czen ie o p ty m a ln e g o listo w o -ko szto w e g o u szeregow ania z ta ­ k im i fu n k c ja m i k o s z tu je s t rów no w ażn e w y z n a c z e n iu szeregow ania z k r y te r iu m

EW jC j - K r y t e r iu m to je s t szczególnym p rz y p a d k ie m k r y te r iu m H w jT j. A b y w y z n a c z y ć m in im a ln y łą c z n y czas za koń czen ia zadań, n ależy p rz y ją ć , że dj = 0 d la w s z y s tk ic h zadań Jj i zastosow ać ta k ą sam ą p ro c e d u rę ja k d la k r y te r iu m EWjTj.

E w jU j - P o n o w n ie Wj oznacza wagę, a d j o s ta te c z n y te r m in za koń czen ia z a d a n ia J j. D la te go k r y te r iu m fu n k c ję k o s z tu d e fin iu je m y w n a s tę p u ją c y sposób:

Zastosow anie p ro c e d u ry listo w o -ko szto w e g o szeregow ania zadań o d p o w ie n a p y ta ­ n ie , ile w y n o s i w ażo na lic z b a spóźnień. Z auw ażm y, że je ś li p rz y jm ie m y Wj = 1, to d o w ie m y się, ile zadań p rz e k ro c z y ło te rm in y .

4. Problem y dw ukryterialne

Procedura listow o-kosztow ego szeregowania zadań m oże b yć pom ocna nie ty lk o p rz y ro z w ią z y w a n iu p ro b le m ó w je d n o k ry te ria ln y c h , ale także d w u k ry te ria ln y c h .

M ó w im y , że (a, b) -< (c, d), je ś li (a, b) ± (c, d) i a < c oraz b < d. N iech g : X —> N 2 będzie fu n k c ją w yznaczającą o ptym alizo w a ne w artości dla pew nego ro z ­ w iązania x z przestrzeni stanów X . O rozw ią za n iu x G X m ó w im y , że je s t Pareto- optymalne, je ś li nie istn ie je x ' e X , ta k i że g (x ') -< g {x ). S zczegółow y opis te o rii m ożna znaleźć w [3 ].

x ^ d j -I- C x > d j + C

W j(x — d j) x > d j 0

YjWjTj.

x < dj x > dj

□

L em at 2. Problem znajdowania wszystkich optimów Pareto-optymalnego szeregowa­

nia zadań z pierwszym kryterium C max, L max albo Tmax i drugim kryterium C max, L max> Tmax, YjW jCj, YjW jTj albo EW jU j można wielomianowo sprowadzić do problemu listowo-kosztowego szeregowania zadań.

Dowód. Z a k ła d a m y , że z n a m y w ie lo m ia n o w y a lg o ry tm listow o -ko szto w e go szere­

g o w a n ia za da ń d la ro z p a try w a n y c h h ip e rg ra fó w . Z le m a tu 1 w y n ik a , że p o tra fim y uszeregować owe h ip e rg ra fy szeregow ania z k r y te r ia m i: Cmax, L max, Tmax, EW jC j, H w jT j i EW jU j. W p ie rs z y m k ro k u z n a jd u je m y o p ty m a ln e uszeregow anie z p ie rw ­ szym z k r y te r ió w . W ie m y , że je s t to Cmax, L max lu b Tmax. M o ż e m y te ra z s k ró c ić lis ty d o s tę p n y c h k o lo ró w d la poszczególnych k ra w ę d z i, b y n ie b y ło m o ż liw e uszere­

gow anie gorsze ze w z g lę d u n a ro z p a try w a n e k r y te r iu m . C z y li d la k r y te r iu m C max z lis t s k re ś la m y w s z y s tk ie szcze lin y czasowe o ind eksa ch w ię kszych n iż C*nax, d la k r y te r iu m L max u s u w a m y z lis t w s z y s tk ie szczeliny czasowe o ind eksa ch w iększych n iż d j + L*nax i a n a lo g iczn ie d la Tmax w iększe n iż d j + T jnax(* oznacza o p ty m a ln ą d łu g o ś ć uszeregow ania d la danego k r y te r iu m ) . N a w te n sposób p rz y g o to w a n y c h h ip e rg ra fa c h m oże m y u ru c h o m ić p ro c e d u rę szeregow ania z d o w o ln y m k r y te r iu m Cmax, Lmax, Tmax, E w jC j, EW jT j a lb o EW jU j. D z ię k i te m u u z yska m y pierw sze g ra n ic z n e P a re to -o p ty m a ln e uszeregowanie. A b y w y lic z y ć p o z o s ta łe o p tim a , m usi­

m y k o le jn o p ow iększać lis ty i spraw dzać, czy m o ż liw e je s t lepsze uszeregowanie ze w z g lę d u n a d ru g ie k r y te r iu m . Je śli je s t m o ż liw e , to d o d a je m y k o le jn e ro zw ią za n ie do ro z w ią z a ń P a re to -o p ty m a ln y c h , je ś li n ie je s t, d alej p ow ię ksza m y lis ty . L is t y p o ­ w ię k s z a m y ta k d łu g o , aż d ru g ie k r y te r iu m osią gn ie w a rto ś ć o p ty m a ln ą z h ip e rg ra fu

szeregow ania z n ie n a ru s z o n y m i lis ta m i. □

Z auw ażm y, że m etody takiej n ie m ożna zastosować do sytu acji, gdy oba kry te ria są typ u sum acyjnego. N ie m n ie j je d n a k m oże m y znaleźć graniczne rozw iązania takiego p ro ble m u in n y m sposobem.

L em at 3. Problem znajdowania granicznych rozwiązań Pareto-optymalnych z dow ol­

nym i dwoma z trzech kryte rió w T,Cj, T T j i T,Uj można wielom ianowo sprowadzić do problem u listowo-kosztowego szeregowania zadań.

Dowód. P r z y jm ijm y , że p ie rw sze k r y te r iu m je s t k r y te r iu m s iln ie js z y m . U s ta lim y fu n k c je k o s z tu w ta k i sposób, b y uszeregow anie b y ło o p ty m a ln e z p ie rw s z y m k r y ­ te riu m i d o d a tk o w o w m ia rę m o ż liw o ś c i z d ru g im oraz b y część c a łk o w ita d z ie len ia k o s z tu c a łk o w ite g o przez Y w y z n a c z a ła w a rto ś ć o p tim u m w g pierw szego k r y te ­ r iu m , a re s z ta z d z ie le n ia d a w a ła w a ru n k o w e o p tim u m dru gie go .

7 , - A M = { ^ + 1

gdzie Y = m + 1, p o n ie w a ż w ia d o m o , że sp ó ź n io n y c h zadań n ie m oże b yć więcej n iż lic z b a zadań.

Z U > ,ZC ; - / , , ( * ) = { * + r

I t t

gdzie Y to d u ż a lic z b a w iększa n iż d o w o ln a su m a k o lo ró w . P r z y jm ijm y na p rz y ­ k ła d , że Y — m 2.

^ ,S 3 > - A ( x ) = { 0 r + max{0iI_ i .) 11 %

gdzie Y to p o n o w n ie n a p rz y k ła d m 2.

ST,-, E£/,- - JjXx) = ( ° ,n , * , , X ^ dJ v J J ,K 1 ( Y m a x (0 , x — dj) + 1 x > a.

P o no w nie Y = m + 1.

s T i , 2 c j - n W = { ^ m a x ( 0 i _ i .) + i gdzie Y = m 2.

E C i . E T

^

d la Y = m 2. □

Zauw ażm y, że ostateczne te rm in y nie m uszą b yć takie same dla k ry te rió w EU j i E T ). R ozum ow anie to m ożna rozszerzyć na m odele z ró ż n y m i te rm in a m i zakończenia.

M ożna także rozszerzyć na pod w ó jne k ry te ria EUj i S T , z ró ż n y m i te rm in a m i zakoń­

czenia.

B IB L IO G R A F IA

1. B ła ż e w ic z J., E cker K .K ., Pesch E., S ch m id t G., W ęglarz J.: S cheduling C om puter and M a n u fa c tu rin g Processes. S p rin ge r (1996).

2. D in its E. A .: O reshenii d vukh zadach o naznachenii. Issledovaniya po D is k re tn o i O p tim iz a ts ii, Iz d a te l’stvo "N a uka ", M oskw a, 1976, 3 3 3 -3 4 8 .

3. E h rg o tt M .: M u ltic rite ria o p tim iz a tio n . Springer, (2000).

4. G ia ro K ., K ubale M ., O bszarski P.: Graph c o lo rin g approach to scheduling o f m u l­

tiprocessor tasks on dedicated m achines w ith a v a ila b ility constraints.

Recenzent: D r hab. inż. Z d z is ła w Duda, p ro f. P o lite c h n ik i Ś ląskiej

Abstract

L e t J = { J i , J o , ..., J m} be a set o f tasks w h ic h can be executed on a set o f p ro ­ cessors M = M „ } . A ll processors are d is tin c t, and they can execute o n ly one specified task at a tim e. Each task J requires the sim ultaneous use o f a nonem pty set f ix i C M o f processors fo r its execution. A l l tasks are independent, nonpreem ptable, and o f the same length. F or the sake o f s im p lic ity we assume that the execution tim e o f Ji, i.e. pi = 1 fo r each i = 1 ,..., m . Every' processor can w o rk on n o t m ore than one task at the same tim e. T im e is d iv id e d in to u n it length slots num bered w ith successive integers. Tasks have a v a ila b ility constraints prespecified by lists L ( J j) C N (where N is the set o f nonnegative integers) o f available tim e slots in w h ic h J, can be executed. W ith each task we associate a fim c tio n f j ^ x ) w h ic h assigns to each x € L ( J i) the cost o f executing Ji i f it is executed in tim e slot x .O u r aim is to fin d a schedule w ith m in im u m total cost. We ca ll this m odel cost lis t scheduling o f m ultiprocessor tasks on dedicated machines.

C lassical scheduling theory provides various c rite ria o f scheduling lik e C max, L max, T mux, EW jC j, EW jU j and m any others. A l l o f them can be reduced to the cost lis t scheduling m odel. We also present some reductions fo r d iffe re n t b ic rite ria l problem s.