Ruch harmoniczny

Wykład IV

Ruch harmoniczny

Ruch harmoniczny prosty

𝑭 = −𝒌𝒙 𝑭_{𝒛𝒆𝒘𝒏} = 𝒌𝒙

𝑭_{𝒛𝒆𝒘𝒏}

𝑭_{𝒛𝒆𝒘𝒏}

0

x

Siła sprężystości:

x=0

m

𝑭 = 𝟎

𝑭

𝑭

Równanie ruchu w dowolnej chwili

równanie różniczkowe na x(t)!

𝑭 = 𝒎𝒂 = −𝒌𝒙

𝒎 𝒅^𝟐𝒙

𝒅𝒕^𝟐 = −𝒌𝒙

𝒅^𝟐𝒙

𝒅𝒕^𝟐 = − 𝒌 𝒎 𝒙

Ruch harmoniczny prosty

x

𝒂 𝑭_{𝒛𝒆𝒘𝒏}

𝑭 m

Szukamy rozwiązania postaci:

podstawmy

(pokażemy dalej, że w jest prędkością kątową)

Ruch harmoniczny prosty

𝒙(𝒕) = 𝑨𝒄𝒐𝒔(𝝎𝒕) 𝒅^𝟐𝒙

𝒅𝒕^𝟐 = − 𝒌

𝒎 𝒙 𝒌

𝒎 = 𝝎

𝒅^𝟐𝒙

𝒅𝒕^𝟐 = −𝝎^𝟐𝒙

𝒅𝒙

𝒅𝒕 = −𝝎𝑨𝐬𝐢𝐧 𝝎𝒕 𝒅^𝟐𝒙

𝒅𝒕^𝟐 = −𝝎^𝟐𝑨𝐜𝐨𝐬 𝝎𝒕 = −𝝎^𝟐𝒙

Parametry: okres drgań

𝒅^𝟐𝒙

𝒅𝒕^𝟐 = −𝝎^𝟐𝒙 𝒙(𝒕) = 𝑨𝒄𝒐𝒔(𝝎𝒕)

Definicja okresu T: czas, po którym faza drgania jest taka sama 𝒙 𝒕 + 𝑻 = 𝑨𝒄𝒐𝒔 𝝎 𝒕 + 𝑻 = 𝒙 𝒕 = 𝑨𝒄𝒐𝒔(𝝎t)

𝒄𝒐𝒔 𝝎 𝒕 + 𝑻 = 𝒄𝒐𝒔(𝝎t)

𝝎𝑻 = 𝟐𝝅 𝑻 = 𝟐𝝅

𝝎

Wzór potwierdza

słuszność założenia, że w to prędkość kątowa. Aby to pokazać, opiszemy

ruchu po okręgu .

Ruch jednostajny po okręgu Układ biegunowy

UB – UK UK - UB

𝜽 = 𝝎𝒕

𝒚 = 𝒓𝒔𝒊𝒏𝝎𝒕

𝒙 = 𝒓𝒄𝒐𝒔𝝎𝒕 𝜽 = 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈(𝒚

𝒙) 𝒓^𝟐 = 𝒙^𝟐 + 𝒚^𝟐

x y

𝒗

𝒓

𝜽 = 𝝎𝒕

(𝒙, 𝒚) 𝒔

Współrzędne biegunowe

v = wr

wektorowo: 𝒗 = 𝝎 × 𝒓

W układzie biegunowym prędkość kątowa 𝝎 = 𝒅𝜽 𝒅𝒕

Dla ruchu jednostajnego po okręgu, 𝝎 = 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕

Wówczas 𝜽 = 𝝎𝒕 s= 𝒗𝒕 = 𝒓𝜽 = 𝒓𝝎𝒕

x y

𝒗

𝒓

𝜽 = 𝝎𝒕

(𝒙, 𝒚) 𝒔

Okres i częstotliwość

1 radian – kąt, dla którego s=r 1 obrót - 2 radianów (1)

okres (T) - czas trwania 1 obrotu (2)

Z (1) i (2)

𝝎 = 𝟐𝝅

𝑻 = 𝟐𝝅𝒇[𝒓𝒂𝒅 𝒔 ]

częstotliwość (f) - liczba obrotów / sek

x y

𝒗

𝒓

𝜽 = 𝝎𝒕

(𝒙, 𝒚) 𝒔

Ruch harmoniczny prosty -rozwiązanie

A - amplituda drgań T – okres drgań

    = w t

T = 2/w

A

 A

 = wT = 2

 = w t = 0 x

𝒙(𝒕) = 𝑨𝒄𝒐𝒔(𝝎𝒕)

𝒅^𝟐𝒙

𝒅𝒕^𝟐 = − 𝒌

𝒎 𝐱 = −𝝎^𝟐𝒙

𝝎^𝟐 = 𝒌 𝒎

𝟒𝝅^𝟐

𝑻^𝟐 = 𝒌 𝒎

𝑻 = 𝟐𝝅 𝒎 𝒌

Ruch harmoniczny prosty

Okres drgań nie zależy od amplitudy!

x

𝒂 𝑭_{𝒛𝒆𝒘𝒏}

𝑭 m

Prędkość i przyśpieszenie

położenie:

x_MAX = A v_MAX = wA a_MAX = w²A

𝒙(𝒕) = 𝑨𝒄𝒐𝒔(𝝎𝒕 + 𝜱)

prędkość:

𝒂(𝒕) = ^{𝒅𝒗(𝒕)}_𝒅𝒕 = −𝑨𝝎^𝟐𝒄𝒐𝒔(𝝎𝒕 + 𝜱)

x

𝒂 𝑭_{𝒛𝒆𝒘𝒏}

𝑭 m

przyspieszenie:

𝒗(𝒕) = 𝒅𝒙(𝒕)

𝒅𝒕 = −𝑨𝝎𝐬𝐢𝐧(𝝎𝒕 + 𝜱)

𝒙(𝒕) = 𝑨𝒄𝒐𝒔(𝝎𝒕)

𝒂 𝒕 = −𝑨𝝎^𝟐𝒄𝒐𝒔(𝝎𝒕

A

T t

𝒙(𝒕)

Aw t 𝒗 𝒕 = −𝑨𝝎𝒔𝒊𝒏(𝝎𝒕)

T t Aw^

T

𝒗(𝒕)

𝒂(𝒕)

Ruch harmoniczny prosty

x_maks =A v=0

a=a_max

x =0 v=v_maks a=0

Maksymalne wychylenie Przejście przez położenie równowagi

x_max 𝒂 _{𝒎𝒂𝒌𝒔}

𝑭_{𝒛𝒆𝒘𝒏} 𝑭_{𝒎𝒂𝒌𝒔}

m

x=0 x=0

m

𝑭 = 𝟎

Ruch harmoniczny prosty -parametry

• x = A cos(wt + F)

A = amplituda wt + F = faza

w = prędkość kątowa

F = faza początkowa

• T –okres (czas trwania jednego drgania).

• f – częstotliwość drgań (liczba drgań w jednostce czasu) f = 1/T

w = 2 f = 2 / T

• Wykres x(t)=A cos(wt - /2) = A sin(wt)

A

 =

/2

   



Ruch harmoniczny prosty - warunki początkowe

Warunki początkowe –przykład cd.

x(t) = A cos(wt - /2 ) v(t) = -wA sin(wt - /2 ) a(t) = -w²A cos(wt - /2 )

dla  = -/2

x(t) = A sin(wt) v(t) = wA cos(wt) a(t) = -w²A sin(wt)

  wt x(t)

A

-A

x(t)

Ruch harmoniczny prosty - energia

Energia kinetyczna

𝐸_𝑘 𝑡 = 𝑚𝑣 𝑡 ²

2 = 𝑚 −𝑨𝝎𝒔𝒊𝒏(𝝎𝒕) ² 2

= 𝒌 𝑨^𝟐𝒔𝒊𝒏^𝟐(𝝎𝒕) 𝟐

𝒗 𝒕 = −𝑨𝝎𝒔𝒊𝒏(𝝎𝒕)

x

𝒂 𝑭_{𝒛𝒆𝒘𝒏}

𝑭 m

𝒙(𝒕) = 𝑨𝒄𝒐𝒔(𝝎𝒕)

𝒌

𝒎 = 𝝎^𝟐

Energia potencjalna

𝒙(𝒕) = 𝑨𝒄𝒐𝒔(𝝎𝒕)

𝑬_𝒑(𝒕) = 𝒌𝒙(𝒕)^𝟐

𝟐 = 𝒌 [𝑨𝒄𝒐𝒔(𝝎𝒕)]^𝟐

𝟐 = 𝒌𝑨^𝟐𝒄𝒐𝒔^𝟐(𝝎𝒕) 𝟐

x

𝒂 𝑭_{𝒛𝒆𝒘𝒏}

𝑭 m

E(t)

𝑬_𝒑 𝒕 = 𝒌𝑨^𝟐𝒄𝒐𝒔^𝟐(𝝎𝒕) 𝟐

𝑬_𝒌(𝒕) = 𝒌𝑨^𝟐𝒔𝒊𝒏^𝟐(𝝎𝒕) 𝟐

𝑬 = 𝑬_𝒑 𝒕 + 𝑬_𝒌 𝒕 = 𝒌𝑨^𝟐

𝟐 [𝒄𝒐𝒔^𝟐 𝝎𝒕 + 𝒔𝒊𝒏^𝟐(𝝎𝒕)] = 𝒌𝑨^𝟐

𝟐 = 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕

E

E_p(t) E_k(t) E=E_p(t)+E_k(t)

T t 𝑻

𝟐

E(x)

𝑬_𝒌 = 𝒎𝒗^𝟐

𝟐 = 𝑬 − 𝑬_𝒑 = 𝑬 − 𝒌𝒙^𝟐 𝟐 𝑬_𝒑 = 𝒌𝒙^𝟐

𝟐

x E(x)

E_p(x) E_k(x)

0 A

-A

Ruch harmoniczny prosty

x_maks =A

v=0, a=a_maks

Maksymalne wychylenie,

maksymalna energia potencjalna.

Przejście przez położenie równowagi, maksymalna energia kinetyczna.

x_maks 𝒂 _{𝒎𝒂𝒌𝒔}

𝑭_{𝒛𝒆𝒘𝒏} 𝑭_{𝒎𝒂𝒌𝒔}

m

x=0

x =0

v=v_maks, a=0

x=0

m

𝑭 = 𝟎

Ruch harmoniczny z tłumieniem.

k

m

Równanie ruchu

Tarcie: f = -b v = -b dx/dt (b=const) Z II zasady dynamiki Newtona:

2

2

- -

d x dx

m kx b

dt  dt

x m

F = -kx a

v

-bv

2

2

0

d x b dx k

dt  m dt  m x 

k

𝒃

𝟐𝒎 = 𝜷 podstawmy

2

2

2 0

d x dx k

dt   dt  m x 

𝒙 𝒕 = 𝑨𝒆𝒙𝒑(−𝜷𝒕)cos(𝛚^′𝒕 + 𝝋)

Rozwiązanie równania ruchu

𝛚′ = 𝜔₀² − 𝛃^𝟐

T’>T₀ 𝝎^′ < 𝝎_𝟎 = _𝒎^𝒌,

𝜷 = 𝝎_𝟎 - ruch aperiodyczny 𝝎^′ = 𝟎

𝒕 𝒙 𝑨𝒆𝒙𝒑(−𝜷𝒕)

T₀ T’

Logarytmiczny dekrement tłumienia

l = 𝒍𝒏 𝑨(𝒕)

𝑨(𝒕 + 𝑻) = 𝒍𝒏 𝑨𝒆𝒙𝒑(−𝜷𝒕)

𝑨𝒆𝒙𝒑[−𝜷 𝒕 + 𝑻 ] = 𝒍𝒏[𝒆𝒙𝒑 𝜷𝑻 ] = 𝜷𝑻

𝒙

𝒕

Ruch harmoniczny z tłumieniem – energia mechaniczna E(t)

Bez tłumienia: E = 1/2 k A² = const

Z tłumieniem: E(t) = 1/2 kA(t)² = 1/2 k A² exp(-2t)

W ruchu harmonicznym z tłumieniem, całkowita energia mechaniczna maleje

wykładniczo z czasem

Ruch harmoniczny tłumiony

𝒙

𝒕

Dobroć układu drgającego:

𝑸 = 𝝅

l = 𝝅

𝜷𝑻 = 𝝅𝝉

𝑻 = 𝝅𝑵_𝒆

𝑨 𝒕 = 𝑨𝒆𝒙𝒑 −𝜷𝒕 = 𝑨𝒆𝒙𝒑(− 𝒕 𝝉)

𝒙 𝒕 = 𝑨(𝒕)cos(𝛚^′𝒕 + 𝝋)

2

2

2 0

d x dx k

dt   dt  m x 

𝑵_𝒆- ilość drgań wykonywanych przez układ zanim amplituda zmaleje e razy

Ruch harmoniczny z tłumieniem i silą wymuszającą

x(t) = A cos(w_wymt + )

2

2

2

2

cos(

)

d x dx

x F F t

dt   dt  w   w

𝑨 = 𝑭_𝒎/𝒎

[(𝝎_𝒘𝒚𝒎)^𝟐 − 𝝎_𝟎^𝟐]^𝟐 + 𝟒𝜷^𝟐(𝝎_𝒘𝒚𝒎)^𝟐

𝑡𝑎𝑛 = 2𝛽𝜔

𝝎_𝟎^𝟐 − 𝝎_𝒘𝒚𝒎^𝟐

Rezonans mechaniczny

Drgania wymuszone - rezonans

0

k w  m

0

w

 w

rezonans występuje, gdy

Dla układu o częstości drgań własnych

𝝎_𝒘𝒚𝒎 𝝎_𝟎 1

A

x₀

Drgania wymuszone - rezonans

𝑨 = 𝑭_𝒎/𝒎

[(𝝎_𝒘𝒚𝒎)^𝟐 − 𝝎_𝟎^𝟐]^𝟐 + 𝟒𝜷^𝟐(𝝎_𝒘𝒚𝒎)^𝟐 A

₁

₂

₃

1

𝝎_𝒘𝒚𝒎 𝝎_𝟎

𝜷_𝟏 > 𝜷_𝟐 > 𝜷_𝟑

a) Słabe tłumienie

b) 𝝎_𝒘𝒚𝒎 = 𝟎 𝒙_𝟎 = 𝑭_𝒎

𝒎𝝎_𝟎^𝟐 𝑨_{𝒎𝒂𝒌𝒔} = 𝑭_𝒎

𝟐𝒎𝜷𝝎_𝟎 𝝎_𝒘𝒚𝒎 ≅ 𝝎_𝟎

x₀

Dobroć układu rezonansowego

Podczas rezonansu siła wymuszająca jest w fazie z prędkością, ponieważ wówczas moc tej siły osiąga największą wartość:

𝑷 = 𝑭 ∙ 𝒗

𝑨_{𝒎𝒂𝒌𝒔} 𝒙_𝟎 =

𝟐𝒎𝜷𝝎𝟎𝑭𝒎 𝑭𝒎 𝒎𝝎𝟎𝟐

= ^𝝎𝟎

𝟐𝜷 = ^𝝅

𝜷𝑻_𝟎 = l^𝝅 =Q

Dla słabego tłumienia, stosunek amplitudy, którą ma układ dla częstotliwości rezonansowej do wychylenia z położenia równowagi pod wpływem siły równej amplitudzie siły wymuszającej jest równy dobroci układu rezonansowego: