Proszę uzasadnić, że (a

Ćwiczenia nr 2, AM I, 11.10.2019 Indukcja matematyczna Zadanie 1. Proszę uzasadnić, że

(a) 1 · 2 + 2 · 3 + . . . + n(n + 1) = ¹₃n(n + 1)(n + 2), (b) _1·5¹ +_5·9¹ +_9·13¹ + . . . + (4n−3)(4n+1)¹ = _4n+1ⁿ .

(c) Pn

i=1i³= (Pn i=1i)², (d) Pn

i=0aⁱ=^an+1_a−1⁻¹, dla a 6= 1,

(e) 1 − ₂¹₂
· 1 −₃¹2
· . . . · 1 −_n¹2
= ⁿ⁺¹_2n .

Zadanie 2. Wyznacz wszystkie liczby naturalne, dla których (a) 2ⁿ> n²,

(b) 3ⁿ¬ n³.

Zadanie 3. Ciąg liczb F1, F2, . . . tworzymy według następującego przepisu:

F1:= 1, F2:= 1, Fn= Fn−1+ Fn−2,

dla n = 3, 4, . . .. (Ciąg (Fn) naz ywa się ciągiem Fibonacciego.) Proszę uzasadnić, że:

(a) Liczba Fn jest parzysta, jeśli n jest podzielne przez 3, (b) Wyznacz wzór na sumę F1+ F2+ . . . + Fn.

(c) Fn+2F_n− F_n+1² = (−1)ⁿ⁺¹. Zadanie 4. Proszę uzasadnić, że

(a) Dowolna liczba postaci 10ⁿ− 4 dzieli się przez 6.

(b) Liczba 14 dzieli dowolną liczbę postaci 8ⁿ+ 6.

(c) Liczba 169 dzieli liczbę 3³ⁿ⁺³− 26n − 27 dla n ∈ N.

(d) Czy prawdą jest, że dla dowolnych liczb naturalnych a, b, n liczba aⁿ+ b dzieli się przez a + b ? (e) Liczba 19 dzieli liczbę 2^26k+2+ 3 dla k = 0, 1, 2, . . ..

(f) Liczba 1000ⁿ+ (−1)ⁿ⁺¹dzieli się przez 13

Twierdzenie. (średnia arytmetyczna ­ średnia geometryczna) Dla dowolnych nieujemnych liczb a1, a2, . . . , an

zachodzi nierówność

a1+ . . . + an

n ­ √ⁿ

a1· a2· . . . · an.

Zadanie 5. Proszę udowodnić to twierdzenie w następujących krokach. Niech Tn (n ­ 2) oznacza powyższą nierówność.

(a) Sprawdzić, że zdanie T2 jest prawdziwe.

(b) Wykazać, że jeśli zdanie Tn jest prawdziwe, to zdanie T2n też.

(c) Wykazać, że jeśli zdanie T_n jest prawdziwe, to zdanie T_n−1 też.

(d) Uzasadnić, że zdania T₇i T₇₇ są prawdziwe.

(e) Dokończyć dowód powyższego twierdzenia.

Zadanie 6. Definiujemy ciąg liczb a0= 1, a1= 3, a2= 5 oraz an = 3an−2+ 2an−3dla n ­ 3.

(a) Oblicz an dla n = 3, 4, 5, 6, 7.

(b) Udowodnij, że an> 2ⁿ dla n ­ 1.

(c) Udowodnij, że an< 2ⁿ⁺¹dla n ­ 1.

(d) Udowodnij, że an= 2an−1+ (−1)ⁿ⁻¹dla n ­ 1.

Zadanie 7. Z szachownicy o wymiarach 2ⁿ na 2ⁿ usunięto jedno pole, ale nie wiadomo które. Udowodnić, że

tak powstałą część szachownicy można pokryć figurami Zadanie 8. Proszę uzasadnić nierówności (n ­ 2)

1 > 1

n + 1+ 1

n + 2+ . . . + 1 2n > 13

24 Proszę wypisać kilka pierwszych wyrazów powyższej sumy, np. dla n = 1, 2, 3.

Zadanie 9. Udowodnij, że szachownicę o wymiarach 4k + 1 × 4k + 1 można obejść ruchem konika szachowego, przechodząc przez każde pole dokładnie jeden raz.

Zadanie 10. Niech pn oznacza n-tą liczbę pierwszą (p1= 2, p2= 3, p3 = 5, p4 = 7, p5= 11, . . .) Dowieść, że pn> 3n dla n ­ 12.

Zadanie 11. Liczby ai, b_i, c_i, d_ispełniają warunki 0 ¬ ci¬ ai¬ bi¬ dioraz ai+ bi= ci+ didla i = 1, 2, . . . , n.

Udowodnić, że

n

Y

i=1

a_i+

n

Y

i=1

b_i¬

n

Y

i=1

c_i+

n

Y

i=1

d_i.

Zadanie 12. Wykaż, że dla x > 0 i liczby naturalnej n ­ 2

(1 + x)ⁿ­ 1 + nx +n(n + 1) 2 x².

Zadanie 13. Liczby x1, . . . , xn są wszystkie większe od −1 i mają te same znaki. Udowodnij nierówność (1 + x1)(1 + x2) · . . . · (1 + xn) ­ 1 + x1+ x2+ . . . + xn.

2