• Nie Znaleziono Wyników

Wywnioskować, że jeżeli µ jest miarą probabilistyczną na prostej o nośniku zwartym, a jej transformata Fouriera ma postać Fµ(t

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Wywnioskować, że jeżeli µ jest miarą probabilistyczną na prostej o nośniku zwartym, a jej transformata Fouriera ma postać Fµ(t"

Copied!
2
0
0

Pełen tekst

(1)

MACIERZE LOSOWE LISTA 8

Kumulanty, R-transformata

1. Wyznaczyć kumulanty klasyczne (κn) standardowej miary Gaussa N (0, 1).

2. Pokazać, że κn = Kn dla n ≤ 3, ale w ogólności κ4 6= K4, czyli że czwarta ku- mulanta klasyczna pewnej miary probabilistycznej µ nie musi być równa czwartej kumulancie wolnej tej miary.

3. Niech będą dane wykładnicze funkcje generujące

Aµ(z) =

X

n=0

mn

n! zn oraz Lµ(z) =

X

n=1

κn n!zn

gdzie (mn)m≥0 oraz (κn)n≥1to ciągi momentów i klasycznych kumulant, odpowied- nio, pewnej miary probabilistycznej µ. Wykorzystując kombinatoryczną definicję kumulant, pokazać, że zachodzi wzór

Aµ(z) = exp(Lµ(z))

4. Wywnioskować, że jeżeli µ jest miarą probabilistyczną na prostej o nośniku zwartym, a jej transformata Fouriera ma postać

Fµ(t) = Z

R

e−itxdµ(x) to zachodzą wzory

Fµ(t) =

X

n=0

(−it)n

n! mn oraz log(Fµ(t)) =

X

n=1

(−it)n n! κn

5. Wyznaczyć R-transformatę rozkładu Wignera o średniej zero i wariancji a, którego transformata Cauchy’ego ma postać

Gµ(z) = z −√

z2− 4a 2a

Obliczyć splot wolny dwóch rozkladów Wignera o średniej zero i dowolnych wari- ancjach a, b.

6. Wyznaczyć R-transformatę rozkładu punktowego δaskupionego w jednym punkcie a na prostej rzeczywistej. Obliczyć splot wolny δa δb, gdzie a, b ∈ R.

7. Wyznaczyć R-transformatę rozkładu Bernoulliego postaci µ = 12−1+ δ1). Poka- zać, że splot wolny µ µ daje rozkład arcusa sinusa.

1

(2)

8. Niech będzie dana miara probabilistyczna, której wszystkie kumulanty wolne są równe Kn = t > 0. Wyznaczyć R-transformatę tej miary, a następnie jej transformatę Cauchy’ego. Wywnioskować, że jest to miara Marchenko-Pastura o parametrze t.

9. Niech będzie dana miara probabilistyczna, której wszystkie kumulanty klasy- czne są równe κn = λ > 0. Wyznaczyć transformatę Fouriera tej miary i wywnioskować, że jest to miara Poissona o parametrze λ.

10. Porównać kumulantowy wzór na momenty miary Poissona o parametrze λ z ku- mulantowym wzorem na momenty rozkładu Marchenko-Pastura o parametrze t i wywnioskować, że ten ostatni pełni w probabilistyce wolnej rolę wolnego rozkładu Poissona o parametrze t.

Romuald Lenczewski

2

Cytaty

Powiązane dokumenty

Pomniejsze własności transformaty

każda ze stron jest ograniczona z góry przez drugą z dokładnością do stałej multiplikatywnej zależnej tylko od d, s..

IKS - Inwestycja w Kierunki Strategiczne na Wydziale Matematyki i Informatyki UMK  realizowany w ramach Poddziaªania 4.1.2 Programu Operacyjnego Kapitaª Ludzki. Kurs wyrównawczy

Wyznaczyć transformatę Cauchy’ego dla miary dyskretnej, która posiada atomy w punktach na osi rzeczywistej {a

Pokrywanie się obu przebiegów jest tym lepsze im większa jest częstotliwość próbkowania (na rysunku N=16 384, proszę spróbować dla większych

Znaleźć punkt na płaszczyźnie, z którego suma odległości do trzech wierzchołów trójkata jest najmniejsza.... Możliwe sa

Zestaw zadań 4: Grupy permutacji.. (14) Wyznaczyć

Jednym z jego aspektów jest to, i» zamiast rozpatrywa¢ funkcj¦ falow¡ jako funkcj¦ poªo»enia, mo»na równowa»nie rozpatrywa¢.. j¡ jako funkcj¦