Zad. 1.1 W jakim stosunku do siebie pozostaj¡ siªy F

1 Elementy statyki, II zasada dynamiki Newtona

Zad. 1.1 W jakim stosunku do siebie pozostaj¡ siªy F

i F

, je»eli k¡t zawarty mi¦dzy nimi wynosi α = 135

, a warto±¢ liczbowa siªy wypadkowej równa si¦ warto±ci liczbowej mniejszej siªy F

(rys. 1a). Odp.

= √

2 .

Rys. 1:

Siª¦ R rozªo»y¢ na dwie skªadowe P i Q tak, aby byªy one do siebie prostopadªe i aby zachodziªa proporcja P : Q = m : n. Znale¹¢ warto±ci liczbowe siª skªadowych. Odp. P =

√mR

m²+n²

, Q =

.

Zad. 1.2 Na dwóch równych nitkach zaczepionych w punktach A i B odlegªych od siebie o 2a wisi ci¦»arek o ci¦»arze Q (rys. 2a). Jaka powinna by¢ dªugo±¢ l nitek, je»eli wiadomo, »e siªa napr¦»aj¡ca nitki nie mo»e by¢ wi¦ksza ni» T

. Odp. l ≥ √

4T₀²−Q²

.

Rys. 2:

Zad. 1.3 Odwa»nik Q zawieszono na trzech rozªo»onych symetrycznie linkach. Jaki jest ci¦»ar odwa»nika, je»eli dªugo±¢ ka»dej linki l =1 m, a punkty zaczepienia linek tworz¡ trójk¡t równo- boczny ABC o boku a = 1 m, za± pojedyncze linki s¡ napi¦te siª¡ F = 25 N (rys. 2b). Odp.

Q = √

6F = 61,24 N.

Zad. 1.4 Na ciaªo o masie 2 kg dziaªaj¡ siªy F

= 3 N i F

= 4 N pod k¡tami α

= 60

i α

= 120

wzgl¦dem pr¦dko±ci pocz¡tkowej υ

= 20 m/s. Znale¹¢ przyspieszenie ciaªa, jego pr¦dko±¢ i przesuni¦cie po 10 s ruchu (rys. 1b). Odp. a = −0,25 i + 3 j m/s

, v = 17,5 i + 30 j m/s,

∆r = 187,5 i + 150 j m.

Zad. 1.5 Spoczywaj¡cy pocz¡tkowo klocek o masie m = 2 kg zmienia pod wpªywem dziaªania

trzech staªych siª poªo»enie o wektor ∆r = 8j − 2k m. Znale¹¢ wektor trzeciej siªy, je»eli dwa

pierwsze wektory maj¡ posta¢ F

= i + 3j N i F

= −j + k N, a czas w którym nast¡piªo

przemieszczenie, wynosiª t =2 s. Znale¹¢ wektor pr¦dko±ci w chwili t = 2 s.

Zad. 1.6 Spoczywaj¡ca pocz¡tkowo cz¡stka o masie m = 5 kg zmieniªa w ci¡gu 2 s pod wpªywem dziaªania siª poªo»enie o wektor ∆r = 10j − 2k m. Znale¹¢ wektor trzeciej siªy, je±li dwa pierwsze wektory maj¡ posta¢: F

= 2i + 3j N oraz F

= −j + k N.

Zad. 1.7 Cz¡stka o masie m =2 kg przemieszcza si¦ z punktu o wspóªrz¦dnych r

= −i + 7k m do punktu r

= 3i − 9k m w czasie 4 s. Zakªadaj¡c, »e jej pr¦dko±¢ pocz¡tkowa byªa równa zeru, a przyspieszenie jest staªe, obliczy¢ wypadkow¡ siª¦ dziaªaj¡c¡ na cz¡stk¦.

Zad. 1.8 Siªy F

= i N, F

= 2i + j N, F

= −5i + 4j N oraz F

dziaªaj¡ jednocze±nie na cz¡stk¦

o masie m =5 kg nadaj¡c jej przyspieszenie a = −i + 3j m/s

. Obliczy¢ siª¦ F

.

Zad. 1.9 Na cz¡stk¦ o masie m =2 kg dziaªa siªa F

= 20i N. Obliczy¢ przyspieszenie a cz¡stki.

Jak¡ drog¦ przebywa cz¡stka w czasie pierwszych 5 sekund ruchu, je»eli pocz¡tkowo byªa nieru- choma? Obliczy¢ przyspieszenie cz¡stki je»eli dodatkowo dziaªaj¡ na ni¡ siªy F

= −16i N oraz F

= 8j N.Ciaªo jest wprawiane w ruch siª¡ F = 0,02 N i w ci¡gu pierwszych czterech sekund przebywa drog¦ s = 3,2 m. Jaka jest jego masa i jak¡ pr¦dko±¢ osi¡gnie ciaªo pod koniec pi¡tej sekundy swego ruchu: Odp. m = 0,05 kg, υ = 2 m/s.

Zad. 1.10 Pocisk artyleryjski o masie m = 5 kg opuszcza luf¦ dziaªa z pr¦dko±ci¡ υ = 1200 m/s.

Jaka siªa dziaªa na pocisk, przy zaªo»eniu, »e ruch w lue byª jednostajnie przyspieszony i trwaª 0,01 s? Odp. f = 6 × 10

N.

Zad. 1.11 Pocisk armatni o masie m = 24 kg opuszcza luf¦ dziaªa z pr¦dko±ci¡ υ

= 500 m/s.

Wyznaczy¢ ±redni¡ warto±¢ siªy dziaªaj¡cej na pocisk w lue, je»eli wiemy, »e jej dªugo±¢ wynosi 2 m? Odp. f ≈ 1,47 × 10

N.

Zad. 1.12 Ciaªo o masie m =15 kg zrzucone z wysoko±ci h =10 m zagª¦biªo si¦ w ziemi¦ na gª¦boko±¢ d = 0,5 m. Obliczy¢ ±redni¡ siª¦ hamuj¡c¡ dziaªaj¡c¡ na ciaªo w Ziemi. Odp. F =

mhg

d

= 2943 N.

Zad. 1.13 Wagon kolejowy jedzie po poziomym torze prostoliniowym i jest hamowany siª¡ równ¡

0,1 ci¦»aru wagonu. Wyznaczy¢ czas oraz drog¦ hamowania, je»eli pr¦dko±¢ wagonu przed roz-

pocz¦ciem hamowania wynosiªa υ

= 72 km/h. Odp. t =

= 20,4 s, s =

= 204 m.

2 Ruch po zadanej powierzchni, bezwªadno±¢

Zad. 2.1 Kulka o masie m zawieszona na niewa»kiej nici w zale»no±ci od tego, w jaki sposób zostanie wprawiona w ruch wykonuje drgania wahadªowe lub porusza si¦ ruchem jednostajnym po okr¦gu w p

ªaszczy¹nie poziomej. Zakªadaj¡c, »e znany jest k¡t α mi¦dzy pionem i kierunkiem nici ob- liczy¢ siª¦ napr¦»enia nici T , kiedy dochodzi do skrajnego poªo»enia w ruchu drgaj¡cym oraz w ruchu po okr¦gu. Odp. W skrajnym poªo»eniu w ruchu wahadªowym T = mg cos α, w ruchu po okr¦gu T =

.

Zad. 2.2 Kulka o masie m = 1 kg jest zawieszona na nici o dªugo±ci l = 30 cm, której drugi koniec jest przytwierdzony na staªe. Kulka porusza si¦ po okr¦gu w pªaszczy¹nie poziomej ze staª¡ pr¦dko±ci¡ υ, przy czym nitka tworzy z pionem k¡t α = 60

. Oblicz pr¦dko±¢ υ oraz siª¦

napr¦»enia nici. Odp. υ =

(1 − cos

α) = 2,1 m/s, T =

= 19,62 N.

Zad. 2.3 Kulka, zawieszona na nici, porusza si¦ ruchem jednostajnym po okr¦gu w pªaszczy¹nie poziomej. Obliczy¢ warto±¢ ilorazu siª napr¦»enia nici oraz warto±¢ ilorazu pr¦dko±ci k¡towych dla dwóch ró»nych warto±ci k¡ta: α

= 30

i α

= 45

. Odp.

=

1

=

√2

3

,

=

1

=

(2 3

)_1/4

.

Zad. 2.4 Cz¡stka o masie m = 2 kg porusza si¦ po okr¦gu o promieniu R =5 m. W pewnej chwili jej pr¦dko±¢ jest równa υ = 2 m/s, a przyspieszenie liniowe

= 2 m/s

. Jaka siªa dziaªa na cz¡stk¦ w tym momencie? Odp. f = m

√

υ⁴ R²

+

(dυ dt

)₂

= 2,15.

Zad. 2.5 Ciaªo o masie m, zawieszone na nici o dªugo±ci l, wychylono o 90

z poªo»enia pio- nowego i puszczono. Znajd¹ zale»no±¢ siªy napr¦»enia nici i przyspieszenia ciaªa od k¡ta mi¦dzy kierunkiem nici i pionem. Odp. T = 3mg w najni»szym punkcie, T = 3mg cos α, a

= 2g cos α , a

= g sin α, a = g √

3 cos

α + 1.

Zad. 2.6 Obliczy¢ stosunek siª, jakimi czoªg naciska na ±rodkowe cz¦±ci mostów wypukªego i wkl¦sªego. Promie« krzywizy mostów w obu wypadkach jest równy r = 40 m, a pr¦dko±¢ czoªgu υ = 45 km/h. Odp.

=

= 0,43.

Zad. 2.7 Kamie« o masie m = 3 kg, uwi¡zany na nitce o dªugo±ci l = 1 m, porusza si¦ po okr¦gu w pªaszczy¹nie pionowej. Z jak¡ najwi¦ksz¡ pr¦dko±ci¡ k¡tow¡ mo»e porusza¢ si¦ kamie«

po okr¦gu, aby nitka nie ulegªa zerwaniu, je»eli do±wiadczalnie stwierdzili±my, »e do jej zerwania potrzebna jest siªa f =41,43 N. Odp. ω =

= 2 rad/s.

Zad. 2.8 Samochód o masie m = 1000 kg jedzie po wypukªym mo±cie z pr¦dko±ci¡ υ =36 km/h.

Promie« krzywizny mostu wynosi r = 50 m. Jaki nacisk wywiera samochod na most w chwili przeje»d»ania przez jego ±rodek? Odp. f = m

g −

≈ 7810 N.

Zad. 2.9 Jaki jest pozorny ci¦»ar osoby o masie m = 75 kg w windzie poruszaj¡cej si¦: a) do

góry z opó¹nieniem 0,2 m/s

i na dóª z przyspieszeniem 0,2 m/s

; b) do góry z przyspieszeniem

0,15 m/s

i na dóª z opó¹nieniem 0,15 m/s

? Odp. a) f

= 721 N w obu przypadkach; b) f

= 746 N

w obu przypadkach.

Zad. 2.10 W windzie zainstalowano wag¦ spr¦»ynow¡, na której zawieszono ci¦»arek o masie m = 1 kg. Jaki ci¦»ar b¦dzie wskazywa¢ waga, je»eli: a) winda porusza si¦ do góry z przyspiesze- niem 4,9 m/s

skierowanym na dóª; porusza si¦ na dóª z przyspieszeniem 4,9 m/s

skierowanym do góry; c) porusza si¦ w dóª z przyspieszeniem 1 m/s

równie» skierowanym w dóª. Odp. a) f = 4,9 N; b) f = 14,6 N; f = 8,8 kG.

Zad. 2.11 Obliczy¢ minimalne przyspieszenie z jakim nale»y opuszcza¢ na lince o wytrzymaªo±ci

f = 400 N ci¦»ar o masie m =50 kg, aby linka si¦ nie zerwaªa. Odp. a = 1,8 m/s

.

3 Siªy tarcia i oporu

Zad. 3.1 Na stole le»y klocek o masie m, który staramy si¦ przesun¡¢ w prawo, przykªadaj¡c do niego siª¦ F (rys. 3a). Jaka jest siªa tarcia statycznego? Jaka jest mo»liwa maksymalna warto±¢

siªy tarcia statycznego? Odp. F

= −F, F

= µ

mg .

Rys. 3:

Zad. 3.2 Jaka jest najmniejesza warto±¢ statycznego wspóªczynnika tarcia µ

, przy której klocek znajduj¡cy si¦ na równi pochyªej o k¡cie nachylenia α = 30

nie zsuwa si¦? Z jakim przyspieszeniem b¦dzie si¦ zsuwaª klacek, je»eli wspóªczynnik tarcia kinetycznego wynosi µ

=

µstat, min

2

? Odp. µ

= tan α =

3

, a =

.

Zad. 3.3 Jaki powinien by¢ minimalny wspóªczynnik tarcia statycznego pomi¦dzy koªami na- p¦dowymi samochodu i drog¡, aby pojazd o masie m = 2 t i ªadunku m

= 4 t mógª porusza¢

si¦ z przyspieszeniem a = 0,2 m/s

? Rozpatrzy¢ przypadki, kiedy samochód ma nap¦d na cztery koªa oraz, gdy tylko tylne koªa s¡ nap¦dowe. Zaªo»y¢, »e ±rodek masy samochodu znajduje si¦ w

±rodku pomi¦dzy osiami kóª, a ±rodek masy ªadunku  nad tyln¡ osi¡. Odp. Je±li pojazd posiada nap¦d na cztery koªa, to µ

≥

≈ 0,02 nie zale»y od caªkowitego ci¦»aru pojazdu, ponie- wa» siªa tarcia jest proporcjonalna do nacisku na koªa. Je±li samochód ma nap¦d na tylne koªa, to µ

≥

, gdzie n jest ci¦»arem przypadaj¡cym na tylne koªa pojazdu. W rozpatrywanym przypadku n =

i µ

≈ 0,024.

Zad. 3.4 Kto± ci¡gnie sanki o masie m dziaªaj¡c siª¡ F, przyªo»on¡ do sznurka, który tworzy z poziomem k¡t α; wspóªczynnik tarcia po±lizgowego wynosi µ

(rys. 4a). Znale¹¢ warto±¢ siªy tarcia kinetycznego. Odp. F

= µ(mg − F sin α).

Rys. 4:

Zad. 3.5 Sanki o masie m ci¡gni¦te s¡ po poziomej powierzchni siª¡ F przyªo»on¡ pod k¡tem α do poziomu (rys. 4a). W ci¡gu czasu t sanki zmieniªy swoj¡ pr¦dko±¢ z υ

na υ, poruszaj¡c si¦ w jednym kierunku ruchem przyspieszonym. Znale¹¢ wspóªczynnik tarcia po±lizgowego µ

. Odp. µ

=

mgt−F t sin α)

.

Zad. 3.6 Klocek o masie m le»y na wózku o masie M; maksymalna warto±¢ siªy tarcia staty- czego mi¦dzy wózkiem a klockiem charakteryzuje si¦ wspóªczynnikiem µ

; mi¦dzy wózkiem i powierzchni¡ Ziemi nie ma tarcia (rys. 4b). Znale¹¢ minimaln¡ siª¦ F dziaªaj¡c¡ na wózek, przy którek klocek zacznie przemieszcza¢ si¦ na platformie wózka. Odp. F = (M + m)µ

g .

Zad. 3.7 Wzdªu» równi pochyªej pchni¦to w gór¦ kr¡»ek. Po pewnym czasie kr¡»ek zatrzymaª si¦ i zacz¡ª ze±lizgiwa¢ si¦ w dóª. Wyznaczy¢ wspóªczynnik tarcia µ kr¡»ka o równi¦, je»eli czas ze±lizgiwania jest n razy wi¦kszy od czasu wznoszenia. Odp. µ =

tan α .

Rys. 5:

Zad. 3.8 Na rys. 5 pokazano cztery ró»ne przykªady ±lizgania si¦ klocka pod wpªywem dziaªania siªy F. Wyznaczy¢ siª¦ tarcia w ka»dym przykªadzie przyjmuj¡c, »e ruch klocka odbywa si¦

bez przyspieszenia oraz dane s¡: masa m, siªa F , wspóªczynnik tarcia kinetycznego µ

oraz k¡t α. Odp. a) F

= µ

mg ; b) F

= µ

(mg − F sin α); c) F

= µ

mg cos α d) F

= µ

(mg cos α − F sin α).

Zad. 3.9 Samochód, który u podnó»a góry o k¡cie nachylenia α miaª pr¦dko±¢ υ

, porusza si¦

w gór¦ z wyª¡czonym silnikiem. Znale¹¢ wysoko±¢ (liczon¡ od podnó»a góry), na jak¡ wjechaª samochód w ci¡gu czasu t. Wspóªczynnik tarcia hamuj¡cego wynosi µ

.

Odp. h =

υ

t −

t

sin α.

Zad. 3.10 Samochód o masie m jad¡c pod gór¦ po drodze nachylonej do poziomu pod k¡tem α zwi¦ksza swoj¡ pr¦dko±¢ od υ

do υ na odcinku drogi ∆s. Przyjmuj¡c, »e wspóªczynnik tarcia ha- muj¡cego wynosi µ

, znale¹¢ siª¦ poci¡gow¡ tarcia.

Odp. f =

+ µ

cos α + sin α

)

mg.

Zad. 3.11 Klocek o masie m znajduje si¦ na równi pochyªej, której k¡t nachylenia do poziomu mo»na zmienia¢ od 0

do 90

. Sporz¡dzi¢ wykres zale»no±ci siªy tarcia klocka o równi¦ od k¡ta α.

Wspóªczynnik tarcia statycznego jest równy µ

, po±lizgowego  µ

, µ

> µ

. Odp. Rys.

6.

1Siªa ci¡gu pojazdów mechanicznych jest reakcj¡ na dziaªanie kóª nap¦dowych na Ziemi¦ i zwykle okre±la si¦

j¡ jako poci¡gow¡ siª¦ tarcia f. Jej kierunek jest zgodny z kierunkiem ruchu i najcz¦±ciej (równie» w tym zadaniu) jest ona siª¡ tarcia statycznego.

Rys. 6:

Zad. 3.12 Na kraw¦dzi równi pochyªej o kacie nachylenia α le»y klocek. Równia obraca si¦

jednostajnie wokóª pionowej osi z pr¦dko±ci¡ k¡tow¡ ω. Odlegªo±¢ od ciaªa do osi obrotu równi jest równa r (rys. 7). Znale¹¢ najmniejszy wspóªczynnik tarcia statycznego µ

, przy którym klocek utrzymuje si¦ na obracaj¡cej si¦ równi pochyªej. Rozpatrzy¢ przypadki szczególne, gdy α = 0 oraz ω = 0. Odp. µ

=

g cos α−ω²rsinα

. Gdy klocek znajduje si¦ na wiruj¡cej tarczy (α = 0), wówczas µ

=

. W drugim przypadku, gdy ω = 0, klocek znajduje si¦ na nieruchomej równi pochyªej. Wówczas µ

= tan α (por. zad. 3.2).

Rys. 7:

Zad. 3.13 Jednorodna linka o dªugo±ci l zaczyna zsuwa¢ si¦ ze stoªu, gdy

jej dªugo±ci zwisa (rys. 8a). Obliczy¢ wspóªczynnik tarcia statycznego. Jaki b¦dzie charakter ruchu linki? Odp.

µ

=

, linka b¦dzie zsuwa¢ si¦ ruchem niejednostajnie przyspieszonym.

Rys. 8:

Zad. 3.14 Jak¡ najwi¦ksz¡ liczb¦ N wagonów mo»e ci¡gn¡¢ do góry lokomotywa (rys. 8b), je»eli nachylenie góry wzgl¦dem poziomu wynosi 0,025 (sin α = 0,025) oraz wiadomo, »e cie-

»ar lokomotywy jest trzy razy wi¦kszy od ci¦»aru wagonu, wspóªczynnik tarcia statycznego wynosi µ

= 0, 1 oraz wspóªczynnik tarcia przy toczeniu jest równy µ

= 0,001? Odp.

N = 3

kincos α

= 9 .

Zad. 3.15 Na pªyn¡cy statek dziaªa siªa oporu wody równa F = −bυ, b > 0. Gdy dziaªa jego silnik, statek pªynie z szybko±ci¡ υ

. Po wyª¡czeniu silnika statek zwalnia i zatrzymuje si¦.

Obliczy¢ poªo»enie i pr¦dko±¢ statku jako funkcje czasu. Je»eli w ci¡gu 10 sekund statek zwolniª od pr¦dko±ci 4 m/s do pr¦dko±ci 1 m/s, to jak daleko popªynie on, zanim si¦ zatrzyma? Odp.

υ(t) = υ

exp

−

t

, x(t) =

1 − exp

−

t

, 29 m.

Zad. 3.16 Niewielka kulka o masie m spada w rurze wypeªnionej lepk¡ ciecz¡, która stawia kulce opór proporcjonalny do pr¦dko±ci kulki (tzn. siªa oporu o±rodka wynosi F = −bυ, b > 0).

Obliczy¢ pr¦dko±¢ i zanurzenie kulki jako funkcje czasu, je»eli υ(0) = 0 oraz zanurzenie y(0) = 0.

Odp. υ(t) =

1 − exp

−

t

)]

, y(t) =

exp

−

t

)

+

− 1

.

Zad. 3.17 Kamie« o masie m rzucono pionowo w dóª z pr¦dko±ci¡ υ

do studni, w której poziom wody jest na gª¦boko±ci h. Kamie« w powietrzu spada swobodnie (pomijamy opór powietrza), a w wodzie dziaªa na niego siªa oporu proporcjonalna do pr¦dko±ci: F = −kv. Jak poªo»e- nie, pr¦dko±¢ i przyspieszenie kamienia zale»¡ od czasu? Odp. υ = υ

+ (υ

− υ

) e

, a =

(

g −

υ

e

, x = υ

t +

(υ

− υ

)

1 − e

+ h , gdzie υ

=

√

υ

+ 2gh , υ

=

oraz przyjmujemy, »e t = 0 w momencie, gdy kamie« osi¡ga powierzchni¦ wody.

Zale»no±¢ pr¦dko±ci i przyspieszenia od czasu w przypadkach υ

> υ

, υ

= υ

oraz υ

< υ

przedstawiono na rys. 9.

Zad. 3.18 W ±lad za kamieniem z zad. 3.17 wrzucono do studni, po czasie T , drugi kamie«

o takiej samej masie i z tak¡ sam¡ pr¦dko±ci¡. Jaka b¦dzie zale»no±¢ od czasu odlegªo±ci D pomi¦dzy kamieniami? Odp. x = υ

[

T +

(m

k

−

e

1 − e

.

Zad. 3.19 Piªk¦ o masie m rzucono pionowo w gór¦ z pr¦dko±ci¡ pocz¡tkow¡ υ

. Siªa oporu powietrza dziaªaj¡ca na piªk¦ jest dana wzorem F = −kv. Znale¹¢ równanie ruchu piªki, czas lotu do najwy»szego punktu toru i poªo»enie punktu. Odp. x =

(υ

+ υ

)

(

1 − e

−υ

t , gdzie υ

=

, czas lotu t

=

ln

(

1 +

∞

)

, x

=

υ

− υ

ln

1 +

∞

)]

Zad. 3.20 Znale¹¢ zale»no±¢ od pr¦dko±ci siªy oporu dziaªaj¡cej na ciaªo o masie m, które po- ruszaj¡c si¦ wzdªu» osi x przebywa odcinek (0, x) w czasie t = ax

+ bx + c , gdzie a, b i c s¡

staªymi. Odp. F = −2amυ

.

Zad. 3.21 Ciaªo o masie m i pr¦dko±ci υ

wlatuje do o±rodka, w którym dziaªa na nie siªa oporu F = −kυ

v, gdzie n ≥ 0. Udowodni¢, »e ruch tego ciaªa b¦dzie ruchem prostoliniowym oraz przedyskutowa¢ zale»no±¢ zasi¦gu i czasu trwania ruchu od warto±ci n. Odp. Dla 0 ≤ n < 1 ciaªo zatrzyma si¦ po przebyciu drogi s =

υ

w czasie T =

; dla 1 ≤ n < 2 ciaªo si¦ nigdy nie zatrzyma, ale po niesko«czenie dªugim czasie przeb¦dzie drog¦ s =

υ

; dla n ≥ 2 ciaªo si¦ nigdy nie zatrzyma, a jego zasi¦g jest nieograniczony. Uwaga: Przypadki dla n = 1 oraz n = 2 nale»y rozpatrywa¢ osobno.

Zad. 3.22 Samochód o masie m hamowany jest siª¡ oporu F = −kυ

. Jak¡ drog¦ przbedzie

samochód, zanim jego pr¦dko±¢ zmaleje do poªowy. Odp. x =

ln 2 .

Rys. 9:

Zad. 3.23 Czªowiek o masie 80 kg osi¡ga przy spadaniu swobodnym w powietrzu υ

≈ 50 m/s.

Spadochroniarz o tej samej masie osi¡ga υ

≈ 5 m/s. Zaªó»my, »e siªa oporu powietrza jest pro- porcjonalna do pr¦dko±ci F = −kv. Jakie s¡ warto±ci wspóªczynnika k w obu tych przypadkach?

Ile wyniesie droga przebyta w czasie t = 10 s, je»eli pr¦dko±¢ pocz¡tkowa jest równa 0? Odp.

k

= 16 kg/s, k

= 160 kg/s, s

= 283 m, s

= 50 m.

Zad. 3.24 Na ciaªo o masie m dziaªa siªa F tworz¡ca z kierunkiem ruchu k¡t α. Siªa oporu o±rodka zale»y od pr¦dko±ci ciaªa w nast¦puj¡cy sposób: F

= −F

− kυ. Znale¹¢ pr¦dko±¢ i przyspieszenie ciaªa w funkcji czasu, je»eli w chwili t = 0 ciaªo spoczywa.

Odp. υ =

1 − e

, a =

e

.

Zad. 3.25 W spadku swobodnym w pewnym zakresie pr¦dko±ci opór o±rodka R(υ) = kSυ

, gdzie S jest polem najwi¦kszego przekroju kulki. Obliczy¢ czas, po jakim kulka spadaj¡ca swo- bodnie w powietrzu osi¡gnie okre±lony uªamek x =

swojej pr¦dko±ci granicznej. Pr¦dko±¢

kulki w chwili pocz¡tkowej wynosi 0. Odp. t =

ln

.

4 Siªy kontaktowe, wi¦zy

Zad. 4.1 Dwa klocki o ksztaªtach prostopadªo±cianów stykaj¡ce si¦ ±cianami bocznymi mog¡

porusza¢ si¦ bez tarcia po poziomym stole. Na klocki dziaªamy poziomo skierowan¡ siª¡ o war- to±ci F raz z lewej, a drugi raz z prawej strony. Obliczy¢ stosunek warto±ci siª wzajemnego oddziaªywania klocków na siebie w obu przypadkach. Masy klocków wynosz¡ M oraz m.

Zad. 4.2 Kamie« o masie m = 6 kg zostaª zrzucony z wysoko±ci h = 9,8 m. Jak¡ siª¡ spadaj¡cy kamie« dziaªa na Ziemi¦? Ile wynosi przyspieszenie Ziemi wywoªane dziaªaniem tej siªy? O ile przesunie si¦ Ziemia w kierunku kamienia do momentu spotkania si¦ z nim? Masa Ziemi wynosi M ≈ 6 × 10

kg

Zad. 4.3 Z pewnym przybli»eniem mo»na stwierdzi¢, »e Ziemia i Ksi¦»yc wskutek wzajmnego oddziaªywania grawitacyjnego poruszaj¡ si¦ ruchem jednostajnym po okr¦gu wokóª wspólnego

±rodka masy. Obliczy¢ stosunek przyspiesze« do±rodkowych obu ciaª niebieskich, je»eli masa Ziemi wynosi M

= 6 × 10

kg, za± masa Ksi¦»yca  M

= 7,3 × 10

kg. Odp.

=

K

≈ 82.

Rys. 10:

Zad. 4.4 Na pªaskim stole le»y 6 jednakowych klocków o masie 1 kg (rys. 10a). Na pierwszy klocek dziaªa siªa 10 N w kierunku wskazanym strzaªk¡. Znale¹¢ wypadkow¡ siª¦ f dziaªaj¡c¡ na ka»dy z sze±cianów. Zaznaczy¢ na rysunku siªy dziaªaj¡ce na przylegaj¡cych ±ciankach ka»dych dwóch klocków. Z jak¡ siª¡ f

czwarty klocek dziaªa na pi¡ty? Odp. f =

N, f

=

N.

Zad. 4.5 Na dwa klocki o masach m

i m

zwi¡zane nierozci¡gliw¡ nici¡ dziaªaj¡ siªy F

i F

pod k¡tami α

i α

w stosunku do poziomu (rys 11a). Znale¹¢ przyspieszenie ukªadu, je»eli wspóªczynnik tarcia pomi¦dzy klockamii pªaszczyzn¡ wynosi µ.

Odp. a =

.

Rys. 11:

Zad. 4.6 Jednorodny blok o staªym przekroju i dªugo±ci l posuwa si¦ z tarciem po poziomej

powierzchni pod dziaªaniem poziomej siªy o warto±ci F . Znale¹¢ napr¦»enie T w bloku w funkcji

odlegªo±ci od jego tylnego ko«ca (rys. 11b). Odp. T =

x .

Zad. 4.7 Na pªaskim stole le»y jednorodny pr¦t AC o masie m i dªugo±ci l (rys. 10b). Do pr¦ta przyªo»ona jest siªa F . Jak¡ siª¡ F

dziaªa wydzielony my±lowo odcinek AB =

l na odcinek BC pr¦ta? Odp. F

= −

F .

Rys. 12:

Zad. 4.8 Obliczy¢ przyspieszenia z jakim poruszaj¡ si¦ masy oraz napr¦»enia nici w sytuacjach przedstawionych na rys. 12. Zaniedba¢ mas¦ nici oraz mas¦ bloczka. Rozpatrzy¢ ukªady przy zaªo»eniu braku tarcia i z tarciem. Odp. Przy braku tarcia: a) a =

g , T =

g ; b) a =

1+m2

, T

= (m

+ m

) a , T

= m

a ; c) a =

, T

= (m

+ m

+ m

) a , T

= (m

+ m

) a, T

= m

a.

Rys. 13:

Zad. 4.9 Dwa identyczne ciaªa i le»¡ na pªaskim stole i poª¡czone s¡ nici¡ w taki sposób, »e tworzy ona lini¦ prost¡ (rys. 13). Ni¢ wytrzymuje napr¦»enie nie wi¦ksze ni» T = 20 N. Jak¡ siª¦

F nale»y przyªo»y¢ poziomo do jednego z ciaª, by zerwa¢ ni¢? Odp. F ≥ 40 N.

Zad. 4.10 Lokomotywa ci¡gnie dwie naªadowane platformy rozwijaj¡c przy tym siª¦ ci¡gu 800 N. Masa pierwszej platformy wynosi 12 t, drugiej  8 t. Obliczy¢ napr¦»enie zaczepu po- mi¦dzy platformami. Odp. T =

F = 320 N.

Zad. 4.11 Do ci¦»aru A o masie m

= 7 kg zawieszono na sznurze cie»ar B o masie m

= 5 kg.

Masa sznura wynosi m = 4 kg. Do ci¦»aru A przyªo»ono siª¦ F = 240 N skierowan¡ do góry.

Wyznaczy¢ napr¦»enie w górnym ko«cu sznura i jego ±rodku. Odp. T

= (m

+ m) (a + g) , T

=

m

+

(a + g) .

Zad. 4.12 Ko« ci¡gnie sanie. Przeanalizowa¢ wzajemne oddziaªywanie ukªadu trzech ciaª: ko- nia, sani i powierzchni Ziemi. Zaznaczy¢ wektory siª dziaªaj¡cych na ka»de z tych ciaª i ustali¢

zale»no±ci pomi¦dzy nimi.

Zad. 4.13 Jak zmieniaj¡ si¦ wspóªzale»no±ci pomi¦dzy siªami z zad. 4.12, je»eli ko« wraz z

saniami porusza si¦ z przyspieszeniem a? Okre±li¢ warto±¢ wszystkich siª, je»eli a = 0,2 m/s

.

Masa sani wynosi M = 0,5 t, masa konia  m = 0,35 t a wspóªczynnik tarcia sani o ±nieg 

µ = 0,3 .

Rys. 14:

Zad. 4.14 Jak¡ maksymaln¡ siª¦ F mo»na przyªo»y¢ do dolnego klocka (rys. 14a), by górny klocek nie zsun¡ª si¦ w ruchu z przyspieszeniem. Wspóªczynnik tarcia dla górnego klocka wynosi µ

= 0, 1, a dla dolnego µ = 0,2. Ci¦»ar górnego klocka jest równy Q

= 10 N, dolnego  Q

= 20 N. Odp. F = (Q

+ Q

) (µ

+ µ

) = 9 N.

Zad. 4.15 Trzy klocki o jendakowych masach m = 1 kg s¡ uªo»one jeden na drugim (rys. 14b).

Wspóªczynnik tarcia pomi¦dzy pierwszym i drugim klockiem wynosi µ

= 0,1 , pomi¦dzy drugim i trzecim  µ

= 0,2 , pomi¦dzy trzecim i podªo»em µ

= 0,1 . Klocek drugi ci¡gni¦ty jest w kierunku poziomym pewn¡ siª¡ F . Przy jakiej warto±ci siªy mo»liwy jest ruch trzech klocków, w którym pierwszy i trzeci klocek pozostaj¡ w spoczynku wzgl¦dem siebie? Obliczy¢ przyspieszenia a

, a

i a

wszystkich trzech klocków w tym ruchu. Odp. 1) Wszystkie klocki znajduj¡ si¦ w spoczynku: a

= a

= a

= 0, F ≤ 3µ

mg = 2,94 N; 2) Caªy ukª¡d porusza si¦ jako jedna caªo±¢:

a

= a

= a

= a , 0 < a ≤ µ

g = 0,98 m/s

, 3µ

mg < F ≤ 2mg (µ

+ µ

) = 5,88 N; 3) a

= a

6=

a

, a

= a

= µ

g = 0,98 m/s

, a

=

−g (µ

+ 2µ

) > 0,98 m/s

, F > 2mg (µ

+ µ

) = 5,88 N.

Rys. 15:

Zad. 4.16 Obliczy¢ przyspieszenia mas, siªy dziaªaj¡ce na osie bloczków oraz napr¦»enia nici w sytuacjach przedstawionych na rys. 15.

Masy bloczków i nici oraz tarcie zaniedba¢. Odp. a) a =

1+m2

g , T = 2

g , f = 2T ; b) a

=

1(m2+m3)+4m2m3

g , T

=

2m3+m1(m2+m3)

g , T

=

; c) a

=

1+m2

g , a

= −

, T =

g .

2W celu znalezienia rozwi¡zania cz¦±ci b) nale»y oznaczy¢ przez x1, x2oraz x3odlegªo±ci mas m1, m2oraz m3

od pªaszczyzny, do której przytwierdzony jest nieruchomy bloczek. Zachodzi wówczas równo±¢: x2+ x3+ 2x1 = l2 + 2l1 +const, gdzie l1 i l2 s¡ dªugo±ciami nici. Po dwukrotnym zró»niczkowaniu uzyskamy niezb¦dn¡ dla rozwi¡zania zagadnienia zale»no±¢ pomi¦dzy przyspieszeniami wszystkich trzech mas: a2+ a3+ 2a1= 0.

Zad. 4.17 W ukªadzie opisanym w zad. 4.16a masy m

oraz m

poruszaj¡ si¦. W przedziale czasu t od rozpocz¦cia ruchu, masa m

opadªa o n-t¡ cz¦±¢ odlegªo±ci, o jak¡ opadªaby, gdyby opadaªa swobodnie. Jaki jest stosunek mas m

i m

? Odp.

=

. Wynik ten mo»na ªatwo uzyska¢ na podstawie odpowiedzi do zad. 4.16a, podstawiaj¡c za a =

.

Rys. 16:

Zad. 4.18 Na linie przerzuconej przez blok i przyczepionej do masy M znajduje si¦ maªpka o masie m (rys. 16a). Znale¹¢ przyspieszenie a masy M w przypadku, gdy: a) maªpka nie porusza si¦ wzgl¦dem liny; b) maªpka wspina si¦ po linie ze staª¡ pr¦dko±ci¡ υ

wzgl¦dem liny; c) maªpka wspina si¦ po linie ze staªym przyspieszeniem a

wzgl¦dem liny. Zagadnienie rozwi¡za¢ przy zaªo»eniu, »e masa M porusza si¦ bez tarcia oraz gdy na mas¦ M dziaªa siªa tarcia (wspóªczynnik tarcia równy µ). Odp. Bez tarcia: a) a =

g ; b) jak poprzednio, z tym, »e odlegªo±¢ maªpki od masy M b¦dzie malaªa; c) caªkowite przyspieszenie maªpki: a

=

oraz a =

(g + a

) . Z tarciem: a =

; b) jak poprzednio; c) a

=

, a = a

+ a

=

. Zad. 4.19 Znale¹¢ rozwi¡zanie zad. 4.18 w przypadku, gdy masa M wisi po drugiej stronie bloczku (rys. 16b). Odp. a) a =

g ; b) jak poprzednio; c) a

=

, a = a

+ a

=

mg+ma0−Mg M +m

.

Zad. 4.20 Maªpka o masie m jest równowa»ona przeciwwag¡ na bloczku B. Blok B jest z kolei równowa»ony cie»arem o masie 2m na nieruchomym bloku C (rys. 16c). Ukªad na pocz¡tku jest nieruchomy. Z jak¡ pr¦dko±ci¡ b¦dzie podnosi¢ si¦ ci¦»ar o masie 2m, je±li maªpka w pewnym momencie zacznie ci¡gn¡¢ link¦ z dowoln¡ pr¦dko±ci¡ υ? Masy obu bloczków zaniedba¢. Odp.

Ci¦»ar b¦dzie podnosiª si¦ z pr¦dko±ci¡

, niezale»nie od tego, czy pr¦dko±¢ z jak¡ maªpka przeci¡ga link¦ jest staªa, czy nie.

Zad. 4.21 Przez blok przerzucono link¦ o dªugo±ci l. Na ko«cach linki, w jednakowej odlegªo±ci l/2 od bloku, znajduj¡ si¦ dwie maªpki. W pewnym momencie maªpki zaczynaj¡ jednocze±nie podci¡ga¢ si¦ do góry, przy czym jedna podci¡ga si¦ z pr¦dko±ci¡ υ, druga z pr¦dko±ci¡ 2υ. Po jakim czasie ka»da z nich dotrze do bloku. Zaniedba¢ mas¦ bloku i linki; przyj¡¢, »e masy maªpek s¡ jednakowe. Odp. Obie maªpki dotr¡ do bloku jednocze±nie w czasie τ =

. W rzeczy samej napr¦»enie linki po obu stronach bloku jest jednakowe. Oznacza to, »e zarówno przyspieszenia, jak i pr¦dko±ci maªpek wzgl¦dem bloku b¦d¡ jednakowe. Skoro zbli»aj¡ si¦ one do siebie z pr¦dko±ci¡

3υ , to caªy odcinek l przeb¦d¡ one w czasie l/3υ.

Zad. 4.22 Masa pierwszej maªpki z zad. 4.21 jest dwukrotnie wi¦ksza od masy drugiej. Która z nich wcze±niej dotrze do bloku. Odp. Do bloku szybciej dotrze l»ejsza maªpka, poniewa» jej przyspieszenie wzgl¦dem bloku b¦dzie skierowane do góry, podczas gdy ci¦»szej  w dóª.

Rys. 17:

Zad. 4.23 Obliczy¢ przyspieszenia oraz napr¦»enia nici ukªadzie przedstawionym na rys. 17a.

Rozwa»ania przeprowadzi¢ zaniedbuj¡c tarcie oraz z uwzgl¦dnieniem tarcia pomi¦dzy mas¡ m i powierzchni¡ równi. Odp. Bez tarcia: a =

g , T =

(1 + sin α)g .

Zad. 4.24 Znale¹¢ przyspieszenie masy M w ukªadzie przedstawionym na rys. 17b. Zaniedba¢

masy bloczków i tarcie. Kliny traktowa¢ jako przytwierdzone na staªe do podªo»a. Odp. a =

M (m1+m2)−4m1m2sin α M (m1+m2)+4m1m2

g .

Rys. 18:

Zad. 4.25 Po równi pochyªej nachylonej pod k¡tem α zsuwa si¦ deska o masie M (rys. 18a).

Wspóªczynnik tarcia deski o równi¦ wynosi µ. Na desce umieszczono klocek o masie m, który porusza si¦ bez tarcia. Przy jakiej najmniejszej masie klocka m

ruch deski po równi odbywa¢

si¦ b¦dzie ze staª¡ pr¦dko±ci¡? Odp. m

= M

.

Zad. 4.26 Z jakim przyspieszeniem powinien zje»d»a¢ w dóª samochód o masie m po desce o masie M poªo»onej na nieruchomym klinie o k¡cie nachylenia α, aby deska ±lizgaªa si¦ do góry po klinie ruchem jednostajnym (rys. 18b). Wspóªczynnik tarcia kóª samochodu o desk¦ wynosi µ

, deski o klin µ

. Odp. a =

1 +

)

(sin α + µ

cos α) g . St¡d wida¢, »e a nie zale»y od µ

. Zatem

µ

mo»e by¢ dowolne, ale ró»ne od zera, w przeciwnym razie deska nie mogªaby si¦ porusza¢ w

gór¦.

Zad. 4.27 Dwa jednakowe klocki s¡ poª¡czone niewa»k¡ nici¡ przerzucon¡ przez niewa»ki blok.

Pªaszczyzny obu równi, na których znajduj¡ si¦ klocki, tworz¡ z poziomem k¡ty α i β (rys.

18c). Znale¹¢ przyspieszenie a obci¡zników i siª¦ napr¦»enia T nici. Wspóªczynnik tarcia klockow o obierównie jest jednakowy i wynosi µ. Odp. a =

(sin α − sin β − µ cos α + µ cos β), T =

mg

2

(sin α + sin β − µ cos β − µ cos β).