W zadaniu nale ¿y przeprowadziã obliczenia maksymalnych naprê¿eñ zginaj¹cych 

Materiaùy do ãwiczeñ z Podstaw Konstrukcji Maszyn

Zadanie 1

Na rysunku przedstawiono spos ób obci¹¿enia belki siù¹ skupion¹ P o staùej wartoœci, kierunku dzia ùania i zwrocie. Belka wykonana zostaùa ze stali S235 i posiada na caùej d ùugoœci staùy przekrój.

P

a

L

B z A

y x

W zadaniu nale ¿y przeprowadziã obliczenia maksymalnych naprê¿eñ zginaj¹cych 

g

, maksymalnej strza ùki ugiêcia f oraz masy belki m dla dziewiêciu najczêœciej stosowanych przekroi. Ich kszta ùt i wymiary okreœlono na rysunkach poni¿ej. Analizê wymienionych parametr ów nale¿y przeprowadziã dla czterech przypadków belek charakteryzuj¹cych siê:

a) sta ù¹ wartoœci¹ jednego z gùównych wymiarów przekroju, b) sta ù¹ wartoœci¹ maksymalnej strzaùki ugiêcia,

c) sta ù¹ wartoœci¹ maksymalnych naprê¿eñ zginaj¹cych, d) sta ù¹ mas¹.

Dane: Szukane:

P = 4000 N 

^g

= ?

a = 500 mm f = ?

L = 1000 mm m = ?

E = 2.1  10

⁵

MPa

 = 7.86 kg/dm

³

Rozwi ¹zanie:

1. Reakcje w podporach

R

A

= R

B

= P/2 = 2000 N 2. Moment gn ¹cy

M

g

= R

A

 a = 2000  500 =1 000 000 Nmm = 1 000 Nm

0 Mg

Mg =RA a

3. Obliczenia napr ê¿eñ zginaj¹cych 

g

, strza ùki ugiêcia f oraz masy m dla belki posiadaj ¹cej staù¹ wartoœci¹ jednego z gùównych wymiarów przekroju

a. Kwadratowym (pr êt kwadratowy)

Przyj êto wymiary: H = 60 mm Osiowy moment bezw ùadnoœci

I

x

=

12 H⁴

= 1080000 mm

⁴

Osiowy wska ênik wytrzymaùoœci

W

x

=

6 H³

= 36000 mm

³

Pole powierzchni przekroju poprzecznego S = H

²

= 3600 mm

²

Maksymalna warto œã strzaùki ugiêcia f =

48 210000 1080000

1000 4000 I

E 48

L

P ³

x 3



 

 



= 0.367 mm Maksymalna warto œã naprê¿eñ zginaj¹cych



^g

=

36000 10 1000 W

M ³

x

g  

= 27.8 MPa

Masa belki

m = V   = S  L   = (3600 1000  0,000001)  7.86 = 28.4 kg b. Kwadratowym (pr êt kwadratowy)

Przyj êto wymiary: H = 60 mm Osiowy moment bezw ùadnoœci

I

x

=

12 H⁴

= 1080000 mm

⁴

Osiowy wska ênik wytrzymaùoœci

W

x

=

H³

122 

= 25455.8 mm

³

Pole powierzchni przekroju poprzecznego

S = H

²

= 3600 mm

²

Maksymalna warto œã strzaùki ugiêcia

f =

48 210000 1080000 1000 4000 I

E 48

L

P ³

x 3



 

 



= 0.367 mm Maksymalna warto œã naprê¿eñ zginaj¹cych



^g

=

8 . 25455

10 1000 W

M ³

x

g  

= 39.3 MPa

Masa belki H

x x

y

y

H

H

x x

y

y

H

c. Prostok ¹tnym (pùaskownik)

Przyj êto wymiary: H = 60 mm, B = 15 mm Osiowy moment bezw ùadnoœci

I

x

=

12

H B ³

= 270000 mm

⁴

Osiowy wska ênik wytrzymaùoœci W

x

=

6 H B ²

= 9000 mm

³

Pole powierzchni przekroju poprzecznego

S = H

²

= 900 mm

²

Maksymalna warto œã strzaùki ugiêcia

f =

48 210000 270000 1000 4000 I

E 48

L

P ³

x 3



 

 



= 1.470 mm Maksymalna warto œã naprê¿eñ zginaj¹cych



^g

=

9000 10 1000 W

M ³

x

g  

= 111.1 MPa

Masa belki

m = V   = S  L   = (900 1000  0,000001)  7.86 = 7.1 kg

d. Prostok ¹tnym (pùaskownik)

Przyj êto wymiary: H = 60 mm, B = 15 mm Osiowy moment bezw ùadnoœci

I

y

=

12

B H ³

= 16875 mm

⁴

Osiowy wska ênik wytrzymaùoœci W

y

=

6 B H ²

= 2250 mm

³

Pole powierzchni przekroju poprzecznego

S = H

²

= 900 mm

²

Maksymalna warto œã strzaùki ugiêcia f =

48 210000 16875

1000 4000 I

E 48

L

P ³

y 3



 

 



= 23.5 mm

Maksymalna warto œã naprê¿eñ zginaj¹cych

 

^g

=

2250 10 1000 W

M ³

y

g  

= 444.4 MPa

Masa belki

m = V   = S  L   = (900 1000  0,000001)  7.86 = 7.1 kg B

x x

y

y

H

H

y y

x

x

B

e. Ko ùowym (prêt okr¹gùy)

Przyj êto wymiary: D = 60 mm Osiowy moment bezw ùadnoœci I

x

=

64 D⁴





= 636172.5 mm

⁴

Osiowy wska ênik wytrzymaùoœci W

x

=

32 D³





= 21205.8 mm

³

Pole powierzchni przekroju poprzecznego

S =

4 D²





= 2827.4 mm

²

Maksymalna warto œã strzaùki ugiêcia

f =

48 210000 636172.5 1000 4000 I

E 48

L

P ³

x 3



 

 



= 0.624 mm

Maksymalna warto œã naprê¿eñ zginaj¹cych



^g

=

8 . 21205

10 1000 W

M ³

x

g  

= 47.2 MPa

Masa belki

m = V   = S  L   = (2827.4 1000  0,000001)  7.86 = 22.2 kg

f. Pier œcieniowym (ksztaùtownik zamkniêty okr¹gùy)

Przyj êto wymiary: D = 60 mm, g = 5 mm, d = D – 2g Osiowy moment bezw ùadnoœci

I

x

=  

64 d D⁴ ⁴





= 329376.4 mm

⁴

Osiowy wska ênik wytrzymaùoœci W

x

=

D d D 32

4 4

 

= 10979.2 mm

³

Pole powierzchni przekroju poprzecznego

S =  

4 d D² ²





= 863.9 mm

²

Maksymalna warto œã strzaùki ugiêcia

f =

48 210000 329376.4 1000 4000 I

E 48

L

P ³

x 3



 

 



= 1.20 mm Maksymalna warto œã naprê¿eñ zginaj¹cych



g

=

2 . 10979

10 1000 W

M ³

x

g  

= 91.1 MPa

Masa belki

  = S  L   = (863.9 1000  0,000001)  7.86 = 6.8 kg D

x x

y

y

D

x x

y

y

g

g. Kwadratowym „pustym” w œrodku (ksztaùtownik zamkniêty kwadratowy)

Przyj êto wymiary: H = 60 mm, g = 5 mm, h = H – 2g Osiowy moment bezw ùadnoœci

I

x

=

12

h H⁴ ⁴

= 559166.7 mm

⁴

Osiowy wska ênik wytrzymaùoœci

W

x

=

H h H 6

1 ⁴ ⁴

= 18638.9 mm

³

Pole powierzchni przekroju poprzecznego

S =

H²h²

= 1100 mm

²

Maksymalna warto œã strzaùki ugiêcia

f =

48 210000 559166.7 1000 4000 I

E 48

L

P ³

x 3



 

 



= 0.71 mm Maksymalna warto œã naprê¿eñ zginaj¹cych



g

=

9 . 18638

10 1000 W

M ³

x

g  

= 53.7 MPa

Masa belki

m = V   = S  L   = (1100 1000  0,000001)  7.86 = 8.6 kg

h. Kwadratowym „pustym” w œrodku (ksztaùtownik zamkniêty kwadratowy)

Przyj êto wymiary: H = 60 mm, g = 5 mm, h = H – 2g Osiowy moment bezw ùadnoœci

I

x

=

12

h H⁴ ⁴

= 559166.7 mm

⁴

Osiowy wska ênik wytrzymaùoœci

W

x

=

H h H 12

2 ⁴ ⁴

= 13179.7 mm

³

Pole powierzchni przekroju poprzecznego

S =

H²h²

= 1100 mm

²

Maksymalna warto œã strzaùki ugiêcia

f =

48 210000 559166.7 1000 4000 I

E 48

L

P ³

x 3



 

 



= 0.71 mm

Maksymalna warto œã naprê¿eñ zginaj¹cych



^g

=

7 . 13179

10 1000 W

M ³

x

g  

= 75.9 MPa

Masa belki

m = V   = S  L   = (1100 1000  0,000001)  7.86 = 8.6 kg H

x x

y

y

g

H

H

x x

y

y

g

H

i. Prostok ¹tnym „pustym” w œrodku (ksztaùtownik zamkniêty prostok¹tny) Przyj êto wymiary: H = 60 mm, B = 40 mm, g = 5 mm

h = H – 2g, b = B – 2g Osiowy moment bezw ùadnoœci

I

x

=

12

h b H B ³  ³

= 407500 mm

⁴

Osiowy wska ênik wytrzymaùoœci

W

x

=

H 6

h b H

B ^{3 3}









= 13583.3 mm

³

Pole powierzchni przekroju poprzecznego S =

BHbh

= 900 mm

²

Maksymalna warto œã strzaùki ugiêcia

f =

407500 210000

48

1000 4000 I

E 48

L

P ³

x 3



 

 



= 0.97 mm

Maksymalna warto œã naprê¿eñ zginaj¹cych



^g

=

3 . 13583

10 1000 W

M ³

x

g  

= 73.6 MPa

Masa belki

m = V   = S  L   = (900 1000  0,000001)  7.86 = 7.1 kg

x x

y

y

H B

g

4. Obliczenia napr ê¿eñ zginaj¹cych 

g

oraz masy

m dla belki posiadaj¹cej staù¹ wartoœã maksymalnej strzaùki ugiêcia f

W obliczeniach przyj êto, i¿ belkê bêdzie charakteryzowaùa staùa wartoœã strzaùki ugiêcia f = 1mm. Po przekszta ùceniu wzoru na strzaùkê ugiêcia okreœlono wartoœã osiowego momentu bezw ùadnoœci I

^x

wymaganego dla analizowanych przekroi

1 210000 48

1000 4000 f

E 48

L I P

3 3

x    







= 396825.4 mm

⁴

Warto œã osiowego momentu bezwùadnoœci posùu¿y do wyznaczenia wymiarów belki.

a. Kwadratowym (pr êt kwadratowy)

Wymiary przekroju poprzecznego belki obliczamy ze wzoru na osiowy moment bezw ùadnoœci

H =

⁴12Ix ⁴12396825.4

= 46.7 mm Osiowy wska ênik wytrzymaùoœci

W

x

=

6 H³

= 16989.6 mm

³

Pole powierzchni przekroju poprzecznego

S = H

²

= 2182.2 mm

²

Maksymalna warto œã naprê¿eñ zginaj¹cych



^g

=

6 . 16989

10 1000 W

M ³

x

g  

= 58.9 MPa

Masa belki

m = V   = S  L   = (2182.2 1000  0,000001)  7.86 = 17.2 kg b. Kwadratowym (pr êt kwadratowy)

Wymiary przekroju poprzecznego belki obliczamy ze wzoru na osiowy moment bezw ùadnoœci

H =

⁴12Ix ⁴12396825.4

= 46.7 mm Osiowy wska ênik wytrzymaùoœci

W

x

=

H³

122 

= 12013.5 mm

³

Pole powierzchni przekroju poprzecznego

S = H

²

= 2182.2 mm

²

Maksymalna warto œã naprê¿eñ zginaj¹cych



g

=

5 . 12013

10 1000 W

M ³

x

g  

= 83.2 MPa

Masa belki

m = V   = S  L   = (2182.2 1000  0,000001)  7.86 = 17.2 kg H

x x

y

y

H

H

x x

y

y

H

c. Prostok ¹tnym (pùaskownik)

Przyj êto, ¿e wymiar B =

^H 41 

Wysoko œã H przekroju poprzecznego belki obliczamy ze wzoru na osiowy moment bezw ùadnoœci, który po podstawieniu i przekszta ùceniu ma postaã

H =

⁴ 48Ix ⁴ 48396825.4

= 66.1 mm B =

H

41 

=16.5 mm Osiowy wska ênik wytrzymaùoœci W

x

=

6 H B ²

= 12013.5 mm

³

Pole powierzchni przekroju poprzecznego

S =

BH

= 1091.1 mm

²

Maksymalna warto œã naprê¿eñ zginaj¹cych



^g

=

5 . 12013

10 1000 W

M ³

x

g  

= 83.2 MPa

Masa belki

m = V   = S  L   = (1091.1 1000  0,000001)  7.86 = 8.6 kg

d. Prostok ¹tnym (pùaskownik)

Przyj êto, ¿e wymiar B =

^H 41 

Wysoko œã H przekroju poprzecznego belki obliczamy ze wzoru na osiowy moment bezw ùadnoœci, który po podstawieniu i przekszta ùceniu ma postaã

H =

⁴ 768Iy ⁴ 768396825.4

= 132.1 mm B =

H

41 

=33.0 mm

Osiowy wska ênik wytrzymaùoœci

W

y

=

6

B H ²

= 24027.0 mm

³

Pole powierzchni przekroju poprzecznego

S =

BH

= 4364.4 mm

²

Maksymalna warto œã naprê¿eñ zginaj¹cych

 

^g

=

0 . 24027

10 1000 W

M ³

y

g  

= 41.6 MPa

Masa belki

m = V   = S  L   = (4364.4 1000  0,000001)  7.86 = 34.3 kg B

x x

y

y

H

H

y y

x

x

B

e. Ko ùowym (prêt okr¹gùy)

Wymiary przekroju poprzecznego belki obliczamy ze wzoru na osiowy moment bezw ùadnoœci

D =

^{4 64 Ix 4 64 396825.4}



 



= 53.3 mm Osiowy wska ênik wytrzymaùoœci

W

x

= 14884.1 mm

³

Pole powierzchni przekroju poprzecznego S = 2233.1 mm

²

Maksymalna warto œã naprê¿eñ zginaj¹cych



^g

= 67.2 MPa Masa belki

m = 17.6 kg

f. Pier œcieniowym (ksztaùtownik zamkniêty okr¹gùy)

Przyj êto wymiary: g =

^D

252 

, d = D – 2g =

^D 2521 

Úrednicê D przekroju poprzecznego belki obliczamy ze wzoru na osiowy moment bezw ùadnoœci, który po podstawieniu i przekszta ùceniu ma postaã

D =

^{4 x 4}

12259 4 . 396825 1562500

12259 I 1562500





 





= 63.3 mm d =

63.3

25 D 21 25

21  

= 53.2 mm

Osiowy wska ênik wytrzymaùoœci W

x

= 12529.3 mm

³

Pole powierzchni przekroju poprzecznego S = 927.8 mm

²

Maksymalna warto œã naprê¿eñ zginaj¹cych



^g

= 79.8 MPa Masa belki

m = 7.3 kg D

x x

y

y

D

x x

y

y

g

g. Kwadratowym „pustym” w œrodku (ksztaùtownik zamkniêty kwadratowy) Przyj êto wymiary: g =

^H

252 

, h = H – 2g =

^H 2521 

Wysoko œã H przekroju poprzecznego belki obliczamy ze wzoru na osiowy moment bezw ùadnoœci, który po podstawieniu i przekszta ùceniu ma postaã

H=

^{4 x 4}

49036 4 . 396825 1171875

49036 I

1171875  

= 55.5 mm h =

55.5

25 H 21 25

21  

= 46.6 mm

Osiowy wska ênik wytrzymaùoœci

W

x

=

H h H 6

1 ⁴ ⁴

= 14301.7 mm

³

Pole powierzchni przekroju poprzecznego

S =

H²h²

= 906.6 mm

²

Maksymalna warto œã naprê¿eñ zginaj¹cych



^g

=

7 . 14301

10 1000 W

M ³

x

g  

= 69.9 MPa

Masa belki

m = V   = S  L   = (906.6 1000  0,000001)  7.86 = 7.1 kg

h. Kwadratowym „pustym” w œrodku (ksztaùtownik zamkniêty kwadratowy) Przyj êto wymiary: g =

^H

252 

, h = H – 2g =

^H 2521 

Wysoko œã H przekroju poprzecznego belki obliczamy ze wzoru na osiowy moment bezw ùadnoœci, który po podstawieniu i przekszta ùceniu ma postaã

H=

^{4 x 4}

49036 4 . 396825 1171875

49036 I

1171875  

= 55.5 mm h =

55.5

25 H 21 25

21  

= 46.6 mm

Osiowy wska ênik wytrzymaùoœci W

x

= 10112.8 mm

³

Pole powierzchni przekroju poprzecznego

S = 906.6 mm

²

Maksymalna warto œã naprê¿eñ zginaj¹cych



^g

= 98.9 MPa Masa belki

m = 7.1 kg H

x x

y

y

g

H

H

x x

y

y

g

H

i. Prostok ¹tnym „pustym” w œrodku (ksztaùtownik zamkniêty prostok¹tny) Przyj êto wymiary: g =

^H

252 

, h = H – 2g =

^H 2521 

B =

H

32 

, b = B – 2g =

^H 7538 

Wysoko œã H przekroju poprzecznego belki obliczamy ze wzoru na osiowy moment bezw ùadnoœci, który po podstawieniu i przekszta ùceniu ma postaã

H =

^{4 x 4}

107333 4 . 396825 3515625

107333 I

3515625  

= 60.0 mm B =

60.0

3 H 2 3

2  

= 40.0 mm

h =

60.0

25 H 21 25

21  

= 50.4 mm

b =

60.0

75 H 38 75

38  

= 30.4 mm

Osiowy wska ênik wytrzymaùoœci

W

x

= 13217.9 mm

³

Pole powierzchni przekroju poprzecznego

S = 869.1 mm

²

Maksymalna warto œã naprê¿eñ zginaj¹cych



^g

= 75.7 MPa Masa belki

m = 6.8 kg

x x

y

y

H B

g

5. Obliczenia strza ùki ugiêcia f oraz masy m dla belki posiadaj¹cej staù¹ wartoœã

maksymalnych naprê¿eñ zginaj¹cych g

W obliczeniach przyj êto, i¿ belkê bêdzie charakteryzowaùa staùa wartoœã maksymalnych napr ê¿eñ zginaj¹cych 

^g

= 100 MPa. Na tej podstawie okre œlono wartoœã osiowego wska ênika wytrzymaùoœci W

^x

, jakim powinien charakteryzowa ã przekrój

100 10 M 1000

W

3

g g x

 

 

= 10 000 mm

³

Warto œã osiowego wskaênika wytrzymaùoœci posùu¿y do wyznaczenia wymiarów przekroju belki.

a. Kwadratowym (pr êt kwadratowy)

Wymiary przekroju poprzecznego belki obliczamy ze wzoru na osiowy wska ênik wytrzymaùoœci

H =

³ 6Wx ³ 610000

= 39.1 mm Osiowy moment bezw ùadnoœci

I

x

=

12 H⁴

= 195743.4 mm

⁴

Pole powierzchni przekroju poprzecznego

S = H

²

= 1532.6 mm

²

Maksymalna warto œã strzaùki ugiêcia

f =

48 210000 195743.4 1000 4000 I

E 48

L

P ³

x 3



 

 



= 2.03 mm

Masa belki

m = V   = S  L   = (1532.6 1000  0,000001)  7.86 = 12.0 kg

b. Kwadratowym (pr êt kwadratowy)

Wymiary przekroju poprzecznego belki obliczamy ze wzoru na osiowy wska ênik wytrzymaùoœci

H =

^{3 x 3}

2 10000 12 2

W

12  

= 43.9 mm Osiowy moment bezw ùadnoœci

I

x

= 310723.3 mm

⁴

Pole powierzchni przekroju poprzecznego S = 1931.0 mm

²

H

x x

y

y

H

H

x x

y

y

H

Maksymalna warto œã strzaùki ugiêcia f = 1.28 mm

Masa belki

m = 15.2 kg c. Prostok ¹tnym (pùaskownik)

Przyj êto, ¿e wymiar B =

^H 41 

Wysoko œã H przekroju poprzecznego belki obliczamy ze wzoru na osiowy wska ênik wytrzymaùoœci, który po podstawieniu i przekszta ùceniu ma postaã

H = 62.1 mm B =

H

41 

=15.5 mm Osiowy moment bezw ùadnoœci I

x

= 310723.3 mm

⁴

Pole powierzchni przekroju poprzecznego S = 965.5 mm

²

Maksymalna warto œã strzaùki ugiêcia f = 1.28 mm

Masa belki

m = 7.6 kg

d. Prostok ¹tnym (pùaskownik)

Przyj êto, ¿e wymiar B =

^H 41 

Wysoko œã H przekroju poprzecznego belki obliczamy ze wzoru na osiowy wska ênik wytrzymaùoœci, który po podstawieniu i przekszta ùceniu ma postaã

H = 98.6 mm B =

H

41 

=24.7 mm

Osiowy moment bezw ùadnoœci

I

y

= 123310.6 mm

⁴

Pole powierzchni przekroju poprzecznego

S = 2432.9 mm

²

Maksymalna warto œã strzaùki ugiêcia f = 3.22 mm

Masa belki

m = 19.1 kg

B

x x

y

y

H

H

y y

x

x

B

e. Ko ùowym (prêt okr¹gùy)

Wymiary przekroju poprzecznego belki obliczamy ze wzoru na osiowy wska ênik wytrzymaùoœci

D = 46.7 mm Osiowy moment bezw ùadnoœci I

x

= 233508.9 mm

⁴

Pole powierzchni przekroju poprzecznego S = 1713.0 mm

²

Maksymalna warto œã strzaùki ugiêcia f = 1.70 mm

Masa belki

m = 13.5 kg

f. Pier œcieniowym (ksztaùtownik zamkniêty okr¹gùy)

Przyj êto wymiary: g =

^D

252 

, d = D – 2g =

^D 2521 

Úrednicê D przekroju poprzecznego belki obliczamy ze wzoru na osiowy wska ênik wytrzymaùoœci, który po podstawieniu i przekszta ùceniu ma postaã

D = 58.8 mm d =

58.8

25 D 21 25

21  

= 49.4 mm

Osiowy moment bezw ùadnoœci I

x

= 293786.1 mm

⁴

Pole powierzchni przekroju poprzecznego S = 798.3 mm

²

Maksymalna warto œã strzaùki ugiêcia f = 1.35 mm

Masa belki

m = 6.3 kg

g. Kwadratowym „pustym” w œrodku (ksztaùtownik zamkniêty kwadratowy) Przyj êto wymiary: g =

^H

252 

, h = H – 2g =

^H 2521 

Wysoko œã H przekroju poprzecznego belki obliczamy ze wzoru na osiowy wska ênik wytrzymaùoœci, który po podstawieniu i przekszta ùceniu ma postaã

H=

^{3 x 4}

98072 10000 1171875 98072

W

1171875  

= 49.3 mm

h =

49.3 25 H 21 25

21  

= 41.4 mm

H

x x

y

y

g

H

D

x x

y

y

D

x x

y

y

g

Osiowy moment bezw ùadnoœci

I

x

=

12 h

H⁴ ⁴

= 246272.0 mm

⁴

Pole powierzchni przekroju poprzecznego

S =

H²h²

= 714.2 mm

²

Maksymalna warto œã strzaùki ugiêcia

f =

48 210000 246272.0 1000 4000 I

E 48

L

P ³

x 3



 

 



= 1.60 mm

Masa belki

m = V   = S  L   = (714.2 1000  0,000001)  7.86 = 5.6 kg

h. Kwadratowym „pustym” w œrodku (ksztaùtownik zamkniêty kwadratowy) Przyj êto wymiary: g =

^H

252 

, h = H – 2g =

^H 2521 

Wysoko œã H przekroju poprzecznego belki obliczamy ze wzoru na osiowy wska ênik wytrzymaùoœci, który po podstawieniu i przekszta ùceniu ma postaã

H = 55.3 mm h =

55.3

25 H 21 25

21  

= 46.4 mm

Osiowy moment bezw ùadnoœci I

x

= 390932.4 mm

⁴

Pole powierzchni przekroju poprzecznego S = 899.9 mm

²

Maksymalna warto œã strzaùki ugiêcia f = 1.02 mm

Masa belki

m = 7.1 kg

i. Prostok ¹tnym „pustym” w œrodku (ksztaùtownik zamkniêty prostok¹tny) Przyj êto wymiary: g =

^H

252 

, h = H – 2g =

^H 2521 

B =

H

32 

, b = B – 2g =

^H 7538 

Wysoko œã H przekroju poprzecznego belki obliczamy ze wzoru na osiowy wska ênik wytrzymaùoœci, który po podstawieniu i przekszta ùceniu ma postaã

H = 54.7 mm B =

54.7

3 H 2 3

2  

= 36.5 mm

h =

54.7 25 H 21 25

21  

= 46.0 mm

H

x x

y

y

g

H

x x

y

y

H B

g

b =

54.7 75 H 38 75

38  

= 27.7 mm

Osiowy moment bezw ùadnoœci

I

x

= 273558.2 mm

⁴

Pole powierzchni przekroju poprzecznego

S = 721.6 mm

²

Maksymalna warto œã strzaùki ugiêcia f = 1.45 mm

Masa belki

m = 5.7 kg

6. Obliczenia strza ùki ugiêcia f oraz naprê¿eñ zginaj¹cych 

g

dla belki posiadaj ¹cej staù¹

masê m

W obliczeniach przyj êto, i¿ belkê bêdzie charakteryzowaùa staùa wartoœã masy m = 14 kg. Na tej podstawie mo ¿na okreœliã wartoœã pola powierzchni przekroju poprzecznego S ze wzoru

000001 . 0 86 . 7 1000

14 L

S m



 



 

= 1781.2 mm

²

Warto œã pola powierzchni przekroju poprzecznego posùu¿y do wyznaczenia wymiarów przekroju belki.

a. Kwadratowym (pr êt kwadratowy)

Wymiary przekroju poprzecznego belki obliczamy ze wzoru na pola powierzchni

H =

S 1781.2

= 42.2 mm Osiowy moment bezw ùadnoœci

I

x

=

12 H⁴

= 264380.7 mm

⁴

Osiowy wska ênik wytrzymaùoœci

W

x

=

6 H³

= 12528.7 mm

³

Maksymalna warto œã strzaùki ugiêcia

f =

48 210000 264380.7 1000 4000 I

E 48

L

P ³

x 3



 

 



= 1.50 mm

Maksymalna warto œã naprê¿eñ zginaj¹cych



^g

=

7 . 12528

10 1000 W

M ³

x

g  

= 79.8 MPa

b. Kwadratowym (pr êt kwadratowy)

Wymiary przekroju poprzecznego belki obliczamy ze wzoru na pola powierzchni

H =

S 1781.2

= 42.2 mm Osiowy moment bezw ùadnoœci

I

x

=

12 H⁴

= 264380.7 mm

⁴

Osiowy wska ênik wytrzymaùoœci W

x

=

12 H

2 ³

= 8859.1 mm

³

H

x x

y

y

H

H

x x

y

y

H

Maksymalna warto œã strzaùki ugiêcia

f =

48 210000 264380.7 1000 4000 I

E 48

L

P ³

x 3



 

 



= 1.50 mm

Maksymalna warto œã naprê¿eñ zginaj¹cych



g

=

1 . 8859

10 1000 W

M ³

x

g  

= 112.9 MPa

c. Prostok ¹tnym (pùaskownik)

Przyj êto, ¿e wymiar B =

^H 41 

Wysoko œã H przekroju poprzecznego belki obliczamy ze wzoru na pole powierzchni, kt óry po podstawieniu i przekszta ùceniu ma postaã

H = 84.4 mm B =

H

41 

= 21.1 mm Osiowy moment bezw ùadnoœci I

x

= 1057522.8 mm

⁴

Osiowy wska ênik wytrzymaùoœci

W

x

= 25057.5 mm

³

Maksymalna warto œã strzaùki ugiêcia

f = 0.38 mm

Maksymalna warto œã naprê¿eñ zginaj¹cych



^g

= 39.9 MPa d. Prostok ¹tnym (pùaskownik)

Przyj êto, ¿e wymiar B =

^H 41 

Wysoko œã H przekroju poprzecznego belki obliczamy ze wzoru na pole powierzchni, kt óry po podstawieniu i przekszta ùceniu ma postaã

H = 84.4 mm B =

H

41 

= 21.1 mm Osiowy moment bezw ùadnoœci

I

y

= 66095.2 mm

⁴

Osiowy wska ênik wytrzymaùoœci

W

y

= 6264.4 mm

³

Maksymalna warto œã strzaùki ugiêcia f = 6.0 mm

Maksymalna warto œã naprê¿eñ zginaj¹cych



g

= 159.6 MPa B

x x

y

y

H

H

y y

x

x

B

e. Ko ùowym (prêt okr¹gùy)

Wymiary przekroju poprzecznego belki obliczamy ze wzoru na pole przekroju

D = 47.6 mm Osiowy moment bezw ùadnoœci I

x

= 252465.0 mm

⁴

Osiowy wska ênik wytrzymaùoœci W

x

= 10602.9 mm

³

Maksymalna warto œã strzaùki ugiêcia f = 1.57 mm

Maksymalna warto œã naprê¿eñ zginaj¹cych



^g

= 94.3 MPa

f. Pier œcieniowym (ksztaùtownik zamkniêty okr¹gùy)

Przyj êto wymiary: g =

^D

252 

, d = D – 2g =

^D 2521 

Úrednicê D przekroju poprzecznego belki obliczamy ze wzoru na pole powierzchni, kt óry po podstawieniu i przekszta ùceniu ma postaã

D =





 





46 2 . 1781 625 46

S

625

= 87.8 mm

d =

87.8 25 D 21 25

21  

= 73.7 mm

Osiowy moment bezw ùadnoœci

I

x

=  

64 d D⁴ ⁴





= 1462650.3 mm

⁴

Osiowy wska ênik wytrzymaùoœci

W

x

=  

D 32

d D^{4 4}









= 33329.7 mm

³

Maksymalna warto œã strzaùki ugiêcia f = 0.27 mm

Maksymalna warto œã naprê¿eñ zginaj¹cych



^g

= 30.0 MPa D

x x

y

y

D

x x

y

y

g

g. Kwadratowym „pustym” w œrodku (ksztaùtownik zamkniêty kwadratowy) Przyj êto wymiary: g =

^H

252 

, h = H – 2g =

^H 2521 

Wysoko œã H przekroju poprzecznego belki obliczamy ze wzoru na pole powierzchni, kt óry po podstawieniu i przekszta ùceniu ma postaã

H=

184 2 . 1781 625 184

S

625  

= 77.8 mm h =

77.8

25 H 21 25

21  

= 65.3 mm

Osiowy moment bezw ùadnoœci

I

x

=

12 h

H⁴ ⁴

= 1531683.8 mm

⁴

Osiowy wska ênik wytrzymaùoœci

W

x

=

H 6

h H^{4 4}



= 39383.6 mm

³

Maksymalna warto œã strzaùki ugiêcia

f =

48 210000 1531683.8 1000 4000 I

E 48

L

P ³

x 3



 

 



= 0.26 mm

Maksymalna warto œã naprê¿eñ zginaj¹cych



g

=

6 . 39383

10 1000 W

M ³

x

g  

= 25.4 MPa

h. Kwadratowym „pustym” w œrodku (ksztaùtownik zamkniêty kwadratowy) Przyj êto wymiary: g =

^H

252 

, h = H – 2g =

^H 2521 

Wysoko œã H przekroju poprzecznego belki obliczamy ze wzoru na pole powierzchni, kt óry po podstawieniu i przekszta ùceniu ma postaã

H = 77.8 mm h = 65.3 mm Osiowy moment bezw ùadnoœci

I

x

= 1531683.8 mm

⁴

Osiowy wska ênik wytrzymaùoœci W

x

= 27848.4 mm

³

Maksymalna warto œã strzaùki ugiêcia f = 0.26 mm

Maksymalna warto œã naprê¿eñ zginaj¹cych



^g

= 35.9 MPa H

x x

y

y

g

H

H

x x

y

y

g

H

i. Prostok ¹tnym „pustym” w œrodku (ksztaùtownik zamkniêty prostok¹tny) Przyj êto wymiary: g =

^H

252 

, h = H – 2g =

^H 2521 

B =

H

32 

, b = B – 2g =

^H 7538 

Wysoko œã H przekroju poprzecznego belki obliczamy ze wzoru na pole powierzchni, kt óry po podstawieniu i przekszta ùceniu ma postaã

H = 86.0 mm B =

86.0

3 H 2 3

2  

= 57.3 mm

h =

86.0 25 H 21 25

21  

= 72.2 mm

b =

86.0

75 H 38 75

38  

= 43.6 mm

Osiowy moment bezw ùadnoœci

I

x

= 1666738.2 mm

⁴

Osiowy wska ênik wytrzymaùoœci

W

x

= 38780.5 mm

³

Maksymalna warto œã strzaùki ugiêcia f = 0.24 mm

Maksymalna warto œã naprê¿eñ zginaj¹cych



g

= 25.8 MPa

x x

y

y

H B

g

7. Zestawienie wynik ów obliczeñ

W celu mo ¿liwoœci porównania wartoœci naprê¿eñ zginaj¹cych, strzaùki ugiêcia oraz masy uzyskanych dla przyj êtych przekroi belki, wyników obliczeñ zestawiono w postaci wykres ów.

23.5 6.0

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0

A B C D E F G H I

Strzaùka ugiêcia, mm

Staùa wartoœã jednego z gùównych wymiarów

Staùa wartoœã strzaùki ugiêcia Staùa wartoœã naprê¿eñ zginaj¹cych Staùa masa

x x

y

y

x

x y

y

x x

y

y

x x

y

y

x x

y

y

x x

y

y x

y

y x

x y

y y y

x

x

444.4 MPa

0.0 20.0 40.0 60.0 80.0 100.0 120.0 140.0 160.0 180.0

A B C D E F G H I

Naprê¿enie, MPa

Staùa wartoœã jednego z gùównych wymiarów Staùa wartoœã strzaùki ugiêcia

Staùa wartoœã naprê¿eñ zginaj¹cych Staùa masa

x x

y

y

x x

y

y

x x

y

y

x x

y

y

x x

y

y

x x

y

y x

y

y x

x y

y y y

x

x

0.0 5.0 10.0 15.0 20.0 25.0 30.0 35.0

A B C D E F G H I

Masa, kg

Staùa wartoœã jednego z gùównych wymiarów Staùa wartoœã strzaùki ugiêcia

Staùa wartoœã naprê¿eñ zginaj¹cych Staùa masa

x x

y

y

x x

y

y

x x

y

y

x x

y

y

x x

y

y

x x

y

y x

y

y x

x y

y y

y x

x