Metody matematyczne w technologii materiałów Krzysztof Szyszkiewicz Uwaga

Uwaga: Proszę pamiętad, że na zajęciach obowiązuje także znajomośd omówionych w materiałach przykładów!!!

CAŁKOWANIE FUNKCJI WYMIERNYCH

Funkcją wymierną nazywamy funkcję postaci ( )

( ) ,

( ) f x P x

Q x gdzie P x( ) _i Q x( ) są wielomianami.

Interesowad nas będą tylko funkcje wymierne rzeczywiste, tak więc x oraz współczynniki wielomianów P x( ) i Q x( ) są rzeczywiste. Oczywiście funkcja wymierna określona jest dla wszystkich

x z wyjątkiem miejsc zerowych wielomianu Q x( ). Przykłady funkcji wymiernych to

2 5

5

3 2 3

5 3 6 2 1 2 1

, , , , , 4 1.

1 2 1 1

x x x x

x x

x x x x x x

   

      

Zauważmy, że funkcja wielomianowa jest szczególnym przypadkiem funkcji wymiernej (mamy wtedy po prostu ( ) 1,Q x  czyli w liczniku jest wielomian stopnia zerowego).

Obliczenie całki ( ) ( ) P x dx



Q x z funkcji wymiernej jest „w zasadzie możliwe” pod warunkiem, że potrafimy wyznaczyd pierwiastki (miejsca zerowe) wielomianu Q x( ). Inaczej mówiąc całka ta wyraża się poprzez funkcje elementarne oraz pierwiastki równania Q x( )0.

Aby obliczyd całkę funkcji wymiernej, rozkładamy ją na sumę tzw. ułamków prostych, które można już całkowad w sposób elementarny. Ułamki proste są to funkcje wymierne o następującej szczególnej postaci

2

,

2

gdzie 4 0 oraz , .

( )

^m

( )

ⁿ

A Bx C

b c n m

x  x bx c

     

  

⁽¹⁾

Pierwszy typ ułamków prostych całkuje się bardzo prosto:

( )

1

, dla 1,

( ) 1

ln | | , dla 1.

m m

A x C m

A dx m

x x C m



 

 

 

 

    

     



Na przykład 5 ₄ 5 ^{4 1} 5 ₃

( 2) .

( 2) dx 4 1 x C 3( 3) C

x x

       

   



Całkowanie ułamków prostych drugiego typu jest bardziej złożone. Po pierwsze warunek  0 oznacza, że trójmian kwadratowy x²bx c nie ma miejsc zerowych rzeczywistych, czyli nie może byd rozłożony na czynniki prostsze: (xx₁)(xx₂). Aby dalej uprościd rachunki związane z obliczaniem całki 2

1 (x _{ }bx c)ndx,



zapisujemy wielomian występujący w mianowniku następująco

2 2 2 2 2

2 2

2 ,

2 2 2 2 4 2 4

b b b b b c b

x bx c x  x          c x    x   ⁽²⁾

gdzie składnik ^₄ jest dodatni. Zatem możemy dalej przekształcid

2 2 2

2

2

1 .

2 4 4

x b

x bx c x b

_

    

 

   

                  

(3)

Stosując teraz liniowe podstawienie (zamiana zmiennej)

2 2

x b

t _ sprowadzamy całkę

( 2 )ⁿ

Bx C x bx c dx



 



do wersji, w której wyeliminowany będzie składnik bx:



^{2 2}



2 2 2

2

1 1/ 2

2 2

2

4

( ) ( 1) 2

4 1

4 4 1

( 1) 2 ( 1) .

n b

n n n

n

n n

n n

x b

B t C

Bx C Bx C

dx dx dt

x bx c t

t b

dt C B dt

t t





 

 

         

                            

     

                  

  

 

(4)

Mamy teraz do obliczanie całki typu ₂ ( 1)ⁿ

t dt t 



^oraz



_(t²_¹₁₎^ndt. Pierwszą z nich oblicza się bezpośrednio

2 1

2

2

1 1

, dla 1,

2( 1) ( 1)

( 1) 1

ln( 1), dla 1.

2

n n

t n t n

t dt

t n



 

   

  

   





⁽⁵⁾

Na przykład ₂ 1 ² _{2 2} 1 ₂1

ln( 1) , ,

1 2 ( 1) 2 1

t t

dt t C dt C

t    t   t 

  

  

_(t²_^t₁₎^{3dt 1}_{4 (t}²¹_1)^{2 C.}

Drugą całkę



^In 



^(t2dt¹⁾ⁿ



można – całkując przez części – sprowadzid do pewnej zależności rekurencyjnej (wzór redukcyjny). Mamy bowiem dla n2 :

2 2

2 2 2 2 1 2

1 2 1 1 2 1 2 1

1 2 1 2 1

1 1 1

( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)

1 1

2( 1)( 1) 2( 1)( 1) 2( 1)( 1)

1 1

2( 1)( 1) 2( 1) ( 1)

n n n n n n

n n n n n

n n n n

t t t

I dt dt dt dt t dt

t t t t t

I t dt I t t dt

n t n t n t

I t dt I

n t n t



    

   

      

    

   

                  

   

     

    

 



^{1 2 1 1}

2 1 1

1

2( 1)( 1) 2( 1)

2 3

2( 1)( 1) 2( 1) .

n n

n n

t I

n t n

t n

n t n I

 

 

  

    

   

   

Ponadto dla n1 całka _{1 2}1

arc tg .

I 1dt t C

 t  



 Ostatecznie mamy wzory

2 1 1

2 3

, dla 1,

2( 1)( 1) 2( 1)

arc tg , dla 1.

n n n

t n

I n

n t n

I

t C n

 

   

    

     

(6)

Tak więc całkowanie funkcji wymiernych sprowadza się przede wszystkim do rozkładu danej funkcji wymiernej na sumę ułamków prostych. Po dokonaniu takiego rozkładu każdy ułamek może scałkowad wg schematu pisanego powyżej.

W przypadku poszukiwania rozkładu funkcji wymiernej na ułamki proste kierujemy się poniższymi zasadami:

(i) Każdy czynniki w mianowniku, który ma postad (x) ,^m generuje następującą sumę:

1 2

( )2 ( )

m m

A A A

x^ x ^{ } x (7)

(ii) Każdy czynniki w mianownik, który ma postad (x²bxc) ,ⁿ przy  b²4c0, generuje następującą sumę:

1 1 2 2

2 2 2 2

( ) ( )

n n

n

B x C

B x C B x C

x bx c x bx c x bx c



    

      (8)

Jak wyznaczyd współczynniki A B C_i, _i, _i będzie pokazane w przykładach. W praktyce sprowadza się to do rozwiązywanie układów równao liniowych.

PRZYKŁADY

1) _{2 2}

.

( 1)

dx

x 



Możemy tę całkę obliczyd tak jak zostało to pokazane przy wyprowadzeniu zależności (6) lub skorzystad wprost z tego wzoru. Dla praktyki wykonamy jednak jeszcze raz poszczególne kroki obliczania tej całki:

2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2

2 2 2

2

1

( 1) ( 1) ( 1) 1 ( 1)

1 1 1 1 1 1

arctg arctg

2 1 2 1 2 1

1 1 1 1 1

=arctg arctg arctg

2 1 2 1 2 1 2

1 1

arctg .

2 1 2

dx x x dx x

dx dx x dx

x x x x x

x x dx x x x dx

x x x

x x

x dx x x

x x x

x x

x

     

    

       

                       

     

  

 



    

 



Zatem _{2 2} 1 ₂ 1

arctg .

( 1) 2 1 2

dx x

x C

x  x  

 



2) ₃

.

1

dx

x 



Dokonujemy rozkładu mianownika na czynniki nierozkładalne, np. korzystając ze wzoru skróconego mnożenia a³b³(a b a )( ²ab b ²) :

3 2

1 ( 1)( 1),

x    x x   x

a następnie szukamy rozkładu funkcji wymiernej ₃1

1

x  na ułamki proste postaci (1). Zauważmy, że trójmian kwadratowy x² x 1 jest nierozkładalny (   3 0). Tak więc z reguł (7) i (8) mamy

3 2 2

1 1

1 ( 1)( 1) 1 1 ,

A Bx C

x x x x x x x

   

      

skąd

2 2

3 2 3

1 ( 1) ( )( 1) ( ) ( ) ( )

1 ( 1)( 1) 1 ,

A x x Bx C x A B x A B C x A C

x x x x x

           

 

    

Aby zachodziła powyższa równośd dla każdego x musi zachodzid

1 (  A  B x )

2

    ( A B C x )  ( A C  ) dla x  .

Porównaniu współczynników wielomianów występujących po obu stronach daje linowy układ równao

0, 0, 1.

A B A B C A C

  

   

  



Rozwiązaniem tego układu jest 1 1 2

, , ,

3 3 3

A B  C zatem

1 1 2

3 3 3

3 2 2

1 1 1 1 2

1 1 1 3 1 3 1,

x x

x x x x x x x

   

   

      

skąd ₃ 1 1 ₂ 2 1 1

ln | 1| .

1 3 1 3 1 3 3

dx dx x

dx x I

x x x x

      

   

  

Policzmy jeszcze całkę :I

 

2³¹²

 

2³¹²

2 2

2 1 2 3 1 2 3 1 2 3

2 4 2 4 2 4

1 1

2 2

1 ( ) ( ) 2 ( )

4 8

3

^x

3

^x

.

x x x dx

x dx

I dx dx dx

x x x x x

dx

 

   

 

     

       

  

   

 

Teraz stosujemy podstawienie 3¹² 2

x ,

t ^ więc 3 2

3

2 .

dx,

dt dx dt Zatem

2 2 2 2 2

2 2

3 1 3

2 2 3 2

2

2

1 1 1 1 1

1 1

4 8 4 3 4 3 4 3

3 3 3 4 3 4 3

3 4 3 1

ln( 1) 3arctg .

3 3 2

t dt t dt dt

I dt dt

t t t t t

t dt

dt t t

t t

    

 

          

 

              

    

 

Wracając do „starej” zmiennej x otrzymujemy

1 2 1

2 2 4 2 4

3 3

3 2

1 1 2 1

ln( 1) 3arctg ln( 2) 3arctg .

2 3 2 3

x x x

I     x x  C

          

 

Ostatecznie mamy po uproszczeniu

4 2 4

3 3

3

1 1 3 2 1

ln | 1| ln( 2) arctg .

1 3 6 3 3

dx x

x x x C

x

       

 

3) Obliczyd całkę ₂

1

₂

( 1) ( 1) .

x dx

x x



 



Wielomian w mianowniku jest już rozłożony na czynniki x1, x²1 nierozkładalne, przy czym czynnik x1 występuje dwukrotnie. Rozkład na sumę ułamków prostych jest zatem następujący

2 2 2 2

1 ,

( 1) ( 1) 1 ( 1) 1

x A B Cx D

x x x x x

 

  

    

co prowadzi do równości

2 2 2

1 ( 1)( 1) ( 1) ( )( 1)

x A x x  B x   CxD x dla każdego x . Porządkujemy prawą stronę względem potęg :x

3 2

1 ( ) ( 2 ) ( 2 ) ( ),

x   A C x      A B C  D x  A C   D x     A B D

skąd mamy układ równao

0,

2 0,

2 1, 1, A C

A B C D

A C D

A B D

  

    

   

   



którego rozwiązaniem jest A 1/ 2,B1,C1/ 2, D 1/ 2. Zatem

1 1 1

2 2 2

2 2 2 2

1 1

( 1) ( 1) 1 ( 1) 1 .

x x

x x x x x

 

   

    

Teraz możemy całkowad

1 1 1

2 2 2

2 2 2 2 2

2 2

1 1 1 1

( 1) ( 1) 1 ( 1) 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1

ln | 1| ln( 1) arc tg ln | 1| ln( 1) arc tg ,

2 1 2 2 2 2 1 4 2

x x

dx dx dx dx dx

x x x x x x

x x x x x x

x x

      

     

              

 

    

co można ostatecznie zapisad tak

2

2 2

1 1 1 1 1

ln arc tg .

( 1) ( 1) 2 | 1| 1 2

x x

dx x C

x x x x

     

   



4) Obliczyd całkę 1₃ sin dx.



x

Oczywiście można zastosowad ogólne podstawienie

t  tg

¹₂

x ,

które sprowadzi tę całkę do postaci wymiernej, ale prościej będzie użyd podstawienia

t  cos . x

Mamy więc

3 4 2 2

sin / sin ,

sin sin (1 ) .

dt xdx dx dt x

dx dt dt

x x t

    

   



Mamy więc do obliczenia całkę 1_{2 2} (1 ) dt.

 t



 Musimy więc dokonad rozkładu funkcji podcałkowej na ułamki proste. Funkcja całkowana ma postad

2 2 2 2

1 1

(1 t )  (1 t ) (1 t ) ,

  

tak więc rozkład na ułamki proste będzie zawierał składniki 1^A_t

,

(1^B)2

 t oraz 1^C_t

,

(1^D)2

:

 t

2 2 2 2

1 .

(1 ) (1 ) 1 (1 ) 1 (1 )

A B C D

t t  t  t  t  t

     

⁽⁹⁾

Stąd mamy dla każdego t

2 2 2 2

1  A (1  t )(1  t )  B (1  t )  C (1  t ) (1   t ) D (1  t ) .

Podstawiając kolejno t 1, 1, 0 uzyskujemy B₄¹,D₄¹, A C ₂¹. Jeżeli pomnożymy teraz równośd (9) przez 1t, a następnie obliczymy granicę obu stron przy t , to otrzymamy dodatkowe równanie: 0  A C. Zatem A C ¹₄. Możemy teraz wstawid obliczone współczynniki

, , ,

A B C D _{do (9)}

2 2 2 2

1 1 1 1 1 1

(1 t ) (1 t ) 4 1 t (1 t ) 1 t (1 t ) ,

 

     

       

więc

2 2 2 2

2

1 1 1 1 1 1

(1 ) 4 1 (1 ) 1 (1 )

1 1 1 1 1 2

ln |1 | ln |1 | ln .

4 1 1 4 1 1

dt dt

t t t t t

t t

t t

t t t t

 

      

      

  

 

                    

 

Ostatecznie

2 2

1 1 1 2 1 1 sin 2sin

ln ln ,

sin 4 1 1 4 1 sin 1 sin

t t x x

x dx t t x x

     

                 



czyli

3 2

1 sin 1 1 sin

ln .

sin 2 cos 4 1 sin

x x

dx C

x x x

   





ZADANIA

A) Obliczyd całki nieoznaczone

1)



sin²xdx. ^{2)In }



^{x e dx an ax ,  .} (Wyprowadzid wzór rekurencyjny.) 3)



sin⁵ xdx. ^{4)In }



^sinnxdx. (Wyprowadzid wzór rekurencyjny.)

5) ₂

.

2 2

dx

x  x 



⁶⁾

 _{3 5 } ^dx _x

²

^.

7)

.

1 sin

dx

 x



⁸⁾

 ^{1  e dx a}

^ax

^{,  .}

Wskazówki: 3) Podstawienie tcosx oraz tożsamośd sin⁴x(sin²x)²  (1 cos²x) .² 8) Podstawienie t 1e^ax.

Odpowiedzi: 1) 1

sin(2 );

2 4

x x 3) 5 5 1

cos cos3 cos5 ;

8 x 48 x 80 x

   3) arc tg(1x); 6) 1 5 5

ln ;

2 5 5 5

x x



 7)

1 2

1 1

2 2

2sin ;

cos sin

x

x x 8) 2

( 1 e^ax arc tg 1 e^ax).

a   

B) Obliczyd podane całki z funkcji wymiernych.

1)

2

.

2 3 2

x

x  x 

 ²⁾  _x

³

^dx _{ 1} ^.

3

3) 1 .

4

x

x x



 

⁴⁾  _x

⁴

_ ^dx _x

²

_{ 2} ^.

5) _{3 2}1 3 4 .

x dx

x x



 



^6)*



_x⁴¹_1^dx.

Wskazówki. W zadaniach tych musimy dokonad rozkładu wielomianów (występujących w mianownikach) na czynniki nierozkładalne, czyli postaci (x) ,^m (x²bxc) ,ⁿ gdzie

2 4 0.

b c

    W zadaniu 2) wystarczy skorzystad ze wzoru skróconego mnożenia

3 3 2 2

( )( ).

a b  a b a ab b W zadaniu 3) rozkład jest prawie natychmiastowy x³4xx x( ²4) i dalej x x( ² 4) x x( 2)(x2). W zadaniu 4) możemy spróbowad zamienid równanie czwartego stopnia na kwadratowe: oznaczamy tx², i dokonad rozkładu trójmianu kwadratowego liczące jego pierwiastki. Uzyskamy wtedy rozkład: x⁴x² 2 (x²2)(x1)(x1). W zadaniu 5) proszę wykorzystad fakt, że jeden z pierwiastków mianownika to x₁ 1. Aby dokonad dalszego rozkładu wystarczy wielomian podzielid przez dwumianx  x1 x 1. W zadaniu 6) mamy wielomian x⁴1. Z teorii wiadomo, że każdy wielomian rzeczywisty można rozłożyd na czynniki liniowe lub kwadratowe (już nierozkładalne). Wielomian x⁴1 nie może jednak zawierad w swoim rozkładzie czynników liniowych (bo wtedy miałby przynajmniej jeden pierwiastek rzeczywisty, a z postaci wielomianu widzimy, że on nie może mied pierwiastków). zatem w rozkładzie muszą występowad tylko czynniki kwadratowe x⁴ 1 (x²b x₁ c₁)(x²b x₂ c₂). Znaleźd współczynniki b c b c₁, ₁, ₂, ₂.

Odpowiedzi: 1) 1 2

ln(2 1) ln( 2);

10 x 5 x 2)

2 2

1 2 1 1 ( 1)

arc tg ln ;

6 1

3 3

x x

x x

 

 

 

3) 3 1 1

ln(2 ) ln ln( 2);

8  x 4 x8 x 4) 1 1

( 2arc tg ln );

6 2 1

x x

x

  

 5) 1 2 2

ln ;

3(2 ) 9 1

x

x x

 

 

6)

 

²2

1 1 1 2

arc tg(1 2 ) arc tg(1 2 ) ln .

2 2 4 2 1 2

x x

x x

x x

 

   

 