Metody matematyczne dla ﬁzyków

(1)

Metody matematyczne dla fizyków

Krzysztof Golec-Biernat Uniwersytet Rzeszowski i IFJ PAN

27 maja 2016

(2)

(3)

Spis tre ści

1 Prosta i płaszczyzna 5

1.1 Przestrzeń afiniczna . . . 5

1.2 Iloczyn skalarny . . . 6

1.3 Kąt między wektorami . . . 6

1.4 Odległość . . . 7

1.5 Kartezjański układ współrzędnych . . . 8

1.6 Równanie prostej . . . 9

1.6.1 Odległość punktu od prostej . . . 9

1.7 Równanie płaszczyzny . . . 10

2 Krzywe stożkowe 11 2.1 Elipsa . . . 11

2.2 Hiperbola . . . 13

2.3 Parabola . . . 15

2.4 Postać biegunowa krzywych stożkowych . . . 17

2.5 Sprowadzanie do postaci kanonicznej . . . 19

3 Tensory 20 3.1 Krzywoliniowe układy współrzędnych . . . 20

3.2 Popularne układy współrzędnych . . . 22

3.3 Tensory . . . 23

3.3.1 Różniczka i gradient . . . 23

3.3.2 Definicja tensora . . . 24

3.3.3 Operacja na tensorach . . . 24

3.3.4 Niezmienniki tensorowe . . . 25

3.4 Element długości i tensor metryczny . . . 26

3.5 Kontrawariantny tensor metryczny . . . 27

3.6 Element objętości . . . 28

(4)

4 Operatory różniczkowe 30

4.1 Gradient . . . 30

4.2 Dywergencja . . . 31

4.3 Rotacja . . . 31

4.4 Zapis tensorowy . . . 33

4.5 Operatory we współrzędnych krzywoliniowych . . . 34

4.5.1 Gradient . . . 34

4.5.2 Dywergencja . . . 35

4.5.3 Rotacja . . . 35

4.5.4 Laplasjan . . . 35

4.5.5 Laplasjan dla dowolnych współrzędnych . . . 36

5 Twierdzenia całkowe 38 5.1 Twierdzenie o potencjale . . . 38

5.2 Twierdzenie Stokesa . . . 39

5.3 Twierdzenie Gaussa . . . 41

5.4 Podsumowanie . . . 42

6 Równania Maxwella 44 6.1 Pierwsza para . . . 44

6.2 Druga para . . . 46

6.3 Równanie ciągłości . . . 47

6.4 Potencjały elektromagnetyczne . . . 48

6.5 Transformacja cechowania . . . 49

6.6 Podsumowanie . . . 50

7 Równanie falowe 51 7.1 Fale elektromagnetyczne . . . 51

7.2 Monochromatyczna fala płaska . . . 53

7.3 Zasada superpozycji fal . . . 54

7.4 Interferencja fal . . . 55

8 Analiza fourierowska 56 8.1 Rozwinięcie w szereg Fouriera . . . 56

8.2 Analiza czasowa . . . 59

8.3 Analiza przestrzenna . . . 61

8.4 Drgająca struna . . . 62

8.5 Równanie falowe w pudełku . . . 63

(5)

9 Transformata Fouriera 65

9.1 Zespolona postać szeregu Fouriera . . . 65

9.2 Transformata Fouriera . . . 66

9.3 Transformata Fouriera splotu funkcji . . . 68

9.4 Delta Diraca . . . 68

9.5 Twierdzenie Shanona o próbkowaniu . . . 70

(6)

Rozdział 1

Prosta i płaszczyzna

1.1 Przestrze ń afiniczna

Przestrzeń afiniczna to matematyczny model przestrzeni jednorodnej, bez wyróżnionego punktu. Można w niej przesuwać punkty równolegle do zadanego kierunku. Formalna definicja jest następująca.

Przestrzeń afiniczna to trójka (M,V ,+), gdzie M jest dowolnym zbiorem, którego elementy nazywamypunktami, V jest przestrzenią wektorową, której elementy nazywamy wektorami, natomiast + jest działaniem przesuwającym równolegle punkty zbioru M przy pomocy wektorów z przestrzeni V ,

(M, V ) → M , ∀A ∈ M, ~v ∈ V , A + ~v ∈ M (1.1) o własnościach

(A + ~v) + ~w = A + (~v + ~w) (1.2)

∀A, B ∈ M ∃! ~v ∈ V ; A + ~v = B , (1.3) gdzie symbol ! oznaczadokładnie jeden. Pierwszy warunek określa składanie przesunięć mówiąc, że dwa kolejne przesunięcia są przesunięciem o wypadkowy wektor będący su- mą wektorów kolejnych przesunięć. Natomiast drugi warunek mówi, że dwa dowolne punkty z M można jednoznacznie powiązać przesunięciem o pewien wektor. Możemy więc zdefiniować wektor zaczepiony w punkcie A o końcu w punkcie B poprzez warunek

−−→

AB = ~v . (1.4)

Przy pomocy takiej identyfikacji reguła składania przesunięć (1.2) wyraża prawo trójkąta dla dodawania wektorów zaczepionych

−−→ −−→ −−→

(7)

gdzie −−→

AC = ~v + ~w. Zwykle sam zbiór M nazywamy przestrzenią afiniczną, pamiętając o szczegółach definicji. Wymiar przestrzeni afinicznej n jest równy wymiarowy przestrzeni wektorowej V .

1.2 Iloczyn skalarny

Jeżeli w przestrzeni wektorowej V jest wyróżniony iloczyn skalarny g to iloczyn skalarny wektorów −−→

AB = ~v i −−−→

CD = ~w wynosi

−−→ AB ·−−−→

CD ≡ g(~v, ~w) . (1.6)

Dla ustalonej bazy {~e₁,~e₂, . . . ,~e_n} w przestrzeni V iloczyn skalarny można zapisać przy pomocy współrzędnych wektorów w tej bazie

v = v¹~e₁+ v²~e₂+ . . . + vⁿ~e_n, w = w¹~e₁+ w²~e₂+ . . . + wⁿ~e_n. (1.7) Otrzymujemy

g(~v, ~w) = Xn

i=1

Xn j=1

g_ijvⁱw^j, g_ij= g(~e_i,~e_j) . (1.8) W bazie ortonormalnej g_ij= δ_iji wtedy

g(~v, ~w) = Xn

i=1

vⁱwⁱ (1.9)

1.3 K ąt między wektorami

Dla dodatnio określonego iloczynu skalarnego g można określić kąt φ między wektorami z relacji

−−→ AB ·−−−→

CD = |−−→ AB | |−−−→

CD | cos φ (1.10)

gdzie φ jest kątem między wektorami, a |. . . | oznacza długość wektora, na przykład

|−−→ AB | =

q

g(~v, ~v) . (1.11)

Wzór (1.10) wyprowadzimy wychodząc z warunku dodatniej określoności iloczynu skalarnego dla wektora ~v + λ ~w, gdzie λ jest dowolną liczbą rzeczywistą

g(~v + λ ~w, ~v + λ ~w) > 0 . (1.12)

(8)

Korzystając z własności liniowości iloczynu skalarnego, otrzymujemy

λ²g( ~w, ~w) + 2λg(~v, ~w) + g(~v, ~v) > 0 . (1.13) Otrzymaliśmy funkcję kwadratową w parametrze λ. Ze względu na jej dodatnią określo- ność, delta równania kwadratowa jest mniejsza lub równa zeru,

∆ = 4[g(~v, ~w)]²−4g( ~w, ~w)g(~v, ~v) < 0 . (1.14) Stąd

−1 < g(~v, ~w) pg(~v, ~v)p

g( ~w, ~w) < 1. (1.15)

Ze względu na ten warunek, wyrażenie w środku jest cosinusem pewnego kąta φ, który nazywiemy kątem pomiędzy wektorami ~v i ~w,

g(~v, ~w) pg(~v, ~v)p

g( ~w, ~w) = cos φ . (1.16)

Stąd wzór (1.10) po identyfikacji−−→

AB = ~v i −−−→ CD = ~w.

1.4 Odległość

Odległością |AB| pomiędzy punktami A i B nazywamy długość łączącego je wektora −−→ AB ,

|AB| ≡ |−−→

AB | (1.17)

Jest ona zawsze większa lub równa zeru oraz spełnione są warunki ogólnej definicji odle- głości

|AA| = 0 (1.18)

|AB| = |BA| (1.19)

|AC| < |AB| + |BC| . (1.20)

Ostatni warunek to nierówność trójkąta. Wynika on w naszym przypadku z relacji (1.5) i dodatniości iloczynu skalarnego g w przestrzeni V ,

|−−→

AC |² = g(~v + ~w, ~v + ~w) = g(~v, ~v) + g( ~w, ~w) + 2g(~v, ~w)

= g(~v, ~v) + g( ~w, ~w) + 2 q

g(~v, ~v) q

g( ~w, ~w) cos φ

< g(~v, ~v) + g( ~w, ~w) + 2 q

g(~v, ~v) q

g( ~w, ~w)

=

q

g(~v, ~v) + q

g( ~w, ~w)

2

= (|−−→ AB | + |−−→

BC |)². (1.21)

(9)

1.5 Kartezja ński układ współrzędnych

Wprowadźmy bazę kanoniczną w przestrzeni afinicznej M poprzez wyróżnienie dowol- nego punkt O ∈ M oraz dowolnego układu wektorów bazowych {~e₁,~e₂, . . . ,~e_n}w przestrze- ni wektorowej V ,

{O,~e₁,~e₂, . . . ,~e_n}. (1.22) Wyróżnienie punktu O pozwala utożsamić każdy punkt A ∈ M z wektorem −−−→

OA = ~v ∈ V , nazywanym wektorem wodzącym punktu A. Po rozłożeniu w wyróżnionej bazie,

−−−→

OA = x¹~e₁+ x²~e₂+ . . . + xⁿ~e_n, (1.23) otrzymujemy współrzędne dowolnego punktu A w bazie kanonicznej,

A ↔ (x¹, x², . . . , xⁿ) . (1.24) Baza kanoniczna pozwala więc na wprowadzenie układu współrzędnych, który jednoznacznie określa współrzędne dowolnego punktu przestrzeni afinicznej. Punkt O ma współrzędne (0,0,...,0) i z tego powodu nazywa się go początkiem układu współrzęd- nych. Wybierając bazę ortonormalną w przestrzeni V ,

~e_i·~e_i= 1 , ~e_i·~e_j= 0 gdy i , j , (1.25) otrzymujemy kartezjański układ współrzędnych. Współrzędne (x¹, x², . . . , xⁿ) nazywamy wtedywspółrzędnymi kartezjańskimi punktu A ∈ M.

Dowolny wektor −−→

AB ma następujący rozkład w bazie kanonicznej

−−→ AB = −−→

OB −−−−→

OA = (x¹_B−x¹_A)~e₁+ (x_B²−x²_A)~e₂+ . . . + (xⁿ_B−xⁿ_A)~e_n. (1.26) Wtedy odległość |AB| wyraża się przez współrzędne wektora −−→

AB ,

|AB| = q−−→

AB ·−−→ AB =

vu t _n

X

i=1

Xn j=1

(x_Bⁱ −x_Aⁱ)(x_B^j −x^j_A)~e_i·~e_k. (1.27)

lub dla kartezjańskiego układu współrzędnych

|AB| = vt _n

X

i=1

(xⁱ_B−xⁱ_A)² (1.28)

(10)

1.6 Równanie prostej

Prosta w n wymiarowej przestrzeni afinicznej zadana przez punkt A₀ przez który prze- chodzi oraz wektor kierunku prostej ~n jest określona równaniem

~r = ~r₀+ λ ~n λ ∈ (−∞, ∞) , (1.29)

gdzie ~r jest wektorem wodzącym punktów prostej, ~r0=−−−−→

OA₀ to wektor wodzący ustalone- go punktu A₀, a λ jest parametrem. Jest to postać parametryczna prostej. Wprowadzając współrzędne wektorów w bazie {O,~e1,~e₂, . . . ,~e_n}, otrzymujemy

xⁱ= x₀ⁱ + λ nⁱ, i = 1, 2, . . . , n . (1.30) gdzie n_ito współrzędne wektora kierunkowego ~n.

W trzech wymiarach równanie (1.29) można również zapisać w formie niezależnej od parametru λ. Pamiętająć, że iloczyn wektorowy ~n × ~n = ~0, mamy

(~r − ~r₀) × ~n = 0 (1.31)

Rozpatrzmy dwuwymiarową przestrzeń afiniczną (płaszczyznę) z ortonormalną bazą kartezjańską {O,~ex,~e_y}. Równania (1.30) dla składowych wektora wodzącego prostej to

x = x₀+ λ n_x, y = y₀+ λ n_y. (1.32) Wyliczając λ z jednego z tych równań i podstawiając do drugiego otrzymujemy równanie n_y(x − x₀) − n_x(y − y₀) = 0 . (1.33) Jest to warunek prostopadłości wektora ~t = (ny, −n_x) do wektora (~r − ~r₀) ∼ ~n = (n_x, n_y),

~t· ~n = 0 => ~t ⊥ ~n. (1.34)

Tak więc w ogólnym równaniu prostej na płaszczyźnie,

Ax + By + C = 0 (1.35)

wektor ~t = (A, B) jest wektorem prostopadłym do tej prostej.

1.6.1 Odległość punktu od prostej

Własność (1.34) wykorzystamy znajdując wzór na odległość dowolnego punktu płaszczy- zny P = (x₀, y₀) od prostej zadanej równaniem (1.35). Równania parametryczne prostej prostopadłej do danej prostej i przechodzącej przez punkt P to

x = x + λ A

√ , y = y + λ B

√ , (1.36)

(11)

gdzie dodatkowo unormowaliśmy wektor kierunkowy prostej ~t = (A,B). Zauważmy, że λ = 0 odpowiada punktowi P, natomiast wartość parametru λ odpowiadająca punktowi przecięcia prostej prostopadłej z daną prostą jest szukaną odległością d punktu od prostej (z dokładnością do znaku). Podstawiając równanie (1.36) do (1.35) dostajemy warunek na punkt przecięcia

Ax₀+ By₀+ C + λ

√

A²+ B²= 0 , (1.37)

skąd wynika wzór na szukaną odległość

d = |λ| = |Ax₀+ By₀+ C|

√

A²+ B² . (1.38)

1.7 Równanie płaszczyzny

Płaszczyzna w n wymiarowej przestrzeni afinicznej zadana przez punkt przez który prze- chodzi A₀i wektor ~t, który jest do niej prostopadły jest określona równaniem

(~r − ~r₀) · ~t = 0 (1.39)

gdzie ~r jest wektorem wodzącym punktów płaszczyzny, natomiast r0jest wektorem wo- dzącym ustalonego punktu A0.

W trójwymiarowej przestrzeni afinicznej, po wybraniu kartezjańskiego układu współ- rzędnych, równanie (1.39) przyjmuje postać

A(x − x₀) + B(y − y₀) + C(z − z₀) = 0 . (1.40) gdzie (x, y, z) to współrzędne punktów płaszczyzny, (x0, y₀, z₀) to współrzędne punktu A0, natomiast ~t = (A, B, C) to współrzędne wektora prostopadłego do płaszczyzny. Stąd ogólna postać równania płaszczyzny

Ax + By + Cz + D = 0 (1.41)

gdzie współczynnik D jest określony na podstawie współrzędnych punktu przez który ona przechodzi,

D = −(Ax₀+ By₀+ Cz₀) . (1.42)

Ćwiczenie - Pokazać, że odległość d punktu P = (x0, y₀, z₀) od prostej (1.41) jest dana wzorem

d =|Ax₀+ By₀+ Cz₀+ D|

√

A²+ B²+ C² . (1.43)

(12)

Rozdział 2

Krzywe sto żkowe

Krzywe stożkowe są zadane ogólnym równaniem kwadratowym na płaszczyźnie

Ax²+ By²+ 2Cxy + Dx + Ey + F = 0 . (2.1) W zależności od relacji pomiędzy współczynnikami otrzymujemy elipsę, parabolę i hi- perbolę. Szczególnym przypadkiem elipsy jest okrąg.

2.1 Elipsa

Elipsa to zbiór punktów płaszczyzny spełniających równanie x²

a²+y²

b² = 1 (2.2)

gdzie zakładamy bez starty ogólności, że a > b > 0. Przypadek a = b = r, odpowiadający okręgowi o promieniu r, wyłączmy z dalszych rozważań. Postać parametryczna równania elipsy to

x = a cos t

y = b sin t , t ∈ [0, 2π) . (2.3)

Parametr t = 0, π odpowiada punktom przecięcia elipsy osi x w punktach, odpowiednio,

(a, 0) , (−a, 0) . (2.4)

Ogniskaelipsy to punkty na osi x o współrzędnych O = (−

√

a²−b², 0) , O⁰= (

√

a²−b², 0) . (2.5)

(13)

O O’

P

A A’

k k’

a -a

-6 -4 -2 0 2 4 6

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

Rysunek 2.1: Elipsa o parametrach a = 5, b = 3 i mimośrodzie e = 0.8.

Tak więc odległość między ogniskami to

|OO⁰|= 2

√

a²−b². (2.6)

Suma odległość dowolnego punktu elipsy P od jej ognisk jest stała i wynosi (patrz Rys. 2.1)

|OP | + |O⁰P | = 2a . (2.7)

Mimośrodem e nazywamy stosunek odległości między ogniskami do odległości mię- dzy punktami przecięcia elipsy z osia x, co daje

e =|OO⁰| 2a =

√ a²−b²

a . (2.8)

Zauważmy, że e < 1. Ogniska leżą więc wewnątrz elipsy w punktach o współrzędnych

O = (−ea, 0) , O⁰= (ea, 0) . (2.9)

Kierownicą elipsy k sprzężną z ogniskiem O jest prosta równoległa do osi y i przecho- dząca przez punkt

x = −a

e, (2.10)

(14)

natomiast kierownicą k⁰ sprzężona z ogniskiem O⁰ jest prosta x =a

e. (2.11)

Obie kierownice leżą na zewnątrz elipsy. Odległość ognisk od sprzężnych z nimi kierownic wynosi

d = a e−ea

= b²

√

a²−b² (2.12)

Wzory (2.8) i (2.12) pozwalają wyliczyć wartości długości półosi elipsy w funkcji parame- trów e i d,

a = ed

1 − e², b = ed

√

1 − e². (2.13)

Stosunek odległości dowolnego punktu elipsy od ogniska do odległości tego punktu od sprzężonej z ogniskiem kierownicy jest równy mimośrodowi elipsy,

|OP |

|AP | =|O⁰P |

|A⁰P | = e . (2.14)

Ćwiczenie - Udowodnić relacje (2.7) i (2.14) wykorzystując postać parametryczną (2.3) równania paraboli.

2.2 Hiperbola

Hiperbola zadana jest równaniem na płaszczyźnie x²

a²−y²

b² = 1 (2.15)

Hiperbola ma dwie gałęzie o dodatnich i ujemnych wartościach x,

x = ±a r

1 +y²

b². (2.16)

Obie gałęzie posiadają asymptoty do których dążą gdy x → ±∞, y = ±b

ax . (2.17)

Postać parametryczna dodatniej gałęzi hiperboli to x = a cosh t

(15)

O’ O

A P

k’ k

a -a

-15 -10 -5 0 5 10 15

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

Rysunek 2.2: Hiperbola o parametrach a = 3, b = 6 i mimośrodzie e = 2.24.

Dla ujemnej gałęzi znak zmiennej x jest przeciwny. Wartość parametru t = 0 odpowiada punktom przecięcia gałęzi hiperboli z osią x o współrzędnych

(±a, 0) . (2.19)

Ogniska hiperboli to punkty O⁰ dla gałęzi ujemnej i O dla gałęzi dodatniej o współ- rzędnych

O⁰= (−

√

a²+ b², 0) , O = (

√

a²+ b², 0) . (2.20) Odległość między ogniskami to

|OO⁰|= 2

√

a²+ b². (2.21)

Moduł różnicy odległości dowolnego punktu hiperboli P od obu ognisk jest stały i wynosi (patrz Rys. 2.2)

|O⁰P | − |OP |

= 2a . (2.22)

Mimośród, zdefiniowany jako stosunek odległości ognisk do odległości między punktami przecięcia gałęzi hiperboli z osią x, wynosi

e =|OO⁰| 2a =

√ a²+ b²

a > 1 . (2.23)

(16)

Podobnie jak dla elipsy ogniska leżą w punktach

O⁰= (−ea, 0) , O = (ea, 0) . (2.24)

Kierownicehiperboli są prostymi równoległymi do osi x, przechodzącymi przez punkt x = ±a

e, (2.25)

gdzie znak (+) odnosi się do kierownicy k sprzężonej z ogniskiem O, natomiast znak (−) do kierownicy k⁰ sprzężonej z ogniskiem O⁰. Odległość ognisk od sprzężonych co nich kierownic wynosi

d = ea −a

e

= b²

√

a²+ b². (2.26)

Relacje (2.23) i (2.26) pozwalają wyliczyć parametry a i b hiperboli w funkcji parametrów e i d,

a = ed

e²−1, b = ed

√

e²−1. (2.27)

Stosunek odległości dowolnego punktu P dodatniej gałęzi hiperboli od ogniska O do odległości tego punktu od kierownicy k jest stały i równy mimośrodowi hiperboli,

|OP |

|AP | = e . (2.28)

Podobnie dla punktów ujemnej gałęzi, ogniska O⁰ i kierownicy k⁰.

Ćwiczenie - Udowodnić relacje (2.22) i (2.28) wykorzystując postać parametryczną (2.18) równania hiperboli.

2.3 Parabola

Równanie paraboli na płaszczyźnie to

x = ay² a > 0 . (2.29)

Równanie parametryczne to

x = at²

y = t , t ∈ (−∞, ∞) . (2.30)

Ogniskoparaboli O leży na osi x i ma współrzędne O =

1 , 0

. (2.31)

(17)

O

A P

k

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

Rysunek 2.3: Parabola o parametrze a = 1/5.

Kierownicak paraboli to prosta równoległa do osi y o równaniu x = −1

4a. (2.32)

Odległość ogniska od kierownicy wynosi d = 1

2a, (2.33)

natomiast punkt przecięcia paraboli z osią x znajduje się w połowie odległości między ogniskiem a kierownicą. Zauważmy, że dla d → 0 elipsa staje się coraz szersza, gdyż a →

∞.

Dowolny punkt P hiperboli jest równo odległy od ogniska O i kierownicy k (patrz Rys. 2.3),

|OP |

|AP | = 1 . (2.34)

Stosunek ten określa też mimośród paraboli, e = 1.

(18)

O k

P P P

A A A

d

e=2 e=1

e=0.5

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-1 0 1 2 3 4 5

Rysunek 2.4: Krzywe stożkowe. Zwróć uwagę, że dla wybranych punktów P na rysunku, odległość |OP | = ed = p.

Ćwiczenie - Udowodnić relację (2.34) wykorzystując postać parametryczną (2.30) równa- nia paraboli.

2.4 Posta ć biegunowa krzywych stożkowych

Krzywe stożkowe można określić przy pomocy jednego wzoru wprowadzając kierownicę k i ognisko O odległe od kierownicy o odległość d. Krzywą stożkową definiujemy wte- dy jako zbiór punktów P płaszczyzny, dla których stosunek odległości od ogniska O do odległości do kierownicy k jest stały i równy mimośrodowi krzywej stożkowej e (patrz Rys. 2.4),

|OP |

|AP | = e = const. . (2.35)

(19)

W zależności od wartości e, otrzymujemy

0 < e < 1 elipsa e = 1 parabola e > 1 hiperbola

(2.36) Wprowadzając współrzędne biegunowe (r,φ) wyprowadzone z ogniska O, otrzymujemy dla równania (2.35)

r

d + r cos φ= e , (2.37)

gdzie kąt φ liczy się od osi x prostopadłej do kierownicy i przechodzącej przez ognisko O, w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. Stąd równanie krzywej stożkowej

r = p

1 − e cos φ p = ed . (2.38)

W każdym przypadku minimalny promień rmin odpowiadający punktowi przecięcia krzywej stożkowej z osią x jest określony z warunku φ = π i wynosi

r_min= e

1 + ed . (2.39)

Ponieważ rmin< d, leży on zawsze między ogniskiem a kierownicą.

Promień maksymalny rmax zależy od krzywej stożkowej. Dla elipsy otrzymujemy go dla kąta φ = 0,

r_max= e

1 − ed . (2.40)

Odpowiadający mu punkt leży na osi x po prawej stronie ogniska O. Łatwo sprawdzić, że

r_min+ r_max= 2a , (2.41)

a drugie ognisko O⁰ leży na prawo od ogniska O w odległości r_max−r_min= 2

√

a²−b², (2.42)

gdzie parametry elipsy a i b są określone wzorami (2.13).

Dla paraboli e = 1 i ze wzoru (2.38) wynika,że rmax→ ∞gdy φ → 0⁺. Dla hiperboli e >

1 i istnieje minimalny kąt φminpowyżej którego równanie (2.38) ma sens geometryczny.

Jest on określony równaniem

cos φ_min=1

e, (2.43)

a promień rmax→ ∞gdy φ → φ⁺_min. Kąt ten określa tangens nachylenia asymptoty dodatniej gałęzi hiperboli,

tg φ_min=

√

e²−1 =b

a. (2.44)

Ćwiczenie - Znaleźć odległość punktu przecięcia asymptot hiperboli od kierownicy k w funkcji parametrów e i d. Po której stronie kierownicy znajduje się ten punkt.

(20)

2.5 Sprowadzanie do postaci kanonicznej

Równanie (2.1) można zapisać w postaci macierzowej ˆ

x^TA ˆˆx + ˆD^Tx + F = 0 ,ˆ (2.45) gdzie ˆx^T = (x, y), ˆD^T = (D, E), F jest liczbą, natomiast macierz

A =ˆ A C

C B

!

(2.46) jest macierzą symetryczną. Macierz tą można sprowadzić do postaci diagonalnej przy pomocy transformacji ortogonalnej ˆO, która prowadzi do nowych zmiennych ˆx⁰^T = (x⁰, y⁰),

ˆ

x⁰= ˆO^Tx ,ˆ Oˆ^TO = ˆˆ O ˆO^T = 1 (2.47) oraz

Λˆ = λ₁ 0 0 λ₂

!

= ˆO^TA ˆˆO . (2.48)

Równanie (2.45) przyjmuje postać bez członów wieszanych ˆ

x⁰^TΛˆxˆ⁰+ ˆD^TO ˆˆx⁰+ F = 0 , (2.49) lub w jawnej postaci

λ₁x⁰²+ λ₂y⁰²+ D⁰x⁰+ E⁰y⁰+ F = 0 , (2.50) gdzie ˆD^TO = (Dˆ ⁰, E⁰). Równanie to można zapisać w formie sumy kwadratów. Na przy- kład, gdy λ₁, 0 oraz λ2, 0 mamy

λ₁ x⁰+ D⁰ 2λ₁

!2

+ λ₂ y⁰+ E⁰ 2λ₂

!2

+ F −D⁰² 4λ²₁

− E⁰²

4λ²₂ = 0 . (2.51) W zależności od znaków λ1i λ₂oraz wyrazu wolnego otrzymujemy krzywą stożkową lub zbiór pusty.

Ćwiczenie - Jaką krzywą stożkową przedstawia równanie 10x²+ 10y²−12xy + 20x − 12y + 8 = 0 .

(21)

Rozdział 3

Tensory

3.1 Krzywoliniowe układy współrz ędnych

W kartezjańskim układzie współrzędnych punkty P są scharakteryzowane przez współ- rzędne kartezjańskie wektora wodzącego

~r = x¹~i₁+ x²~i₂+ x³~i₃ ≡(x¹, x², x³) . (3.1) Zwróćmy uwagę, że tym razem współrzędne mają wskaźniki górne. Będzie to istotne w dalszej części rozważań. Wektory bazowe, {~i1, ~i₂, ~i₃}, tworzą bazę ortonormalną,

~i_i·~i_j = δ_ij i, j = 1, 2, 3 (3.2) Można wprowadzić inne współrzędne (q¹, q², q³) takie, że istnieje wzajemnie jedno- znaczny związek miedzy tymi współrzędnymi, a współrzędnymi kartezjańskimi

x¹ = x¹(q¹, q², q³) x² = x²(q¹, q², q³)

x³ = x³(q¹, q², q³) , (3.3) w skrócie xⁱ = xⁱ(q^α). Warunkiem koniecznym i wystarczającym jednoznaczności takiej transformacji jest różny od zera jakobian tej transformacji

J =

∂(x¹, x², x³)

∂(q¹, q², q³)

=

∂x¹/∂q¹ ∂x¹/∂q² ∂x¹/∂q³

∂x²/∂q¹ ∂x²/∂q² ∂x²/∂q³

∂x³/∂q¹ ∂x³/∂q² ∂x³/∂q³

, 0 , (3.4)

lub w skrócie |∂xⁱ/∂q^α| , 0.

Ustalając dwie z nowych współrzędnych otrzymujemy krzywą scharakteryzowaną nie- ustalonym parametrem: ~r = ~r(u^α). Zmieniając kolejno biegnący parametr otrzymujemy

(22)

siatkę współrzędnych krzywoliniowych. W każdym punkcie P można zdefiniować trzy wektory bazowe styczne do krzywych o ustalonej wartości dwóch nowych współrzędnych,

~e₁ ≡ ∂~r

∂q¹ = ∂x¹

∂q¹~i₁+ ∂x²

∂q¹~i₂+ ∂x³

∂q¹~i₃

~e₂ ≡ ∂~r

∂q² = ∂x¹

∂q²~i₁+ ∂x²

∂q²~i₂+ ∂x³

∂q²~i₃

~e₃ ≡ ∂~r

∂q³ = ∂x¹

∂q³~i₁+ ∂x²

∂q³~i₂+ ∂x³

∂q³~i₃. (3.5)

W skrócie może ten układ zapisać w postaci

~e_α= ∂xⁱ

∂q^α~i_i (3.6)

gdzie sumujemy po dwukrotnie powtarzającym się wskaźniku i = 1,2,3. Nieznikanie ja- cobianu (3.4) w każdym punkcie kwarantuje, że nowe wektory są bazą oraz istnieje wzór odwrotny do (3.6),

~i_i = ∂q^α

∂xⁱ ~e_α (3.7)

gdzie macierz ∂q^α/∂xⁱjest macierzą odwrotną do macierzy ∂xⁱ/∂q^α

∂xⁱ

∂q^α

∂x^j = δⁱ_j. (3.8)

We wzorze tym sumujemy po α. Podobnie, sluszna jest relacja

∂q^α

∂xⁱ

∂q^β = δ^βα, (3.9)

gdzie tym razem sumujemy po i.

Policzmy iloczyn skalarny nowych wektorów bazowych

~e_α·~e_β = ∂x_i

∂q^α

∂x_j

∂q^β~i_i·~i_j = ∂x_i

∂q^α

∂x_j

∂q^βδ_ij = XN

i=1

∂x_i

∂q^α

∂x_i

∂q^β. (3.10)

Jeżeli współrzędne q^α(x_i) prowadzą do bazy ortogonalnej,

~e_α·~e_β = h²_αδ_αβ, (3.11)

(23)

to takie współrzędne nazwiemy ortogonalnymi. Współczynniki hα, zwane współczynni- kami Lamego, są długością wektorów bazowych ~eα,

h₁ = p

~e₁·~e₁ = s

∂x¹

∂q¹

!2

+ ∂x²

∂q¹

!2

+ ∂x³

∂q¹

!2

h₂ = p

~e₂·~e₂ = s

∂x¹

∂q²

!2

+ ∂x²

∂q²

!2

+ ∂x³

∂q²

!2

h₃ = p

~e₃·~e₃ = s

∂x¹

∂q³

!2

+ ∂x²

∂q³

!2

+ ∂x³

∂q³

!2

. (3.12)

Dzieląc każdy z wektorów nowej bazy ~eαprzez jego długość hαotrzymujemy lokalną bazę ortonormalną. Wtedy (nie sumujemy po α)

ˆe_α= 1 h_α

∂~r

∂q^α i ˆe_α·ˆe_β= δ_αβ. (3.13)

3.2 Popularne układy współrz ędnych

Najbardziej popularne ortogonalne układy współrzędnych to

• współrzędne biegunowe

x = ρ cos φ

y = ρ sin φ , ρ ∈ (0, ∞) , φ ∈ [0, 2π) (3.14)

• współrzędne walcowe x = ρ cos φ y = ρ sin φ

z = z , ρ ∈ (0, ∞) , φ ∈ [0, 2π) , z ∈ (−∞, ∞) (3.15)

• współrzędne sferyczne

x = r sin θ cos φ y = r sin θ sin φ

z = r cos , r ∈ (0, ∞) , φ ∈ [0, 2π) , θ ∈ [0, π] (3.16) Współczynniki Lamego dla powyższych układów współrzędnych podajemy w tabelce.

(24)

Nazwa Współrzędne Współczynniki Lamego kartezjańskie (x, y, z) h_x= 1 h_y= 1 h_z= 1

biegunowe (ρ, φ) h_ρ= 1 h_φ= ρ walcowe (ρ, φ, z) h_ρ= 1 h_φ= ρ h_z= 1 sferyczne (r, θ, φ) h_r= 1 h_θ= r h_φ= r sin θ

Ćwiczenie - Znaleźć wektory bazowe dla powyższych układów współrzędnych i wyliczyć współczynniki Lamego z tabelki. Unormować do jedynki wektory bazowe.

3.3 Tensory

3.3.1 Różniczka i gradient

Odwróćmy relację między współrzędnymi kartezjańskimi, a współrzędnymi krzywolinio- wymi, xⁱ= xⁱ(q¹, q², q³) dla i = 1, 2, 3, otrzymując q^α= q^α(x¹, x², x³) dla α = 1, 2, 3, a następ- nie policzmy różniczkę nowych zmiennych,

dq^α=∂q^α

∂x¹dx¹+∂q^α

∂x²dx²+∂q^α

∂x³dx³ (3.17)

lub w zapisie z konwencją sumacyjną po dwukrotnie powtarzającym się wskaźniku i

dq^α=∂q^α

∂xⁱ dxⁱ (3.18)

Zauważmy, że różniczka nowych współrzędnych dq^α transformuje się tak jak wektory bazowe w relacji odwrotnej (3.22),

~i_i = ∂q^α

∂xⁱ ~e_α (3.19)

poprzez macierz odwrotną do macierzy (∂xⁱ/∂q^α). Jest to sposób przeciwzmienniczy lub kontrawiariantnytransformacji.

Sprawdźmy teraz jak transformują się składowe gradientu funkcji φ(x¹, x², x³), zapi- sanej jako funkcja zmiennych krzywoliniowych (q^α) ≡ (q¹, q², q³),

φ(q^α) ≡ φ(x¹(q^α), x²(q^α), x³(q^α)) . (3.20) Otrzymamy

∂φ ≡∂ q = ∂φ ∂x¹

+ ∂φ ∂x²

+ ∂φ ∂x³

= ∂φ ∂xⁱ

≡ ∂xⁱ

∂φ . (3.21)

(25)

Ostatecznie

∂_αφ = ∂xⁱ

∂q^α∂_iφ (3.22)

Tym razem składowe gradientu transfomują się tak jak wektory bazowe we wzorze (3.6),

~e_α= ∂xⁱ

∂q^α~i_i, (3.23)

poprzez macierz (∂xⁱ/∂q^α). Tak więc składowe gradientu funkcji transformują się w spo- sób współzmienniczy lub kowariatny z wektorami bazowymi.

3.3.2 Definicja tensora

Wzory (3.18) i (3.22) to dwa sposoby transformacji składowych obiektów geometrycz- nych przy zmianie układu współrzędnych. Obiekty z dolnym wskaźnikiem transformują się współzmienniczo (kowariantnie) z wektorami bazowymi przy zmianie układu współ- rzędnych, natomiast obiekty z górnymi wskaźnikami transformują się przeciwzmienniczo (kontrawiariantnie). Stąd ogólna definicja.

Tensorem k-krotnie kontrawariantnym i l-krotnie kowariantnym nazywamy obiekt geometryczny, którego współrzędne w danej bazie, T_jⁱ₁¹_jⁱ₂²_...j^...i^k

l, transformują się przy zmianie układu współrzędnych, q^α= q^α(xⁱ), w następujący sposób

T⁰^α_β¹^α²^...α^k

1β₂...β_l =∂q^α¹

∂xⁱ¹

∂q^α²

∂xⁱ² . . .∂q^α^k

∂xⁱ^k T_jⁱ¹ⁱ²^...i^k

1j₂...j_l

∂x^j¹

∂q^β¹

∂x^j²

∂q^β². . .∂x^j^l

∂q^β^l (3.24)

gdzie sumujemy po prawej stronie po powtarzających się wskaźnikach łacińskich,

(i₁, i₂, . . . , i_k) oraz (j₁, j₂, . . . , j_l) , (3.25) z zakresem ich zmienności {1,2,...N}, gdzie N jest wymiarem przestrzeni (liczbą wekto- rów bazowych). Mówimy,że taki tensor jest typu (k,l).

3.3.3 Operacja na tensorach

Na tensorach można wykonać szereg operacji, takich jak dodawanie tensorów tego same- go typu,

Aⁱ_j¹ⁱ²^...i^k

1j₂...j_l = Bⁱ_j¹ⁱ²^...i^k

1j₂...j_l + C_jⁱ¹ⁱ²^...i^k

1j₂...j_l, (3.26)

oraz mnożenie przez dowolną liczbę rzeczywistą λ, Aⁱ_j¹ⁱ²^...i^k

1j₂...j_l= λ Bⁱ_j¹ⁱ²^...i^k

1j₂...j_l. (3.27)

(26)

Możemy również pomnożyć przez siebie tensory różnego typu, Bⁱ_j¹ⁱ²^...i^k

1j₂...j_lC_jⁱ¹ⁱ²^...iⁿ

1j₂...j_m≡Aⁱ_j¹ⁱ²^...i^k+n

1j₂...j_l+m. (3.28)

W wyniku otrzymujemy tensor typu (k + n, l + m).

Możliwa jest również operacja kontrakcji - sumowania po dolnych i górnych wskaź- nikach, która prowadzi do tensora niższego typu. Na przykład, sumując po pierwszym górnym wskaźniku i drugim dolnym, otrzymujemy

N

X

i=1

Bⁱⁱ_j²ⁱ³^...i^k

1ij₃...j_l ≡Aⁱ_j²ⁱ³^...i^k

1j₃...j_l, (3.29)

We wzorze tym jawnie zaznaczyliśmy sumowanie czego zwykle się nie robi, przyjmując konwencję sumowania po powtarzających się wskaźnikach górnych i dolnych. Otrzymany tensor jest typu (k − 1, l − 1).

3.3.4 Niezmienniki tensorowe

Niezmienniki tensorowe (skalary) powstają poprzez zwężenie (kontrakcję) wszystkich wskaźników górnych i dolnych w tensorze lub w iloczynach tensorów. W wyniku otrzymujemy liczbę, której wartość jest niezależna od wyboru układu współrzędnych Na przy- kład, niezmiennikiem jest wielkość

A^αB_α, (3.30)

gdyż

A^αB_α=∂q^α

∂xⁱ

∂x^j

∂q^αAⁱB_j= δ^j_iAⁱB_j = A^jB_j. (3.31) Poniżej podajemy przykłady innych niezmienników tensorowych

A^α_α, δ_iⁱ, A^αβB_βα, Aⁱ¹ⁱ²ⁱ³B_i₁C_i₂_i₃. (3.32) Nie jest natomiast niemiennikiem wielkość zbudowana poprzez sumowanie wskaźni- ków na tym samym poziomie, na przykład

3

X

α=1

A^αB^α. (3.33)

Ćwiczenie - Pokazać, że (3.33) nie jest niezmiennikiem.

(27)

3.4 Element długo ści i tensor metryczny

Kwadrat infinitezymalnie małego elementu długości we współrzędnych kartezjańskich to ds²= (dx¹)²+ (dx²)²+ (dx³)²= g_ijdxⁱdx^j (3.34) gdzie g_ij = δ_ij są składowym tensora metrycznego w bazie kartezjańskiej, {~i1,~i₂,~i₃}. Po zmianie układu współrzędnych

ds²= X3

i=1

∂xⁱ

∂q^α

∂xⁱ

∂q^βdq^αdq^β, (3.35)

gdzie sumujemy po α, β = 1, 2, 3. Kwadratu elementu długości w dowolnym układzie współrzędnych można więc zapisać w formie

ds²= g_αβdq^αdq^β , (3.36)

gdzie

g_αβ =

3

X

i=1

∂xⁱ

∂q^α

∂xⁱ

∂q^β (3.37)

sa składowymi tensora metrycznego w nowej bazie, {~e₁,~e₂,~e₃}. Tym razem składowe tensora metrycznego zależą od współrzędnych punktu q = (q¹, q², q³), w którym są liczone

g_αβ= g_αβ(q) , (3.38)

Ze wzoru (3.10) wynika, że tensor metryczny można zapisać poprzez iloczyn skalarny wektorów bazowych

g_αβ = ~e_α·~e_β (3.39)

Tensor metryczny jest tensorem dwukrotnie kowariantny, gdyż relację (3.37) można zapi- sać w postaci

g_αβ= ∂xⁱ

∂q^α

∂x^j

∂q^βδ_ij. (3.40)

Ponieważ δij= g_ijsą składowymi tensora metrycznego w bazie kartezjańskiej, wzór ( 3.40) jest prawem transformacyjnym (3.24) dla tensora typu (0, 2), czyli tensora dwukrotnie kowariantnego.

W przypadku współrzędnych ortogonalnych tensor metryczny jest diagonalny g_αα= h²_α i g_αβ = 0 gdy α , β . (3.41)

(28)

lub w notacji macierzowej

(g_αβ) =







h²₁ 0 0 0 h²₂ 0 0 0 h²₃







. (3.42)

Wtedy kwadrat elemntu długości to

ds²= (h₁dq¹)²+ (h₂dq²)²+ (h₃dq³)² (3.43) a wyznacznik macierzy tensora metrycznego wynosi

det (g_αβ) = h²₁h²₂h²₃. (3.44) Wzory te łatwo zapisać dla dowolnego wymiaru przestrzeni n, zamieniając 3 → n.

3.5 Kontrawariantny tensor metryczny

Wprowadza się również współczynniki kontrawiariantne tensora metrycznego g^αβ takie, że

g^αβg_βγ = δ_γ^α (3.45)

Łatwo pokazać, że wzór analogiczny do (3.37) to

g^αβ = X3

j=1

∂q^α

∂x^j

∂q^β

∂x^j , (3.46)

gdyż spełniona jest relacja (3.45),

g^αβg_βγ = X3

j=1

∂q^α

∂x^j

∂q^β

∂x^j X3

i=1

∂xⁱ

∂q^β

∂xⁱ

∂q^γ

=

3

X

i,j=1

∂q^α

∂x^j

∂xⁱ

∂q^γ ∂xⁱ

∂q^β

∂x^j

!

=

3

X

i,j=1

∂q^α

∂x^j

∂xⁱ

∂q^γδ_ij

= X3

i=1

∂q^α

∂xⁱ

∂q^γ =∂q^α

∂q^β = δ^α_β. Dla współrzędnych ortogonalnych

g^αα= 1 h²α

i g^αβ = 0 gdy α , β . (3.47)

(29)

lub w notacji macierzowej

(g^αβ) =







1/h²₁ 0 0 0 1/h²₂ 0 0 0 1/h²₃







. (3.48)

Ćwiczenie - Pokazać, że g^αβ jest tensorem dwukrotnie kontrawiariantnym.

Kowariantny tensor metryczny kowariantny zamienia wskaźniki kontrawiariantne (gór- ne) tensora na wskaźniki kowariantne (dolne), na przykład

A_α= g_αβA^β. (3.49)

natomiast tensor kontrawiariantny odwraca tę relację

A^α= g^αβA_β. (3.50)

W obu przypadkach sumujemy po β = 1, 2, 3. Dla współrzędnych ortogonalnych mamy więc (brak sumowania po α)

A_α= h²_αA^α (3.51)

oraz

A^α= 1

h²_αA_α. (3.52)

3.6 Element obj ętości

Element objętości w kartezjańskim układzie współrzędnych zadany jest wzorem

dV = dx¹dx²dx³ (3.53)

Przy zmianie układu element jest wyrażony poprzez moduł jakobianu transformacji (3.4)

dV =

∂xⁱ

∂q^α

dq¹dq²dq³. (3.54)

Relacja (3.40), interpretowana macierzowo, pozwala nam związać jakobian z wyznaczni- kiem kowariantnego tensora metrycznego

det(g_αβ) =

∂xⁱ

∂q^α

2

. (3.55)

(30)

Stąd element objętości w dowolnym układzie współrzędnych

dV = q

det(g_αβ) dq¹dq²dq³ (3.56) Dla współrzędnych ortogonalnych przyjmuje on postać

dV = h₁h₂h₃dq¹dq²dq³ (3.57)

Ćwiczenie - Wyliczyć element długości i objętości dla współrzędnych z poniższej tabelki.

Współrzędne Element długości Element objętości kartezjańskie ds²= dx²+ dy²+ dz² dV = dxdydz

biegunowe ds²= dρ²+ ρ²dφ² dV = ρdρdφ walcowe ds²= dρ²+ ρ²dφ²+ dz² dV = ρdρdφdz sferyczne ds²= dr²+ r²dθ²+ r²sin²θdφ² dV = r²sin θdrdθdφ