30.4.2019, kl 1b Wielomiany III
Wzory Viéte Przypuśćmy, że wielomian w(x) = anxn+an−1xn−1+. . .+a1x+a0 ma n pierwiastków α1, α2, . . . , αn. Wówczas, na mocy twierdzenia Bézout,
w(x) = an(x − α1)(x − α2) · . . . · (x − αn).
Porównując współczynniki obu wielomianów otrzymujemy tzw. wzory Viéte’a α1+ α2+ . . . + αn= −an−1/an,
X
1¬i<j¬n
αiαj = an−2/an, ...
n
X
i=1
α1· . . . · αi−1αi+1· . . . · αn= (−1)n−1a1/an, α1· α2· . . . αn= (−1)na0/an,
Wielomiany nierozkładalne Niech k = R, Z lub Q i niech w ∈ k[x].
Definicja. Wielomian w ∈ k[x] jest rozkładalny nad k, jeśli istnieją wielomiany w1, w2 ∈ k[x] takie, że w = w1·w2 i deg wi< deg w dla i = 1, 2. Wielomian w stopnia dodatniego nazywamy nierozkładalnym, jeśli takie wielomiany nie istnieją.
Zadania
Zadanie 1. Definiujemy wielomiany x k
!
:= x(x − 1) · . . . · (x − k + 1)
k! , k = 0, 1, 2, . . .
Niech w ∈ R[x], deg w = n. Wykazać, że jeśli w(x) jest liczbą całkowitą dla każdego x ∈ Z, to istnieja liczby całkowite a0, a1, . . . , an takie, że
w(x) =
n
X
k=0
ak
x k
! .
Zadanie 2. Zapisz wielomian 3x4− 4x2+ 7x − 12 w postaciP4k=0ak xk, ak ∈ Z.
Zadanie 3. Niech f (x) = x3+ x. Czy istnieją liczby wymierne a, b i liczby całkowite nieujemne m, n takie, że ab = 3 i
f ◦ f ◦ . . . ◦ f
| {z }
m razy
(a) = f ◦ f ◦ . . . ◦ f
| {z }
n razy
(b)
Zadanie 4. Liczby całkowite m, n są takie, że mn2 +nm2 jest całkowita. Wykaż, że n|m2. Zadanie 5. Udowodnij, że liczby√
2 +√
3 oraz √3 3 + √31
3 są niewymierne.
Zadanie 6. Zbadaj rozkładalność wielomianów nad Q (a) x3+ x − 7, (b) 2x3− 3x2+ 8x + 5, (c) x4+ 1, (d) 12x4+ 11x3+ 10x2− 2x + 1.
Zadanie 7. Rozłóż wielomiany na iloczyn wielomianów nierozkładalnych nad R: (a) x5+ x3− x2− 1, (b) x6− 1, (c) x6+ 1, (d) x4+ x3+ x2+ x + 1, (e) x8+ x4+ 1, (f) (x2+ x + 1)2+ 3x(x2+ x + 1) + 2x3 Zadanie 8. Udowodnij, że wielomian x4− x3− 3x2+ 5x + 1 jest nierozkładalny w Z[x].
Zadanie 9. Niech x1, x2, x3 oznaczają pierwiastki wielomianu x3+ 6x2+ 9x + 4. Oblicz (a) x1+ x2+ x3,
(b) x1x2+ x2x3+ x3x1, (c) x1
1 +x1
2 + x1
3,
(d) (x1− x2)2+ (x2− x3)2+ (x3− x1)2, (e) (x1− 1)(x2− 1)(x3− 1),
(f) 1
x21 + 1
x22 + 1
x23.
Zadanie 10. Dla wielomianu unormowanego (tj. a3 = 1) stopnia f stopnia 3 o pierwiastkach x1, x2, x3
definiujemy
∆f := (x1− x2)2(x2− x3)2(x3− x1)2. Wykaż, że:
(a) Jeśli f (x) = x3+ px + q, to ∆f = −4p3− 27q2.
(b) Wiemy, że (por. Zadanie 14/Wielomiany I) jeśli f (x) = a3x3+ a2x2+ a1x + a0 to istnieje dokładnie jedna α ∈ R taka, że ˜f (x) := f (x − α) = x3 + px + q dla pewnych p, q ∈ R.
Wykaż, że ∆f˜= ∆f.
(c) Tak skonstruowaną liczbę −4p3− 27q2przyjmujemy za definicję wyróżnika dowolnego wielo- mianu unormowanego stopnia 3, niekoniecznie posiadającego trzy pierwiastki rzeczywiste.1 Udowodnić twierdzenie: Wielomian f stopnia 3 ma 3 różne pierwiastki rzeczywiste wtedy i tylko wtedy, gdy jego wyróżnik jest dodatni.
Zadanie 11. Oblicz ile różnych pierwiastków rzeczywistych mają następujące wielomiany: (a) x3− x + 1, (b) x3+ 3x2− 1, (c) x4+ x3− x2−23x +13.
Zadanie 12. Niech α < β będą pierwiastkami wielomianu x2− 2x − 1 = 0. Wykazać, że wielomian x3− αx2− βx + 1
ma 3 pierwiastki rzeczywiste x1, x2, x3 i obliczyć (x1+ x2+ x3) · (1
x1 + 1 x2 + 1
x3), (x1+ x2+ x3)8+ ( 1 x1 + 1
x2 + 1 x3)8 Wyrazić pierwiastki wielomianu x3− βx2− αx + 1 za pomocą x1, x2, x3.
Zadanie 13. Rozwiąż układ równań
x + y + z = 2, x2+ y2+ z2 = 14, x3+ y3+ z3 = 20
Zadanie 14. Znajdź pierwiastki wielomianu x4− 10x3+ 32x2− 34x + 7 wiedząc, że suma pewnych dwóch jego pierwiastków jest równa 4.
1W przypadku wielomianu nieunormowanego przyjmuje się, że wyróżnik należy domnożyć przez a43.
2
Zadanie 15. Wielomian x4+ ax3+ bx + c ma 4 różne pierwiastki. Udowodnij, że ab < 0.
Zadanie 16. Dla jakich a, b liczba −1 jest trzykrotnym pierwiastkiem wielomianu x4− 5x3+ 9x2+ ax + b.
Zadanie 17. Znajdź współczynnik przy x2 w wielomianie x(x − 1)(x − 2) . . . (x − 9).
Pisemna praca domowa (na 14 V):
Zadanie 1. Liczby wymierne p, q, r są takie, że każda z liczb p + q + r,1
p+1 q +1
r, pq + qr + rp jest całkowita. Udowodnij, że p, q, r są całkowite.
Zadanie 2. Niech w(x) = x4+ ax3+ bx2+ ax + 1, przy czym a, b ∈ Z.
(a) Znajdź wszystkie pary (a, b), dla których wielomian w jest iloczynem dwóch wielomianów stopni 1 i 3 o współczynnikach całkowitych.
(b) Znajdź wszystkie pary (a, b), dla których wielomian w jest iloczynem czterech wielomianów stopni 1 o współczynnikach całkowitych.
(c) Udowodnij, że istnieje nieskończenie wieloe par (a, b), dla których wielomian w jest iloczy- nem dwóch wielomianów stopnia 2 o współczynnikach całkowitych.
Zadanie 3. Dana jest liczb naturalna n. Wyznacz wszystkie pierwiastki wielomianu wn(x) = 1 + x
1!+ x(x + 1)
2! + . . . +x(x + 1) . . . (x + n − 1)
n! .
3
