Informacja Kwantowa 1/2

(1)

do oddania na 14.03.2013

Operator rzutowy na stan |ψi mo»emy przedstawi¢ za pomoc¡ wektora Blocha s =



 s1

s₂ s₃



 jako

|ψihψ| = 1 2 ₁ˆ1 +

3

X

j=1

s_jσˆ_j

! .

Wynik dziaªania transformacji unitarnej ˆU na stan |ψi dany jest wi¦c wyra»eniem

U |ψihψ| ˆˆ U^† = 1 2 ₁ˆ1 +

3

X

i=1

s_jU ˆˆσ_jUˆ^†

! .

Wida¢, »e operatory ˆU ˆσ_iUˆ^†, i = 1, 2, 3, s¡ bez±ladowe. Mo»emy zatem zapisa¢ je jako:

U ˆˆσjUˆ^† =

3

X

i=1

Oijσˆi. St¡d

U |ψihψ| ˆˆ U^†= 1 2

"

1ˆ1 +

3

X

i=1 3

X

j=1

O_ijs_j

! ˆ σ_i

#

i wektor Blocha stowarzyszony ze stanem ˆU |ψi mo»emy zapisa¢ jako Os, gdzie O jest macierz¡ 3 × 3 zªo»on¡ ze wspóªczynników Oij.

a) Wyrazi¢ elementy Oij przez ±lady Tr(ˆσiU ˆˆσ_jUˆ^†).

b) Poda¢ jawn¡ posta¢ macierzy O dla transformacji unitarnych ˆU danych wyra»eniami

e^iα/2 0 0 e^−iα/2

oraz cos^ξ₂ sin^ξ₂

− sin^ξ₂ cos^ξ₂

Jakim przeksztaªceniom sfery Blocha odpowiadaj¡ otrzymane macierze O?