Wykład VIII

1

Wykład VIII

Nośniki nadmiarowe w półprzewodnikach

• Dyfuzja i unoszenie nośników

• Prąd wstrzykiwania, długość drogi dyfuzji

• Gradienty quazi-poziomów Fermiego

2 Dyfuzja nośników: jakikolwiek gradient n lub p powoduje ruch nośników z obszaru o wyższej koncentracji do obszaru o niższej koncentracji

• dyfuzja jako wynik gradientu koncentracji

• dryft (unoszenie) w wyniku istnienia pola elektrycznego

Proces dyfuzji zachodzi w wyniku chaotycznego ruchu termicznego i zderzeń z siecią oraz z domieszkami

Główne mechanizmy transportu prądu

Niech n(x) ma postać jak na rys. (a). Podzielmy n(x) na kawałki o długości równej długości średniej drogi swobodnej ҧ𝒍 (b) powiększony widok dwóch kawałków .

Dyfuzja

Wprowadzamy średnią drogę ҧ𝒍 i średni swobodny czas ҧ𝒕 (odległość i czas między zderzeniami) liczba elektronów przechodzących przez x₀ w czasie ҧ𝒕 z lewa na prawo

) A l n ( )

A l n (







1

2

1 2

1

𝑨 - przekrój poprzeczny do 𝒙

dx x dn t l x

x x

n x

n t

x l

n x

) ( 2

) (

) lim (

2 )

(

2

0 2

0 





 





 





 



Szybkość przepływu elektronów w kierunku +𝒙 na jednostkę powierzchni jest równa

gęstości strumienia elektronów:

gdzie ҧ𝒍 = ∆𝒙

Gęstość strumienia

dx x D dn

x _n

n

) ) (

(  



dx x D dp

x _p

p

) ) (

(  



( ) ( )

( ) ( )

n n n

dn x dn x

J dyf q D qD

dx dx

    

( ) ( )

( ) ( )

p p p

dp x dp x

J dyf q D qD

dx dx

    

nazywa się współczynnikiem dyfuzji elektronów

2

2

n

D l

t



 

Prąd dyfuzyjny na jednostkę powierzchni = (strumień cząstek) x (ładunek nośników)

Analogicznie

Prąd dyfuzyjny

Jeśli dodatkowo istnieje pole elektryczne:

dx x qD dn

x x

n q x

J

( )

) ( ) ( )

(    

dx x qD dp

x x

p q

x

J

( )

) ( ) ( )

(    

Całkowita gęstość prądu : J(x) = J_n(x) + J_p(x)

Całkowita gęstość prądu

7

Dyfuzja i unoszenie nośników - przykład

Uwaga: nośniki mniejszościowe mogą dawać istotny wkład do prądu

dyfuzyjnego ( gradienty!) , zaś zwykle niewielki do prądu unoszenia (~ do koncentracji).

W stanie równowagi, prze półprzewodnik nie płynie prąd ! Zatem jeśli na

skutek fluktuacji nastąpi przepływ prądu dyfuzyjnego to natychmiast pojawia się pole elektryczne, które niweluje ten prąd.

Prąd dziurowy w stanie równowagi:

) 0 ) (

( ) ( )

(   

dx x qD dp

x x

p q

x

J





Relacja Einsteina

𝒑 = 𝒑

kT E

E i

F

e

n

p



^{ } _ ^{  } _ ^

dx dE dx

dE kT

x D

p p

1 )

( 



 0 dx

dE

) ( x dx q

dE







 





 





 

q D  kT

𝜀 𝑥 = 𝐷



𝜇

1

𝑘𝑇 𝜀(𝑥)

) / (cm² s

D_n D_p(cm² / s)



( cm Vs

/ ) 

( cm Vs

/ )

Ge 100 50 3900 1900

Si 35 12.5 1350 480

GaAs 220 10 8500 400

Współczynnik dyfuzji i ruchliwość nośników w półprzewodnikach samoistnych w T= 300K.

q D  kT



Równanie ciągłości

Analizując procesy dyfuzji do tej pory zaniedbywana była rekombinacja.

Tymczasem musi być brana pod uwagę przy analizie transportu prądu, gdyż prowadzi do zmiany dystrybucji nośników.

Rozważmy prąd wchodzący i wychodzący z elementu objętości ∆𝒙𝑨.

• szybkość wzrostu ilości dziur = [wzrost koncentracji w elemencie objętości (

𝒙

Jeśli , zmianę prądu można zapisać w postaci różniczki:

p p

p x

x x

p x

x x

J x

J q t

p



 







 











) (

) 1 (

Równania ciągłości dla elektronów i dziur

0

  x

( , ) 1

p

p x t p J p

dla dziur

t t q x

 



      

  

( , ) 1

n

n x t n J n

dla elektronów

t t q x

 





 

   

  

Są to równania ciągłości, odpowiednio dla dziur i elektronów

∆𝑗 = 𝑞∆𝑝𝑣 = 𝑞∆𝑝∆𝑥/∆𝑡

Równania ciągłości dla elektronów i dziur

Jeśli założyć, że nie ma prądu unoszenia tylko prąd dyfuzyjny:

( ) ( )

n n n n

dn x n

J J dyf qD qD

dx x



    

 ⁿ _n

n x

D n t

n







 _



 





2 2

p p

p x

D p t

p







 _



 





2 2

i podobnie dla dziur:

Są to równania opisujące proces dyfuzji, któremu

towarzyszy proces rekombinacji.

2

0

2

 



 





n n

n x

D n t

n









n n

n x

D n





 _





2 2

Można przejść do różniczek zupełnych, bo w stanie stacjonarnym nie ma zależności od czasu

Stan stacjonarny

2 2

2

n n

n

L

n D

n dx

n

d 





   L

 D



2 2

2

p p

p

L

p D

p dx

p

d 





 _{ }

p p

p

D

L  

długość dyfuzji dla elektronów

długość dyfuzji dla dziur

p

p x L

L

x

C e

e C x

p ( ) 





Rozwiązanie ogólne:

gdzie

Lp

pe

x

p ( )  



Lp

pe

p x

p ( ) 

 

) ) (

) (

( p x

L q D dx

x qD dp

x J

p p p

p   



Załóżmy, że dziury są wstrzykiwane w x = 0, i niech 𝒑(𝒙 = 𝟎) = 𝚫𝒑.

Wówczas z warunków brzegowych:

Przykład

p

p x L

L

x

C e

e C x

p ( ) 





𝒑(𝒙 → ) = 𝟎 𝑪

= 𝟎 𝒊 𝑪

= 𝚫𝒑,

Wstrzyknięcie dziur w x = 0, prowadzi do rozkładu stacjonarnego p(x) i prądu dyfuzyjnego J_p(x).

Na skutek rekombinacji, wstrzyknięta nadmiarowa koncentracja dziur

maleje wykładniczo ze wzrostem x. Długość dyfuzji 𝑳𝒑, odpowiada odległości przy której nadmiarowa koncentracja dziur spada do wartości 𝟏/𝒆 z

wartości 𝚫𝒑 .

Przykład cd.

Gradienty quasi-poziomów Fermiego

dx x qD dn

x x

n q x

J_{n n n} ( )

) ( ) ( )

(    

 



 



 



 ^

dx dE dx

dF kT

x e n

dx n d dx

x

dn _{F E kT n i}

i

i

n ( )

)

( _{( )/}

dx q F x d

dx q F x d

n dx q

x dF n

x dx q

x dF n x

x n q

dx dE dx

x dF n x

x n q x

J

n n

n n

n n

n n

n

i n

n n

n

) / ) (

) ( / ) (

( )

(

) ( )

( )

( ) (

) ( )

( ) ( )

(





























 







 





( / ) ( / )

( ) ( )

( )

*

p p p

d F q d F q

J x q p x x

dx dx

 

 

Procesy unoszenia i dyfuzji nośników są równoważne przestrzennej zmianie quasi-poziomów Fermiego

zmodyfikowane prawo Ohma

W stanie równowagi gradE_F = 0. Pojawienie się prądu unoszenia i dyfuzji prowadzi do gradientów quasi-poziomów Fermiego:

q D  kT



Zadania

17

1. Próbka samoistnego Si jest domieszkowana z jednej strony tak, że 𝑵_𝑫 = 𝑵_𝟎 𝐞𝐱𝐩 −𝒂𝒙 .

a) Znajdź wyrażenie na pole elektryczne 𝜺(𝒙) w obszarze próbki, gdzie 𝑵_𝑫 ≫ 𝒏_𝒊

b) Oblicz 𝜺(𝒙) dla 𝒂 = ^𝟏

𝝁𝒎

c) Narysuj diagram pasmowy i zaznacz kierunek pola 𝜺 𝒙 .

2. Współczynnik dyfuzji elektronów w krystalicznym Si jest równy 𝑫 = 𝟑𝟔𝒄𝒎^𝟐/𝒔 a ruchliwość 𝟏𝟑𝟓𝟎𝒄𝒎^𝟐(𝑽𝒔) ^−𝟏. W pewnej próbce Si koncentracja elektronów maleje liniowo na dystansie 𝟐𝝁𝒎 od 𝒏 = 𝟐. 𝟕 ∙ 𝟏𝟎^𝟏𝟔𝒄𝒎^−𝟑 do 𝟏 ∙ 𝟏𝟎^𝟏𝟓𝒄𝒎^−𝟑.

a) Ile wynosi gęstość prądu dyfuzyjnego wywołanego przez ten gradient?

b) Jaki spadek napięcia na tym dystansie będzie konieczny aby związany z nim prąd unoszenia skompensował ten prąd

dyfuzyjny?

18

3. Załóż, że w T=300K w próbce krystalicznego Si typu p, ruchliwość elektronów jest równa 𝝁_𝒏 = 𝟏𝟐𝟓𝟎𝒄𝒎^𝟐(𝑽𝒔) ^−𝟏 co odpowiada

koncentracji akceptorów 𝑵_𝑨 = 𝟏𝟎^𝟏𝟒𝒄𝒎^−𝟑 i czasowi życia elektronów 𝝉_𝒏 = 𝟏𝟎^−𝟔𝒔. Oblicz długość drogi dyfuzji elektronów.

Odp.

Zad.1.

a) ^𝐤𝐓

𝐪𝐚 b) 𝟐𝟓𝟗𝑽/𝒄𝒎 Zad.2.

a) 𝟕𝟒𝟗𝑨/𝒄𝒎^𝟐 b) 257V/cm Zad.3

𝟓𝟔𝝁𝒎