Wykład 13: Prąd stały

Wykład 13: Prąd stały

dr inż. Zbigniew Szklarski szkla@agh.edu.pl

http://layer.uci.agh.edu.pl/Z.Szklarski/

20.03.1800

Alessandro Volta

ogniwo cynkowo-miedziane

1812

Giuseppe Zamboni

Sucha bateria – papier z folią cynkową i z dwusiarczku

manganu z drugiej strony.

1876 ogniwo Leclanche’go – pierwotnie mokre, później żelowe

Bateria

dwuogniwowa

Prąd elektryczny

W przewodniku o objętości V= S·l znajduje się ładunek

q = n·e·S·l gdzie

n

V_u

S

l U

tS neSl tS

q S

t q

j = = =

 j ne V 

=

t i = q



= j ds

i 

 



 = s A C

gęstość prądu

S

j = i _^ _{2 }^ m

A natężenie prądu

Prędkość unoszenia - przykład

 Standardowy przewód miedziany o przekroju 2 mm², w którym płynie prąd o natężeniu 10 A.

 Koncentracja elektronów

 Gęstość prądu

 Prędkość unoszenia

M N n d  ^A

= gdzie d = 9 g/cm³ ; N_A= 6,0210²³ at/mol;

M = 64 g/mol czyli n = 8,410²² elektr./cm³

ne

V

= j = 3,710

cm/s

j

 Obliczyć natężenie prądu wytwarzanego przez elektron krążący w atomie wodoru na podstawowej orbicie.

Rozwiązanie:

Z warunku Bohra

Okres obiegu

stąd

T

i = e Fd ⁼ FC ^

0 2 2 2

4 R

e R

mV

= 



 2

2

mVR h

L = h  =

2

2 2

mV h V

T R





 ₌

=

3 02 5

4 h m i e

= 

mV R h



= 2



h V e

0 2

2

=

(

)

(

)

mA 5 ,

 4

Prawo Ohma

 Wektorowa postać prawa Ohma

 inaczej - konduktywność

 Różniczkowa postać prawa Ohma



 = A

V ⁱ

metal

U

E V 

 =



−

dV =dl

−

 ^{ U = −}



S l jS

El S

d j

l d E i

R U − = =



=

=

 

 

 



E

= j

= 

 ¹

gdzie  [·m] jest rezystancj^ą właściwą

R dU di 1

= )

( oraz R f U const

R = 

i ~ U

𝑖~𝑈 𝑖 = 𝑈

𝑅 𝑅 = 𝑈

𝑖

Ԧ𝑗 = 𝜎𝐸 gdzie  [S/m] jest to przewodność właściwa

Przykłady

1. Na metrowym odcinku cienkiego drutu bez izolacji zawiązano 10 supełków. Czy opór drutu się zmieni w stosunku do drutu

prostego?

2. Przewodnik A jest 2 razy krótszy oraz ma 2 razy większą

średnicę niż przewodnik B. Jaki jest opór A w stosunku do oporu przewodnika B ?

3. Opór drutu o długości L wynosi R₀ . Jeżeli go rozciągniemy do 2 L przy stałej masie, to jak wówczas zmieni się jego opór?

Odpowiedzi:

Ad.1. zmaleje

Ad.2. 8 razy mniejszy Ad.3. wzrośnie 4 razy

Przewodnictwo elektryczne w metalach.

 Elektron poruszający się pod wpływem zewnętrznego pola elektrycznego

E

1 2

E dt e

V

md  



= ^V





Vo

dt E e dV

m



0

V

 =  gdzie  - średnia droga swobodna elektronu, który zderza się z defektem sieci – fononem, traci część energii więc ustala się prędkość średnia ≈ 10⁶ m/s ale

V m eE ne

V_{u =} j ₌



V m eE ne

E 

 ⁼

 ₂ f (E)

nem 

=

  

V_u  10^-4 m/s !

W temperaturze pokojowej λ wynosi około 40 nm dla Cu i Au oraz 60 nm dla Ag.

Zależność rezystancji od temperatury

Prawdopodobieństwo rozpraszania jest proporcjonalne do wychylenia jonu z położenia równowagi.

τ ~   ~ T

0 + + +...

= _{ph d}

tot

  



ρ_ph = ρ₀(1 + T)

dT d

 

0

= 1

sr T



= 

 

0

1 T

1

ρ

gdzie  - temperaturowy współczynnik rezystancji (TWR).

- różniczkowy TWR;

Reguła Matthiesena

 ~ T⁵ dla T<15 K

ρ₀



T

15 K 300 K

Przykład

Dysk o promieniu 𝑟₁i grubości h wykonany jest z materiału o oporze właściwym . Dysk otoczony jest cienkim pierścieniem o bardzo dobrym przewodnictwie z zamocowaną elektrodą. Druga elektroda w kształcie pręta o promieniu 𝑟₀ zamocowana jest w środku dysku.

a. Obliczyć wartość oporu między elektrodami dysku;

b. Obliczyć natężenie prądu w dysku, po przyłożeniu między elektrodami różnicy potencjałów U;

c. Obliczyć zależność gęstości prądu w funkcji odległości od środka dysku;

d. Obliczyć zależność natężenia pola i potencjału w funkcji odległości od środka dysku, jeżeli potencjał pierścienia równa się zero, a potencjał w środku dysku wynosi U.

Pasma energetyczne

pasma energetyczne - 1928 Felix Bloch

zbliżanie się atomów do siebie powoduje rozszczepienie pojedynczych poziomów energetycznych elektronów

Struktura pasmowa sodu

Struktura pasmowa diamentu

W budowie pasm udział biorą tylko elektrony zewnętrzne, natomiast

chmury elektronowe wewnętrznych powłok elektronowych atomów już się nie przykrywają i stany elektronów wewnętrznych atomów kryształu

pozostają w zasadzie takie same jak w atomach izolowanych.

Elektrony walencyjne należą do wszystkich atomów równocześnie Prędkość ruchu elektronu jest rzędu 10⁵ m/s, a rozmiary atomu

wynoszą 10⁻¹⁰m, to elektron walencyjny znajduje się w danym węźle w czasie Δt = 10⁻¹⁵s, co powoduje, że szerokość poziomu energetycznego elektronu walencyjnego ΔE jest w przybliżeniu równa ΔE= h/ Δt ≈ 1 eV

Przy szerokości pasma rzędu 1 eV odległości między poziomami wynoszą około 10⁻²² eV, co wskazuje, że nie ma możliwości

doświadczalnego ich rozróżnienia. O takiej grupie poziomów mówimy jako o paśmie dozwolonym uważając, że elektrony w tym paśmie mają ciągły rozkład energii.

Pasma te są rozdzielone pasmami wzbronionymi.

?

Półprzewodnik E_g[eV] Półprzewodnik E_g[eV]

arsenek indu InAs 0,36 siarczek kadmuCdS 2,42 german Ge 0,67 selenek cynku ZnSe 2,7

krzem Si 1,11 węglik krzemu SiC 2,86

arsenek galu GaAs 1,43 siarczek cynku ZnS 3,6

Przewodnictwo elektryczne w półprzewodnikach

 Półprzewodniki samoistne

(np. Ge, Si – IV grupa, wiązania kowalencyjne)

W temperaturze 0 K przewodnictwo

jest zerowe – wszystkie stany w paśmie przewodnictwa są puste.

Przy wzroście temperatury elektrony są termicznie wzbudzane Dla germanu E_g = 0,67 eV dla krzemu E_g = 1,14 eV

 Półprzewodniki domieszkowe

• domieszka donorowa Np. As (V) w sieci Si (IV)

Domieszka As daje dodatkowy, swobodny elektron do pasma przewodnictwa.

Energia jonizacji donoru E_d = 0,049 eV

Dziury powstałe na poziomie donorowym są zlokalizowane przy atomach domieszek – nie biorą udziału w

przewodnictwie.

• domieszka akceptorowa Np. B (III) w sieci Si (IV)

→ Bor jest domieszką akceptorową w krzemie, gdyż może zabrać elektron z pasma walencyjnego pozostawiając dodatnią dziurę. Aby zjonizować akceptor, musimy dostarczyć energii elektronowi z pasma walencyjnego, który przejdzie wówczas do akceptora.

→ W tym przypadku, energia jonizacji E_a = 0,045 eV.

→ Dziury w paśmie walencyjnym są nośnikami prądu elektrycznego.

Energia 0,01 eV  116 K.

Przykładowe wartości energii jonizacji [eV]:

Domieszka w Ge Si Donorowa: As 0,127 0,049

Sb 0,0096 0,039 Akceptorowa: Ga 0,0108 0,065

In 0,0112 0,16

Przewodnictwo

V m ne 

 = 1 = ² Ruchliwość

E V_u

 =

skoro j = neV_u to  = ne (T) = n(T)e^(T)

kT E_g

e n T

n( ) = ₀ ⁻²  = _e(nh_h + _ne_e)

gdzie n_h i n_e są to odpowiednio koncentracje dziur (h) i elektronów (n) [1/m³].



T

n

T

Siła elektromotoryczna (SEM) i opór wewnętrzny

praca mech. – silnik el.

a b energia cieplna – piec energia chemiczna Źródło

+ -

DC

E, B

Źródło SEM wykonuje pracę nad nośnikami ładunku –

przemieszczając je z obszaru o małej energii potencjalnej (biegun - źródła) do obszaru o wyższej energii (biegun + źródła).

W obwodzie zewnętrznym pole elektryczne powoduje przepływ nośników od bieguna + do -.

dq

= dW

 ^{ i} _{i R}

idt dq

dW =





Rdt i²

=

iUab

dt P = dW =

Elektron zderzając się, traci nadwyżkę energii jaką uzyskał od pola E. Energia kinetyczna elektronu jest stała, więc

stracona energia zamienia się w ciepło.

Napięcie na zaciskach źródła U_ab=



i idt = ²





SEM



Rozpatrując rzeczywistą baterię, o oporze wewnętrznym r:

b r a



Moc źródła: i

b b

a

a a

r

R

+ -

Va

Vb

Va

ε

ir

iR

V

+ε - i  r - i  R =V

r – opór wewnętrzny źródła R – opór obciążenia

dla źródła doskonałego mamy

i ₌ R ^{r R}

i R

r

i +  = +

= 

 ( )

 Wyznaczanie oporu wewnętrznego ogniwa (źródła SEM).

Założenia: R_V >> R wówczas i_V  ^{0 oraz R}_A  ⁰

A U

ε iv  0

V R

ε/r = izwarcia i

Czyli

U = i  R  = i  r + U  U =  - r ·i

i r − iR

= 

lub

𝑦 = 𝑏 − 𝑎 𝑥

R P_c

PR

Pr

r 2r 3r

P

r

R P

r

2

)

= ( +  P

= i

r P

= i

R

R i r

= + 

R R

P_R r ₂

2

)

= ( +

P

= P

+ P

Moc obciążenia

 Moc użyteczna źródła

więc

Moc całkowita ( ) ( )

r r R

R R P r

= + + +

= ² ₂ ²

cał  

skoro

 Dla jakiej wartości oporu zewnętrznego, moc użyteczna osiąga wartość maksymalną?

R R P_R r ₂

2

)

= ( +

5 , 0 2

42 2

=

=

=

R R P

P

cał R







Sprawność ogniwa

( )

2 2

2( ) 2( )

R r

R r R

R r dR

dP_R

+

+



−

=  + 

0 2 ²

2

2r +







R Pc

PR

Pr

R 2R 3R P

Prawa Kirchhoffa

 Pierwsze prawo

 Drugie prawo

R₁ R₂ R3

i₁

i₂

i

 i3





i

iout i

iin i

i



 ⁼

i i i

i i

R

i 

i= i

+ i

+ i

i

R

– i

R

= 0

 i

R

= i

R

 Zadanie

Opór zastępczy

 połączenie równoległe

3 2

1

1 1

1 1

R R

R

R_z = + +

 połączenie szeregowe

R1

R2

R3

i1

i2

i

 i3

R1 R2 R3

i



Z I prawa Kirchhoffa: Z II prawa Kirchhoffa:

3 2

1 R R

R R_z







 _{= + +}

 = iR

+ iR

+ iR

iR

= i(R

+ R

+ R

)

R

= R

+ R

+ R

Przykłady

1. Woltomierz wskazuje napięcie 𝑈_𝑉= 4 V.

a) Oblicz wskazania amperomierza.

b) Oblicz wartość 𝑅₁, jeżeli napięcie E = 6 V.

2. Rzeczywisty amperomierz ma opór wewnętrzny 4  i zakres 100 mA.

a) Co należy zrobić aby dwukrotnie rozszerzyć zakres miernika?

b) Jaki będzie jego zakres w roli woltomierza

?

3. Czajnik elektryczny o mocy 1200 W dostosowany do napięcia 110V kupiony w USA, zawieziono do Europy gdzie stosuje się napięcie 220 V. Jaka będzie moc tego czajnika włączonego do gniazdka w Europie?

Odpowiedzi:

1 a. I = 2 A

2 a.  R_x = 2 3. P_PL = 4800 W !!

1 b. R₁ = 1

2 b. bez zmian 400 mV

Obwód RC

C R

a b











 

 

 + 

= C

d q Rdt i

dq 2

2 2



energia

cieplna energia

zgromadzona na kondensatorze

Przełącznik znajduje się w pozycji a) - ładowanie kondensatora C.

Zmiana energii źródła

dającego ładunek dq dW_zr = dq

Elementarne ciepło

wydzielane na R dW_R = i²Rdt Zmiana energii

kondensatora 









= 

C d q

dW_C

2

2

dt i = dq dt

dq C R q

dt i

dq = ² +



C i R q

i

i = +

 ²











 + 

= C

d q Rdt i

dq 2

2 2

 dq

C Rdt q i

dq = +

 ²

C iR + q

=

 

Jest to II prawo Kirchhoffa:

= 0

−

− C

iR q



dt :

C q dt

Rdq +

=

   + 1 − = 0

q R RC dt

dq 











 −

= ^−RC

t

e C

t

q( )



t RC

t

R e RC e

dt C

i = dq =





rozwiązaniem tego równania jest funkcja:

i

t

q

t

q₀ =C· ^{i0 =}/R

Przełącznik w pozycji b) - rozładowanie

kondensatora C ^C

R a

b

1 0

=

−

+ q R

RC dt

dq



II prawo Kirchhoffa:

C R q

i +

=

0 ^czyli

C q dt

R dq +

= 0

1 = 0

+ q

RC dt

dq

RC t RC

t

e C

e q t

q ( ) =

=  

t RC

t

R e RC e

C dt

i = dq = − 

= − 

Rozwiązaniem równania różniczkowego:

jest funkcja:

q

t

q₀ =C· ^{i t}

i₀ =/R

Cykliczny proces ładowania i rozładowania kondensatora:

q₀ =C·

t i

i₀ =+/R

i₀ =-/R

t q

q

t

q₀ 0,5q₀

t=

Stała czasowa t = R C = 





 C e C

q ( ) = ( 1 −

) = 0 , 63 