Ćwiczenia rachunkowe do kursu Elementy elektrodynamiki i fizyki statystycznej Lista I dla Wydziału PPT Układy współrzędnych. Elementy analizy wektorowej.
Physics makes you think
Na ćwiczeniach w pierwszej kolejności będą rozwiązywane zadania oznaczone gwiazdką; pozostałe są przeznaczone do samodzielnego rozwiązywania przez studentów i będą, jeśli czas na to pozwoli, krótko omawiane na zajęciach.
*1. Podać definicję prostokątnego układu współrzędnych. Co to są wersory? Jak określamy współrzedne punktu i wektora?
Co to jest lewo- lub prawoskrętny układ? Podać tabele iloczynów skalarnych i wektorowych wersorów. Ile wynoszą wartości nieskończenie małej powierzchni i objętości?
*2. Podać definicję walcowego (cylindrycznego) układu współrzędnych. Jak są teraz zdefiniowane wersory? Który z nich nie zależy od położenia punktu w przestrzeni? Jak zdefiniowane są współrzędne punktu? Co to jest lewo- lub prawo- skrętny układ? Podać tabele iloczynów skalarnych i wektorowych wersorów.
*3. Podać definicję sferycznego (kulistego) układu współrzędnych. Jak są teraz zdefiniowane wersory? Który z nich nie zależy od położenia punktu w przestrzeni? Jak zdefiniowane są współrzędne punktu? Co to jest lewo- lub prawoskrętny układ? Podać tabele iloczynów skalarnych i wektorowych wersorów.
4. Podać definicję: (a) wektora; (b) mnożenia wektora przez liczbę; (c) wektora przeciwnego; (d) dodawania i odejmo- wania wektorów; (e) iloczynu skalarnego i wektorowego w kartezjańskim układzie współrzędnych. Czy dodawanie wektorów jest łaczne? Dlaczego iloczyn wektorowy można przedstawić jako wyznacznik? Podać i uzasadnić jawną postać tego wyznacznika. Czy mnożenie skalarne i wektorowe jest przemienne? Kiedy iloczym wektorowy lub skalarny wektorów jest równy zeru?
5. Jaka jest interpretacja matematyczna iloczynu mieszanego A · (B × C)? Czy iloczyny B · (C × A), A · (B × C) i C · (A × B) są sobie równe?
*6. Uzasadnić równość A×(B×C) = B·(C·A)−C·(A·B). Ws-ka: wystarczy pokazać równość wybranych współrzędnych.
*7. Mamy cztery wektory: A = (2, − 4,0), B = (−1,6, − 3), C = (23,12, − 9), D = (−5,16,7). Obliczyć (A × B) · (C × D) i (A · C)(B · D) − (A · D)(B · C). Wektor czy skalar są wynikiem obliczeń? Czy otrzymane wielkości są równe?
*8. Mamy cztery wektory: A = (2,40,10), B = (13,5, − 5), C = (25,100,45), D = (−5,16,7). Obliczyć A × (B × (C × D)) i B(A · C × D) − (A · B)(C × D). Wektor czy skalar są wynikiem obliczeń? Czy otrzymane wielkości są równe?
9. Dane są dwa wektory: A = (A x ,A y ,A z ) i B = (B x ,B y ,B z ). Obliczyć ich iloczyn zewnętrzny. Czym jest otrzymany w ten sposób obiekt matematyczny? Jakie on ma właściwości?
10. Czy dowolna trójka liczb (a,b,c) jest wektorem? Podać macierz przekształcenia R wspołrzędnych wektora A = (A x ,A y ,A z ) po obrocie prostokątnego układu współrzędnych o kąt φ wokół osi OZ. Ile wynosi i dlaczego wyznacznik R?
*11. Dana jest funkcja skalarna trzech zmiennych f(x,y,z) = axyz − bx 2 zy 3 − czyx 2 . Wyznaczyć wartości: (a) różniczki zupełnej tej funkcji; (b) gradientu ∇f; (c) iloczynu skalarnego ∇f · dl, gdzie dl = (dx,dy,dz). Czy wartości wyliczone w punktach (a) i (c) są równe? Jaka jest interpretacja geometryczna gradientu dowolnej funkcji?
12. Ile wynosi ∇(f · g), gdzie f i g to funkcje skalarne trzech zmiennych?
*13. Potencjał pola elektrycznego (grawitacyjnego) jest funkcją skalarną typu V (x,y,z) = V 0 /r, gdzie r = px 2 + y 2 + z 2 . Obliczyć gradient V (r). Jaka jest interpretacja fizyczna obliczonego gradientu.
14. Obliczyć gradient funkcji f(x,y,z) = x 2 z − 6xy + 3yz − 67 w punkcie (1, − 3,4).
*15. Obliczyć gradienty dla dwóch wybranych spośród następujących funkcji: f(r) = a(b × r); f(r) = ˆir; f(r) = a(b × r);
f(r) = ˆj(r ׈i); f(r) = kr; f(r) = r n , (n > 0); f(r) = r −n , (n > 0).
*16. Gradient funkcji w układzie cylindrycznym: ∇f = ∂f ∂r · ˆ ir + 1 r ∂ ∂f Θ · ˆ iΘ + ∂f ∂z · ˆ iz, a we współrzędnych sferycznych: ∇f =
∂f
∂r · ˆ ir + 1 r ∂Θ ∂f · ˆ iΘ + r sin Θ 1
∂f
∂φ · ˆ i φ . Obliczyć gradient funkcji f(r,Θ,z) = r 2 exp(−z 2 ) cos Θ określonej we współrzędnych cylindrycznych. Obliczyć gradient funkcji f(r,Θ,φ) = r 2 cos Θ sin φ określonej we współrzędnych sferycznych.
*17. Dana jest funkcja wektorowa F = (F x ,F y ,F z ) oraz operator nabla ∇ =
ˆ x ∂
∂x ,ˆ y ∂
∂y ,ˆ z ∂
∂z
. Obliczyć ”iloczyn ska- larny” ∇ · F. Jaka jest matematyczna interpretacja otrzymanego iloczynu? Przypomnienie: matematyczna defini- cja diwergencji pola wektorowego: diwergencją (lub rozbieżnością) pola F w danym punkcie P nazywamy gra- nicę stosunku strumienia wektora F przez zamkniętą powierzchnię S otaczającą punkt P do objętości V ograni- czonej tą powierzchnią przy warunku, że powierzchnia S w dowolny sposób dąży do zera. Zapis matematyczny:
divF(P ) = lim V →0 H
S F(M) · dS(M)
V . Żargon inżynierski: jeżeli divF(P ) > 0, to mówimy, że w punkcie P znajduje się źródło, którego moc (wydajność) jest równa liczbowo diwergencji; jeżeli divF(P ) < 0, to mówimy, że w punkcie P znajduje się spływ (źródło ujemne), którego pobór mocy jest równy wartości bezwzględnej diwergencji. Wektorowe pole jest beźródłowe (solenoidalne), jeśli w każdym punkcie P tego pola divF(P ) = 0.
*18. Wyznaczyć diwergencję pól wektorowych: (a) ar = (ax,ay,az), gdzie a jest liczbą; (b) r
r · ar −2 dla r 6= 0, gdzie r = (x,y,z) i a jest liczbą.
19. Uzasadnić związki słuszne przy obliczaniu diwergencji: ∇ · (fF) = f(∇ · F ) + F(∇f), gdzie f – funkcja skalarna;
∇ · (FG) = G · (∇ × F ) − F · (∇ × G), gdzie F i G – funkcje wektorowe.
*20. We współrzędnych walcowych: divF = 1 r ∂r ∂ (rF r ) + 1 r ∂F ∂φ
φ+ ∂F ∂z
z, gdzie pole wektorowe F = (F r ,F φ ,F z ). We współ- rzędnych sferycznych: divF = r 1
2∂
∂r (r 2 F r ) + r sin Θ 1 ∂F
Θ∂Θ sin Θ + r sin Θ 1 ∂F ∂φ
φ, gdzie pole wektorowe F = (F r ,F φ ,F z ).
Pole magnetyczne H prostoliniowego przewodnika z prądem stałym o natężeniu I określa we współrzędnych wal- cowych wektor H = (0, 2πr I ,0). Ile wynosi diwergencja tego pola? Dlaczego? Co można powiedzieć o źrodłowości tego pola? Proszę zwrócić uwagę na prostotę opisu pola magnetycznego w rozpatrywanym przypadku oraz łatwość wyznaczenia diwergencji pola! Wyznaczenie diwergencji rozpatrywanego pola we współrzędnych prostokątnych jest znacznie bardziej uciążliwe. Proszę spróbować samodzielnie podejść do tego problemu.
*21. Funkcja wektorowa we współrzędnych sferycznych ma postać: F = (F r = r −2 ,F Θ = r 2 sin Θ,F φ = exp φ). Obliczyć jej diwergencję.
*22. Niechaj będzie zadane w przestrzeni trójwymiarowej pole wektorowe F = (F x ,F y ,F z ). Weźmy pod uwagę punkt P tego pola oraz wektor jednostkowy ˆ n zaczepiony w punkcie P . Przez punkt P przeprowadzamy płaszczyznę prostopadłą do wektora ˆ n, a następnie w tej płaszczyźnie rozpatrujemy dowolną krzywą zamkniętą L otaczającą punkt P . Dodatni obieg linii L wybieramy zgodnie z dodatnim zwrotem wektora ˆ n, posługujac się regułą śruby prawoskrętnej. Obliczmy cyrkulację wektora F po linii zamkniętej L zdefiniowaną wzorem H L F · dr. Oznaczmy przez S pole powierzchni ograniczonej linią L. Gęstością cyrkulacji pola F w danym jego punkcie P wokół wektora ˆ n nazywamy granicę
Γ(P, ˆ n) = lim
S→0
H
L F · dr
S .
Tak zdefiniowana wielkość charakteryzuje właściwości wirowania (obracania się) wektora pola F w danym punkcie pola P wokół kierunku wyznaczonego przez wektor jednostkowy ˆ n. Gęstość cyrkulacji Γ(P, ˆ n) zależy od P i kierunku ˆ n.
W jakim kierunku jest największa?
Rotacją (wirowością) wektora F w punkcie P nazywamy taki wektor, którego rzut na dowolny kierunek ˆ n wytyczony z punktu P jest równy gęstości cyrkulacji Γ(P ,ˆ n), co zapisujemy w postaci
rotˆn (P ) F(P ) = lim
S→
H F · dr
S ,
gdzie L – linia zamknięta, leżąca w płaszczyźnie prostopadłej do ˆ n, S – pole płaskiej powierzchni ograniczonej krzywą L, rotˆn (P ) F(P ) – rzut wektora rotacji rotF(P ) na wektor normalny ˆ n(P ).
Pokazuje się, że w kartezjanskim układzie współrzędnych rotF jest wektorem o trzech składowych
rotF = ∂F z
∂y − ∂F y
∂z
i + ∂F x
∂z − ∂F z
∂x
j + ∂F y
∂x − ∂F x
∂y
k,
gdzie wersory i = ˆ x, j = ˆ y, k = ˆz. Jak zapisujemy ten wynik w postaci wyznacznikowej?
*23. Wyznaczyć rotację podanych pół wektorowych: F = (C/r 2 ) r r ; F = Cr; F = (A × r), gdzie A – wektor o stałych współrzędnych. Jak nazywamy pola, dla których rotF = 0?
24. Uzasadnić związek słuszne przy obliczaniu rotacji ∇ × (fF) = f(∇ × F ) − F × (∇f), gdzie f – funkcja skalarna.
25. Ile wynosi rot(∇f), gdzie f – skalarna funkcja trzech zmiennych? Ile wynosi ∇ · (∇ × F), gdzie F funkcja wektorowa trzech zmiennych?
*26. Rotacja we współrzędnych walcowych: ∇×F =
1 r
∂F
z∂φ − ∂F ∂z
φˆ ir + ∂F ∂z
r+ ∂F ∂r
zi ˆ φ + 1 r ∂(rF
φ
)
∂r − ∂F ∂φ
rˆ iz. Niechaj F = (F r = r 2 ,F φ = r sin φ,F z = z cos φ). Ile wynosi rotacja tego pola?
*27. Rozpatrzmy ciecz wirująca w naczyniu cylindrycznym ze stałą prędkością kątową ω. Pole prędkości fragmentów cieczy jest polem wektorowym, które we wspołrzędnych cylindrycznych można zapisać bardzo prosto jako: v = (v r = 0,v φ = wr,v z = 0). Uzasadnij te postać. Pokaż, że w cylindrycznym układzie współrzędnych rotv = (0,2ω,0).
28. Rotacja we współrzędnych sferycznych:
∇ × F = r sin Θ 1 ∂(F
φ
sin Θ)
∂Θ − ∂F ∂φ
Θˆ ir + 1 r
1 sin Θ
∂F
r∂φ − ∂(rF ∂r
φ) iΘ + ˆ 1 r
∂(rF
Θ
