Zadanie MN 1

Matematyczne Narz˛edzia Mechaniki Kwantowej ^∗

Maciej J. Mrowi´ nski 12 czerwca 2013

Zadanie MN 1

?

Udowodnij, ˙ze dla komutatora dwóch operatorów zdefiniowanego jako [A,B] = AB−

BA zachodz ˛ a nast˛epuj ˛ ace równo´sci:

a) [A,B] = −[B,A]

b) [A,B + C ] = [A,B] + [A,C ] c) [A,BC ] = [A,B]C + B[A,C ] d) [A,B] ^† = [B ^† , A ^† ]

Zadanie MN 2

?

Wyznacz [X , P ⁿ ], gdzie X to operator poło˙zenia a P to operator p˛edu. Nast˛epnie wyznacz [X , F (P)], gdzie F to funkcja operatora p˛edu.

Odpowied´z: [X , P ⁿ ] = i ħhnP ⁿ⁻¹ , [X , F (P)] = i ħhF ⁰ (P) Zadanie MN 3

?

Dla operatorów A, B i stałej λ wyka˙z nast˛epuj˛ace zale˙zno´sci: (A ^† ) ^† = A, (λA) ^† = λ ^∗ A ^† , (A+ B) ^† = A ^† + B ^† oraz (AB) ^† = B ^† A ^† .

Zadanie MN 4

?

Udowodnij, ˙ze je˙zeli w pewnej dyskretnej bazie |u _i 〉 operator A jest reprezentowa- ny przez macierz A _{i j} , wówczas sprz˛e˙zenie hermitowskie tego operatora reprezentuje macierz A ^† _{i j} = A ^∗ _{j i} .

Zadanie MN 5

?

Wyka˙z, ˙ze po dokonaniu wyboru pewnej dyskretnej bazy ortonormalnej |u _i 〉 wynik działania operatora A na ket |ψ〉 daje si˛e przedstawi´c w formie iloczynu dwóch ma- cierzy, reprezentuj ˛ acych operator i ket.

Zadanie MN 6

?

Niech kety |u _i 〉 oraz |t _k 〉 stanowi ˛ a dwie dyskretne, ortonormalne bazy. Maj ˛ ac dan ˛ a macierz S _{i k} = 〈u _i | t k 〉 oraz składowe 〈u i | ψ〉 pewnego ketu |ψ〉 w bazie |u _i 〉, wyznacz

∗

Skompilowane z wielu ´zródeł. Tylko do u˙zytku na zaj˛eciach.

składowe tego ketu w bazie |t k 〉. Zrób to samo dla operatora A, który w bazie |u i 〉 reprezentowany jest przez macierz A _{i j} = 〈u _i | A | u j 〉.

Odpowied´z: 〈t _k | ψ〉 = P _i S _ki ^† 〈u _i | ψ〉, A _{k l} = 〈t _k | A | t _l 〉 = P

i, j S _ki ^† A _{i j} S _{j l} Zadanie MN 7

?

Udowodnij, ˙ze operatory Hermitowskie maj ˛ a rzeczywiste warto´sci własne.

Zadanie MN 8

?

Udowodnij, ˙ze dla operatorów Hermitowskich dwa wektory własne odpowiadaj ˛ ace dwóm ró˙znym warto´sciom własnym s ˛ a ortogonalne.

Zadanie MN 9

?

Wyka˙z, ˙ze operator A, którego wektory własne |u i 〉 stanowi ˛ a dyskretn ˛ a baz˛e orto- normaln ˛ a, mo˙zna wyrazi´c jako A = P _i λ _i |u _i 〉〈u _i |, gdzie λ _i jest warto´sci ˛ a własn ˛ a od- powiadaj ˛ ac ˛ a wektorowi |u _i 〉.

Zadanie MN 10

?

Wyznacz wektory własne i warto´sci własne dla operatora P

_Ψ

= |Ψ〉〈Ψ|, gdzie dla wek- tora |Ψ〉 zachodzi 〈Ψ| Ψ〉 = 1.

Odpowied´z: Warto´sci własnej 1 odpowiada sam wektor |Ψ〉, warto´sci własnej 0 od- powiadaj ˛ a wszystkie wektory |φ〉 z podprzestrzeni ortogonalnej do |Ψ〉.

Zadanie MN 11

?

Udowodnij, ˙ze przy braku degeneracji dwa komutuj ˛ ace ze sob ˛ a operatory Hermi- towskie A i B maj ˛ a te same wektory własne. Udowodnij równie˙z, ˙ze przy degeneracji jeste´smy w stanie tak dobra´c baz˛e, aby stanowi ˛ ace j ˛ a wektory były wektorami wła- snymi zarówno operatora A jak i B.

Zadanie MN 12

?

Udowodnij, ˙ze ´slad operatora A: Tr A = P _i 〈u i | A | u i 〉 (gdzie |u i 〉 to pewna dyskretna baza ortonormalna) nie zale˙zy od wyboru bazy. Udowodnij równie˙z, ˙ze dla dwóch operatorów A i B zachodzi Tr AB = TrBA.

Zadanie MN 13

?

Udowodnij, ˙ze je˙zeli dla pewnego operatora Hermitowskiego A zachodzi A ³ = 1, wówczas oznacza to, ˙ze A = 1.

Zadanie MN 14

?

Wyka˙z, ˙ze dla Hermitowskiego operatora A operator T = e ^iA jest unitarny.

Zadanie MN 15

?

Udowodnij, ˙ze warto´sci własne operatorów unitarnych s ˛ a liczbami zespolonymi o

module jeden. Udowodnij równie˙z, ˙ze wektory własne operatorów unitarnych s ˛ a do

siebie ortogonalne je˙zeli odpowiadaj ˛ a ró˙znym warto´sciom własnym.

Zadanie MN 16

?

Wyka˙z, ˙ze je˙zeli |u i 〉 s ˛ a dyskretn ˛ a baz ˛ a ortonormaln ˛ a a U to pewien operator unitar- ny, wówczas | ˜ u _i 〉 = U |u _i 〉 równie˙z stanowi ˛ a dyskretn ˛ a baz˛e ortonormaln ˛ a.

Zadanie MN 17

?

Niech A i U b˛ed ˛ a operatorami, przy czym U jest unitarny. Dodatkowo, niech |u _i 〉 b˛ed ˛ a pewn ˛ a dyskretn ˛ a baz ˛ a ortonormaln ˛ a. Wyznacz operator ˜ A, którego macierz w bazie U |u i 〉 jest taka sama, jak w bazie |u i 〉.

Odpowied´z: ˜ A = UAU ^† Zadanie MN 18

?

Załó˙zmy, ˙ze mamy dany operator A i pewien unitarny operator U . Wyka˙z, ˙ze w przypadku, kiedy |u i 〉 s ˛ a wektorami własnymi A, wówczas | ˜ u _i 〉 = U |u _i 〉 s ˛ a wektora- mi własnymi operatora ˜ A = UAU ^† .

Zadanie MN 19

?

W pewnej bazie kety |ψ〉 i |ξ 〉 maj˛anast˛epuj˛ac˛areprezentacj˛e:

|ψ〉 =





−3i 2 + i

4



, |ξ 〉 =



 2

−i 2 − 3i





Wyznacz bra 〈ξ | w tej samej bazie oraz 〈ξ | ψ〉.

Odpowied´z: 〈ξ | = 2, i,2 + 3i, 〈ξ | ψ〉 = 7 + 8i Zadanie MN 20

?

W pewnej przestrzeni kety |φ ₁ 〉 oraz |φ ₂ 〉 stanowi ˛ a dyskretn ˛ a baz˛e ortonormaln ˛ a.

Dla ketów |ξ 〉 = −|φ ₁ 〉 + 2i |φ ₂ 〉 oraz |ψ〉 = 3i |φ ₁ 〉 − 7i |φ ₂ 〉 wyznacz 〈ξ | ψ〉.

Odpowied´z: 〈ξ | ψ〉 = −14 − 3i Zadanie MN 21

?

Maj ˛ ac dane kety |ψ〉 = 2i |φ ₁ 〉 + |φ ₂ 〉 − a |φ ₃ 〉 + 4|φ ₄ 〉 oraz |ξ 〉 = 3|φ ₁ 〉 − i |φ ₂ 〉 + 5 |φ ₃ 〉−|φ ₄ 〉 (gdzie kety |φ ₁ 〉, |φ ₂ 〉, |φ ₃ 〉 i |φ ₄ 〉 stanowi ˛ a dyskretn ˛ a baz˛e ortonormaln ˛ a) dobierz stał ˛ a a tak, aby |ψ〉 i |ξ 〉 były ortogonalne.

Odpowied´z: a = ⁷ⁱ ₅ ⁻⁴ Zadanie MN 22

?

Dany jest pewien operator A (nie zakładamy nic na temat tego, czy jest on Hermi- towski). Czy operatory a) (A+ A ^† ), b) i(A+ A ^† ) oraz c) i(A− A ^† ) s˛aHermitowskie?

Odpowied´z: a) tak, b) nie, c) tak

Zadanie MN 23

?

Dany jest pewien operator A, którego wektorom własnym |α _i 〉 odpowiadaj ˛ a warto-

´sci własne α _i . Zakładaj ˛ ac, ˙ze istnieje operator odwrotny do A, znajd´z jego warto´sci własne i wektory własne.

Odpowied´z: Wektory własne b˛ed ˛ a takie same, jak dla operatora A. Warto´sci własne odpowiadaj ˛ ace wektorom własnym b˛ed ˛ a równe

_α

¹

i

. Zadanie MN 24

?

W pewnej bazie kety |ψ〉 i |ξ 〉 maj˛anast˛epuj˛ac˛areprezentacj˛e:

|ψ〉 =



 5i

2

−i



, |ξ 〉 =



 3 8i

−9i





Czy ket |ψ〉 jest unormowany? Je˙zeli nie, to go unormuj. Czy kety |ψ〉 i |ξ 〉 s˛aorto- gonalne?

Odpowied´z: Unormowany b˛edzie ket p ¹ 30



 5i

2

−i



 . Kety |ψ〉 i |ξ 〉 nie s˛aortogonalne.

Zadanie MN 25

?

W pewnej bazie operator A reprezentowany jest przez nast˛epuj ˛ ac ˛ a macierz:

A =





2 i 0

3 1 5

0 −i −2





Wyznacz macierz reprezentuj ˛ ac ˛ a w tej samej bazie operator odwrotny do A.

Odpowied´z: A ⁻¹ = _−4+16i ¹





−2 + 5i 2i 5i

6 −4 −10

−3i 2i 2 − 3i



 Zadanie MN 26

?

W pewnej bazie operator A oraz kety |ψ〉 i |ξ 〉 reprezentowane s˛aprzez nast˛epuj˛ace macierze:

A =





5 3 + 2i 3i

−i 3i 8

1 − i 1 4



 , |ψ〉 =





−1 + i 3 2 + 3i



 , |ξ 〉 =



 6 i 5





Wyznacz ket A |ψ〉 i bra 〈ξ |A. Sprawd´z, czy faktycznie (〈ξ |A)|ψ〉 = 〈ξ |(A|ψ〉). Znajd´z macierz reprezentuj ˛ ac ˛ a w tej samej bazie operator A ^† .

Odpowied´z: A |ψ〉 =





−5 + 17i 17 + 34i 11 + 14i



, 〈ξ |A = 34 − 5i,26 + 12i,20 + 10i,

A ^† =





5 i 1 + i

3 − 2i −3i 1

−3i 8 4





Zadanie MN 27

?

W pewnej bazie operator A reprezentowany jest przez nast˛epuj ˛ ac ˛ a macierz:

A =





7 0 0

0 1 −i 0 i −1





Wyznacz warto´sci własne i reprezentacje wektorów własnych tego operatora.

Odpowied´z: λ ₁ = 7 → |7〉 =



 1 0 0



, λ ₂ = p 2 → | p

2〉 = p ¹

2(2− p 2)



 0 p −i

2 − 1



,

λ ₃ = − p

2 → | − p

2 〉 = p ¹

2(2− p 2)



 0

−i(1 − p 2) 1



 Zadanie MN 28

?

W pewnej bazie operator A reprezentowany jest przez nast˛epuj ˛ ac ˛ a macierz:

A = 1 2





2 0 0

0 3 −1

0 −1 3





Wyznacz warto´sci własne i reprezentacje wektorów własnych tego operatora. Sprawd´z, czy uzyskane wektory s ˛ a ortogonalne.

Odpowied´z: λ ₁ = 1 → |1;1〉 =



 1 0 0



, λ ₂ = 1 → |1;2〉 = ^{p 1} ₂



 0 1 1



,

λ ₃ = 2 → |2〉 = ^{p 1} ₂



 0 1

−1



 Zadanie MN 29

?

W pewnej bazie operatory A i B reprezentowane s ˛ a przez nast˛epuj ˛ ace macierze:

A =





1 0 1 0 0 0 1 0 1



 , B =





2 1 1

1 0 −1

1 −1 2





Czy mo˙zna tak dobra´c baz˛e, aby reprezentacje obu operatorów były w niej diago- nalne (patrz MN 11)? Je˙zeli tak, to znajd´z wektory tej bazy oraz przedstaw w niej macierze odpowiadaj ˛ ace tym dwóm operatorom.

Odpowied´z: |−1〉 = ^{p 1} ₆



 1

−2

−1



, |2〉 = ^{p 1} ₃





−1

−1 1



, |3〉 = ^{p 1} ₂



 1 0 1



,

A =





0 0 0 0 0 0 0 0 2



 , B =





−1 0 0

0 2 0

0 0 3





Zadanie MN 30

?

W pewnej bazie trzy ortonormalne kety reprezentowane s ˛ a przez nast˛epuj ˛ ace macie- rze:

|e ₁ 〉 = 1 p 2



 1 1 0



 , |e ₂ 〉 = 1 p 6



 1

−1 2



 , |e ₃ 〉 = 1 p 3





−1 1 1





Wyznacz macierze reprezentuj ˛ ace w tej samej bazie operatory rzutu na trzy kierunki okre´slone przez powy˙zsze kety. Sprawd´z, czy faktycznie P 3

i=1 |e i 〉〈e i | = 1.

Odpowied´z: |e 1 〉〈e 1 | = ¹ ₂





1 1 0 1 1 0 0 0 0



, |e 2 〉〈e 2 | = ¹ ₆





1 −1 2

−1 1 −2

2 −2 4



,

|e 2 〉〈e 2 | = ¹ ₃





1 −1 −1

−1 1 1

−1 1 1



 Zadanie MN 31

?

Załó˙zmy, ˙ze Hamiltonian w bazie ortonormalnych ketów |φ ₁ 〉 i |φ ₂ 〉 reprezentowany jest przez macierz:

H =  h g g h



gdzie h i g to rzeczywiste stałe. Je˙zeli stan cz ˛ astki w chwili pocz ˛ atkowej jest dowoln ˛ a (ale unormowan ˛ a) liniow˛ a kombinacj ˛ a wektorów tej bazy: |ψ(0)〉 = a |φ ₁ 〉 + b |φ ₂ 〉 wyznacz ket opisuj ˛ acy stan cz ˛ astki po upływie czasu t .

Odpowied´z: |ψ(t)〉 = ^{p 1} ₂ (a + b)e ⁻

^i(h+g)tħh

|+〉 + ^{p 1} ₂ (a − b)e ⁻

^i(h−g)tħh

|−〉,

|+〉 = ^{p 1} ₂ 1 1



, |−〉 = ^{p 1} ₂  1

−1



Zadanie MN 32

?

W pewnej bazie Hamiltonian H i stan cz ˛ astki |ψ〉 reprezentowane s˛aprzez nast˛epu- j ˛ ace macierze:

H = " ₀





2 1 0 1 2 0 0 0 3



 , |ψ〉 = 1 p 3



 i

−i i





Wyznacz prawdopodobie´ nstwa pomiaru poszczególnych energii, <H>, <H ² > oraz zale˙zno´s´c wektora |ψ〉 od czasu.

Odpowied´z: P (" ₀ ) = ² ₃ , P (3" ₀ ) = ¹ ₃ , <H>= ⁵ ₃ " ₀ , <H ² >= ¹¹ ₃ " ² ₀ ,

|ψ(t)〉 = ^{p i} ₃ e ⁻

^3"0iħh

^t |e 1 〉 + ^{p 2i} ₆ e ⁻

^"0iħh

^t |e 2 〉, |e 1 〉 =



 0 0 1



, |e 1 〉 = ^{p 1} ₂



 1

−1 0



 Zadanie MN 33

??

Załó˙zmy, ˙ze w bazie poło˙zeniowej wektor falowy ma nast˛epuj ˛ ac ˛ a reprezentacj˛e:

ψ(x) = A

x ² + a ²

gdzie a i A to pewne rzeczywiste stałe. Znajd´z reprezentacj˛e tego wektora falowego w bazie p˛edowej a nast˛epnie korzystaj ˛ ac z niej wyznacz stał ˛ a A oraz ´sredni p˛ed i ´sredni kwadrat p˛edu. Korzystaj ˛ ac z reprezentacji poło˙zeniowej wyznacz ´srednie poło˙zenie i

´sredni kwadrat poło˙zenia. Sprawd´z zasad˛e nieoznaczono´sci. Podpowied´z:

Z _+∞

0

cosαx

x ² + a ² dx = π 2a e ^−a|α|

Odpowied´z: A = q

2a

³

π

, ψ(p) = p ^a _ħh e ⁻

^{a| p|ħh}

, 〈 p〉 = 0, p ² 

= _a ^{p ħh} ₂ , 〈x〉 = 0, x ² 

= a ² , σ _x σ _p = p

2 ^ħh ₂ Zadanie MN 34

?

Wyznacz reprezentacj˛e p˛edow˛ a wektora falowego dla cz ˛ astki znajduj ˛ acej si˛e w n-tym stanie stacjonarnym niesko´ nczonej studni potencjału:

V (x) =

 0 dla x ∈ [0, a]

+∞ w pozostałych przypadkach

Odpowied´z: ψ(p, t) = p ^aπ _ħh ^ne

^{−i En tħh}

(nπ)

²

− (

^paħh

)

²

h

1 − (−1) ⁿ e

^{−ia pħh}

i Zadanie MN 35

?

Do definiowania funkcji operatorów mo˙zna podej´s´c na dwa sposoby. Je˙zeli funkcja f (x) daje si˛e przedstawi´c w postaci szeregu pot˛egowego:

f (x) = X ^∞

n=0

f _n x ⁿ

wówczas dla operatora A definiujemy nowy operator f (A) jako:

f (A) = X ^∞

n=0

f _n A ⁿ

Jakie b˛ed ˛ a warto´sci własne i wektory własne operatora f (A)? Jak˛aposta´c b˛edzie miał operator sprz˛e˙zony f (A) ^† je˙zeli f (x) jest rzeczywista? Korzystaj˛ac z powy˙zszych wy- ników mo˙zemy zdefiniowa´c funkcj˛e operatora dla przypadku bardziej ogólnego, kie- dy nie wymagamy aby funkcja f (x) była rozwijalna w szereg pot˛egowy. Je˙zeli kety

|α _i 〉 s ˛ a wektorami własnymi operatora A (i stanowi ˛ a baz˛e, ale my i tak robimy ciche zało˙zenie, ˙ze pracujemy z obserwablami) którym odpowiadaj ˛ a warto´sci własne α _i , wówczas operator f (A) definiujemy jako:

f (A) = X

i

f (α _i )|α _i 〉〈α _i |

Wyka˙z, ˙ze w przypadku funkcji daj ˛ acych si˛e przedstawi´c w postaci szeregu pot˛ego-

wego te dwie definicje s ˛ a równowa˙zne.

Odpowied´z: Operator f (A) b˛edzie miał te same wektory własne co A. Odpowiada´c im b˛ed ˛ a warto´sci własne f (α _i ). f (A) ^† = f (A ^† ).

Zadanie MN 36

?

Niech V (X ) b˛edzie operatorem potencjału, który odpowiada funkcji potencjału V (x).

Jakie s ˛ a jego wektory własne? Jakie s ˛ a warto´sci własne? Wyznacz macierz tego opera- tora w bazie poło˙zeniowej i p˛edowej.

Odpowied´z: Jego wektory własne to |x〉 (czyli takie same, jak operatora X ); war- to´sci własne: wektorowi |x〉 odpowiada V (x). W bazie poło˙zeniowej macierz ope- ratora potencjału to 〈x| V (X ) | x ⁰ 〉 = δ(x − x ⁰ )V (x ⁰ ), natomiast w bazie p˛edowej

〈 p| V (X ) | p ⁰ 〉 = R dx u ^∗ _p (x)V (x)u _p

⁰

(x), gdzie u _p (x) to reprezentacje wektorów wła- snych operatora p˛edu w bazie poło˙zeniowej.

Zadanie MN 37

?

Wyznacz ró˙zniczkow˛ a posta´c operatora poło˙zenia X w reprezentacji p˛edowej.

Odpowied´z: X = iħh _{d p} ^d Zadanie MN 38

?

Wyka˙z, ˙ze w bazie p˛edowej działanie operatora potencjału V (X ) (odpowiadaj˛acego pewnej funkcji potencjału V (x), któr˛amo˙zna przedstawi´c w postaci szeregu pot˛ego- wego) na wektor falowy |Ψ〉 mo˙zna przedstawi´c w postaci ró˙zniczkowej zale˙zno´sci:

V

 iħh d

d p

 Ψ(p)

Zadanie MN 39

?

Rozwi ˛ a˙z w bazie p˛edowej zagadnienie własne dla hamiltonianu cz ˛ astki swobodnej a nast˛epnie przedstaw uzyskane wyniki w bazie poło˙zeniowej.

Odpowied´z: 〈 p| E; +〉 = δ(p − p

2mE ), 〈p| E;−〉 = δ(p + p 2mE),

〈x| E; +〉 = ^p _2πħh ¹ e

ⁱ

p2mE x

ħh

, 〈x| E; −〉 = ^p _2πħh ¹ e

⁻ⁱ

p2mE x

ħh

, Wszystkie warto´sci energii s ˛ a do- puszczalne.

Zadanie MN 40

?

Rozwi ˛ a˙z równanie Schrödingera (zale˙zne od czasu) w bazie p˛edowej dla cz ˛ astki swo- bodnej i udowodnij, rozkład g˛esto´sci prawdopodobie´ nstwa p˛edów nie zale˙zy od cza- su.

Zadanie MN 41

?

Załó˙zmy, ˙ze potencjał zale˙zy od p˛edu cz ˛ astki V = α p (gdzie α ∈ R). Rozwi˛a˙z w bazie p˛edowej zagadnienie własne dla hamiltonianu a nast˛epnie przedstaw uzyskane wyniki w bazie poło˙zeniowej.

Odpowied´z: 〈 p| E; +〉 = δ(p − p ₊ ), 〈p| E;+〉 = δ(p − p ₋ ),

〈x| E; +〉 = ^{p 1}

2πħh e

^{i p+ xħh}

, 〈x| E; −〉 = ^p _2πħh ¹ e

^{i p− xħh}

, p _± = −mα  1 ∓ q

1 + _mα ^2E

2



, Wszyst- kie warto´sci energii s ˛ a dopuszczalne.

Zadanie MN 42

?

Wyra´z operatory X i P poprzez drabinkowe operatory dla oscylatora harmoniczne- go.

Odpowied´z: X = q

2mω ħh (a ₊ + a ₋ ), P = i q

m ħhω

2 (a ₊ − a ₋ ) Zadanie MN 43

?

Wyznacz < x >, < p >, < T > (´sredni˛aenergi˛e kinetyczn˛a) i < U > (´sredni˛aenergi˛e potencjaln ˛ a) dla cz ˛ astki, która znajduje si˛e w n-tym stanie własnym Hamiltonianu oscylatora harmonicznego.

Odpowied´z: < x >=< p >= 0, < T >=< U >= ^ħhω ₄ (2n + 1) Zadanie MN 44

?

Wyznacz ogólne wzory na elementy macierzy reprezentuj ˛ acych operatory X , P , X ² , P ² i P X w bazie wektorów własnych Hamiltonianu oscylatora harmonicznego.

Odpowied´z: 〈n| X | m〉 = q

2mω ħh ×







p m gdy n = m − 1 p m + 1 gdy n = m + 1

0 wpp

,

〈n| P | m〉 = i q

m ħhω

2 ×







− p

m gdy n = m − 1 p m + 1 gdy n = m + 1

0 wpp

,

〈n| X ² | m〉 = _2mω ^ħh ×



 



 



p m(m − 1) gdy n = m − 2

2m + 1 gdy n = m

p (m + 1)(m + 2) gdy n = m + 2

0 wpp

,

〈n| P ² | m〉 = − ^{m ħhω} ₂ ×



 



 



p m(m − 1) gdy n = m − 2

−(2m + 1) gdy n = m p (m + 1)(m + 2) gdy n = m + 2

0 wpp

,

〈n| P X | m〉 = ^{i ħh} ₂ ×



 



 



pn(n − 1) gdy n = m − 2

1 gdy n = m

p (n + 1)(n + 2) gdy n = m + 2

0 wpp

Zadanie MN 45

?

Wyznacz pierwszych 6 ×6 elementów macierzy reprezentuj ˛ acych operatory X i P w

bazie wektorów własnych Hamiltonianu oscylatora harmonicznego.

Odpowied´z: X = q

ħh 2m

ω



















0 1 0 0 0 0

1 0 p

2 0 0 0

0 p

2 0 p

3 0 0

0 0 p

3 0 2 0

0 0 0 2 0 p

5

0 0 0 0 p

5 0

















 ,

P = i q

m ħhω 2



















0 −1 0 0 0 0

1 0 − p

2 0 0 0

0 p

2 0 − p

3 0 0

0 0 p

3 0 −2 0

0 0 0 2 0 − p

5

0 0 0 0 p

5 0

















 Zadanie MN 46

?

Stan cz ˛ astki |ψ〉 jest pewn˛aliniow˛akombinacj˛awektorów własnych |n〉 Hamiltonia- nu oscylatora harmonicznego: |ψ〉 = p

2A |1〉 + ^{p 1} ₂ A |2〉 + A|3〉. Wyznacz stał˛aA oraz zale˙zno´s´c wektora |ψ〉 od czasu. Jakie b˛edzie ´srednie poło˙zenie i ´sredni p˛ed cz˛astki w funkcji czasu? Jaka b˛edzie ´srednia energia całkowita w chwili t = 0?

Odpowied´z: A = Æ ₂

7 , |ψ(t)〉 = Æ ₂

7

” p

2e ⁻

³²

^iωt |1〉 + ^{p 1} ₂ e ⁻

⁵²

^iωt |2〉 + e ⁻

⁷²

^iωt |3〉 — ,

< x >= 0, < p >= 0, < H >= ³¹ ₁₄ ħhω Zadanie MN 47

?

Wyznacz komutatory [L _x , L _y ], [L _y , L _z ], [L _z , L _x ], [L ² , L _x ], [L ² , L _y ], [L ² , L _z ].

Odpowied´z: [L _x , L _y ] = i ħhL _z , [L _y , L _z ] = i ħhL _x , [L _z , L _x ] = i ħhL _y , [L ² , L _x ] = [L ² , L _y ] = [L ² , L _z ] = 0

Zadanie MN 48

?

Przyjmuj ˛ ac, ˙ze l = 1, znajd´z macierze reprezentuj˛ace operatory L ² , L _z , L ₊ , L ₋ , L _x i L _y w bazie wspólnych wektorów własnych operatorów L ² i L _z .

Odpowied´z: L ² = 2ħh ²





1 0 0 0 1 0 0 0 1



, L _z = ħh





1 0 0

0 0 0

0 0 −1



, L ₊ = p 2ħh





0 1 0 0 0 1 0 0 0



,

L ₋ = p 2ħh





0 0 0 1 0 0 0 1 0



, L _x = ^{p ħh} ₂





0 1 0 1 0 1 0 1 0



, L _y = ^{p ħh} ₂





0 −i 0

i 0 −i

0 i 0



 Zadanie MN 49

?

W bazie wspólnych wektorów własnych operatorów L ² i L _z stan cz ˛ astki opisuje na- st˛epuj ˛ acy ket (l = 1):

|ψ〉 = 1 p 14



 1 2 3





Z jakim prawdopodobie´ nstwem podczas pomiaru L _x uzyskamy warto´s´c 0?

Odpowied´z: P (L _x = 0) = ¹ ₇ Zadanie MN 50

?

W układzie, w którym l = 1, znajd´z reprezentacj˛e wektorów własnych operatora L _x L _y + L _y L _x w bazie wspólnych wektorów własnych operatorów L ² i L _z .

Odpowied´z: |v ₁ 〉 = |1,0〉, |v ₂ 〉 = ^{p 1} ₂ (i |1,1〉 + |1,−1〉), |v ₃ 〉 = ^{p 1} ₂ (−i |1,1〉 + |1,−1〉)