Zadanie 1. Dla warto´sci

(1)

ALGEBRA LINIOWA

I JEJ METODY OBLICZENIOWE 2

Kolokwium 30-05-2006

Uwaga: ka˙zde zadanie warte jest 6 punkt´ow, niezale˙znie od stopnia trudno´sci.

Zadanie 1. Dla warto´sci

{y

1

, y

2

, y

3

, y

4

, y

5

} = {0.5, 0.5, 2, 3.5, 3.5}

zmierzonych odpowiednio w punktach

{x

¹

, x

2

, x

3

, x

4

, x

5

} = {−2, −1, 0, 1, 2}

chcemy okre´sli´c prost a y(x) = α + βx tak, aby suma

_,

X5 j=1

(y(x

j

) − y

^j

)

²

by la jak najmniejsza. Zbuduj odpowiedni uk lad nadokre´slony A~x ≈ ~b. Wyznacz macierz pseudoodwrotn a A

_, ⁺

do A i oblicz optymalne warto´sci parametr´ow α i β.

Zadanie 2. Wyka˙z, ˙ze dowolna macierz kwadratowa A jest podobna do swojej transpozycji A

^T

.

Zadanie 3. Niech f : K

³

→ K

³

b edzie dane wzorem

_,

f





x

1

x

2

x

₃





=





2x

2

−2x

1

2x

₃





.

Czy istnieje w K

³

baza, w kt´orej macierz przekszta lcenia f jest diagonalna? Je´sli tak to wska˙z odpowiedni a baz

_,

e. Rozpatrz dwa przypadki, gdy K jest cia lem liczb rzeczywistych

_,

lub zespolonych.

Zadanie 4. Znajd´z posta´c Jordana macierzy A =

"

−1 4

−1 3

#

.

Czy istnieje podobie´ nstwo ortogonalne sprowadzaj ace A to jej postaci Jordana?

_,

Zadanie 5. Niech A ∈ IR

^(3,2)

b edzie macierz

_,

a o wszystkich elementach r´ownych 1. Znajd´z

_,

rozk lad SVD macierzy A, tzn.

A = U ΣV

^T

,

gdzie U ∈ IR

^(3,3)

i V ∈ IR

^(2,2)

s a ortogonalne, a Σ

_,

∈ IR

^(3,2)

jest diagonalna. Ile wynosi kAk

2