Rozstrzygnąć, czy następujące szeregi są zbieżne: P∞ n=1 1 n2+1

Wykład z analizy

Lista 5.

Szeregi

1. Obliczyć sumy częściowe sⁿ=Pⁿ

k=1ak, a następnie znaleźć lim_n→∞sn: a^k =a¹_k, a^k =^2k₁₀⁺⁵k^k. 2. Dowieść, że szeregP_∞

n=1 1

2ⁿ−1 jest zbieżny, a jego suma jest mniejsza od 2.

3. Rozstrzygnąć, czy następujące szeregi są zbieżne:

P∞ n=1 1

n2+1; P∞ n=2 1

n2−1; P∞ n=1 1+n

n2+1; P∞

n=12·5·8·...·(3n−1) 1·5·9·...·(4n−3); P_∞

n=1

5n²−1

n3+6n²+8n+47; P_∞

n=1 1

(2n−1)·2²ⁿ⁻¹; P_∞

n=1 1

3n−1; P_∞

n=1

√n21+2n; P_∞

n=1 1

(n+1)(n+4); P_∞

n=1 1

(2n+1)!; P_∞

n=1 n² 3ⁿ; P_∞

n=1 (2n−1)!!

3ⁿn! (k!! oznacza iloczyn wszystkich liczb naturalnych nie większych od k o tej samej parzystości); P∞

n=1 n 2n+1

ⁿ

; P∞

n=1

n+1 n

ⁿ³

3ⁿ ; P∞

n=1 1

(n−1)√n+1; P∞ n=1

q_n

+1 n ; P_∞

n=1 n²

n!; P_∞

n=1 n

2n−1; P_∞

n=12ⁿ

n4; P_∞

n=1 1

√n2+n−n; P_∞

n=1 1000ⁿ

10√n!; P_∞

n=1 arctan n

n2+arctan n; P_∞

n=1 3ⁿ

2²ⁿ; P_∞

n=1 n³+π nπ+e.

4. Które z następujących szeregów są zbieżne, a które są zbieżne absolutnie:

P∞

n=1 (−1)ⁿ⁺¹

2n−1 ; P∞

n=1 (−1)ⁿ⁺¹

n23ⁿ ; P∞

n=1(−1)ⁿ⁺¹

(2n−1)³; P∞

n=1(−1)ⁿ⁺¹n+1

n ;

P_∞

n=1

√ 1

(n+4)(n+9); P_∞

n=1(−1)ⁿ·2¹⁰ⁿ

3²ⁿ ; P_∞

n=1

n!·(−5)ⁿ nⁿ·2ⁿ ;

1 − 1 + 1 −¹2−¹2+ 1 − ¹3−¹3 −¹3+ · · · + 1 − ¹k−¹k − · · · −¹k + . . . (k razy);

1 − 1 + ¹2−¹4−¹4+¹₃−¹9−¹9−¹9 + · · · +¹k −k¹2 −k¹2 − · · · − k¹2 + . . . (k razy);

P_∞

n=1 (−1)ⁿ⁺¹n³

2ⁿ ; P_∞

n=2 (−1)ⁿ

n−√n; P_∞

n=1(−1)ⁿ⁺¹2ⁿ²

n! ; P_∞

n=1 sin 77n

n2 ; P∞

n=1 2ⁿ+17

3ⁿ ; P∞

n=1

√n!+1

n! ; P∞

n=1 (−1)ⁿ²

(n+3)^1/4; P∞ n=1

n+2

n(n+1)(−1)ⁿ; P_∞

n=1 (−1)√nⁿ(1 + ^(−1)√nⁿ); P_∞

n=1 2ⁿ n√

4ⁿ+3ⁿ; P_∞

n=1 1

n+5√n+27; P_∞

n=1

(²ⁿn)

n! ; P_∞

n=1 2ⁿ²

4(ⁿ2); P_∞

n=1(−1)ⁿ

n^1/n ; P_∞

n=1 (ⁿ⁺¹_n )ⁿ²

2ⁿ ; P_∞

n=1

(−1)ⁿ(ⁿ⁺¹_n )ⁿ²

3ⁿ ;

P_∞

n=3

(log n)^logn(−1)ⁿ

nlog logn ; P_∞

n=1 (−1)ⁿ

arctan n; P_∞

n=1

√n+ 2 −√n
(−1)

n.