Ćwiczenia AM II, 9.12/2016 Zadania grupowe Zadanie 1. Rozstrzygnąć, czy zbiór
{(x, y, z) ∈ R3: x2+ y2− xyz = 0, z > 2}
jest dwuwymiarową rozmaitością zanurzoną (klasy C1).
Zadanie 2. Uzasadnić, że równanie
4x3+ y3− 12 ln(xz) − 3y2z= 0
wyznacza w otoczeniu punktu (1, 2, 1) zmienną z jako funkcję pozostałych zmiennych z = g(x, y), i że jest to funkcja klasy C∞. Czy w punkcie (1, 2) funkcja g ma ekstremum lokalne? W przypadku odpowiedzi pozytywnej rozsztrzygnąć, czy jest to minimum czy maksimum lokalne.
Zadanie 3. Podać przykład dyfeomorfizmu przekształcającego R2\ {(x, y) ∈ R2 : x ¬ 0} na koło otwarte {(x, y) : x2+ y2<1}.
Zadanie 4. Wyznaczyć kres dolny i górny funkcji f(x, y, z) = x+2y na zbiorze A = {(x, y, z) : x2+y2+2z2= 5, xy = 2, x > 0}.
Zadanie 5. Niech φ : (1, +∞) → R będzie funkcją klasy C1. Niech
K= {(x, y, z) : y = 0, z = φ(x)}.
Niech M będzie zbiorem otrzymanym przez obrót krzywej K wokół osi OZ.
(a) Wykazać, że M jest dwuwymiarową rozmaitością (włożoną w R3).
(b) Załóżmy, że φ(2) = 1, φ′(2) = −5. Wykazać, że a = (−1,√
3, 1) ∈ M i napisać równanie płaszczyzny stycznej do M w punkcie a.
1
