V v e Vh: di°2v 6 •

52&=1,., 32/6.,(*2 72:$5=<67:$ 0$7(0$7<&=1(*2

6HULD ,,, 0$7(0$7<.$ 67262:$1$ ;;,,,

$ G D P = H P O D 

:DUV]DZD

0HWRGD *DOHUNLQD SU]HPLHQQ\FK NLHUXQNyZ

GOD SDUDEROLF]Q\FK QLHUyZQRĤFL

ZDULDF\MQ\FK ] SU]HV]NRGĈ

3UDFD ZSã\QčãD GR5HGDNFML

ɨŜ ɋ

”ƒ…ƒ Œ‡•– ’”Ü„¹ ’”œ‡‹‡•‹‡‹ƒ ‡–‘†› ƒŽ‡”‹ƒ ’”œ‡‹‡›…Š ‹‡Ş

”—Ü™ř •–‘•‘™ƒ‡Œ †‘ ”‘œ™‹¹œ›™ƒ‹ƒ ”Ü™ƒÕ ”ÜĈ‹…œ‘™›…Š ſ’ƒ–”œ

ƃɪƄ ‹ ƃɮƄř ”‘œ†œř ɭƀř ƒ ‰”—– ‹‡”Ü™‘ê…‹Ŝ Ӄ•‘ê…‹ —‡”›…œ‡

•…Š‡ƒ–— ‡–‘†› ‘Ü™‹‘‘ ƒ ’”œ›Óƒ†œ‹‡ ƒ•–¹’—Œ¹…‡‰‘ ’”‘„Ž‡—

™ƒ”‹ƒ…›Œ‡‰‘ś

œƒŽ‡Ć© ˆ—…Œ¹ —Œ ſř ƀŹ …ʳʰ  –ƒ¹ř Ĉ ‡ ś

ʳſ—ɐ ʫ^{ — } Ş ˆř ˜ Ş — ƀ ɋ ɥ 

9 

>R

—ſƀ ƒ “ű

‰†œ‹‡  ‹  •¹ ’”œ‡•–”œ‡‹ƒ‹ ‹Ž„‡”–ƒ ˆ—…Œ‹ ‘”‡êŽ‘›…Š ƒ

ˆ‹ …  Ŝ ‘œ’ƒ–”›™ƒ‡ ™ ‹‹‡Œ•œ‡Œ ’”ƒ…›œƒ‰ƒ†‹‡‹‡ ‘•‹ ƒœ™¹

’ƒ”ƒ„‘Ž‹…œ‡Œ ‹‡”Ü™‘ê…‹ ™ƒ”‹ƒ…›Œ‡Œ œ ’”œ‡•œ‘†¹Ŝ ‰”ƒ‹…œ‘‘

•‹¹ –—–ƒŒ †‘ œƒ†ƒÕ œ ‘’‡”ƒ–‘”‡ •›‡–”›…œ›ř –Ü”‡‰‘ ™•’ÜӅœ›Ş

‹‹ ‹‡ œƒŽ‡Ĉ¹ ‘† œ‹‡‡Œ …œƒ•‘™‡ŒŜ

‘•–”—…Œ¹ œƒ†ƒ‹ƒ ’”œ›„Ž‹Ĉ‘‡‰‘ ’”œ‡’”‘™ƒ†œ‘‘ †Žƒ ’”œ›’ƒ†—ř

‰†› ˆ‹Š Œ‡•– ™ƒ†”ƒ–‡Ŝ œ›•ƒ‡ ™›‹‹ Ӄ–™‘ ’”œ‡‘•œ¹ •‹¹ ƒ ‘„Ş

•œƒ”› ’”‘•–‘¹–‡ Ž—„ œ„—†‘™ƒ‡ œ ’”‘•–‘¹–›…ŠŜ ƒ™‹ƒƒ ‡–‘†ƒ

’‘™•–ƒŒ‡ œ ’‘Ó¹…œ‡‹ƒ ‡–‘†› •‹ƒ–‡ ‹ ‡–‘†› ‡Ž‡‡–— •‘Õ…œ‘‡‰‘Ŝ”

Ƌ”–›—Ó –‡ Œ‡•– ˆ”ƒ‰‡–‡ ’”ƒ…› ƒ‰‹•–‡”•‹‡Œ ƒ’‹•ƒ‡Œ

’”œ‡œ ƒ—–‘”ƒ ’‘† ‹‡”—‹‡ †‘…Ŝ †”Ŝ Šƒ„Ŝ ƒ•›‹Ž‹ƒƒ ”›Œ‹Ŝ ƃɬƄ

6 A. ŻEMŁA przy czym metoda siatek stosowana jest względem zmiennej czasowej, a metoda elementu skończonego - względem zmiennych przestrzennych.

Otrzymany schemat metody ADG zbadano pod kętem istnienia i jed- noznaczności rozwięzania, stabilności (tw. l) oraz podano oszaco- wanie błędu zbieżności (tw. 2), przyjmujęc funkcje bazowe w posta- ci iloczynu funkcji daszkowych jednej zmiennej.

2. ZADANIE WYJŚCIOWE

Zadanie wyjściowe, będęce szczególnym przypadkiem problemu noszę- cego nazwę parabolicznej nierówności wariacyjnej I typu, sformu- łujemy zgodnie z oznaczeniami przyjętymi w monografii [4], rozdz.

6, § 2.2.

Niech fi będzie obszarem w R z lipschitzowsko cięgłym brze-p giem (patrz [5], rozdz. i); jako przestrzenie Hilberta V i H przyjmujemy

(2.1) V * Hq(Q), H « L2(«).

Wprowadzamy funkcję 9 określajęcę przeszkodę:

(2.2) *PeH2(ft), <f><0 na d Q .

Pierwszy z tych warunków, na mocy twierdzenia Sobolewa o zanurze- niu (patrz [8], rozdz. 1, § 9.4), gwarantuje cięgłość funkcji $

Zbiór K definiujemy w sposób następujęcy:

Tak skontruowany zbiór K jest domkniętym, wypukłym i niepustym podzbiorem przestrzeni V, przy czym nierówność v(x)> <l)(x) p.w.

w fi należy rozumieć jako "nierówność w sensie przestrzeni H^(fi) (patrz [9]).

Będziemy również zakładać, że:

(2.3)

( 2.4) uQ € K n H2 (tt),

(2.5) f , e L2 (O, T; L2 ( «)),

(2.6) a(•,•) - forma dwuliniowa symetryczna, określona na Hq(£2) x Hq(&) .

A ^ A

Forma a(»,») generuje operator A € L(Hq(&); H (fi)) określony następujęco:

METODA GALERKINA PRZEMIENNYCH KIERUNKÓW ... 7 V u , v e Hq(S2) : < Au, v > # s a(u, v ) ,

gdzie < A u , v oznacza wartość funkcjonału Au na funkcji v.

Zakładamy ponadto, że

(2.7) 3 m > O,

V

H (Q) Zadanie wyjściowe brzmi:

Znaleźć takę funkcję u:(0, T) — ► K, że:

(2.9)

u e L 2(0, T; H*(fi)), |^-€L2(0, Tj L2 (f2) ) ,

(^jr (t) , v - u( t)) + a( u( t) , v - u( t)) > (f (t) , v - u( t)) V v e K i p.w.,te [O, T),

u( 0) o Uq ,

gdzie (•,•) oznacza iloczyn skalarny w .L 9(fil) , T < + oo .

Opierajęc się na twierdzeniu 2.1 z monografii [4], rozdz. 6, wnioskujemy, że zagadnienie (2.9) przy założeniach (2.1) — (2.8) ma jednoznaczne rozwięzanie u takie, że:

u, | ^ - e L2(0, T; hJ(^) n L00 (0, Tj L2(«)) .

W dalszej części pracy przyjmiemy następujęce uproszczone oznacze- nia :

a(v) = a(v, v ) ,

' ( z /

\ |P| «k «

( z : /

\|Pl ^ »< ń

D 1 2 X1/2

dPv| dx j ,

n I2 \ V 2 Py I dx 1 * gdzie p a Jp^, pg^j jest wielowskaźnikiem,

8 A. ŻEMŁA 3. KONSTRUKCJA ZADANIA PRZYBLIŻONEGO

Rozwięzywanie nierówności wariacyjnych metodę elementu skończonego wymaga skonstruowania odpowiednich przestrzeni skończenie wymiaro- wych V^c v oraz zbiorów K^c (patrz [4] , rozdz. 1, § 4). Pa- rametr h charakteryzuje wymiar przestrzeni w tym sensie, że dim — ► ©o wraz z h — *-0. W zwięzku z tym parametr h będzie wy- korzystywany do określenia dokładności, z jakę funkcje z przestrze- ni V lub zbioru K sę przybliżane funkcjami odpowiednio z prze- strzeni lub zbioru K^. W celu uproszczenia analizy będziemy zakładać, że S2 jest kwadratem;

S2 « ( 0 , 1) x ( o , 1 ) .

Określimy siatkę przestrzennę i czasowę o>T , Niech:

& h ■ j x = (xi» Xg) ; a ih, x2 « jh,

i , j b 0, ..., M, Mh b lj,

h li '

cOj. a 11 b tn : tn a nr, n « 0, ...» N, Nr « t | .

Przechodzimy do wyboru funkcji bazowych przestrzeni V^. Funkcja- mi tymi będę iloczyny funkcji daszkowych jednej zmiennej.

Z każdym punktem x b (ih, jh) e więżemy funkcję określo- nę w postaci

«fij(x) * ^ i j ^ i ' x2^ a ^i^xl^ * ^j^x2 ^ # gdzie jest funkcję daszkowę, tzn.

^ k(t) ■ ^ (^f “ k) » tf jest funkcję postaci:

f i - |s| dla |s| < 1,

^(S) B <

I 0 dla |s| > 1 . Przestrzeń określamy następujęco:

(3.1) V. « lin J<f, A

h l (ih. jh) € fflh

METODA GALERKINA PRZEMIENNYCH KIERUNKÓW 9 Zauważmy, że konstrukcja przestrzeni V ^ c V * Hq(S2) została tak przeprowadzona, aby

V v e Vh: di°2v 6 •

Określimy teraz aproksymację K^ zbioru K danego wzorem (2.3). Warto podkreślić, że zwykle nie wymagamy, aby Khc K.

W przypadku naszego zadania przyjmujemy

(3.2) ,<h a { v e V h : v(x)><f>(x) V x e ^ h J.

Zauważmy, że tak określona przestrzeń i zbiór Kh speł- niaję wymagania aproksymacji wewnętrznej omówione w monografii [4],

rozdz. 1, § 4.

Podamy teraz dwie ważne własności ((3.3) i (3.4)) skonstruowa- nych przestrzeni i zbioru K^:

(3.3) V u e H^ft) n H2(ft) 3 TThu e V. * u - n hu

h

C h2”k dla k - 0, 1, 2, k

gdzie stała C C(h) > 0, natomiast

TThu(x) ■ u(ih, jh) • tfij(x) V x eft

(ih, jh)e

(patrz [5], tw. 3.1.5 oraz diagram 3.1.2);

(3.4) V v u € Ku 3 w u eK : h~.>h v. - w. I < C h 2 ,h "h|0

przy czym stała C ** > 0 , natomiast wh : wh ^ " max |v^(x) , «|>(x)J Vx ei J

(patrz [9], str. 169, por. [6]).

U w a g a . Na mocy przyjętego założenia (2.4) dla funkcji uQ możemy określić interpolację zdefiniowanę w (3.3). Zauważmy,

*e n huo € K h*

4. ZAGADNIENIE PRZYBLIŻONE

Zagadnienie przybliżone dla zadania wyjściowego (2.9) sformułujemy następujęco j

10 A. ŻEMŁA Szukamy takich funkcji Un € (n a 0, ..., N) , że:

(u" , V - Un+1) + 6r(vu", V(V - U n+1)) +

+ & 2t2( D1D2u'J , D 1DZ (V “ uł1+1^ + a(Un , V - Un+1) >

(4.1) *

> ( f n+1, V - Un+1) V V e l<h , n a 0, ..., N - 1,

U° s

gdzie jest parametrem dodatnim, który wybierzemy później, na- tomiast

Un s U(nx) , u" s (un+1 - Un)/ T .

Rola parametru w zadaniu (4.1) zasadniczo różni się od tej, jakę pełni on w schematach z wagę. Tutaj stałę O- określimy tak, aby otrzymać bezwarunkowę stabilność i bezwarunkowę zbieżność schematu.

U w a g a . Ze względu na założenia (2.5) za fn w zadaniu (4.1) powinniśmy przyjęć uśrednienie całkowe na odcinku np.

£tn , tn + 1 ] Możemy jednak ograniczyć się do przypadku, gdy funkcja f e C( 0, T; L2(S2)) , gdyż błęd aproksymacji funkcji f względem t jest tego samego rzędu co uzyskany dalej błęd metody (tw. 2).

W zwięzku z tym będziemy oznaczać: fn s f(nr), zakładajęc dodat- kowo cięgłość funkcji f (patrz (2.5)) względem zmiennej t. Po- zwoli nam to uprościć analizę rozpatrywanych dalej schematów, przy czym uzyskane oszacowania błędów będę słuszne również dla f 0 regularności (2.5),

Określmy formę b ( * , 0 (patrz zadanie (4.1)):

b(Un + 1 , V) - (Un + 1 , V) + eT(VUn+ 1, W ) +

+ S-2t2( D1D2Un + 1 , D ^ D ^ ) .

□ak łatwo sprawdzić, forma b(*,«) jest dwuliniowa, symetryczna 1 V h - eliptyczna. Istnienie i jednoznaczność roziyięzania zada- nia (4.1) wynika z własności przestrzeni V h , zbioru Kh oraz wyżej określonej formy b ( » , 0 , gdyż sę spełnione założenia twier- dzenia 1.1.1 z monografii [5],

METODA GALERKINA PRZEMIENNYCH KIERUNKÓW ...__________________ 11 U w a g a . W przypadku & = O, - eliptyczność formy b(•,•) wynika z następującej własności przestrzeni (3,1):

(4.2) 3c a C(fl) , V v e V h : ||v|| ± *^S(h) |w| Q , gdzie S(h) a C/h (patrz [5], nierówność (3.2,37)).

W trakcie dalszej analizy będziemy często wykorzystywać kilka elementarnych tożsamości. Zapiszemy je w postaci lematu:

LEMAT 1, Dla każdej formy dwuliniowej i symetrycznej prawdziwe sę tożsamości:

(I) ((wn , w!J)) = | | ((wn , W nj)J^ - , w")) ,

(ii) ((wn+1, w^)) = A j ((wn , w n))|t + -|r ((wj. Wj)) ,

(III) T ^ : ((w" sn+1)) = -X s9)) + ((wk+1. sk+1)) -

n aO v r ' n a O x x/ '

- ((w°, S0 )) . 5. STABILNOŚĆ

Zanim przystępimy do sformułowania twierdzenia o stabilności dla schematu (4.1), zdefiniujemy pewnę stałę w > 0, zaleźnę tylko od średnicy obszaru S2 :

(5.1) w a w (£2) > 0 : II v|| f < w |v| 2 V v e H~(ft) .

Nierówność powyższa jest elementarnym wnioskiem z nierówności Friedrichsa (patrz [5], str. 23). Stała w, określona przez (5.1), będzie często występowała w naszych oszacowaniach, więc symbol w zarezerwujemy dla jej określenia.

Możemy teraz sformułować twierdzenie o stabilności schematu (4.1):

TWIERDZENIE 1. Schemat (4.1) aproksymujęcy zadanie (2.9)

jest bezwarunkowo stabilny dla 6- > 2 w M w sensie nastę- i pujęcego oszacowania:

amax" N-l 2 N^l p 2 - 2

ax ||un|| 2 + x2~j u" q + ^ 2t2 D1D2UiJ < C(f, uQ ),

gdzie stałe w, <x, M określone sę przez (5.1), (2.8), (2.7), natomiast:

•12 A. ŻEMŁA N-l | 2 u nt| 2

C(f, UQ ) a lf l0 + M i U

naO 1 •

D o w ó d . Wcześniej wykazaliśmy, że rozpatrywano zagadnienie przybliżone ma jednoznaczne rozwiązanie. Przyjmijmy zatem w nie- równości zadania (4.1) V « Un na każdej z n warstw (n »

» 0, ..., N - l ) . Wówczas

- T 2 - DaD2u? - xa(

un

u")

-r( f n+1 ,U J) .

W otrzymanej nierówności wykorzystujemy lemat 1 (i), gdyż forma a(*,«) jest symetryczna i dwuliniowa, następnie obie strony mno- żymy przez -2 i odpowiednio grupujemy składniki:

(5.2) 2t

<a(Un) + TZa(uJ) + 2T(fn+1, uJ) .

Do trzeciego wyrazu prawej strony stosujemy nierówność Schwarza i e- nierówność, natomiast do drugiego - oszacowanie (2.7) i (5.1), W wyniku otrzymamy

(5 . 3 ) t (2 - c ) l u j I 2 + ( 29- - w M ) t 2 | u J |2 + 2e 2 x3

I ti o l *1 i

/ Mn+1\ ^ , x L n + ll 2

+ a ^ U / ^ a t u J + t t t •

D1D2U?|l ł

Dowód zakończymy przyjmując ea 1, sumując nierówność (5,3) względem n od 0 do k < N - 1 i uwzględniając oszacowania (2.7) , (2.8) .

i ,

U w a g a , W przypadku e < -jjwM, można wykazać warunkową stabilność schematu (4.1), tzn. gdy t < C h 2 (wystarczy odpo- wiednio zastosować (4.2) do (5.2)).

W trakcie dalszej analizy, jeżeli nie będzie to prowadziło do nieporozumień, wszelkie dodatnie stałe niezależne od r i h bę- dziemy oznaczać jednym łącznym symbolem C.

6. ZBIEŻNOŚĆ

Naszym celem jest ustalenie szybkości zbieżności rozwiązania za- dania (4.1) do rozwiązania u zadania (2.9).

METODA GALERKINA PRZEMIENNYCH KIERUNKÓW ... 13 Wprowadźmy oznaczenie:

( 6 . 1 ) = ( l a )n+1

- ut #

Przechodzimy do sformułowania twierdzenia o oszacowaniu błędu me- tody.

W twierdzeniu tym będziemy wymagać od rozwiązania u zadania (2.9) następującej regularności:

u 6 C( [O, T] j h£(&) n H2(ft» , e L2( 0 f Tj H2(&» .

Klasa zadań (2.9) o tej regularności rozwiązania nie jest pusta.

Świadczy o tym poniższy przykład (por. [4j , rozdz, 6, § 4.3). Niech 9 a (O, 1) x (O, 1) , T » 1,

K = | v € Hq(A) : v > O w S?}.

Oako rozwiązanie zadania

|

V3t •'l Ł/l) U( O) a UQ

przyjmijmy

- x(x - oc( t))3 y( 1 - y) dla x < oc( t) , ,

O dla x > oc( t) ,

z warunkiem początkowym

- x(x - y(l - y) dla x < ^ , dla x > 2' i

przy czym oc(t) ■ + -|-3in( 2art). Temu rozwiązaniu u odpowiada następująca funkcja:

f a •<

A < O gdzie A dowolne.

^ - 4u dla x < oc( t) , dla x > oc( t) ,

14 A, ŻEMŁA TWIERDZENIE 2. Niech U będzie rozwiązaniem zadania (4.1), u

zaś rozwiązaniem zadania (2.9). Oznaczmy Z n = un - U n . Niech będą spełnione następujące założenia:

(6.2) u € C ([O, T]; h£(S2) n H2(ft)) ,

(6.3) ę Q < C ( u ) | A ( r ) 2 dla pewnej dodatniej stałej C(u),

(6.4) |^- e L2 (O. T; H2(G0).

Wówczas dla -0- > w M jest prawdziwe oszacowanie:

i nl 2 2 max |Z I Q + -0- x max

n n ° i D2zn| o + t2 | * I 2 ? Ln»u u * ||zn+1|| * . fl2 4

+ 0 T °lD2Z t < C(u) U (t)I + C h 2 + C t ,

gdzie M, oc, w, ę określone są przez (2.7), (2,8), (5.1) oraz (6.1), natomiast funkcja A(t) spełnia warunek A(^t) O.

r -*>0

U w a g a . Deżeli na zadanie (2.9) nałożymy takie warunki jak w pracy [1], to w punkcie (6.3) otrzymamy:

C(u)|a(t)| s Ce“2 T2"2£ dla ee(0, | ] , natomiast w przypadku założeń przyjętych w pracy [2]:

C(u)|A(t)| a C r ^ 2 (logx“^) 1/2 dla dostatecznie małe- go T.

D o w ó d t w i e r d z e n i a 2. Nierówności zadań (2.9) i (4.1) na poszczególnych warstwach dodajemy do siebie stronami.

W wyniku (np, na n-tej warstwie) otrzymamy

(U; M n . V - un+1) + a(un+1, v - un+1) +

(u;.

+ 0 2t2 (d iD2u'J, D ^ D ^ y - un+1)) > (fn+1. v - Un+1+V - lf+1) V v c K, V V e K h , n * 0 , ... , N - 1,

METODA GALERKINA PRZEMIENNYCH KIERUNKÓW ... 15

przy czym u° a uQ , natomiast U° o ^'"'o (Pa t >*z (3.3)).

Stosujęc proste przekształcenia tożsamościowe, polegajęce na dodaniu i odjęciu odpowiednich wyrazów pod znakami form występuję- cych w powyższej nierówności, możemy, po odpowiednim pogrupowaniu składników, zapisać ję w równoważnej postaci:

Ze względu na dowolność wyboru funkcji v e K i V € K^ ustalamy, że składnikom I J , i^, i” odpowiadaję

V a TThun+1

oraz >■

v : v(x) = max |un+1(x), <|>(x)} dla x e .

Ponieważ wymagamy spełnienia założenia (6.2), więc na mocy (3.3) i (3.4) prawdziwe są następujęce własności wybranych funkcji:

{

Konstrukcję powyższę przeprowadzamy dla każdego n « 0, N - 1.

Do pierwszego i trzeciego składnika lewej strony (6.5) stosu- jemy lemat 1 (li), całość mnożymy przez 2x i sumujemy od 0 do

k < N - 1, Po uwzględnieniu oszacowania:

\z°\

1 =* 0 i 2 otrzymamy *

16 A. ŻEMŁA

(6.7) |zk+1|0 + t2

f' k

n»0

+ 2t'sS~~' a(Zn+1) +

+ e2x2|D1D2Zk+1 ♦ S2T4 £ |°1D2Z?

n=»0

< 2r ^ (ij + Ig + I3) + C(h2 + x2).

Oszacowania poszczególnych składników prawej strony nierówności (6.7) podamy w postaci lematów, których dowody przedstawimy póź- niej. Lematy sę prawdziwe dla każdego k » 0, ...* N - 1.

LEMAT 2. Oeśli spełnione sę warunki (6.2), (6.3), (6.6), to:

(6.8) ij <X-5f £ |zn+1

n=0 n»0

„k+1 + Ch2 + C( u) U(t)| .

LEMAT 3. Oeśli spełnione sę warunki (6.2), (6.6) oraz

> wM, to

(6.9) 2t

±■3

2oc

5

Z

LEMAT 4. CJeśli spełnione sę warunki (6.2), (6.4), (6.6), to k_ _ 23 _k_ ■ - 2

(6.10) I3 ^ Ca.2T ^TjD^gZ0

n»0 n=0

k+li 2

D-D-Z + Cr x * 1 O

Tezę twierdzenia 2 otrzymamy, wykorzystujęc w (6.7) oszacowa- nia (2.8), (6.8), (6.9), (6.10), porzędkujęc odpowiednio wyrazy i stosujęc do uzyskanej w ten sposób nierówności nierówność Gronwal*

la. Dowód twierdzenia 2 będzie zakończony, jeśli udowodnimy przy- toczone wyżej lematy 2, 3 i 4.

METODA GALERKINA PRZEMIENNYCH KIERUNKÓW ... 17 D o w ó d l e m a t u 2, Szacujemy kolejne składniki ele- mentu 1^:

( u; ♦ ę" - f n+\ V - Unłl + v - un+1> ♦

♦ a(un+1, V - Un+1 ♦ v - unłl> <

3un+1 ♦ A u n+1 - f"łl3t V - un+1 + |v - Un+1|

b 1 ' Ch'

Oszacowanie to wynika z własności zadania (2.9) oraz z (6.2) i (6.6).

Składniki czwarty i pięty elementu ij szacujemy w sposób na*

stępujęcy;

a(Zn ł\

V

un*3\ 1 <

Zastosowaliśmy tutaj nierówność Schwarza, e-nierówność dla

£ 9 ~cT~ oraz (6.6), natomiast

(ęn , V - Un+1) * (ęn , V - un+1) + (ęn , Zn+1) <

oc ||_n+l"

< iolz "ł1 li ł C(u)|A(t)| + bh 4

otrzymaliśmy, stosujęc £— nierówność dla £« — oraz oszacowa- nie (6.3).

Pozostaje oszacować naetępujęcy wyraz:

^ ,-n

(6.11) I = 2r ^ (Zrtł, V - un+1) n»0

Przy oznaczeniu r^n s V - un stosujemy lemat 1 (lii), e-(nie- równość, a także nierówność z pracy [2], str. 603

Ch 3u l/T 3t

L < V tn + l 1 H* IB »

W wyniku otrzymamy

I < -Ł. y^lz"! + £«Ch‘ ♦ ♦ £,Ch4 .

^ n=0

18 A. ŻEMŁA

wanie s

f ±

n + . 20 ^ C h

« 15 2 * 1

|znłli

! < T ę. > ' Hz"--*-! + | |zk+1| ^ ł

Odpowiednie połęczenie uzyskanych oszacowań kończy dowód lema- tu 2.

D o w ó d l e m a t u 3. Zauważmy, że l!J można zapisać w następnej równoważnej postaci:

_n _n _n . _,n , _.n 2 ° 1 + 2 3 4 gdzie

-inDi = xa(zj , z n+1) - e r ( vz", vz n+i ) ,

°2 " xa(z" , V - un+1) - e x(vz" , V( V - un+1) ) , _.n3 “ -xa(u" , Z n+1) + ex(Vu", vzn+1) ,

-.n4 a -xa( u" , V - un+1) + er(VuJ . V(V - un+1)).

Stosujęc lemat 1 (li), oszacowania (2.7), (5,1) i (6.6), wykazuje- my, że

2r ^ oj < x(Mw - B) ^k+l 21 + n=0

+ x (Mw - e) ^ Z"| 41 + Crh .

n=0 1

Rozumujęc podobnie jak przy szacowaniu I (6.1l), można wykazać, że 2t ]>2 ag < r f ^ I z n+1||2 ♦ Cr2 + C r h 2.

n=0 n=0 1

METODA GALERKINA PRZEMIENNYCH KIERUNKÓW ... 19 Wykorzystaliśmy tutaj nierówność

^ c. l u r

^ t L < r 13t|| 2 ± L (tn- W H <fi)>

gdzie i^n » V - un (patrz [2]). Opierajęc się na prostej do spraw- dzenia nierówności

n| . C |3u t i * W 3t

l2< V *n+l * wykazujemy, że

2r + t y <

n»0 n=0

,n+l| + C(r2 + h2).

Przyjmujęc & > M w i i łęczęc uzyskane oszacowania, kończymy dowód lematu 3.

D o w ó d l e m a t u 4. Zakładamy, że u jako rozwięza- nie zadania (2.9) spełnia dodatkowo warunek (6.4). Prawdziwe sę więc następujęce nierówności*

C p u li

W ^ l L 2(t_, t.

„ c

2 <

Vź

„ n*l« H2(n>)

ln+l1 H2(n>)

gdzie a u° - TThun (patrz [2], str. 602, 603).

Pierwsze dwa składniki elementu 1^ (6.5) oznaczmy przez l£, natomiast trzeci składnik przez Lg. Opierajęc się na pierwszej z podanych wyżej nierówności można pokazać oszacowanie:

2r i

*2*3

naO

d2zn+1 2 _{+ Cr ,}

natomiast druga nierówność zapewnia po zastosowaniu lematu 1 (lii) (por. (6.11))

20 A. ŻEMŁA Zauważmy, że bez większych ograniczeń można założyć ^t < dla pewnej stałej dodatniej , gdyż o zadaniu (2,9) zakładamy w ogól- ności T < + oo . Wobec powyższego można tak dobrać stałe dodatnie pochodzęce z e -nierówności, że + £ 3 < ^l£l + £3 * "21 *

£^a ^ ^ ( r , h) , oraz ei + e2 = C * 9dzie c Jest P0Wn9 stałę dodatnię, C / C(r, h ) , Tym samym dowód lematu 4 został zakończony, 7. WNIOSEK Z ANALIZY SCHEMATU (4,1)

Rozpatrzmy następujęcy schemat dla zadania (2,9):

szukamy takich funkcji Un e (n » O, ,,,, N), że:

(u", V - Un+1) + B-r(VuJ, V(V - Un+1)) + a(Un , V - Un+1) >

n « O , • .. , N - 1, (7.1) > (fn + 1 , V -

un+1)

TT^u^, - 0 > O , 1^ określone przez (3.2),

Parametr -0- określimy tak, aby schemat (7.1) był bezwarunkowo sta- bilny i bezwarunkowo zbieżny (por. schemat (4.1)).

Prawdziwe jest następujęce twierdzenie:

(X) (II)

TWIERDZENIE 3. Zadanie (7.1) aproksymujęce zagadnienie (2.9)ma następujęce własności:

Zadanie (7.1) ma jednoznaczne rozwięzanie.

Schemat (7.1) jest dla 0- > i2- M w bezwarunkowo stabilny w sensie oszacowania:

ccmax n

2 N-l , „ 2

un , * ' Z K ^ C(f , tlp.) SS

0 u

= T

nsO

^n+ 1 2 + M u° ² •

0 1

(lii) Cłeśli spełnione sę założenia (6.2) i (6.3), to dla ^ ^ Mw prawdziwe jest oszacowanie:

maxn + T n=Q

+ ocr M 2

nnO <

< C( u)jA (t) |+ C(r2 + h2) ,

METODA GALERKINA PRZEMIENNYCH KIERUNKÓW ... 21 gdzie stałe M, oc, w określone sę przez (2.7), (2.8) i (5.1), natomiast Zn *» un - Un , u i U sę zaś rozwięza- niami zadań (2.9) i (7.1).

Dowód powyższego twierdzenia wynika wprost z dowodów twierdzeń 1 i 2 (wystarczy pominęć składniki ^ ^ ( D ^ D g • , D^D2 * ))•

Istotnę zaletę schematu (7.1) jest to, że na każdej warstwie rozwięzujemy nierówność wariacyjnę eliptycznę z operatorem pocho- dzęcym od laplasjanu, tzn. musimy umieć rozwięzywać efektywnie tyl- ko zadanie następujęcej postacij

szukamy takiego U e K ^ , że:

(U, V - U) + -0r(Vu, V(V - U)) > (F, V - U) V V e Kh .

Dzięki temu unikamy kłopotów łęczęcych się z rozwięzywaniem zadań z operatorem pochodzęcym od formy a(*,*), przy czym proponowany schemat jest bezwarunkowo stabilny i bezwarunkowo zbieżny. Dodaj- my, że konstruujęc dla zadania (2.9) schemat z wagę uzyskamy ten sam rzęd zbieżności jedynie w przypadku schematu pełnego zamknię- tego.

PRACE CYTOWANE

[1] A. E. Berger, R. S. Falk, An error estimate for the truncation method for the solution of parabolic obstacle yariational in-

egualities, Math. of Comp. 31 (1977), str. 619-628.

[2] C. Oohnson, A convergence estimate for an approximation of a parabolic ineguality, SIAM 0. Numer. Anal. 13 (1976), str. 599- -606.

£3] M. Dryja, Metoda Galerkina przemiennych kierunków dla guasi- -liniowych równań parabolicznych, Matematyka Stosowana XV (1979).

[4] R. Głowiński, 0. L. Lions, R. Tremolieres, Ćislennoe issledo- yanie yariacionnych neravenstv,M i r , Moskva 1979,

[5] Ph. G. Ciarlet, The finite element method for elliptic prob- lems, North - Holland 1978 (tłum. ros. Metod konećnych óle- mentoy dlja felliptićeskich zadać, Mir, Moskva 1980).

[6] R. S. Falk, Error estimates for the approximation of a class of yariational inegualities, Math. of Comp. 28 (1974), str.

963-971.

22 A. ŻEMŁA [7] G. Fairweather, Finite Element Galerkin Method for Differen-

tial Eguations, Marcel Dekker, New York 1978.

[8] 8. L. Lions, E. Magenes, Probl&mes aux limities non horoogenes et applications, Paris 1968 (tłum. ros. Neodnorodnye granlćnye zadaći i Ich priloźenija, Mir, Moskva 1971),

[9] H. Lewy, G. Stampacchia, On the regularity of the solution of a yariational ineguality, Comm. Pure Appl. Math, 22 (1969), str. 153-188.